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Mathematik: Eine rekursive Formel für die geradzahligen Werte der Riemannschen Zetafunktion Released by matroid on Mo. 18. März 2013 15:07:46 [Statistics] [Comments] Written by shadowking - 2588 x read [Outline] Printer-friendly version -  Choose languageDE EN   \(\begingroup\) Eine rekursive Formel für die geradzahligen Werte der Riemannschen Zetafunktion Alles beginnt mit der Fourierreihe einer Rechteckpulsfunktion: $\backslash displaystyle\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{\backslash sin((2k+1)x)\}\{2k+1\}=\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$ im Bereich $]0,\backslash pi[$ . Bild 1: Fouriersumme der Rechteckfunktion bis zum 23. Summanden. Im Grenzfall unendlich vieler Summanden erhält man den Rechteckpuls. Wenn man beide Seiten dieser Gleichung von 0 bis $\backslash pi$ integriert (Integration und Summation sind aus Konvergenzgründen problemlos vertauschbar), bekommt man für die linke Seite $\backslash displaystyle\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\backslash int\_\{0\}^\{\backslash pi\}\backslash frac\{\backslash sin((2k+1)x)\}\{2k+1\}\backslash ,\; dx=\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{(2k+1)^\{2\}\}\backslash cdot\backslash left[-\backslash cos((2k+1)x)\backslash right]\_\{0\}^\{\backslash pi\}=2\backslash cdot\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{\backslash left(2k+1\backslash right)^\{2\}\}$ , während man für die rechte Seite $\backslash frac\{\backslash pi^\{2\}\}\{4\}$ erhält. Folglich ist die Summe über die reziproken Quadrate der ungeraden positiven ganzen Zahlen gleich $\backslash frac\{\backslash pi^\{2\}\}\{8\}$ und die Summe über die reziproken Quadrate aller positiven ganzen Zahlen $\backslash frac\{4\}\{3\}$ davon, und es gilt $\backslash zeta(2)=\backslash frac\{\backslash pi^\{2\}\}\{6\}$. [Edit] [To the bottom] Um auf ähnliche und unkomplizierte Weise $\backslash zeta(4)$ zu errechnen, kann man die Integration dreimal statt einmal ausführen, wobei man die obere Grenze bei den ersten beiden Integrationen variabel läßt und nach dieser neuen Variablen die nächste Integration ausführt: $\backslash displaystyle\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash pi\}\backslash int\_\{0\}^\{x\_\{2\}\}\backslash int\_\{0\}^\{x\_\{1\}\}\backslash frac\{\backslash sin((2k+1)x)\}\{2k+1\}dx\backslash ,\; dx\_\{1\}dx\_\{2\}=\backslash int\_\{0\}^\{\backslash pi\}\backslash int\_\{0\}^\{x\_\{2\}\}-\backslash frac\{\backslash cos((2k+1)x\_\{1\})\}\{(2k+1)^\{2\}\}+\backslash frac\{1\}\{(2k+1)^\{2\}\}\backslash ,\; dx\_\{1\}dx\_\{2\}$ $\backslash displaystyle\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash pi\}-\backslash frac\{\backslash sin((2k+1)x\_\{2\})\}\{(2k+1)^\{3\}\}+\backslash frac\{x\_\{2\}\}\{(2k+1)^\{2\}\}\backslash ,\; dx\_\{2\}$ $\backslash displaystyle\; =\; \backslash frac\{\backslash cos((2k+1)\backslash pi)\}\{(2k+1)^4\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{(2k+1)^4\}\; +\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{(2k+1)^2\}$ $\backslash displaystyle\; =\; \backslash frac\{-2\}\{(2k+1)^4\}\; +\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{(2k+1)^2\}$ , so daß wir für die Summation über $k$ erhalten: Somit ist $\backslash zeta(4)$ als $\backslash frac\{16\}\{15\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash pi^\{4\}\}\{96\}=\backslash frac\{\backslash pi^\{4\}\}\{90\}$ gefunden. Auf diese Weise kann man auch fortfahren und sukzessive immer zwei Integrationen mehr ausführen. Während das $2n-1$-fache Integral über die Rechteckpulsfunktion das Volumen eines $2n-1$-dimensionalen Simplex der Kantenlänge $\backslash pi$ erbringt, so daß man es zu $\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash pi^\{2n-1\}\}\{\backslash left(2n-1\backslash right)!\}$ auswerten kann, führt dieselbe Mehrfachintegration für den Term $\backslash frac\{\backslash sin((2k+1)x)\}\{2k+1\}$ auf ein gerades Polynom mit rationalen Koeffizienten in $\backslash frac\{1\}\{2k+1\}$, da die Randwerte von $\backslash frac\{\backslash pm\backslash cos((2k+1)x\_\{i\})\}\{(2k+1)^\{2i\}\}$, die nach den ungeraden Integrationsschritten auftreten, nicht verschwinden. Der höchste in diesem Polynom auftretende Exponent wird $2n$ sein, so daß man aus der Differenz von Simplexvolumen und den Summanden des Polynoms mit niedrigerem Exponenten nach Summation über $k$ eine rekursive Formel für $\backslash zeta(2n)$ erhalten kann. Genauer betrachtet hat dieses Polynom die Form $\backslash displaystyle\; (-1)^\{n-1\}\backslash cdot\backslash frac\{2\}\{(2k+1)^\{2n\}\}+\backslash sum\_\{i=1\}^\{n-1\}(-1)^\{i-1\}\backslash frac\{\backslash pi^\{2n-2i\}\}\{(2n-2i)!\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{(2k+1)^\{2i\}\}$ , so daß sich nach Summation über $k$ und Übergang zu $\backslash zeta(2i)$ ergibt: $\backslash displaystyle\; 2\backslash cdot(-1)^\{n-1\}\backslash cdot\backslash frac\{2^\{2n\}-1\}\{2^\{2n\}\}\backslash cdot\backslash zeta(2n)=\backslash frac\{\backslash pi^\{2n\}\}\{4\backslash cdot(2n-1)!\}-\backslash sum\_\{i=1\}^\{n-1\}(-1)^\{i-1\}\backslash frac\{\backslash pi^\{2n-2i\}\}\{(2n-2i)!\}\backslash cdot\backslash frac\{2^\{2i\}-1\}\{2^\{2i\}\}\backslash cdot\backslash zeta(2i)$ Das Endergebnis nach Auflösung nach $\backslash zeta(2n)$ lautet also: $\backslash displaystyle\; \{\backslash displaystyle\; \backslash zeta(2n)=\backslash frac\{(-4\backslash pi^\{2\})^\{n\}\}\{4^\{n\}-1\}\backslash cdot\backslash left(\backslash sum\_\{k=1\}^\{n-1\}\backslash frac\{(-1)^\{k-1\}\backslash cdot(4^\{k\}-1)\}\{2\backslash cdot(4\backslash pi^\{2\})^\{k\}\backslash cdot(2n-2k)!\}\backslash cdot\backslash zeta(2k)-\backslash frac\{1\}\{8\backslash cdot(2n-1)!\}\backslash right)\}$ Damit werden nun die nächsten 3 Werte berechnet: $\backslash displaystyle\; \backslash zeta(6)=\backslash frac\{-64\backslash cdot\backslash pi^\{6\}\}\{63\}\backslash cdot\backslash left(\backslash frac\{3\}\{8\backslash cdot24\backslash cdot\backslash pi^\{2\}\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash pi^\{2\}\}\{6\}-\backslash frac\{15\}\{32\backslash cdot2\backslash cdot\backslash pi^\{4\}\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash pi^\{4\}\}\{90\}-\backslash frac\{1\}\{8\backslash cdot120\}\backslash right)$ $\backslash displaystyle\; =\backslash frac\{\backslash pi^\{6\}\}\{63\}\backslash cdot\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{6\}+\backslash frac\{1\}\{6\}+\backslash frac\{1\}\{15\}\backslash right)=\backslash frac\{\backslash pi^\{6\}\}\{945\}$ , $\backslash displaystyle\; \backslash zeta(8)=\backslash frac\{256\backslash cdot\backslash pi^\{8\}\}\{255\}\backslash cdot\backslash left(\backslash frac\{3\}\{8\backslash cdot720\backslash cdot\backslash pi^\{2\}\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash pi^\{2\}\}\{6\}-\backslash frac\{15\}\{32\backslash cdot24\backslash cdot\backslash pi^\{4\}\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash pi^\{4\}\}\{90\}+\backslash frac\{63\}\{128\backslash cdot2\backslash cdot\backslash pi^\{6\}\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash pi^\{6\}\}\{945\}-\backslash frac\{1\}\{8\backslash cdot5040\}\backslash right)$ $\backslash displaystyle\; =\backslash frac\{\backslash pi^\{8\}\}\{255\}\backslash cdot\backslash left(\backslash frac\{1\}\{45\}-\backslash frac\{1\}\{18\}+\backslash frac\{1\}\{15\}-\backslash frac\{2\}\{315\}\backslash right)=\backslash frac\{\backslash pi^\{8\}\}\{9450\}$ , $\backslash displaystyle\; \backslash zeta(10)$ $=\backslash frac\{-1024\backslash cdot\backslash pi^\{10\}\}\{1023\}\backslash cdot\backslash left(\backslash frac\{3\}\{8\backslash cdot40320\backslash cdot\backslash pi^\{2\}\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash pi^\{2\}\}\{6\}-\backslash frac\{15\}\{32\backslash cdot720\backslash cdot\backslash pi^\{4\}\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash pi^\{4\}\}\{90\}+\backslash frac\{63\}\{128\backslash cdot24\backslash cdot\backslash pi^\{6\}\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash pi^\{6\}\}\{945\}-\backslash frac\{255\}\{512\backslash cdot2\backslash cdot\backslash pi^\{8\}\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash pi^\{8\}\}\{9450\}-\backslash frac\{1\}\{8\backslash cdot362880\}\backslash right)$ $\backslash displaystyle\; =\backslash frac\{\backslash pi^\{10\}\}\{1023\}\backslash cdot\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{630\}+\backslash frac\{1\}\{135\}-\backslash frac\{1\}\{45\}+\backslash frac\{17\}\{630\}+\backslash frac\{1\}\{2835\}\backslash right)=\backslash frac\{\backslash pi^\{10\}\}\{93\backslash ,555\}$ . [Edit] \(\endgroup\) [Show outline only] Get link to this article   Printer-friendly version -  Choose languageDE EN     Comments   Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei Write a comment Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen: : Analysis :: Fourierreihe :: Integration :: Rechteckpulsfunktion :: Rekursionsgleichung :: Riemannsche Zetafunktion : Eine rekursive Formel für die geradzahligen Werte der Riemannschen Zetafunktion   Herleitung einer Rekursionsformel für die Werte der Riemannschen Zetafunktion an geradzahligen Stellen. Voraussetzung: Fourierreihen, Integralrechnung. Berechnung von drei Beispielen. [Edit] [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

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Re: Eine rekursive Formel für die geradzahligen Werte der Riemannschen Zetafunktion von: shadowking am: Do. 21. März 2013 20:00:04

\(\begingroup\)Vielleicht schreibe ich mal ein wenig dazu, wie es zu diesem kurzen Artikel kam: Alle mir bekannten Berechnungen für $\zeta(2)$ sind schwieriger nachvollziehbar oder können auf höhere Werte nur mühsam übertragen werden. Eulers originaler Ansatz - Ausmultiplizieren der Produktdarstellung von $\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ und Koeffizientenvergleich mit dessen Potenzreihe - geht von der nicht leicht nachvollziehbaren Überlegung aus, durch Lage und Ordnung der Nullstellen bei $\{\pm 1, \pm 2, \ldots\}$ und die Normierung $f(0)$ = 1 sei eine Funktion $f: \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C}$ auch überall sonst eindeutig festgelegt. Will man die Idee verwenden, um auch noch $\zeta(4), \zeta(6), \ldots$ zu bestimmen, muß man kombinatorische Überlegungen anstellen, um den korrekten Wert zu erhalten. Dann gibt es die Methoden, die Integrale verwenden. Die bekannteste verwendet die Parsevalsche Identität für die Fourierreihe von x/2, $\frac{x}{2} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{\sin(kx)}{k}$, so daß zum Verständnis tieferes Wissen über Fourierreihen erforderlich ist. Zudem fiel mir auf, daß, um die höheren Terme der Zetafunktion damit zu berechnen, diese Fourierreihe zu immer höheren Potenzen erhoben wurde, aber stets nur einmal integriert wurde. Das hatte ich zuerst auch so gemacht, doch auf den ersten Blick ist nicht erkennbar, wann ein Produkt aus z.B. sechs Sinustermen im Integral von 0 bis $\pi$ Null ergibt und wann nicht. Kombinatorische Argumente für die Auswertung müssen dabei weiterhin gebracht werden. Schließlich gibt es noch Doppelintegrale, die einerseits als Summe über reziproke Quadrate, Biquadrate etc. dargestellt, andererseits durch trickreiche Transformationen ausgewertet werden können. Jedoch sind einerseits diese Transformationen nicht unmittelbar einsichtig, andererseits benötigt man für $\zeta(2n)$ auch ein $2n$-faches Integral. Bei dem Weg der Berechnung von $\zeta(2n)$, den ich hier vorstelle, fallen all diese Schwierigkeiten weg. Es wird, außer der Kenntnis um die Fourierreihe der Rechteckfunktion, lediglich ausgenutzt, daß $\int_0^{x_1} \sin((2k+1)x) \, dx = \frac{-\cos((2k+1)x)+1}{2k+1})$, daß also bei jeder weiteren Integration der Exponent des Nenners um 1 ansteigt. Daher geht bei diesem Ansatz $\zeta(2n)$ als Linearkombination aus kleineren geradzahligen Zeta-Werten hervor, was ich so noch nirgends gefunden habe, und alle kombinatorischen Überlegungen erübrigen sich. Daher fand ich dieses Ergebnis mitteilenswert. Kennt jemand noch einfachere und schnellere Wege, den exakten Wert für $\zeta(2n)$ herzuleiten?\(\endgroup\)