Die Galoistheorie lernt jeder Mathematikstudent spätestens in einer Algebra-Vorlesung kennen. Sie zu verstehen, ist der Hauptgegenstand der Algebra I.
Diese kleine Artikelserie soll auf das Verständnis der Galoistheorie hin arbeiten. Bevor wir überhaupt verstehen, welche Ideen Galois hatte, müssen wir einige Vorarbeit leisten. So wird diese Serie insgesamt mindestens sieben (geplante) Kapitel beinhalten. Den Höhepunkt bildet der Artikel zur Galoistheorie.
Aber um was geht es dabei eigentlich?
Grob gesprochen geht es um die Frage, unter welchen Bedingungen eine Polynomgleichung in einer Unbekannten auflösbar ist. Galois löste nicht nur dieses Problem, sondern kombinierte und verknüpfte geschickt mathematische Methoden, die heute zum unverzichtbaren Bestandteil der Mathematik geworden sind.
Die Galoistheorie hat viele Anwendungen bei klassischen Problemen, wie etwa "Welche regulären Polygone lassen sich mit Zirkel und (unmarkiertem) Lineal konstruieren?" oder "Warum kann ein Winkel nicht dreigeteilt werden?"
Die Geschichte, wie Galois seine Theorien aufschrieb, liest sich besser als ein Krimi.
In der Nacht vor einem Pistolenduell soll Galois seine Theorien in einem Brief aufgeschrieben und an seinen Freund Auguste Chevalier geschickt haben.
In diesem Brief legt er ihm die Bedeutung seiner mathematischen Entdeckungen ans Herz und bat ihn, seine Manuskripte Carl Friedrich Gauß und Carl Gustav Jacob Jacobi vorzulegen.
Chevalier schrieb Galois' Arbeiten ab und brachte sie unter den Mathematikern seiner Zeit in Umlauf, u. a. auch an Gauß und Jacobi, von denen aber keine Reaktion bekannt ist. Die Bedeutung der Schriften erkannte zuerst Joseph Liouville im Jahr 1843 und dieser veröffentlichte sie dann auch.
Am Morgen des 30. Mai 1832 erlitt Galois bei einem Duell einen Bauchdurchschuss. Es wird gemunkelt, dass dieses Duell wegen eines Mädchens zu stande kam. Andere behaupten, dass alles nur inszeniert gewesen sei.
Wie es auch gewesen war, eins ist klar. Am 30. Mai 1832 verlor die Welt einen begnadeten Mathematiker, von dem wir bestimmt noch einiges hätten erwarten können.
Wie bereits angedeutet widmet sich die Galoistheorie der Lösbarkeit von Polynomgleichungen einer Unbekannten. Wir werden nun grob umreißen, welche Erkenntnisse vor Galois entwickelten wurden. Diese werden wir aber in den folgenden Kapiteln noch weiter ausbauen. Dieser Artikel soll wirklich nur eine Art Werbung für die kommenden Artikel darstellen, das Thema kurz skizzieren und gewisse bekannte Dinge auffrischen, um Licht ins Dunkle zu bringen.
Ein Polynom__ (Näheres in Kapitel 2) ist eine Summe von Vielfachen von Potenzen einer Variablen x. Man schreibt dafür f(x)=a_n*x^n+a_(n-1)*x^(n-1)+...+a_2*x^2+a_1*x+a_0 für n>=0, wobei die a_i die Koeffizienten__ genannt werden.
Der höchste Exponent ist der Grad__ des Polynoms.
Eine Nullstelle__ eines Polynoms ist Lösung der Gleichung f(x)=0.
Der Fundamentalsatz der Algebra (siehe Kapitel 3) besagt nun, dass der Körper der komplexen Zahlen \IC algebraisch abgeschlossen ist. Das bedeutet etwas salopp gesprochen für unser Problem: Sucht man Nullstellen eines nicht konstanten Polynoms mit ganzen, reellen oder komplexen Koeffzienten und dehnt die Suche in den Bereich der komplexen Zahlen aus, so wird man immer fündig werden. Mit anderen Worten: Gegeben sei ein Polynom f(x) vom Grad n, dann besitzt die Gleichung f(x)=0 genau n Lösungen. Ein Polynom n-ten Grades besitzt also n Nullstellen.
Wir wissen jetzt also, dass Lösungen von Polynomgleichungen der Form f(x)=0 existieren, aber nicht wie__ wir diese erhalten. Mit der Frage nach Lösbarkeitsmethoden haben sich eine Reihe an Mathematikern beschäftigt. Wir wollen nun systematisch auflisten, ab welchem Grad es so genannte Lösungsmethoden__ gibt, also eine "Formel", mit der wir die Gleichung lösen können.
Gibt es vielleicht für jeden Grad so eine Formel, oder ist irgendwann Schluss?
Dabei werden neben den vier Grundrechenarten nur Wurzeloperationen benötigt.
\big\ Lineare Gleichungen
Polynome vom Grad 1 kann man sehr leicht auflösen. Sei also a_1*x+a_0=0 gegeben. Leichtes Umstellen liefert x=-a_0/a_1, wobei natürlich a_1!=0 sein soll.
Betrachten wir beispielsbeweise f(x)=3*x+7. Die Nullstelle kann direkt mit x=-7/3 angegeben werden.
Lineare Gleichungen können also direkt gelöst werden.
\big\ Quadratische Gleichungen
Auch quadratische Gleichungen können wir ganz leicht lösen. Wer kennt denn nicht die so genannte p,q-Formel__, die auch Mitternachtsformel__ genannt wird?
Die beiden Formeln beruhen natürlich auf quadratischer Ergänzung.
Leiten wir sie uns mal kurz her:
Sei die quadratische Gleichung x^2+p*x+q=0 gegeben. Wir addieren auf beiden Seiten (p/2)^2 und bringen q auf die andere Seite. Damit ergibt sich x^2+p*x+(p/2)^2=(p/2)^2-q. Dies kann man nun wie folgt umschreiben und zwar zu (x+p/2)^2=(p/2)^2-q. Jetzt ziehen wir noch die Wurzel und subtrahieren p/2 und erhalten die bekannte p,q-Formel
x_(1,2)=-p/2+-sqrt((p/2)^2-q).
Also auch für Polynome zweiten Grades können wir die Nullstellen ohne Probleme berechnen.
Betrachten wir nochmal das Beispiel__ x^2-6x+1=0. Wir erhalten sofort die beiden Lösungen x_1=3+2*sqrt(2) und x_2=3-2*sqrt(2).
\big\ Gleichungen dritten Grades
Auch für Gleichungen dritten Grades, so genannte kubische Gleichungen, gibt es Verfahren, die aber leider etwas komplizierter sind. Aber das Wichtigste ist: Es gibt sie! Cardano stellte 1545 in seinem Buch Ars magna solch eine Lösungsmethode vor.
Sie wird in diesem Artikel ausführlich behandelt. Deswegen verzichten wir hier auf eine Herleitung, sondern geben die Formel nur an und rechnen ein Beispiel damit durch.
Die Cardanische Formel:
Sei die Normalform x^3+rx^2+sx+t=0 gegeben.
Mit x=y-r/3, p:=s-r^2/3 und q:=2r^3/27-sr/3+t erhalten wir die
reduzierte Form y^3+py+q=0.
Mit u_1=root(3,-q/2+sqrt((q/2)^2+(p/3)^3)) und
v_1=root(3,-q/2-sqrt((q/2)^2+(p/3)^3)) ergeben sich die Lösungen
y_1=u_1+v_1 und y_(2,3)=(-(u_1+v_1)+-i|sqrt(3)|(u_1-v_1))/2
also eine reelle und zwei komplexe hat, falls D=(q/2)^2+(p/3)^3
>=0 ist. Für D=0 ist y_2=y_3=-u_1=-v_1.
D soll dabei für die Diskriminante stehen.
Betrachten wir beispielsweise__ die Gleichung x^3+2x^2+3x-2=0.
r=2, s=3, t=-2 => p=3-4/3=5/3 , q=2*8/27-6/3-2=16/27-4=-92/27
D=(-92/54)^2+(5/9)^3=(90+2)^2/(2*27)^2+(25*5)/(3^2)^3=(8100+2*90*2+4)/(4*27^2)+125/(3^3)^2
=(8464)/(4*27^2)+125/27^2=(2116+125)/27^2=2241/27^2=(2700-459)/27^2=100/27-(540-81)/27^2
=100/27-20/27+(9*9)/(27*3*9)=80/27+3/27=83/27>0 => u=root(3,92/54+sqrt(83/27)),
v=root(3,92/54-sqrt(83/27)) => x_1=root(3,92/54+sqrt(83/27))+root(3,92/54-sqrt(83/27))-2/3 ,
x_(2,3)=(-(root(3,92/54+sqrt(83/27))+root(3,92/54-sqrt(83/27))))/2
+-i*sqrt(3)|(root(3,92/54+sqrt(83/27))-root(3,92/54-sqrt(83/27)))/2-2/3
Das ergibt die gerundeten Werte
x_1 ~= -0.4779672
x_(2,3) ~= -1.2389836+-i*1.6276691
Das Beispiel und weitere, ebenso eine Herleitung der Cardanischen Formel kann diesem Artikel entnommen werden
\big\ Gleichungen vierten Grades:
Außer für Gleichungen dritten Grades veröffentlichte Cardano in seiner Ars magna auch eine allgemeine Lösungsformel für (biquadratische Gleichungen)__. So bezeichnet man Gleichungen vierten Grades.
Betrachten wir die Gleichung x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d=0. Auch für diese Formel gibt es ein Lösungsverfahren.
Bei Interesse könnt ihr es hier nachlesen.
Probiert euch doch mal an der Gleichung x^4-8*x+6=0.
Nun stellt sich natürlich zwangsläufig die Frage, wie sich Gleichungen vom Grad >4 auflösen lassen. Trotz einer fast 300jährigen Suche blieb der Erfolg aus. Man zweifelte also immer mehr daran, dass solche Lösungsmethoden für Gleichungen vom Grad >=5 überhaupt existieren (können).
Niels Henrik Abel bewies 1826, dass es für Gleichungen fünften oder höheren Gerades keine allgemeine Auflösungsformel geben kann, die ausschließlich arithmetische Operationen und Wurzeln beinhaltet. Grob gesprochen besteht Abels Beweis darin, dass für die Zwischenwerte einer hypothetisch als existent angenommenen Auflösungsformel Schritt für Schritt Symmetrien in Bezug auf verschiedene Lösungen nachgewiesen werden, wodurch sich dann ein Widerspruch ergibt. Ein Beweis kann z.B. in [1] nachgelesen werden.
Nun kann man sich die Frage stellen, was denn Galois nun noch rausgefunden hat. Eigentlich ist doch schon alles gesagt, oder etwas nicht? Es wurde bewiesen, dass Gleichungen fünften und höheren Grades nicht nach einer einfachen Lösungsmethode aufgelöst werden konnten.
Galois gab aber nun eine Theorie bzw. Kriterien an, die es erlauben, jede einzelne Gleichung darauf zu untersuchen, ob ihre Lösungen mit Hilfe von Wurzelausdrücken dargestellt werden können oder nicht.
Zum Beispiel können die Lösungen der Gleichung x^5-x-1=0 nicht durch geschachtelte Wurzelausdrücke mit rationalen Radikanden dargestellt werden. Die Gleichung x^5+15*x-44=0 dagegen besitzt z.B. die Lösung x_1=root(5,-1+sqrt(2))+root(5,3+2*sqrt(2))+root(5,3-2*sqrt(2))+root(5,-1-sqrt(2)).
Ziel wird es also sein, herzuleiten, wie man entscheiden kann, ob eine Gleichung so aufgelöst werden kann oder nicht.
Galois erschuf dabei Klassen von Objekten, die aus der Mathematik heute nicht mehr wegzudenken sind, so genannte endliche Gruppen.
Wir werden uns also mit Galois-Gruppen beschäftigen müssen, um zu verstehen, was hinter der Galoistheorie steckt.
Geben wir nun trotzdem schon mal einen Überblick über die \big\ Ideen von Galois.
Wichtig hierbei ist der Begriff der Gruppe, genauer der Begriff der
(Galois-Gruppe)__.
Galois stellte nun eine Beziehung zwischen einer gegebenen Gleichung und einem anderen mathematischen Objekt, der Galois-Gruppe, her. Dies war gerade das revolutionäre seiner Zeit. Denn eigentlich geht es doch um die Auflösbarkeit von Gleichungen und den dazu möglicherweise vorhandenen Lösungsweges. Wichtig ist, dass die Galois-Gruppe ohne Kenntnis der Lösung der gegebenen Gleichung bestimmt werden kann.
Betrachten wir ein Beispiel, das wir noch nicht, sondern erst ab Kapitel 4 oder vielmehr in Kapitel 5 verstehen werden. Sei die Gleichung x^4-4x^3-4x^2+8*x-2=0 gegeben.
Die Galoisgruppe wird nun konstruiert durch Rechenausdrück der Form x_1+x_2*x_2-x_3, die sich aus den Lösungen x_1, x_2, x_3, ... mit Hilfe von Grundrechenarten bilden lassen. Die Summe aller Lösungen ist immer gleich dem mit -1 multiplizierten Koeffizienten der zweithöchsten Potenz. In unserem Fall wäre das also x_1+x_2+x_3+x_4=4.
Weiterhin bestimmt man x_1*x_3+x_2*x_4=0 und (x_2+x_4+x_1*x_2*x_3*x_4)^2=8. Wie diese Ausdrück genau zu stande kommen, darauf wollen wir nun nicht eingehen, sondern verweisen auf Kapitel 4. Wir können aber so viel verraten, dass jede dieser Ausdrücke Lösung einer Gleichung ist, die aus der Ausgangsgleichung bestimmt werden kann.
Für andere Gleichung sind aber durchaus umfangreiche und komplizierte Wurzeloperationen von Nöten, um die Werte der genannten Ausdrücke darzustellen.
Galois hat nun solche Sachverhalte klassifiziert. Das ist seine eigentliche Leistung.
Mit diesem Ausblick wollen wir nun den Artikel beenden, und hoffen, dass wir Lust auf mehr gemacht haben. Wir werden uns bemühen, die folgenden Artikel so schnell wie möglich zu veröffentlichen.
Wir geben zu, dass es nicht gerade einfach werden wird. Aber der Spaß und der Ideenreichtum werden nicht zu kurz kommen. Also bleibt gespannt. Im Folgenden werden wir noch eine Übersicht über die geplanten Kapitel geben.
Kapitel 0: Vorwort und Einführung
Kapitel 1: Gruppen und Permutationsgruppen
Ein kleiner Exkurs in die Gruppentheorie. Wir fassen hier nur die wichtigsten Ergebnisse über Gruppen und insbesondere über Permutationsgruppen zusammen und geben einige Links, mit denen man seine Kenntnisse in diesem Bereich vertiefen kann.Kapitel 2: Ringe und Polynome
Was ist ein Polynom? Was versteht man unter einem Polynomring, was sind Ideale? Und was ist ein symmetrisches Polynom?Kapitel 3: Der Fundamentalsatz der Algebra
Die Geschichte hinter dem Satz. Verschiedene Beweise des Fundamentalsatzes.Kapitel 4: Körpertheorie
Was ist ein Körper? Was versteht man unter Körpererweiterungen?Kapitel 5: Galois-Gruppen
Kapitel 6: Die Galoistheorie
Kapitel 7: Anwendung der Galoistheorie
Die Galoistheorie hat viele Anwendungen bei klassischen Problemen, wie etwa "Welche regulären Polygone lassen sich mit Zirkel und (unmarkiertem) Lineal konstruieren?", "Warum kann ein Winkel nicht dreigeteilt werden?"
Bleibt gespannt. Bis zum nächsten Teil, in dem wir dann richtig los legen werden.
\(\begingroup\)Hallo Florian,
das ist zwar nur ein Anfang, aber ich freue mich jetzt schon auf die Fortsetzung. Mit wenigen Sätzen ist es dir gelungen, die Bedeutung der Galoistheorie für die Algebra anzudeuten!
Gruß, Johannes\(\endgroup\)
\(\begingroup\)ich möchte hier ein paar kritische bemerkungen machen, die ich bitte nicht wieder unter dem motto "der will nur böses" zu lesen, sondern eher "ist das so?".
eine solche artikelreihe kann in keinster weise eine gründliche vorlesung über algebra 1 oder eben ein entsprechendes buch ersetzen und wird auch wegen der vom umfang her gezwungenen oberflächlichkeit nicht verständlicher sein (und was sollte sonst das ziel davon sein?). davon abgesehen findet man im internet genügend informale einführungen in die galoistheorie. in diesem teil hier hätte man auf jeden fall erwähnen sollen, dass es bei der galoistheorie überhaupt nicht um eine "explizite" bestimmung der nullstellen eines polynoms geht, sondern vielmehr um eine kodierung der algebraischen relationen zwischen den nullstellen in form von gruppen.
ich frage mich wirklich, warum du dir die mühe machst, hier nun eine ganze algebra-vorlesung in den fed einzutippen und mit deinen bemerkungen zu ergänzen, die beim uninformierten leser nur verständnis heucheln. ich finde nicht, dass du die überall zu findenen inhalte besser oder verständlicher darstellst oder die wesentlichen punkte prägnant darstellst. davon abgesehen sollte man vielleicht erst einmal eine theorie gut und vollständig verinnerlicht haben, um den anspruch zu erheben, in einer solchen öffentlichkeit vielen eine einführung darin geben zu wollen. diese ganzen bemerkungen treffen auch auf viele deiner anderen artikel zu. bei bedarf werde ich noch beispiele für diese thesen nennen.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Du planst hier nun wieder eine längere Artikelserie, nämlich über 8 Kapitel. Irre ich mich oder war die Artikelserie zu Analysis I nicht komplett? Ich finde es etwas ungünstig solche Artikelserien anzufangen und dann unvollendet zu lassen. Es ist auch nicht sinnvoll die Artikel dann irgendwann nachzuliefern, stattdessen sollten sie lieber in einem überschaubaren Zeitrahmen zur Verfügung gestellt werden.
Weiterhin sollte man sich fragen inwiefern solche Artikel(serien) überhaupt sinnvoll sind.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Martin_Infinite:
"...eine solche artikelreihe kann in keinster weise eine gründliche vorlesung über algebra 1 oder eben ein entsprechendes buch ersetzen..."
Wo steht, dass sie das will?
Ich denke, dass die Artikelreihen von Florian für den MP sehr wertvoll sind, wenn man dieses Forum als einen Treffpunkt betrachtet, in dem sich alle an Mathematik, Physik und Informatik Interessierten austauschen und von einander lernen können.
Wenn man hier auch Mitglieder, welche keine akademischen Kenntnisse besitzen oder erst am Anfang ihres Studiums stehen, mit Artikeln über wichtige Themen ansprechen möchte, so dass diese Artikel von der genannten Personengruppe auch verstanden und gerne gelesen werden, dann sind solche Artikel wertvoll und wichtig.
@diluvian:
Der letzte Artikel aus der Analysis-Reihe ist Anfang August veröffentlicht worden, also vor 2 Monaten.
Gibt es eigentlich irgend einen sachlich belegbaren Grund, der dich daran zweifeln lässt, dass Florian seine Artikelserien fortsetzen wird?
Zum Sinn dieser Artikelreihen: siehe mein obiger Kommentar.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich finde es gut, daß es diesen Artikel jetzt gibt. Ein solcher Artikel hat hier noch gefehlt. Man muß es sicher vereinfacht sehen, um einen solchen Artikel schreiben zu können.
Gruß
Matroid\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
@gaussmath: Was ist an Martins Beitrag unqualifiziert?
Ich finde es schade, dass Martin stets so schroff schreibt; das kann verletztend sein, gerade wenn man sich so viel Mühe mit den Artikeln macht wie es Florian tut. Im Kern ist Martins Kritik aber sachlich und daher finde ich es völlig unabgebracht, ihn sofort zu kritisieren, wenn er den Mund aufmacht.
Ich kann gut nachvollziehen, dass Florian Freude daran hat, das Gelernte mit eigenen Worten aufzuschreiben - das festigt das eigene Verständnis sehr. Weiterhin ist sein Schreiben auch für Andere nicht unnütz, da er seine Formulierungen hier veröffentlicht und es viele gibt, die mit Florians Stil sehr gut klar kommen und von seinen Artikeln profitieren; für diese ist Florians Artikel eine Bereicherung. Wenn Florian wesentliche Punkte auslässt oder nicht ganz richtig wiedergibt, kann man ihn hier darauf hinweisen und damit die Qualität seines Verständnis und die seiner Artikel verbessern. Das hat Martin in den letzten Bemerkungen zu Florians Artikeln getan; ich fände es daher gut, wenn Martin auch hier alles nennen würde, was seiner Meinung nach nicht richtig dargestellt ist; das wäre sicherlich ebenfalls eine Bereicherung für alle Beteiligten.
Ich finde es toll, dass der Matheplanet die Möglichkeit bietet, Stoff nach dem eigenen Verständnis niederzuschreiben und zu veröffentlichen, damit anderen zu helfen aber auch im Nachhinein von anderen, die bereits tieferes Verständnis haben, zu lernen und zu erfahren, wo das eigene Verständnis noch nicht ausgereift ist.
Im Wesentlichen leistet Martin letzteres, und das ist klasse!
Dabei fände ich es allerdings schön, wenn er dem gesamtem Prozess a priori etwas mit mehr Wertschätzung und als Konsequenz den Artikelschreibern wie Florian mit etwas mehr Freundlichkeit begegnen würde.
Hanno\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
ich will nicht viel schreiben, ich würde ansonsten Martins Kommentar dann nur wiederholen. Ich bin derselben Meinung.
Liebe Grüße,
Alex\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Wer es nicht lesen möchte,der lässt es eben 😄
Die Mühe sollte man auf jeden Fall wertschätzen, ob einem der Artikel nun persönlich weiterbringt oder nicht. Er wendet sich ja nicht an die Experten. Ich freu mich auf die Fortsetzung und hoffe,dass alle Beteiligten dabei profitieren und schließe mich im Großen und Ganzen Hanno an.
Gruß, Neox \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hm, klar stimme ich Hanno auch im wesentlichen zu. Nur der "Kern ist sachlich"...
Was ist denn der Kern von Martins Kritik? Außerdem finde ich, dass ein sachlicher Kern auch ordentlich verpackt sein sollte. \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo!
Der Artikel ist eine Inhaltsangabe und erste
Motivation. Deshalb finde ich die Kritik von Martin
überzogen.
Man kann sich bei vielen Artikeln fragen warum sich
jemand die Mühe macht alles im fed einzutippen.
Vieles was man in MP-Artikeln findet, findet man auch
in entsprechenden Büchern oder anderen Artikeln.
Zu vielen Vorlesungen gibt es Dutzende sehr gute
Skripten im Internet. Wenn das Ziel zum Teil zb.
das persönliche Aufarbeiten eines Stoffgebiets ist - warum nicht?
Ich freue mich immer wieder über die Artikel die hier zu
finden sind, auch wenn es für mich "nur" eine Wiederholung ist.
MfG
Martin\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi
Ich möchte MI zustimmen und darauf hinweisen, dass ich die Kritik, die an seinem Kommentar geübt wurde, nicht sehr objektiv finde.
Ich weiß auch nicht, warum ich es wertschätzen soll, dass sich hier jemand die Arbeit macht, erlerntes (Standard-)Wissen niederzuschreiben und der MP Community zugänglich zumachen.
Letztendlich zeichnen sich MP Artikel durch ihr Profil aus. Haben sie etwas, was man in einer bestimmten Art und Weise nicht in Büchern findet, so kann ihr Studium durchaus lohnenswert sein. Haben sie das nicht, so finde ich die Veröffentlichung höchstens als Bereicherung für den Autor, der sie niedergeschrieben hat.
Man wird abwarten müssen, ob sich Florians Artikelserie "profilieren" wird. Wenn es nur eine direkte Wiedergabe einer Vorlesung / eines Buches wird, so sind MIs Fragen durchaus angebracht und vernünftig. Auch finde ich, dass er sich keineswegs im Ton vergriffen hat.
Gruß Yves
P.S.: Wenn heute ein einführendes Buch zur Analysis, Linearen Algebra, Zahlentheorie, usw. veröffentlicht wird, dann findet sich im Vorwort meist eine Erklärung des Autors, warum er noch ein weiteres Buch zu diesem Thema auf den Markt geworfen hat. Er begründet dort, was er besser / anders machen möchte, als andere Bücher.
Vielleicht wäre eine solche Begründung auch für diese Artikelserie wünschenswert, könnte sie doch dem Autor ebenfalls helfen, einen roten Faden beim Aufschreiben des einführenden Stoffes in die Algebra zu finden.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Yves:
"...Diese kleine Artikelserie soll auf das Verständnis der Galoistheorie hin arbeiten. Bevor wir überhaupt verstehen, welche Ideen Galois hatte, müssen wir einige Vorarbeit leisten..."
Meiner Ansicht nach steht hier kurz und prägnant, was Florian erreichen will. Und in Lehrbüchern zur Algebra wird ja wohl kaum erst auf ein Verständnis hingearbeitet, soweit mir das bekannt ist.
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Diophant: Worauf wird denn stattdessen in einführenden Algebratexten hingearbeitet?
Dass man seine Gedanken so aufschreiben möchte, dass sie von einer bestimmten Zielgruppe verstanden werden, halte ich für selbstverständlich. Dadurch gewinnt aber ein Text noch lange kein eigenes Profil.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Yves:
In deinem ersten Kommentar sprichst du von einführenden Büchern, hier geht es um eine einführende Artikelserie in einem offenen Internetforum. Es besteht m.E. zwischen den genannten Formaten ein gravierender Unterschied.
Das Profil der Artikel von Florian besteht unter anderem darin, dass er in einer begeisternd-erfrischenden, aber auch anschaulichen Art und Weise die Grundzüge mathematischer Sachverhalte umreißt, so dass Mitglieder wie ich, die nicht aus dem akademischen Bereich kommen (was die Mathematik angeht), in der relativ knapp bemessenen Zeit, die für das Hobby Mathematik bleibt, sich doch einen Überblick über die vorgestellten Themen verschaffen können. Den gleichen Zweck erfüllen seine Artikel für Studienanfänger. Insofern halte ich Florians Artikel für unverzichtbar, und den Vorwurf der Ermangelung eines Profils für nicht gerechtfertigt.
Jedem Mitglied, welchem diese Art zu schreiben nicht zusagt, steht es doch meiner Kenntnis nach frei, eigene Artikel zu verfassen!
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Leute,
ich habe den Artikel überflogen und finde es immer wieder erstaunlich, wie Florian das immer schafft, das Themengebiet so zu erklären, dass es auch leute verstehen, die nicht direkt Mathematik studieren, sich aber für Themen, wie diese interessieren.
Der Zweck dieser Artikel hier auf dem MP besteht doch darin sie so zu schreiben, dass es "fast" jeder verstehen kann und manche Artikel sind hier besser als so manches Buch, was es zu einzel Themen gibt.
@martin_infinite
du solltest vielleicht versuchen, ohne Berücksichtung deines Wissens, was das Thema betrifft Kommentare verfassen.
"Diese kleine Artikelserie soll auf das Verständnis der Galoistheorie hin arbeiten"
Ein Algebra-Crack wie du schmunzelt über sowas....
@diluvian
Die Serie über Analysis I ist noch nicht beendet aber es kam eben bei mir persönlich was dazwischen und dann wurde das erstmal nach hinten verlegt.
lg George
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Danke liebe Mitplanetarier,
ich hatte seit einiger Zeit in Planung, einen Artikel zum PCP Theorem zu verfassen. Aber nach dem Lesen der Kommentare hier habe ich den Eindruck, dass ich mir die Arbeit sparen sollte. So umfangreich und detailliert wie in diesem Artikel hier oder in anderen frei verfügbaren Quellen hätte ich den Stoff ohnehin nicht darstellen wollen. Wozu sollte ich also selber noch tätig werden?
Sarkasmus beiseite. Der Sinn dieser Artikel auf dem MP besteht doch darin, anderen Leuten eine Einführung in interessante Teilgebiete der Mathematik zu geben. Ob es dazu noch andere Lektüre gibt, ist erst mal nicht relevant.
Mal im Ernst, wie viele von euch haben schon mal vom PCP Theorem gehört? Wie viele hätten sich einen Artikel dazu aus dem Internet gesucht? Wer von euch interessiert sich für das PCP Theorem, nachdem er die formale Einleitung des von mir verlinkten Papers gelesen hat? Wenn ich euch dagegen nun ganz salop und informal schildern würde was dieses Theorem aussagt, wäre das Interesse sicher ein anderes.
Ähnlich verhält es sich mit der Galoistheorie. Wer keine Algebra studiert hat, wird wahrscheinlich kaum davon gehört haben. Wenn hier jedoch jemand was von Winkeldreiteilungen oder der Nullstellenbestimmung von Polynomen erzählt, mag der ein oder andere Nichtmathematiker schon mal neugierig aufhorchen.
Ich stimme jedoch auch der Gegenseite zu, dass allzu ausufernde Artikelserien, welche letztendlich nur ge-fed-ete Vorlesungsskripte darstellen, nicht wirklich großen Nutzen haben. Wenn sich jemand jedoch unbedingt die Mühe machen will, so soll er das machen. Niemand muss sich etwas durchlesen, was ihn nicht interessiert und es entsteht auch kein Schaden.
Liebe Grüße
-- Valentin
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
ich persönlich fühle mich zwischen den Kommentaren hin und her gerissen. Natürlich schätze ich das Engagement von Florian, kann aber auch die Kritik Einiger verstehen.
Ich persönlich fand nach dem Lesen die Vorgehensweise der Artikelserie etwas seltsam. Die Idee, zunächst einen motivierenden Aufschlag zu machen, finde ich gut. Das man aber dann zunächst erklärt, was Gruppen, Permutation, Polynome, Ringe, etc. sind, finde ich hier überflüssig. Okay, die Kenntnis über Gruppen, etc. ist schon wichtig, aber dazu dürften sich (auch hier) andere grundlegende Beiträge finden. Ebenso überflüssig finde ich verschiedene Beweise vom FUndamentalsatz der Algebra. Was hat das mit Galoistheorie zu tun außer der Tatsache, dass C abgeschlossen ist? Meines Wissens nach betrachten wir Körpererweiterungen - und darum dreht sich ja die Galoistheorie - hauptsächlich über Q.
Kapitel 4-7 finde ich hingegen sehr interessant und freue mich darauf. Insbesondere bin ich gespannt, in wie weit Du die Ausrichtung der Artikel von Fragen der Lösbarkeit von Polynomen entfernst, um sie Untersuchungen von (unter-)Gruppen zuzuwenden.
Viele Grüße
dettman\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Martin_infinite:
Deine Pauschalkritk an FlorianM ist schon allein dadurch unverständlich, da es Dir unbenommen bleibt selbst einen nach Deinem Geschmack tiefschürfenden Artikel zu schreiben, damit auch Dein Niveau bedient wird.
Jemandem wie FlorianM, der offensichtlich Freude daran findet Texte mit mathematischem Inhalt zu verfassen, so abzubürsten ist gerade auf dem MathePlaneten m.E. zumindest sehr befremdlich.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Warten wir doch erst mal ab, wie die Artikelreihe wird, danach kann man immer noch mosern. Eine Art "Galois Theorie für Dummies" kommt mir ganz gelegen. Ich freue mich auf eine leicht verdauliche Einführung.
*hoff*
mfG\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich weiß gar nicht, wie oft ich in den vergangenen knapp viereinhalb Jahren diese Art Diskussion mitverfolgen konnte ... ☹️ ... und wieder wird sie im Endeffekt nichts bringen.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi,
Ich studiere noch nicht Mathematik und freue mich deshalb auf die Fortsetzungen.
Mir haben Florians Artikel bisher immer recht gut gefallen, um einen Grundüberblick über eine Thematik zu bekommen, auch wenn es nicht immer formal einwandfrei sein mag.
Allgemein finde ich es gut, wenn man als Nichtstundent auf den Matheplaneten solche Zusammenfassungen von Themen findet (s.a. Gockels "Gruppenzwang", den ich genial finde).
Gruß,
Hans
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)"Wenns dir nicht gefällt dann schreib doch nen eigenen Artikel!!!"
Wollt ihr jegliche Kritik an Artikeln auf diese ziemlich unkonstruktive Art niederschrei(b)en? Dürfen unter Artikeln also nur lobende Kommentare stehen? Wenn ja, wieso dann überhaupt Kommentare?
Martin übt hier konstruktive Kritik an dem Artikel, und das muss erlaubt sein - auch wenn vielleicht frühere Artikel von Florian in einen unangebrachten Flamewar bei den Kommentaren ausgeartet sind. Das alleine kann aber noch kein Grund sein, jeden zukünftigen Artikel von ihm als sakrosankt zu behandeln, und ich habe das Gefühl das einige Kommentare hier in genau diese Richtung gehen.
Ihr werft Martin vor, er würde "aus Prinzip" gegen Florians Artikel sein, aber seid gleichzeitig "aus Prinzip" gegen Martins Kritik? Ich nenne das Heuchelei.
MfG,
Fabi\(\endgroup\)
von: cow_gone_mad am: Fr. 10. Oktober 2008 23:58:08
\(\begingroup\)Ach ich muss auch mal ein paar Worte verlieren. Der MP ist von Amateuren fuer Amateure. 😉 Das heisst, wenn jemand Artikel schreibt, die keinem professionellem Standard entsprechen, heisst das noch lange nicht, dass sie nicht auf dem MP erscheinen sollten.
Der MP ist nicht "Notices of the AMS" (oder aehnliches), sondern eine Internetseite.
Falls es aehnliches werden sollte, kann ich Matroid gerne Tipps geben. (Aber ich denke, nicht dass es Matroids Ziel ist, womit ich ihm natuerlich wieder viel unterstelle 😉 )
LG,
cow_
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich weiß mittlerweile nicht mehr, ob die Kommentar-Funktion sinnvoll ist. Es artet doch immer wieder zu Flamewars aus, wie spätestens jetzt...
zu MartinInfinite: Du hast angekündigt konkrete Punkte zu nennen. Fein, mach es doch auch! :) Ich glaube, daraus kann dann jeder wesentlich mehr lernen als aus dem, was jetzt hier entstanden ist. :)
zu Florian: Ich habe deinen Artikel nur überflogen, da ich das Thema schon kenne. Die Einführung/ Motivation klingt für mich ganz gut. :) Natürlich kann man aus ganz anderen Richtungen an die Galois-Theorie auch herangehen, aber rein historisch war durchaus dies der Ansatzpunkt, warum man sich damit beschäftigt hat. insfoern finde ich es legitim dies als Motivation zu nutzen. :)
Was dein weiteres Vorgehen in dieser Artikelserie betrifft: Nun, du musst tatsächlich schauen, dass es nicht zu ausufernd wird. Auf schon hier publizierte Artikel auch anderer Leute zurückzugreifen und selbst jeweils nur die für das eigentliche Thema deiner Artikelserie relevante vielleicht ganz kurz zu wiederholen erscheint mir da eine gute Alternative. :)
Allerdings solltest du dann auch irgendwie den Bogen spannen von der "eigentlichen" Galois-Theorie, die ja über das Verhalten von Körpererweiterungen spricht, hin zum Ausgangsproblem deiner Motivation, also zur Lösbarkeit von polynomiellen Gleichungen. Allein dieser "Ringschluss" dürfte genügend Stoff für einen eigenen Artikel enthalten. :)
Dies sind alles nur gutgemeinte Vorschläge. Du musst sie nicht aufgreifen, aber es wäre schön, wenn du sie wenigstens mal bedenken könntest. :)
Mit freundlichen Grüßen an alle Beteiligte
Cyrix\(\endgroup\)
\(\begingroup\)> Und nur weil Du in der realen Welt keinerlei Freunde hast ( wie solltest Du auch?)
Woher willst du das wissen?
> Nur weil du dich mit mehr als sinnlosesn Sachen beschäftigst,
Womit sinnlosem beschäftigt er sich?
> Du wirst nie etwas erreichen in deinem Leben, weil Du sozial ein totaler VErsager bist und dich scheinbar für was besseres hälst, ob du allerding in der "realen" Welt jemals irgendwas erreichen wirst ist mehr als zweifelhaft.
"scheinbar" ist genau das richtige Wort. Was ist denn die "reale Welt"? Was heißt es, ein sozialer Versager zu sein?
> belästige ander nicht mit deiner nichtigen Sicht der Welt.
Warum nichtig?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Neox:
mit deinem Kommentar hast du für einen absoluten Tiefpunkt in der Kommunikation auf dem Matheplaneten gesorgt. Wenn ich Matroid wäre, würde ich nicht nur deinen Kommentar hier löschen, sondern auch deinen Account auf dem Matheplaneten.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Neox
Ich schließe mich der Aussage von Rebecca zu 100% an und möchte zu meiner Kritik an Martins Kommentar unterstreichen, dass diese rein sachlich gemeint war und ich seine ungeheure fachliche Kompetenz anerkenne und schätze, insbesondere auch seine Artikel!
@Martin_Infinite
Vielleicht wäre es gut, wenn es deine Zeit erlaubt, deine sachlichen Kritikpunkte etwas näher auszuführen.
Vorschlag:
Kann man hier bitte ab sofort ausschließlich den vorgestellten Artikel diskutieren und es unterlassen, andere Mitglieder persönlich anzugreifen?!?
Gruß, Diophant \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Leute,
ja, in der Tat, soweit sollte es nicht kommen. Ich kann Neox hingegen auch irgendwo verstehen. Martin_inf provoziert so was nunmal.
Manchmal geht mit einem das Temperament ein wenig durch. Matroid muss hier aber nicht gleich zu solch drastischen Maßnahmen greifen. Da bin ich dann wieder dagegen.
Der Beitrag stellt allerdings wirklich einen Tiefpunkt dar. @Neox: Du solltest Dir vor Augen halten, dass Deine "Kritik" nichts nutzen wird. Martin_inf wird sein Verhalten dadurch sicherlich nicht anpassen.
Ich bleibe allerdings dabei, dass Martin_inf's Kritik im Kern eben nicht sachlich war. Wenn dem so wäre, dann wäre meine Kritik auch sachlich, wobei hier bitte der Schwerpunkt auf "überzogene Maßstäbe" zu legen ist.
@Martin_Infinite: Es wäre wirklich besser, um des lieben Friedens Willen, dass Du Dich in Zukunft ausschließlich auf inhaltliche Kritik beschränken würdest. Vielleicht kriegst Du das ja hin.
Ich bin ja gerne bereit, meinen Teil zum Frieden und insbesondere zur Sachlichkeit beizutragen.
Es grüßt der Mir-reichen-doch-die-Banachräume-und-C^inf[a,b]-Mathematiker
*Diese Grußformel habe ich nach einer lockeren Diskussion mit Maddin im Chat angepasst. 😁
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Zum eigentlichen Disput möchte ich garnichts weiter sagen. Mich stört eigentlich noch etwas anderes bei solchen Threads oder Diskussionsverläufen.
Wenn ich mir die Leserzahlen dieses Threads so anschaue, neige ich dazu vielen ein voyeuristisches Grundinteresse an solchen Diskussionsverläufen zu unterstellen. Wohl kaum ein "normaler" Artikel der letzten Monate hat solche Leserzahlen vorzuweisen und ich zweifle stark, dass es alleine am ursprünglichen Inhalt liegt.
Die "moralischen Besserwisser" die dies in Relation zur Kommentaranzahl begründen möchten, seien gerne dazu eingeladen solch eine Relation auch bei der Nachtwache o.Ä. aufzustellen...
*kopfschüttel*
Murmelbärchen
P.S. Da ich dies hier nicht weiter verfolgen werde, werde ich nur auf PMs antworten. \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo zusammen,
ich denke ich habe mit meinem Kommentar doch ein Wenig über die Stränge geschlagen und möchte mich hiermit, für die Form, entschuldigen. Jedoch bleibt die Grundaussage ungeändert bestehen.
Durch diese herablassende Art nehmt ihr vielen Leuten die Lust an der Mathemati. Es scheint als würdet ihr allzu oft vergessen,dass ihr auch mal klein angefangen habt. Und macht anderen,die sich nicht 24/7 mit Mathematik beschäftigen, zu einer Art "Untermensch".Dahinter sehe ich einen sozialen Hintergrund.Wir alle wissen um den schlechten Ruf der Mathematiker und es scheint tatsächlich so, dass ihr eure sozialen Kompetenzen drastisch vernachlässigt.Einige jedenfalls.
Ich gehe jede Wette ein, dass solche Leute keine wirklichen Freunde haben, höchstens noch Leidensgenossen, und deswegen das I-Net als soziales Venil für ihre eigene Unzufriedenheit mit sich selbst (miss-)brauchen. Anders sind viele der hier geführten Debatten nicht zu verstehen...Ob ihr noch den Unterschied zwischen Forum und Realität kennt? Bei einigen scheinen sich die Grenzen zu vermischen.
Nunja, und die Forderung meinen Account zu löschen spricht ja genau für das was ich gesagt habe. Was soll damit erreicht werden?
Neuer Account ist kein Problem. Oder willst Du dich für deine selbst erlittene soziale Ausgrenzung "rächen"? Um auch mal das Gefühl zu haben was bewirken zu können?
Eigentlich habe ich mich hier nur angemeldet um ab und an mal Hilfe in Anspruch zu nehmen, und ich finde den Matheplaneten auch eine sehr gute Sache,den es gibt hier auch sehr viele sehr hilfsbereite und intelligente Menschen. Schade nur,dass sich auch viele so sehr aufspielen müssen, weil sie Mathe studieren und Sachen "verstehen" und beherrschen,die nunmal ca 98% der Gesellschaft gar nicht verstehen WOLLEN!!! Und sich dann über diese 98%ige "dumme" Minderheit hinwegsetzen wollen...
So, vielleicht ist es jetzt weniger persönlich?!
Gruß, ein "Jünger des Trivialen"
PS: Da ja auch die (höchst geistreiche) Frage kam,was denn die "Realität" sei:
Ich meine das banale Umfeld welches Du siehst wenn Du dich mal aus dem Haus traust und nicht mit geducktem Kopf durch die Stadt (oder Dorf?) läufst. Dann weißt Du was ich damit meine. Eine philosophische Debatte zu diesem Thema ist ebenfalls sinnfrei. Deswegen lass ich mich nicht erst drauf ein. ;) \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo neox,
sag mal: hast Du Martins Beitrag wirklich durchgelesen? Der einzig "unsachliche" Teil seines Beitrags besteht in der vorgeschobenen Bitte, ihn nicht gleich wegen seines Beitrages zu zerfleischen.
Ich habe den Artikel zwar nicht gelesen, die Einwände, die er erhebt sind aber allemal berechtigt: In diesem geringen Umfang kann Florian einfach nicht verständlicher sein als eine gute Vorlesung oder ein gutes Skript. Auch ich kann das nicht, Martin kann das nicht und auch Galois hätte das nicht geschafft.
Dass es bei der Galoistheorie eben nicht um die expliziten Lösungen algebraischer Gleichungen, sondern nur Relationen zwischen den Nullstellen geht, sollte in einer solchen Einführung auf jeden Fall stehen. Es ist nämlich der Grund, warum "man" sich für Galoistheorie interessiert. Und ohne den Artikel gelesen zu haben, glaube ich Martin, wenn er schreibt, dass das nicht drinsteht.
Ansonsten sind Deine Anschuldigungen komplett daneben, dass Du sie noch weiter bekräftigst, ist eigentlich sogar noch schlimmer. (Mal ganz abgesehen davon, sind sie weit von der Realität entfernt)
Ich weiß nicht, wie sehr Du Dich mit Galoistheorie beschäftigt hast, bevor Du den Artikel gelesen hast. Mal angenommen, du hast es nicht. Der oben angesprochene Kritikpunkt stand ja offensichtlich nicht im Artikel. Wärest du auf die Idee gekommen, dass das der Grund ist, weshalb man Galoistheorie eigentlich betreibt?
Gruß,
Felix\(\endgroup\)
\(\begingroup\)"...Grob gesprochen geht es um die Frage, unter welchen Bedingungen eine Polynomgleichung in einer Unbekannten auflösbar ist."
Man sollte doch bitte nicht vergessen,dass dieser Artikel für Einsteiger in dieses Thema gedacht ist. Wenn ich das richtig sehe war dies der 0.-te (!) Teil der Serie, erst in Kapitel 6 geht es explizit um die Galoistheorie. Woher wollt ihr also wissen,dass er diesen Aspekt nicht noch anführt?? Diese Einführung ist im Grunde noch nicht mal ein wirklicher Teil der Serie und ihr habt schon auf Grund dessen das Bedürfnis ihn schlecht zu reden?! Wo ist da der "Gegenseitige Respekt"?
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)"Den Höhepunkt bildet der Artikel zur Galoistheorie.
Aber um was geht es dabei eigentlich?
Grob gesprochen geht es um die Frage, unter welchen Bedingungen eine Polynomgleichung in einer Unbekannten auflösbar ist."
Das ist einfach nicht die richige Beschreibung von Galoistheorie, nur eine Anwendung davon.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich bin mir nicht sicher, aber soweit ich weiß hört Florian gerade die Algebra 1 bei Herrn Wewers.
Ich bezweifle, dass er jetzt schon die Theorie die dahinter steckt verstanden hat.
Außerdem halte ich selbst auch nicht viel von so großen Artikelserien.
Aber es sei jedem freigestellt wie er Mathematik betreibt.
In diesem Sinne: Seid nett zueinander.n 😄 \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Es ist beschämend, wie manche User hier unter dem vermeintlichen Schutz der Anonymität Andere schlecht machen (siehe die vorhergehenden Posts)!
Ebenso schlimm finde ich es, dass hier (z.B. von gaussmath oder Neox) unter dem Vorwand einer sachlichen Diskussion über einen Artikel eine persönliche Abrechnung mit z.B. Martin geführt werden soll. Das ist schlicht feige und zudem unfair gegenüber dem Autor dieses Artikels.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich habe niemanden schlecht gemacht. Ich habe nur meine Kritik vorgetragen und meine Zweifel zum Ausdruck gebracht.
Es bleibt jedem frei wie er Mathematik betreibt, auch das habe ich geschrieben.
Ich, als jemand der selbst null Ahnung von der Galoistheorie hat, würde sich nie anmaßen derartige Dinge zu bewerten.
Deswegen wiederhole ich obiges: Seid wieder nett zueinander. 😄\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Einen sehr schönen Zugang zur Galoistheorie habe ich über die Reduktion der Symmetrie gefunden: hier
Leicht verständlich und dennoch mathematisch elegant, jedenfalls nach meinem Empfinden.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)
-->Grob gesprochen geht es um die Frage, unter welchen Bedingungen eine -->Polynomgleichung in einer Unbekannten auflösbar ist."
Genau das war der Ausgangspunkt und die Motivation des beginnenden 19. Jahrhunderts und Galois fand einen viel schöneren Zusammenhang.
Nur so wurde das Problem der "quintic formula" erledigt und etwas neues geschaffen.
Übrigens ist die Annahme, daß Galois die Theorie in der Nacht vor seinem Tod niederschrieb, überholt.
Vielmehr hat er sie wohl nochmal überarbeitet.
Siehe dazu auch einen Artikel in "Bild der Wissenschaft" April 1984 (glaub), wo auch schön in die Theorie der Permmutationsgruppen eingeführt wird.
Jürgen
Gespannt auf die nächsten Teile :)
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Für das erste ist didaktik ,wie man an die sache rangeht empfehlenswert,ich würde sagen fast "idioten-sicher";Es ist im poitiven sinne gemeint,danke "florianM",ich freue mich auf die folgenden serien.\(\endgroup\)
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Die Galoistheorie lernt jeder Mathematikstudent spätestens in einer Algebra-Vorlesung kennen. Sie zu verstehen, ist der Hauptgegenstand der Algebra I.
Diese kleine Artikelserie soll auf das Verständnis der Galoistheorie hin arbeiten. Bevor wir überhaupt verstehen, welche Ideen Galois hatte, müssen wir einige Vorarbeit leisten. So wird diese Serie insgesamt mindestens sieben (geplante) Kapitel beinhalten. Den Höhepunkt bildet der Artikel zur Galoistheorie.
Aber um was geht es dabei eigentlich?
Grob gesprochen geht es um die Frage, unter welchen Bedingungen eine Polynomgleichung in einer Unbekannten auflösbar ist. Galois löste nicht nur dieses Problem, sondern kombinierte und verknüpfte geschickt mathematische Methoden, die heute zum unverzichtbaren Bestandteil der Mathematik geworden sind.
Die Galoistheorie hat viele Anwendungen bei klassischen Problemen, wie etwa "Welche regulären Polygone lassen sich mit Zirkel und (unmarkiertem) Lineal konstruieren?" oder "Warum kann ein Winkel nicht dreigeteilt werden?"
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