Mathematik: Differentialformen
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Analysis

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[AG] Globale Analysis

Globale Analysis

Abschnitt 2: Differentialformen


Elie CartanElie Cartan Nach all der Mühe mit der Linearen Algebra kommen wir nun endlich dazu den Begriff Differentialform zu definieren, um den es sich in den folgenden Artikeln immer wieder drehen wird. Weiterhin wollen wir auch die Cartan Ableitung einführen und den Pullback einer Differentialform erklären. Mit diesen Begriffen ausgerüstet, werden wir dann auch schon recht bald den Satz von Stokes - zunächst noch in einer schwachen Version - formulieren und beweisen können.

Inhaltsverzeichnis:



2.1 Differentialformen

Rekapitulieren wir noch einmal den Begriff der alternierenden Multilinearform. Wie aus der analytischen Geometrie bekannt ist, ordnet die Determinante - die normierte alternierende Multilinearform auf einem n-dim reellen Vektorraum - einem n-Tupel von Vektoren das orientierte Volumen des von den Vektoren aufgespannten parallel Epipeds zu. Setzt man einen der Basisvektoren in die Determinante ein, so erhält man daraus die Determinante auf dem Teilraum, der von den übrigen Basisvekotren aufgespannt wird. Wir können uns also vorstellen, dass alt. Multilinearformen eine Art gewichtetes Volumen"maß" (wir möchten hier nicht über Maßtheorie sprechen, obwohl wir sicher von diesem Thema nicht allzu weit entfernt sind) auf affinen Unterräumen beschreiben. Dies geht uns aber noch nicht weit genug, da das "Gewicht" - die Koeffizienten aus der Basisdarstellung - fest gegeben ist. Um zum Beispiel ein nicht homogenes Material, oder eine Ladungsverteilung mit Hilfe einer Dichte beschreiben zu können, wollen wir den Punkten im Raum unterschiedliches Gewicht zuordnen. Dazu bedienen wir uns der folgenden

\big\blue Definition Sei U \subset \IR^n offen. Dann nennen wir eine Abbildung $ \w: U \to \L^k(\IR^n^\*) $ $ \blue Differentialform der Stufe k \black.
Unter einer Differentialform \omega der Stufe k - oder kürzer: einer k-Form - verstehen wir also eine Abbildung - zunächst - von einer offenen Teilmenge U des \IR^n nach \L^k(\IR^n^\*), dem Raum der alternierenden Multilinearformen der Stufe k über dem \IR^n. Wir sagen eine k-Form ist von der Stufe C^m, wenn diese Abbildungsvorschrift m-mal stetig differenzierbar ist. Dies wollen wir nun im Folgenden konkreter formulieren. Damit uns die Notation etwas leichter fällt, führen wir die folgenden Definitionen und Konventionen ein.
Zunächst definieren wir aus einem noch__ nicht ersichtlichen Grund dx^i := e^i, als den dualen Vektor zu e_i, so dass gilt dx^i(e_j) = e^i(e_j) = \delta_j^i. Es sei weiterhin I = (i_1, ..., i_k) \subset menge(1, ..., n)^k ein Tupel, mit aufsteigend geordneten Einträgen 1<=i_1<... Dies bringt uns also zu dem
\big\blue Korollar 2.1 In jedem Punkt x \in \U \subset \IR^n wird eine k-Form \w dargestellt durch $ $ $ $ \w(x) = \sum(\w_I(x) dx^I,abs(I)=k,), mit Funktionen \w_I: U \to \IR.
Und damit können wir nun auch schon die naheligende Definition formulieren:
\big\blue Definition Eine k-Form \w heißt von der \blue Klasse C^m \black, wenn alle obigen \w_I von der Klasse C^m sind.
Natürlich wollen wir, dass Differentialformen alle schönen Eigenschaften der alternierenden Multilinearformen erben. Deswegen werden wir im Folgenden sämtlichen Operationen einfach punktweise erklären.
\big\blue Definition und Lemma 2.2 A_m^k(U), die Menge der k-Formen von der Klasse C^m bildet mit punktweiser Addition und Skalarmultiplikation einen C^m(U) Modul und damit natürlich auch einen \IR Vektorraum.
\big\blue Beweis: Sei \w = \sum(\w_I dx^I,abs(I)=k,), \eta = \sum(\eta_I dx^I,abs(I)=k,) und f \in C^m(U), dann ist $ (\w + f \eta)(x) = \sum((\w_I(x) + f(x) \eta_I(x)) dx^I,abs(I)=k,) = \sum((\w_I + f \eta_I)(x) dx^I,abs(I)=k,) und somit \w + f \eta offensichtlich wieder eine k-Form der Klasse C^m. \bigbox Ich möchte an dieser Stelle nur noch hinzufügen, dass wir uns den Differentialformen später noch aus einer anderen Perspektive nähern werden. Nun haben wir also Differentialformen definiert, aber wir haben noch keine gesehen, und wir können uns noch nichts darunter vorstellen. Um dies zu ändern betrachten wir nun ein paar \big\blue Beispiele \blue\ll(a)\black Eine Funktion f: U \to \IR ist eine 0-Form. \blue\ll(b)\black Die Jacobimatrix df(x) einer Funktion f: U \to \IR im Punkt x \in U ist eine lineare Abbildung \IR^n \to \IR, gehört also zu \Lambda(\IR^n^\*) und hat bezüglich der Basis dx^1, ..., dx^n die Darstellung $ $ $ df(x) = sum(pdiff(\void,x^j) f dx^j,j=1,n). Das heißt die Abbildung df, die einer Funktion f im Punkte x ihre Jacobimatrix zuordnet, ist eine 1-Form. Wir nennen sie das\big\blue Differential\black\normal von f. \big\blue Bemerkung\black\normal Ich möchte an dieser Stelle insbesondere darauf hinweisen das Differential nicht mit dem Gradienten einer Funktion zu verwechseln, denn dieser ist ein Vektor, und wir werden später sehen, dass Vektoren und Linearformen vom Wesen zwei unterschiedliche Gebilde sind. \big\blue Bemerkung\black\normal Aus Beispiel \blue\ref(b)\black wird nun auch ersichtlich, wie die Namensgebung der Linearformen dx^i zustande kommt. Betrachtet man die Koordinatenfunktionen x^1, ..., x^n, die einem Punkt x \in U seine Koordinaten x^i zuordnen, so erkennt man die Projektionen $ $ $ e_i^\* =: e^i: \IR^n \to \IR, (v_1, ..., v_n) \mapsto v_i als Ableitungen der Koordinantenfunktionen $ $ $ e_i^\* =: e^i = d(x^i) =: dx^i.


2.2 Das Dachprodukt

Genau wie bei Addition und Multiplikation, definieren wir das Produkt einfach punktweise:

\big\blue Definition \void \wedge: A_m^k(U) \times A_m^l(U) \to A_m^(k+l)(U) $ $ $ $ $ (\omega \wedge \eta)(x) := \omega(x) \wedge \eta(x)
Dass dies wohldefiniert ist, sehen wir an der Darstellung \omega(x) \wedge \eta(x) = sum(\w_I (x) \eta_J (x) dx^I \wedge dx^J, array(abs(I) = k, abs(J) = l),). In jedem Punkt x ist (\omega \wedge \eta)(x) eine (k+l)-Form und die Koeffizienten \w_I(x) \eta_J(x) sind von der Klasse C^m. \bigbox Im Prinzip können wir nun fast alles aus \big(Abschnitt 1)__\normal vergessen, wofür wir so hart gearbeitet haben. Was wirklich wichtig ist und was man sich für den weiteren "Genuss" des Artikel verinnerlichen sollte, sind die Rechenregeln und die Gewissheit, dass alles wohldefiniert ist. :o)


2.3 Die Cartan-Ableitung

Wie wir in Beispiel \blue\ref(b)\black gesehen haben, existiert eine Abbildung $ $ $ d: A_m^0(U) \to A_(m-1)^1(U), die einer Funktion f ihr Differential df zuordnet. Wir möchten diese Abbildung nun für alle k im Sinne von $ $ $ d: A_m^k(U) \to A_(m-1)^(k+1)(U) so fortsetzen, dass sie ihren "derivativen Charakter" behält. Dazu gehört, dass d \blue\big linear\black\normal ist, also für ein k-Form \w = sum(\w_I dx^I, abs(I) = k,) die Formel $ $ $ d \w = sum(d (\w_I dx^I), abs(I)=k) gilt. Da das Differential \(für Funktionen\) bekanntermaßen die \blue\big Produktregel\black\normal d(fg) = g df + f dg erfüllt, wollen wir diese Eigenschaft auch auf die Fälle übertragen, wenn g eine k-Form ist. Daraus erhält man dann bereits $ $ $ d \w = sum((d \w_I \wedge dx^I+\w_I d dx^I), abs(I)=k) Die Abbildungen dx^I: U \to \L^abs(I)(\IR^n^\*) sind konstant, denn sie ordnen jedem Punkt x \in U die gleich Form dx^I(x) = e^I zu. Deswegen setzen wir deren Ableitung d dx^I = 0. Mit diesen drei Überlegungen erhalten wir schließlich die

\big\blue Definition d: $ $ $ $ A_(m)^k(U) $ \to $ $ $ $ A_(m-1)^(k+1)(U), $ $ \omega = sum(\w_I dx^I, abs(I) = k,) \mapsto d \w = sum(d \w_I \wedge dx^I, abs(I) = k,)
\big\blue Bemerkung\black\normal Der Leser mag bei dieser Definition ein wenig die Nase rümpfen, weil sie die "scheinbare" und "unnatürliche" Willkürlichkeit enthält d dx^I = 0 zu setzen. Allerdings wird er \(bei ausreichender Geduld und Durchhaltevermögen\) weiter hinten in der Artikelreihe feststellen, dass diese Definition auch aus einer intuitiveren geometrischen Überlegung folgt. Er möge dem Autor verzeihen, dass er an \big dieser Stelle\normal den Umweg scheut und lieber gleich zur Sache kommen möchte. Um die neue Definition ein wenig einzuüben wollen wir gleich zwei wichtige \big\blue Rechenregeln\black\normal herausstellen, die das Rechnen mit Differentialformen und ihren Ableitungen wesentlich erleichtert.
\blue\big Lemma 2.3\black\normal d \circ d = 0
Der \blue\big Beweis\black\normal verläuft durch simples Einsetzen der Definition. Das Wesen der Aussage ist der Satz von Schwarz. d d \w = d sum(d \w_I \wedge dx^I, abs(I) = k,) = d sum( sum(pdiff(\w_I,x_j) dx^j,j=1,n) \wedge dx^I, abs(I) = k,) $ $ $ = sum( sum(pdiff(\void^2 \w_I,x_i x_j) dx^i \wedge dx^j,i\,j=1,n) \wedge dx^I, abs(I) = k,) Die Doppelsumme wird nun nach j < i und i < j sortiert. Wegen dx^i \wedge dx^j = - dx^j \wedge dx^i verschwinden die Summanden für j = i und es gilt d d \w = sum( (sum(pdiff(\void^2 \w_I,x_i x_j) dx^i \wedge dx^j,ij,)) \wedge dx^I, abs(I) = k,) Umbennen der Indizes in der zweiten inneren Summe ergibt d d \w = sum( sum((\blue pdiff(\void^2 \w_I,x_i x_j)-pdiff(\void^2 \w_I,x_j x_i)\black) dx^i \wedge dx^j,i \blue\big Lemma 2.4\black\normal d(\w \wedge \eta) = d\w \wedge \eta + (-1)^abs(\omega) \w \wedge d\eta
Auch hier wird der\big\blue Beweis\black\normal durch simples Ausrechnen geführt. d(\w \wedge \eta) = d sum(\w_I \eta_J dx^I \wedge dx^J, array(abs(I) = k, abs(J) = l),) = sum(sum(pdiff(\w_I \eta_J,x_j),j=1,n) dx^j \wedge dx^I \wedge dx^J, array(abs(I) = k, abs(J) = l),) = sum(sum(pdiff(\w_I,x_j) \eta_J,j=1,n) dx^j \wedge dx^I \wedge dx^J, array(abs(I) = k, abs(J) = l),) + sum(sum(\w_I pdiff(\eta_J,x_j),j=1,n) dx^j \wedge dx^I \wedge dx^J, array(abs(I) = k, abs(J) = l),) Während in der ersten Summe nun die Funktionen \eta_J ohne Probleme wieder nach hinten verschoben werden können, kassiert man im zweiten Teil beim Vertauschen der Einsformen pdiff(\w_I,x_j) dx^j mit der k-Form dx^I jeweils das Vorzeichen (-1)^abs(I) d(\w \wedge \eta) = (sum(sum(pdiff(\w_I,x_j),j=1,n) dx^j \wedge dx^I, abs(I) = k,)) \wedge sum(\eta_J dx^J,abs(J)=l,) $ $ $ $ $ $ $ $ + (-1)^abs(I) (sum(\w_I dx^I, abs(I) = k,)) \wedge sum(sum(pdiff(\eta_J,x_j) dx^j,j=1,n) \wedge dx^J,abs(J)=l,) $ $ $ $ $ $ $ $ = d\w \wedge \eta + (-1)^abs(\w) \w \wedge d\eta \bigbox \blue\big Bemerkung\black\normal Um sich bei dieser Regel das korrekte Vorzeichen einprägen zu können, versuche man sich an den Beweisschritt zu erinnern. Das d muss sozusagen an der k-Form \w "vorbeigezogen werden", daher hängt das Vorzeichen nur von \w ab. Wir haben also das "natürliche" Differential von Funktionen auf allgemeine k-Formen fortgesetzt. Nun wollen wir uns ein Bild davon machen, was wir da ins Leben gerufen haben. Betrachten wir also ein paar \big\blue Beispiele\normal\black \blue\ll(c)\black \omega = sum(\w_I dx^I, abs(I)=n-1,) \in A_1^(n-1)(U) Zu jedem I mit abs(I) = n-1 gibt es ein i, mit I \union menge(i) = menge(1,...,n). Setzen wir (dx^i)^^ := dx^I können wir auch schreiben $ $ $ \w = sum(\w_i (dx^i)^^, i=1,n) Man beachte nun vor allem, dass dx^j \wedge (dx^i)^^ = dx^j \wedge dx^1 \wedge ... dx^(i-1) \wedge dx^(i+1) \wedge ... \wedge dx^n $ $ $ $ $ $ = (-1)^(i-1) dx^1 \wedge ... \wedge dx^n \cdot \d^ij ist. Das Vorzeichen (-1)^(i-1) resultiert aus der Vertauschung der 1-Form dx^j mit der (i-1)-Form (dx^1 \wedge ... dx^(i-1)). Damit erhalten wir $ $ $ d \w = sum(d \w_i \wedge (dx^i)^^,i=1,n) = sum(sum(pdiff(\w_i,x_j) dx^j,j=1,n) \wedge (dx^i)^^,i=1,n) $ $ $ $ $ = (-1)^(i-1) sum(pdiff(\w_i,x_i),i=1,n) dx^menge(1,...,n) Der Vektoranalysis kundige Leser erkennt hier \- bis auf das Vorzeichen \- d \w als "Divergenz" des "Vektorfeldes" w = (\w_1, ..., \w_n) wieder. Allerdings wollen wir die Definition dieser beiden Begriffe noch etwas aufschieben. \blue\ll(d)\black n = 3, \w = \w_1 dx^1 + \w_2 dx^2 + \w_3 dx^3 \in A_1^1 $ $ $ d \w = pdiff(\w_1,x_2) dx^2 \wedge dx^1 + pdiff(\w_1,x_3) dx^3 \wedge dx^1 $ $ $ $ $ + pdiff(\w_2,x_1) dx^1 \wedge dx^2 + pdiff(\w_2,x_3) dx^3 \wedge dx^2 $ $ $ $ $ + pdiff(\w_3,x_2) dx^2 \wedge dx^3 + pdiff(\w_3,x_1) dx^1 \wedge dx^3 Wir benutzen nun wieder die Eigenschaft dx^i \wedge dx^j = - dx^j \wedge dx^i und erhalten nach Umsortieren und Ausklammern d \w = (pdiff(\w_3,x_2)-pdiff(\w_2,x_3)) dx^2 \wedge dx^3 $ $ $ $ $ + (pdiff(\w_1,x_3)-pdiff(\w_3,x_1)) dx^3 \wedge dx^1 $ $ $ $ $ + (pdiff(\w_2,x_1)-pdiff(\w_1,x_2)) dx^1 \wedge dx^2 $ $ $ = (pdiff(\w_3,x_2)-pdiff(\w_2,x_3)) (dx^1)^^ + (pdiff(\w_1,x_3)-pdiff(\w_3,x_1)) (dx^2)^^ + (pdiff(\w_2,x_1)-pdiff(\w_1,x_2)) (dx^3)^^ Auch hier fällt die Bildungsvorschrift der "Rotation" direkt ins Auge.
\big\blue Zitat\normal\black (Prof. Weissauer \-\- Analysis 2 im SS 06 \-\- Universität Heidelberg) $ $ $ "Vergessen Sie Divergenz und Rotation. Es gibt nur d."
Um diese Behauptung aufrecht zu halten, muss man natürlich erklären, wie man "Vektorfelder" in die entsprechenden Differentialformen transformiert. Dies ist jedoch eine andere Geschichte und wird \- wie so vieles \- auf ein andermal verschoben.


2.4 Pullback von Differentialformen

Sehr häufig können Probleme dadurch gelöst werden, dass man zu anderen Koordinaten übergeht, die dem Problem besser angepasst sind. Im Falle einer offenen Menge U \subset \IR^n bedeutet es, dass man einem Punkt x \in U, mit x = (x^1, ..., x^n) in eindeutiger Weise einen anderen Punkt y = f(x) zuordnet, der die "neuen" Koordinaten (y^1, ..., y^n) besitzt. Die Menge U hat unter f betrachtet nun eine neue Gestalt f(U) = V. Und Funktionen \phi, die auf V leben, kann man mit \phi \circ f auf U zurückholen. In diesem Kapitel wollen wir uns damit beschäftigen, wie sich Differentialformen verhalten, wenn man sie mittels einer Abbildung f zurückzieht \(engl.:\blue\big pull back\black\normal\). Im Gegensatz zum oben beschriebenen Fall, könnte es aber auch sein, dass man daran interessiert ist, eine Differentialform auf eine Teilmenge V \subset U zurückzuziehen, wenn man V durch eine Abbildung f: W -> V parametrisiert hat. In diesem Fall ist f: W -> U nicht mehr bijektiv und aus diesem Grund wollen wir diese Voraussetzung für die folgenden Betrachtungen fallen lassen. Ab hier sei f: V \to U eine m-mal stetig differenzierbare Abbildung zwischen den offenen Mengen V \subset \IR^\n und U \subset \IR^n. Wir suchen nun eine Abbildung f^\*: A(U) \to A(V), mit der sich Differentialformen von U auf V zurückziehen lassen. Da A(U) und A(V) aber eine algebraische (+,\wedge) und differenzierbare (d) Struktur besitzen, wäre es unvernünftig diese Strukturen nicht zu respektieren. Es sollte nicht davon abhängen, ob eine algebraische oder derivative Operation vor oder nach dem Zurückziehen einer Differentialform durchgeführt wird. Im Klartext suchen wir also zu f einen\big\blue Algebrenhomomorphismus\black\normal f^\* der zusätzlich mit d vertauscht. In Formeln ausgedrückt bedeutet es \blue\ll(1)\black f^\*(\l \w + \eta) = \l f^\* \w + f^\* \eta \blue\ll(2)\black f^\*(\w \wedge \eta) = f^\* \w \wedge f^\* \eta \blue\ll(3)\black f^\*(d \w) = d f^\*(\w) Ist nun \w = sum(\w_I dx^I, abs(I)=k,) \in A_l^k(V), dann ist f^\* \w = f^\* sum(\w_I dx^I, abs(I)=k,) $ $ $ bigop(=,,,\blue\ref(1)\black) sum(f^\* (\w_I dx^I), abs(I)=k,) $ $ $ bigop(=,,,\blue\ref(2)\black) sum((f^\* \w_I) (f^\* dx^I), abs(I)=k,) $ $ $ bigop(=,,,) sum((f^\* \w_I) f^\* (dx^i_1 \wedge ... \wedge dx^i_k), i_1\, ...\, i_k \in I, abs(I)=k) $ $ $ bigop(=,,,\blue\ref(2)\black) sum((f^\* \w_I) (f^\* dx^i_1) \wedge ... \wedge (f^\* dx^i_k), i_1\, ...\, i_k \in I, abs(I)=k) $ $ $ bigop(=,,,\blue\ref(3)\black) sum((f^\* \w_I) (d f^\* x^i_1) \wedge ... \wedge (d f^\* x^i_k), i_1\, ...\, i_k \in I, abs(I)=k) Mit den Forderungen \blue\ref(1)\black-\blue\ref(3)\black haben wir den Pullback einer Differentialform auf den bekannten Pullback einer Funktion (f^\* \phi = \phi \circ f) zurückgeführt.

Bezeichnet f^i die i-te Koordinate von f, dann ist der Pullback einer Differentialform also gegeben durch die \blue\big Definition\black\normal $ $ $ f^\*: A_l^k(V) \to A_(min menge(l,m-1))^k(U) $ $ $ f^\* sum(\w_I dx^I, abs(I)=k,) = sum((\w_I \circ f) df^I, abs(I)=k,)
Der Pullback berücksichtigt also auch die "Änderung von f". Betrachten wir ein paar \big\blue Beispiele\normal\black \blue\ll(e)\black x \in U \subset \IR^\n, y \in V \subset \IR^n f^\* dy^i = d f^i = sum(pdiff(f^i,x^j) dx^j, j=1,\n) \blue\ll(f)\black \n = n $ y=f(x) $ dV = dy^menge(1,...,n) f^\* dV = df^menge(1,...,n) = df^1 \wedge ... \wedge df^n $ $ $ = sum(pdiff(f^1,x_i_1) dx^i_1,i_1=1,\n) \wedge ... \wedge sum(pdiff(f^n,x_i_n) dx^i_n,i_n=1,\n) An dieser Stelle wenden wir jetzt ein kleinen "Trick" an, den man sich merken sollte, wenn man es mit Determinantenfunktionen zu tun hat. Da der Raum der Determinantenfunktionen eindimensional ist und dx^1 \wedge ... \wedge dx^n eine Basis von \L^n(V^\*) bildet, gibt es für jede n-Form \w einen Skalar \l_\w, mit $ $ $ \w = \l_\w dx^1 \wedge ... \wedge dx^n. Der Skalar \l_\w lässt sich aber leicht ermitteln. Setzt man in dieser Darstellnug die Basisvektoren e_1, ..., e_n ein, so erhält man \w(e_1, ..., e_n) = \l_\w dx^1 \wedge ... \wedge dx^n (e_1, ..., e_n) $ $ $ bigop(=,,,\(\*\)) \l_\w \det(e_1, ..., e_n) = \l_w \det(E_n) = \l_\w
(*) vgl. Hilfssatz
Um f^\* dV zu bestimmen, brauchen wir es also nur noch auf die Basisvektoren zu testen. f^\* dV (e_1, ..., e_n) = sum(pdiff(f^1,x_i_1) dx^i_1,i_1=1,\n) \wedge ... \wedge sum(pdiff(f^n,x_i_n) dx^i_n,i_n=1,\n) (e_1, ..., e_n) $ $ $ $ $ $ = sum(sign(\s) sum(pdiff(f^1,x_i_1) dx^i_1(e_\s(1)),i_1=1,\n) * ... * sum(pdiff(f^n,x_i_n) dx^i_n(e_\s(n)),i_n=1,\n),\s \in S_n,) $ $ $ $ $ $ = sum(sign(\s) pdiff(f^1,x_\s(1)) * ... * pdiff(f^n,x_\s(n)),\s \in S_n,) $ $ $ $ $ $ = \det(pdiff(f^i,x_j)) Letztendlich erhalten wir also die
\big\blue Transformationsformel\normal\black $ $ $ f^\* (dy^1 \wedge ... \wedge dy^n) = \det(pdiff(f^i,x_j)) dx^1 \wedge ... \wedge dx^n
Zum Schluss stellen wir noch eine wichtige kategorientheoretische Eigenschaft des Pullbacks heraus.
\blue\big Lemma 2.5\normal\black Die Zuordnung, $ $ $ $ $ $ U \small \(offene Menge \)\normal \to A(U) \small \(Algebra der Differentialformen\) \normal und der Pullback, der zu einer differenzierbaren Abbildung f: U \to V zwischen offenen Mengen einen Algebrenmorphismus f^\*: A(V) \to A(U) zuordnet, ist ein kontravarianter Funktor. Zu den Eigenschaften eines Funktors gehören insbesondere \blue\ll(1)\black id^\* = id \blue\ll(2)\black (f\circ g)^\* = g^\* \circ f^\*
\blue\ref(1)\black folgt direkt aus der Definition. \blue\ref(2)\black \blue\big beweisen\normal\black wir zunächst nur für 1-Formen, denn die Aussage ist für Funktionen klar und wir werden sehen, dass sie für den allgemeinen Fall aus der definierenden Eigenschaft \blue\ref(2)\black folgt. Sei z \in U \subset \IR^N, y \in V \subset \IR^n und z \in W \subset \IR^\n. Wegen der Linearität \blue\ref(1)\black betrachten wir nur einen Summanden. (f\circ g)^\* dz^i = d (f\circ g)^i = d (f^i \circ g) $ $ $ = sum(pdiff(f^i \circ g,x^j) dx^j,j=1,\n) $ $ $ bigop(=,,,Kettenregel) sum(sum((pdiff(f^i,y^k)\circ g) pdiff(g^k,x^j),k=1,n) dx^j,j=1,\n) $ $ $ bigop(=,,,Beispiel \blue\ref(e)\black) sum((pdiff(f^i,y^k)\circ g) g^\* dy^k,k=1,n) $ $ $ = g^\* sum(pdiff(f^i,y^k) dy^k,k=1,n) $ $ $ bigop(=,,,\blue\ref(e)\black) g^\* f^\* dz^i Sei nun \w = sum(\w_I dz^I, abs(I)=k,), dann ist (f\circ g)^\* \w = sum(((f\circ g)^\* \w_I) (f\circ g)^\* dz^I, abs(I)=k,) $ $ $ = sum(((f\circ g)^\* \w_I) (f\circ g)^\* (dz^i_1 \wedge ... \wedge dz^i_k), i_1\,...\,i_k \in I,abs(I)=k) $ $ $ = sum(((f\circ g)^\* \w_I) ((f\circ g)^\* dz^i_1) \wedge ... \wedge ((f\circ g)^\* dz^i_k), i_1\,...\,i_k \in I,abs(I)=k) $ $ $ = sum( (g^\* f^\* \w_I) (g^\* f^\* dz^i_1) \wedge ... \wedge (g^\* f^\* dz^i_k), i_1\,...\,i_k \in I,abs(I)=k) $ $ $ = sum( (g^\* f^\* \w_I) g^\* f^\* (dz^i_1 \wedge ... \wedge dz^i_k), i_1\,...\,i_k \in I,abs(I)=k) $ $ $ = g^\* f^\* sum(\w_I dz^I, abs(I)=k,) \bigbox


Zum Schluss noch einige Bemerkungen. Das Vorhaben mit den Differentialformen eine Art gewichtetes Volumenmaß einzuführen scheint sich in Anbetracht der Transformationsformel als geglückt erwiesen zu haben. Wir werden bald sehen, wie uns diese Formel ermöglichen wird ein Integral über sog. Mannigfaltigkeiten zu definieren. Die Beispiele (c) und (d) deuten mit Kenntniss des Stokesschen- und Gaußschen Integralsatzes auf einen verallgemeinerten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung hin, dessen schwache Version auch schon im nächsten Artikel vorgestellt und bewiesen wird. Insgesamt gelingt es - auch im Hinblick auf die Transformationsformel - durch die starken Eigenschaften der Differentialformen, eine elegante, kurze und ausdrucksstarke Notation zu entwickeln. Beispielsweise lassen sich damit die vier bekannten Maxwellgleichungen in zwei einfache Formeln packen und die gesamte Elektrodynamik lässt sich komplett im Differentialformen-Kalkül formulieren, wie es z.B. im Buch von Martin Zirnbauer ab März 2009 zu lesen sein wird. (Bis dahin wird wohl noch sein Skript online verfügbar sein.)


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Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
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201210-12 (593x)http://google.nl/url?sa=t&rct=j&q=differentialform beispiel
2014-2018 (208x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2014-2017 (197x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=differentialform
201206-06 (171x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zurückziehen differentialformen beispiel
201305-05 (167x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=maxwellgleichungen differentialformen
201501-01 (157x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&ved=0CCUQFjAD
201207-07 (150x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=was ist differentialform
201403-03 (124x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=differentialformen buchempfehlung
202006-08 (121x)https://google.de/url?sa=t
201202-05 (120x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zurückziehen von differentialformen
201406-06 (110x)http://google.es/url?sa=t&rct=j&q=
2014-2015 (109x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=differentialformen
201306-06 (106x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zurückziehen von formen
201209-09 (94x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=pullback beispiel
201304-04 (93x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=pullback differentialform beispiel
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202201-01 (86x)https://google.ie/
201407-07 (85x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CCMQFjAB
201208-08 (75x)http://google.se/url?sa=t&rct=j&q=
201204-04 (72x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zurückziehung von multilinearformen
201503-03 (72x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=differentialformen skript
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201402-02 (70x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=k-form mathematik
201504-04 (62x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CCcQFjAB
201505-05 (61x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=
201309-09 (60x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zurückziehen von k-formen
2020-2022 (57x)https://duckduckgo.com/
201312-12 (56x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=transformation differentialform
201310-10 (56x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=what is a differential form
201404-04 (55x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CDIQFjAC
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2020-2022 (51x)https://www.ecosia.org/
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201411-11 (41x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=5&ved=0CCgQFjAE
2020-2022 (38x)https://www.bing.com/
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"Mathematik: Differentialformen" | 7 Comments
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Re: Differentialformen
von: Mentat am: Do. 28. August 2008 23:39:39
\(\begingroup\)Ich bin beeindruckt, ein klasse Artikel. Wann kommt die Fortsetzung? 😄 \(\endgroup\)
 

Re: Differentialformen
von: Hanno am: Fr. 29. August 2008 17:05:28
\(\begingroup\)Hallo Konstantin, auch wenn es nur abstrakter Nonsens ist, ist die Formulierung beim Pullback vielleicht etwas unglücklich: der Pullback selbst ist kein Funktor. Zusammen mit dem Pullback wird die Zuordnung [Mannigfaltigkeit -> Algebra der Differentialformen] zu einem kontravarianten Funktor [Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten -> graduierte R-Algebren]. Liebe Grüße, Hanno\(\endgroup\)
 

Re: Differentialformen
von: zxy am: Fr. 29. August 2008 19:17:38
\(\begingroup\)Am Ende von Beispiel (c) nach Lemma 2.4 fehlt was.\(\endgroup\)
 

Re: Differentialformen
von: kostja am: Fr. 29. August 2008 23:55:00
\(\begingroup\)Hallo! Danke zxy, ich habe das dx1,...,n ergänzt. @Hanno: Danke, Du hast natürlich Recht. Werde es vlt. irgendwann ändern. Es ist Dir aber natürlich freigestellt einen Änderungsvorschlag einzureichen. Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Differentialformen
von: NurSo am: So. 31. August 2008 13:39:19
\(\begingroup\)Ein wirklich hilfreicher Artikel. Als alleinige Einführung in das Gebiet ist er für mich zu knapp, aber mit einem Buch ergänzt er sich ausgezeichnet. \(\endgroup\)
 

Re: Differentialformen
von: Redfrettchen am: Fr. 13. Februar 2009 17:46:11
\(\begingroup\)Hallo Konstantin, auch dein Artikel in dieser Reihe gefällt mir sehr gut! Du hast am Anfang kurz angerissen, dass man sich auch schnell in der Maßtheorie wiederfinden kann. Die Transformationsformel gibt es ja in dieser Form auch in der Integrationstheorie. Wie kommt man von einem zum anderen? Kennst du eine gute Quelle, die diesen Übergang beschreibt? Noch eine Kleinigkeit: Müsste in der vorvorletzen und vorletzten Zeile des Beweises der Transformationsformel nicht das Signum der Permutation jeweils noch auftreten als Faktor? Beste Grüße! Thomas\(\endgroup\)
 

Re: Differentialformen
von: Martin_Infinite am: Sa. 26. März 2011 21:51:03
\(\begingroup\)Wann kommt Teil 3? ;)\(\endgroup\)
 

 
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