Mathematik: Direkte Berechnung von Bernoulli-Zahlen
Released by matroid on Fr. 28. Januar 2011 08:45:44 [Statistics]
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Analysis

\(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\) Die Bernoulli-Zahlen Bi sind zunächst einmal definiert als die Koeffizienten in der Taylor-Entwicklung von: f(x)=x/(e^x -1)=sum(B_i\.x^i,i=0,\inf) wobei f(x) die erzeugende Funktion ist. Sie lassen sich am einfachsten rekursiv mittels sum((n;k)| B_k ,k=0,n-1)=0 berechnen, wobei Bo=1 ist. Hier hat W. Hecht gezeigt, wie man Summen von Potenzen ohne Rekursion berechnen kann, was ich im folgenden Artikel zum Anlass genommen habe, nach einer Möglichkeit zu suchen, die Bernoulli-Zahlen ebenso ohne Rekursion zu ermitteln.

Zur expliziten Berechnung benutze ich, dass B_0=1, B_1=-1/2 und B_(2n+1)=0 für alle natürlichen Zahlen n=1,2,3... ist. Dann lautet die Rekursion 1-(2n+1)/2+sum((2n+1;2k)\.B_(2k),k=1,n)=0 die umgeschrieben werden kann als lineares Gleichungssystem: A*B=(a_11,0,0,...,0;a_21,a_22,0,...,0;...;a_n1,a_n2,a_n3,...,a_nn)\.(B_2;B_4;...;B_2n)=1/2\.(1;3;...;2n+1) mit a_ij =(2i+1;2j) für j<=i. Die Lösung für B_2n lautet: B_2n = (2^(n-1)\.n!)/(2n+1)!\.sum((2k-1)\.a^~_kn,k=1,n), wobei a^~_kn=(-1)^(k+n)\.det(a_11,0,0,...,0;a_21,a_22,0,...,0;...;a_(k-1\,1),a_(k-1\,2),a_(k-1\,3),...,0;a_(k+1\,1),a_(k+1\,2),a_(k+1\,3),...,0;...;a_n1,a_n2,a_n3,...,a_(n\,n-1)) das kn\-te Element der Adjunkte von A ist \(Unterdeterminante von A ohne die k\-te Zeile und n\-te Spalte). Dazu ein Beispiel. Es sei B_6 gesucht, dann ist n=3, also: B_6 = (2^2\.3!)/7!\.(det((5;2),(5;4);(7;2),(7;4))-3*det((3;2),0;(7;2),(7;4))+5*det((3;2),0;(5;2),(5;4))) = 1/210\.(det(10,5;21,35)-3*det(3,0;21,35)+5*det(3,0;10,5)) = 1/210\.(245-3*105+5*15) = 1/42 bye trunx
\(\endgroup\)
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: Analysis :: Bernoulli-Zahlen :: Determinanten :: lineares Gleichungssystem :
Direkte Berechnung von Bernoulli-Zahlen [von trunx]  
Die Bernoulli-Zahlen Bi werden in diesem Artikel mittels Determinanten berechnet.
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"Mathematik: Direkte Berechnung von Bernoulli-Zahlen" | 2 Comments
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Re: Direkte Berechnung von Bernoulli-Zahlen
von: Gockel am: Fr. 28. Januar 2011 12:18:23
\(\begingroup\)Hi trunx. Die Überlegung ist nett, danke dafür. In der Praxis ist das trotzdem gleichwertig zur Rekursion, denn wie löst man praktisch ein Dreiecksgleichungssystem? Mit iteriertem Einsetzen der ersten k-1 Variablen in die k-te Gleichung (das ist quadratischer Aufwand. Vergleiche mit dem Aufwand O(n^4) deiner expliziten Formel). Einsetzen führt wiederum auf die Rekursionsformel der Bernoullizahlen, mit der begonnen wurde. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Direkte Berechnung von Bernoulli-Zahlen
von: trunx am: Fr. 28. Januar 2011 12:33:49
\(\begingroup\)Hallo Gockel, du hast sicher Recht, mir war auch klar, dass sich die Rechenzeit durch meine Darstellung nicht verkürzt. Aber unabhängig davon fand ich die Darstellung mittels Determinanten, deren Berechnung natürlich aufwendig ist, trotzdem interessant... bye trunx\(\endgroup\)
 

 
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