Mathematik: Quasi-arithmetische Mittel und ihre Hintereinanderausführung
Released by matroid on Fr. 05. Juli 2013 17:17:45 [Statistics]
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Analysis

\(\begingroup\) Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist eine sehr wichtige und bekannte Ungleichung aus der Analysis, die vielfältig Anwendung findet. In diesem Artikel werden wir uns zunächst damit beschäftigen wie man allgemeinere Mittel definieren kann und kommen dadurch auf den Begriff des quasi-arithmetischen Mittels. Im zweiten Teil wird es um Ungleichungen zwischen quasi-arithmetischer Mittel gehen und wir werden diese auf die JENSENsche Ungleichung zurückführen. Auf dieser Grundlage aufbauend, betrachten wir Hintereinanderausführungen quasi-arithmetischer Mittel und untersuchen in welchen Fällen dann eine allgemeingültige Ungleichung auftritt.

1 Quasi-arithmetische Mittel 1.1 Was ist ein Mittelwert? Bevor wir die Quasi-arithmetischen Mittel herleiten können, brauchen wir einen Begriff, der die grundlegenden Eigenschaften von Mittelwerten zusammenfasst. Es stellt sich die Frage: Was ist ein Mittel und welche Eigenschaften sollte es erfüllen? Ein \stress Mittel \normal ist eine Funktion f:I^n->\IR mit einem Intervall I\subsetequal\ \IR, die n reellen Zahlen a_1, a_2, \cdots, a_n\el\ \I eine reelle Zahl a zuordnet. Dabei sollen folgende Bedingungen gelten: 1. Min(a_1,\cdots,a_n)<=a<=Max(a_1,\cdots,a_n) 2. Wenn a_1<=b_1, \cdots, a_n<=b_n, dann gilt für die zugehörigen Mittel a und b die Ungleichung a<=b. (Monotonie) Zusätzlich kann man noch die Symmetrie in den Variablen fordern. Insbesondere ist das Mittel n gleicher Zahlen wieder die Zahl selbst und der Mittelwert ist stets wieder im Intervall I. Beispiele für Mittel sind: das arithmetische Mittel f:\IR^n->\IR, f(a_1,\cdots, a_n)=(a_1+\cdots+a_n)/n das geometrische Mittel f:(\IR^+)^n->\IR, f(a_1,\cdots, a_n)=root(n,a_1 \cdots a_n) das harmonische Mittel f:(\IR^+)^n->\IR, f(a_1,\cdots, a_n)=n/(1/a_1+\cdots + 1/a_n) das Maximum (bzw. das Minimum) der Zahlen als Funktion f:\IR^n->\IR 1.2 Ein physikalischer Ansatz Nun versuchen wir möglichst viele Funktionen zu finden, welche die Eigenschaften eines Mittelwertes erfüllen und in einer einfachen Form darstellbar sind. Dazu betrachten wir zwei Mittel, die in natürlicher Weise in der Physik auftauchen. Das arithmetische Mittel und das harmonische Mittel tauchen bei der Berechnung von Durchschnittsgeschwindigkeiten auf. Ein Auto bewege sich in positiven Zeitintervallen der Länge t_i jeweils eine Strecke s_i vorwärts, wobei i=1, \cdots, n. Man erhält die (Durchschnitts-)Geschwindigkeiten v_i=s_i/t_i auf den Abschnitten. Die Durchschnittsgeschwindigkeit v auf der gesamten Strecke ergibt sich durch: v=(s_1+\cdots+s_n)/(t_1+\cdots+t_n)=(t_1 s_1/t_1+\cdots+t_n s_n/t_n)/(t_1+\cdots+t_n)=(s_1+\cdots+s_n)/(s_1 t_1/s_1+\cdots+s_n t_n/s_n) In den Fällen t_1=\cdots=t_n bzw. s_1=\cdots=s_n erhält man in den letzten beiden Ausdrücken v=(v_1+\cdots+v_n)/n bzw. v=n/(1/v_1+\cdots 1/v_n) und damit das arithmetische und harmonische Mittel. Wenn man die v_i=s_i/t_i bereits in der vorherigen Zeile ersetzt, erhält man die mit den Zeit- bzw. Wegabschnitten gewichteten Mittel. Wir wollen nun diesen Ansatz verallgemeinern und gehen dafür von einer Größe a aus, die von b und c abhängt. Weiterhin mögen b und c additive Größen sein und lediglich positive Werte annehmen. Sei also a=f(b,c) und a_i=f(b_i,c_i), wobei b=b_1+\cdots+b_n und c=c_1+\cdots+c_n. a soll sich nun als Mittelwert der a_i auffassen lassen. Wählen wir nun b_1=\cdots=b_n und c_1=\cdots=c_n, so folgt a_i ist konstant und damit f(b,c)=f(nb_i,nc_i)=a=a_i=f(b_i,c_i). Wenn sich für alle natürlichen n ein Mittel erzeugen lässt, so folgt f(nb_i,nc_i)=f(b_i,c_i)=f(mb_i,mc_i) und mit der Substitution b_i->x/n und c_i->y/n ergibt sich f(x,y)=f(m/n x, m/n y). Für rationale y folgt f(x,y)=f(x/y,1). Nehmen wir eine stetige Funktion f an, so gilt stets f(x,y)=f(x/y,1) und mit g(x):=f(x,1) ergibt sich: a=g((b_1+\cdots+b_n)/(c_1+\cdots+c_n)) und a_i=g(b_i/c_i). Angenommen g(z)g(x)=g(y). Demnach erzeugen höchstens monotone Funktionen g geeignete Mittelwerte. Wir wollen uns auf streng monotone Funktionen begrenzen, damit wir die Umkehrfunktion bilden können und eindeutige Mittelwerte erhalten. Wir erhalten: a=g((b_1+\cdots+b_n)/(c_1+\cdots+c_n))=g((c_1 g^(-1)(a_1)+\cdots+c_n g^(-1)(a_n))/(c_1+\cdots+c_n)). 1.3 Quasi-arithmetische Mittel Dies gibt die Motivation zur Definition von quasi-arithmetischen Mitteln, wobei jedoch üblicherweise die Inverse außen steht: Sei f:I->J mit Intervallen I,J\subsetequal\ \IR eine streng monotone, stetige Funktion. Dann heißt M_f(a_1,\cdots,a_n):=f^(-1)((f(a_1)+\cdots+f(a_n))/n) das \stress quasi-arithmetische Mittel \normal zu f (kurz f-Mittel) und a_1, \cdots, a_n \el\ I. Sind \lambda_1, \cdots, \lambda_n nicht-negative reelle Zahlen mit \lambda_1+ \cdots+ \lambda_n=1, so erhält man das gewichtete quasi-arithmetische Mittel f^(-1)(\lambda_1 f(a_1)+\cdots+\lambda_n f(a_n)). Man überzeugt sich leicht, dass quasi-arithmetische Mittel die Mitteleigenschaften erfüllen und im ungewichteten Fall symmetrisch sind. Man erkennt weiter, dass man durch eine geeignete Wahl von J stets surjektive Funktionen f annehmen kann. Die Funktionen af+b mit a!=0 erzeugen die gleichen quasi-arithmetischen Mittel wie f, sodass man sich auf streng monoton steigende Funktionen beschänken kann. Beispiele für quasi-arithmetische Mittel sind: das arithmische Mittel mit f:\IR->\IR, f(x)=x das quadratiche Mittel mit f:\IR^(+) -> \IR^(+) f(x)=x^2 das geometrische Mittel mit f:\IR^(+) -> \IR f(x)=log_b(x) (b>0, b!=1) sowie das harmonische Mittel mit f:\IR^(+)->\IR^(+) f(x)=1/x. Allgemeiner sind die Potenzmittel durch f:\IR^(+) -> \IR^(+), f(x)=x^p für p!=0 definiert. Das Minimum und das Maximum sind kein quasi-arithmetisches Mittel.
2 Ungleichungen zwischen quasi-arithmetischen Mittel 2.1 Konvexität und JENSENsche Ungleichung Wir wollen uns in diesem Abschnitt damit beschäftigen, wann zwei quasi-arithmetische Mittel gegeneinander abgeschätzt werden können. Dazu benötigen wir zunächst den Begriff der Konvexität. Eine Funktion f:I->\IR mit einem Interval I\subsetequal\ \IR heißt \stress konvex \normal, wenn für 0<\lambda<1 und x,y\el\ I stets \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)>=f(\lambda x+(1-\lambda) y) gilt. Geometrisch bedeutet dies, dass jede Sehne über dem Funktionsgraphen liegt. Konkave Funktionen sind Funktionen, welche die Ungleichung mit <= erfüllen. Konvexe Funktionen erfüllen die \stress JENSENsche Ungleichung \normal: Ist f:I->\IR konvex und gilt für nicht-negative \lambda_1, \cdots, \lambda_n mit \lambda_1+ \cdots+ \lambda_n=1, dann gilt für x_1, \cdots x_n \el\ I stets \lambda_1 f(x_1)+ \cdots \lambda_n f(x_n) >= f(\lambda_1 x_1+ \cdots +\lambda_n x_n) Das bedeutet, dass der gewichtete Schwerpunkt von n Punkten des Funktionsgraphen stets über dem Graphen liegt. Die Ungleichung lässt sich über eine einfache Induktion beweisen, denn es gilt, falls \lambda_n !=1: \lambda_1 f(x_1)+ \cdots \lambda_n f(x_n) = (\lambda_1+\cdots +\lambda_(n-1))((\lambda_1 f(x_1)+ \cdots +\lambda_(n-1) f(x_(n-1)))/(\lambda_1+\cdots +\lambda_(n-1)))+\lambda_n f(x_n) >= (\lambda_1+\cdots +\lambda_(n-1))f((\lambda_1 x_1+ \cdots +\lambda_(n-1) x_(n-1))/(\lambda_1+\cdots +\lambda_(n-1)))+\lambda_n f(x_n) >=f(\lambda_1 x_1+ \cdots +\lambda_(n-1) x_(n-1)+\lambda_n f(x_n)) Dabei wird zunächst der Fall von n-1 Variablen verwendet und dann die Ungleichung für zwei Variablen angewandt, die zugleich die Konvexität ist. 2.2 Eine schwächere Bedingung Man kann nachweisen, dass konvexe Funktionen auf offenen Intervallen stets stetig sind. Wir wollen nun nachweisen, dass stetige Funktionen, welche die Konvexitätsbedingung für zwei Vorfaktoren 1/2 erfüllen, bereits selbst konvex sind. Sei also f:I->\IR stetig und 1/2 f(x)+1/2 f(y) >= f((x+y)/2) für alle x, y \el\ I. Nach vollständiger Induktion wie oben folgt die Aussage für beliebige Zweierpotenzen: (f(x_1)+ \cdots f(x_(2^n)))/(2^n) = ((f(x_1)+ \cdots + f(x_(2^(n-1))))/(2^(n-1))+(f(x_(2^(n-1)+1))+ \cdots f(x_(2^n)))/(2^(n-1)))/2 >= (f((x_1+\cdots + x_(2^(n-1)))/2^(n-1))+f((x_(2^(n-1)+1)+\cdots + x_(2^n))/2^(n-1)))/2 >= f((x_1+\cdots + x_(2^n))/2^n) Wir zeigen nun, dass Konvexität gilt. Seien also x_1, \cdots, x_n und \lambda_1, \cdots, \lambda_n wie in der JENSENschen Ungleichung gegeben. Wähle nun Folgen natürlicher Zahlen a_(ij) mit i=1, \cdots , n und j=1, 2, \cdots , so dass lim(j->\inf, a_(ij)/(2^j))=\lambda_i und a_(1j)+\cdots +a_(nj)=2^j für alle natürlichen Zahlen j. Man kann zum Beispiel a_(ij)=floor(2^j \lambda_j) für j=1, \cdots n-1 und a_(in) entsprechend dazu wählen. Wäre nun \lambda_1 f(x_1)+ \cdots \lambda_n f(x_n) < f(\lambda_1 x_1+ \cdots \lambda_n x_n), dann gilt wegen der Stetigkeit von f bereits a_(1j)/2^j f(x_1)+ \cdots a_(nj)/2^j f(x_n) < f(a_(1j)/2^j x_1+ \cdots +a_(nj)/2^j x_n) für j hinreichend groß. Dies widerspricht jedoch der obigen Ungleichung für 2^j. Damit gilt die JENSENsche Ungleichung und damit auch insbesondere Konvexität. Die Schlussweise kann auch entsprechend abgewandelt werden, wenn stets \lambda f(x)+(1-\lambda) f(y) >= f(\lambda x+(1-\lambda) y) für alle x, y \el\ I und festes 0<\lambda<1 gilt. Man erkennt an dieser Argumentation, dass der diskrete Fall für zwei Variablen bereits den kontinuierlichen Fall für beliebig viele Variablen impliziert. Insbesondere folgt aus dem Fall gleichgroßer Gewichte (1/n) der allgemeine Fall für beliebige Gewichte. Bei unstetigen Funktionen kann man Gegenbeispiele konstruieren. 2.3 Ungleichungen zwischen quasi-arithmetischen Mitteln Nun kommen wir zur eigentliche Frage dieses Abschnitts. Wir wollen ab sofort stets von streng monoton steigenden Funktionen ausgehen, wenn quasi-arithmetische Mittel gegeben sind. Seien f:I->J_f und g:I->J_g zwei surjektive streng monoton steigende Funktionen. In welchem Fall gilt M_f(a_1,\cdots , a_n)>= M_g(a_1,\cdots, a_n) für alle a_1, \cdots, a_n \el\ I? Sei h:=f\circ g^(-1) : J_g->J_f. Also ist h streng monoton steigend und h^(-1)=g\circ f^(-1). Wendet man g auf die Ungleichung an, so wird diese in die äquivalente Ungleichung M_h(g(a_1),\cdots , g(a_n))=g(f^(-1)((f(g^(-1)(g(a_1)))+\cdots +f(g^(-1)(g(a_n))))/n)) =g(M_f(a_1,\cdots,a_n))>=g(M_g(a_1,\cdots ,a_n))=(g(a_1)+\cdots +g(a_n))/n überführt. Die Gültigkeit der Ungleichung von zwei quasi-arithmetischen Mittel reduziert sich also auf eine Ungleichung von einem quasi-arithmetischem Mittel und dem arithmetischem Mittel. Wenden wir nun auf die Ungleichung die Funktion h an, so erhält man die äquivalente Ungleichung: (h(g(a_1))+\cdots +h(g(a_n)))/n >=h((g(a_1)+\cdots +g(a_n))/n). Dies ist die Jensensche Ungleichung, welche genau dann gilt (g surjektiv), wenn h auf J_g konvex ist. Wir erhalten den ersten Satz: Sind f:I->J_f und g:I->J_g zwei surjektive streng monoton steigende Funktionen, so gilt M_f(a_1,\cdots , a_n)>= M_g(a_1,\cdots, a_n) für alle a_1, \cdots, a_n \el\ I genau dann, wenn h:=f\circ g^(-1) : J_g->J_f konvex ist. Wir erhalten dadurch eine partielle Ordnung auf den streng monotonen Funktionen auf einem Intervall I modulo der Äquivalenzrelation, die durch f~g, wenn f=ag+b mit a!=0 für geeignete a und b gilt, gegeben ist. Man erkennt, dass eine Funktion genau dann konvex ist, wenn ihre Umkehrung konkav ist. Wenn h zweimal differenzierbar ist, so ist die Konvexität äquivalent zu h''(x)>=0. (Konkavität h''(x)<=0) Dies überträgt sich bei differenzierbarem f und g auf f'' g' >= g'' f' bzw. mit f'!=0 und g'!=0 auf die Ungleichung f''/f'>=g''/g'. Bei den Potenzmitteln erhält man dann (+-x^p)''/(+-x^p)'=(p-1)/x und damit den gleichen Ausdruck für p>0 und p<0. Für das geometrische Mittel ergibt sich (log x)''/(log x)'=-1/x. Folglich sind die Potenzmittel monoton mit p geordnet und an der Stelle p=0 ordnet sich das geometrische Mittel ein.
3 Ungleichungen bei Hintereinanderausführung 3.1 Hintereinanderausführung quasi-arithmetischer Mittel In diesem Abschnitt kommen wir zu dem Hauptresultat des Artikels. Es wird eine Ungleichung von Hintereinanderausführungen von quasi-arithmetischen Mitteln nachgewiesen. Zunächst beobachten wir, dass für ein f:I->J stets M_f(M_f(a_(11),\cdots ,a_(1n)),M_f(a_(21),\cdots ,a_(2n)), \cdots, M_f(a_(m1),\cdots,a_(mn))) = M_f(a_(11),\cdots, a_(1n), a_(21), \cdots, a_(mn)) gilt, wobei alle Einträge in I seien. Wir definieren nun für zwei Funktionen f:I->J_f und g:I->J_g und eine m\cross\ n - Matrix A\el\ I^(m\cross\ n) die \stress Hintereinanderausführung der quasi-arithmetischen Mittel \normal definiert durch f und g zur Matrix A durch M_((f,g))(A):=M_f(M_g(a_(11),\cdots , a_(1n)),\cdots , M_g(a_(m1),\cdots , a_(mn)). Die Hintereinanderausführung bildet demnach zunächst die g-Mittel der Zeilen und führt danach das f-Mittel über die Ergebnisse dieser Mittel aus. Man erhält ein Mittel, welches jedoch i.A. nicht symmetrisch ist. Eine gewichtete Hintereinanderausführung erhält man, wenn man M_f und M_g mit Gewichten versieht. Dabei sollen bei dem mehrfach vorkommendem M_g stets die gleiche Wichtung angewandt werden. Wir wollen nun Ungleichungen der Form M_((g,f))(A) >= M_((f,g))(A^T) betrachten. Setzt man in A zeilenweise bzw. spaltenweise gleiche Werte ein, so erhält man Gleichheit (M_f=M_f bzw. M_g=M_g). Setzt man in ein quadratisches A nur n verschiedene Werte a_1, \cdots , a_n ein, sodass in jeder Zeile und Spalte jeder Wert genau einmal vorkommt, so ist die Ungleichung äquivalent zu M_f(a_1,\cdots ,a_n)>=M_g(a_1,\cdots ,a_n). Diese bereits untersuchte Ungleichung ist demnach ein Spezialfall. Betrachtet man die nicht transponierte Ungleichung M_((g,f))(A) >= M_((f,g))(A), so würde man durch Einsetzen von zeilenweisen oder spaltenweisen gleichen Werten sowohl M_f(a_1,\cdots ,a_n)>=M_g(a_1,\cdots ,a_n) als auch M_g(a_1,\cdots ,a_n)>=M_f(a_1,\cdots ,a_n) erhalten, sodass M_f und M_g gleich sein müssten. 3.2 Untersuchung der Ungleichung Wir gehen wieder ähnlich wie bei der Ungleichung zwischen einfachen quasi-arithmetischen Mitteln vor. Zunächst reduziert sich das Problem durch die Substitution h:=f\circ\ g^(-1) und ersetzen von A durch g(A) auf die Ungleichung M_(id,h)(A)>=M_(h,id)(A^T), wobei h nach obiger Bemerkung konvex sein muss. Ausgeschrieben bedeutet dies, wenn M_(id) das arithmetische Mittel bezeichnet: M_(id)(M_h(a_(11),\cdots ,a_(1n)),\cdots ,M_h(a_(m1),\cdots ,a_(mn))>=M_h(M_(id)(a_(11),\cdots, a_(m1)),\cdots ,M_(id)(a_(n1),\cdots ,a_(mn))) Die Ungleichung entspricht nun einer Art JENSENschen Ungleichung in m Argumenten aus dem \IR^n zur Funktion h^(-1)((h(x_1)+\cdots + h(x_n))/n): \IR^n -> \IR. Wir werden nun nachweisen, dass bereits die Gültigkeit der Ungleichung für 2\cross\2 -Matrizen die allgemeine Ungleichung impliziert. Es gelte also M_(id,h)(A)>=M_(h,id)(A^T) für jede 2\cross\ 2 - Matrix mit Werten aus I. Wir beweisen die Ungleichung mit vollständiger Induktion für 2^k\cross\ 2^l - Matrizen. Für k=0 und l=0 wird die Ungleichung eine Identität und k=1, l=1 ist die Voraussetzung. Gelte also die Ungleichung für Matrizen A der Größe 2^i\cross\ 2^j, wobei i<=k und j<=l und i!=k oder j!=l. Wir zeigen hier nur die Induktion nach k, da die andere Induktion ähnlich verläuft. Sei also A\el\ I^(2^k\cross\ 2^l). Schreibe A=(B;C) mit B,C\el\ I^(2^(k-1)\cross\ 2^l). Nach Umschreiben des Ausdrucks und Anwendung der Induktionsvoraussetzung folgt: M_((id,h))(A)=M_(id)(M_((id,h))(B),M_((id,h))(C))>=M_(id)(M_((h,id))(B^T),M_((h,id))(C^T)). Schreibe nun B^T=(b_1^T, \cdots, b_(2^k)^T)^T und C^T=(c_1^T, \cdots, c_(2^k)^T)^T mit Zeilenvektoren und definiere die Zeilenvektoren B^~:=(M_(id)(b_1), \cdots , M_(id)(b_(2^k))) sowie C^~:=(M_(id)(c_1), \cdots , M_(id)(c_(2^k))) mit den arithmetischen Mitteln als Komponenten. Nun ergibt sich M_(id)(M_((h,id))(B^T),M_((h,id))(C^T))=M_(id,h)(((B^~)^T , (C^~)^T)^T)>=M_(h,id)(((B^~)^T , (C^~)^T)) =M_(h,id)((B^T, C^T))=M_(h,id)(A^T). Es sei hier bemerkt, dass dies genau dem Induktionsargument zur JENSENschen Ungleichung entspricht. An der Symmetrie zwischen f und g in der ursprünglichen Ungleichung erkennt man, dass diese einfache Schlussweise nicht nur für die Anzahl der m Argumente sondern auch für die Dimension n zulässig ist. Schreibt man in eine solche Matrix eine Zeile mehrfach (n-fach), so kann man dies auch so interpretieren, dass man die Matrix mit einfacher Zeile nimmt und bei Mitteln die spaltenweise genommen werden die Einträge, die zu dieser Zeile gehören, mit n-fachem Gewicht gebildet werden. Entprechend verhält es sich bei mehrfachen Spalten bei Mitteln über die Zeilen. Die Gewichte werden also separat für die Spalten und Zeilen gegeben. Sie sind nicht-negativ und ergeben jeweils in Summe 1. Dieses Verhalten stimmt mit der obigen Definition von gewichteten Mitteln überein und man erhält durch einen geeigneten Grenzübergang wie in Abschnitt 2.2, dass jedes Mittel zu einer m\cross\ n - Matrix mit Gewichten für genügend große k und l beliebig genau angenähert werden kann. Da die Ungleichung diese Umformungen respektiert, folgt die Ungleichung für beliebige m\cross\ n - Matrizen mit Gewichten. Wir erhalten den folgenden Satz: Sind f:I->J_f und g:I->J_g zwei streng monoton wachsende, surjektive Funktionen, dann gilt M_((g,f))(A) >= M_((f,g))(A^T) für alle Matrizen A\el\ I^(m\cross\ n), gegebenenfalls versehen mit Gewichten, genau dann, wenn für h:=f\circ\ g^(-1) die Funktion M_h(x,y)=h^(-1)((h(x)+h(y))/2): J_g -> J_g konvex ist oder äquivalent dazu die Ungleichung für alle 2\cross\ 2 - Matrizen gilt. 3.3 Charakterisierung bei Differenzierbarkeit und Folgerungen Zuletzt wollen wir die Aussage noch für streng monotone, konvexe Funktionen h untersuchen, die zweimal stetig differenzierbar sind und deren zweite Ableitung nicht verschwindet (also h''>0). Daraus können wir zwei prominente Ungleichungen herleiten. Wir untersuchen also die Konvexität von M_h(x,y). Aus der Analysis ist bekannt, dass die Konvexität der positiven Semidefinitheit der Hessematrix entspricht. Nach einiger Rechnung erhält man, dass diese äquivalent zur Ungleichung h'(M_h(x,y))^2/h''(M_h(x,y))>=(h'(x)^2/h''(x)+h'(y)^2/h''(y))/2 ist. Wenn die Funktion h'^2/h'' in einem Intervall streng monoton ist, so ist die Ungleichung äquivalent zu M_((h^~)^(-1))(h'(x)^2/h''(x),h'(y)^2/h''(y))>=(h'(x)^2/h''(x)+h'(y)^2/h''(y))/2 mit h^~=h'^2/h''\circ\ h^(-1), das heißt (h^~)^(-1) muss konvex sein bzw. h^~ muss konkav sein. Nimmt die Funktion h'^2/h'' ein echtes lokales Minimum an, so erhält man offensichtlich einen Widerspruch, während bei einem lokalen Maximum oder in konstanten Bereichen die Aussage wegen der Monotonie von M_h bereits aus der Ungleichung in den streng monotonen Bereichen folgt. (Unter einem echten lokalem Minimum verstehen wir hier eine Stelle, sodass links davon und rechts davon ein größerer Wert existiert.) Wir erhalten das in einem Satz fest: Sei h eine zweimal stetig differenzierbare, streng monoton steigende, konvexe Funktion h mit nicht verschwindender zweiter Ableitung. Dann ist M_h(x,y) genau dann konvex, wenn h'^2/h'' kein echtes lokales Minimum besitzt und h'^2/h''\circ\ h^(-1) konkav ist. Ist h hinreichend oft differenzierbar, dann entspricht die Konkavität von h'^2/h''\circ\ h^(-1) der Ungleichung h''^2 h''' + h' h'' h'''' >= 2 h' h'''^2. Beispiele: 1. Für die Funktion x^p mit p>1 sind alle Bedingungen erfüllt und man erhält die MINKOWSKIsche Ungleichung sum((sum(a_(ij)^p,j=1,n)/n)^(1/p),i=1,m)/m >= (sum((sum(a_(ij),i=1,m)/m)^p,j=1,n)/n)^(1/p). 2. Die Exponentialfunktion erfüllt ebenso alle Bedingungen des Satzes, sodass der (natürliche) Logarithmus die umgekehrte Ungleichung erfüllt. Es gilt für positive Einträge: sum(e^(sum(ln(a_(ij)),j=1,n)/n),i=1,m)/m <= e^(sum(ln(sum(a_(ij),i=1,m)/m),j=1,n)/n) Schreiben wir die gewichtete Variante mit n=2 und Gewichten 1/p und 1/q mit 1/p+1/q=1 auf, so erhalten wir die HÖLDERsche Ungleichung: sum(a_(i1)^(1/p) a_(i2)^(1/q),i=1,m)/m <= (sum(a_(i1),j=1,m)/m)^(1/p) (sum(a_(i2),j=1,m)/m)^(1/q)
Schlussbemerkungen Als Literatur zu diesem Artikel ist das Standardwerk zu Ungleichungen "Inequalities" von Hardy, Polya und Littlewood zu nennen. Dort kommen alle Techniken und wesentlichen Ergebnisse des Artikels vor, auch wenn die Ungleichungen der Hintereinanderausführung dort nicht in dieser Allgemeinheit extra aufgeführt ist. Die Arbeit entstand jedoch praktisch ohne Literatur im Wesentlichen vor etwa 3-4 Jahren. Falls jemand weitere Literatur mitteilen könnte, die sich mit diesen Hintereinanderausführungen beschäftigt, wäre ich dankbar. Aufbauend auf diesen Artikel könnte man zunächst nicht-differenzierbare Funktionen h betrachten und die Ungleichung mit Hintereinanderausführung in diesem Fall untersuchen. Weiter ist es natürlich möglich die Funktionen f und g auf der rechten Seite durch andere Funktionen zu ersetzen und somit Ungleichungen zwischen beliebigen Hintereinanderausführungen zu untersuchen. In dem Zusammenhang ist auch die Ungleichung über elementarsymmetrische Mittel (z.B. Pirlscher Hammer) bekannt, die man auch als Hintereinanderausführung von Mitteln auffassen kann. Möglicherweise kann man auch diese Ungleichung mit quasi-arithmetischen Mitteln verallgemeinern, auch wenn dazu sicherlich ganz andere Methoden notwendig sind. Zuletzt sei noch einmal auf die Induktion in Abschnitt 3.2 verwiesen, in der man die Parallele zwischen der Anzahl der Variablen und der Dimension erkennt. Gilt dieser Zusammenhang auch in einer allgemeineren Art und Weise? Christoph Schulze alias rocolo
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Quasi-arithmetische Mittel und ihre Hintereinanderausführung [von rocolo]  
Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist eine sehr wichtige und bekannte Ungleichung aus der Analysis, die vielfältig Anwendung findet. In diesem Artikel werden wir uns zunächst damit beschäftigen wie man allgemeinere Mittel definieren kann und kommen dadurch auf den Begrif
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"Mathematik: Quasi-arithmetische Mittel und ihre Hintereinanderausführung" | 2 Comments
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Re: Quasi-arithmetische Mittel und ihre Hintereinanderausführung
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 26. August 2013 13:56:51
\(\begingroup\)Hallo Christoph, kennst du die Betrachtung des Pirlschen Hammers in Matroid, die Sonnhard Graubner verallgemeinert behandelt hat ? Ich selbst war "Leidtragender" des Hammers 1970 in Berlin und bekamm wie viele 1 Punkt, mittlerweile kenne ich den Elementar- Beweis von Prof. Pirl, bei dem die Ungleichung in 2 Teilungleichungen gesplittet bewiesen wird. Kürzlich habe ich nach allgemeinen Betrachtungen nicht symmetrischer Ungleichungen gesucht, als Sonnhard eine solche Aufgabe in Leipzig mit Schülern besprach, der "Trickbeweis" war nicht so befriedigend (den ich selbst nicht gefunden habe). Ich habe etwas russische Literatur zu Ungleichungen, die mir in dem Fall aber nicht weiterhalf. Die Ungleichung war: beweise für a+b+c+d=4 und a,b,c,d>=0 die asymmetrische Beziehung abc+abd+acd+bcd <= ac+bd + (ab+ad+bc+cd)/2 (der Pirlsche Hammer hilft hier nicht) Gruss Frank\(\endgroup\)
 

Re: Quasi-arithmetische Mittel und ihre Hintereinanderausführung
von: rocolo am: Di. 10. September 2013 19:22:59
\(\begingroup\)Hallo Frank, die Betrachtungen zu den elementarsymmetrischen Mitteln mit Vieta sind mir bekannt. Als ich mich damals mit Ungleichungen beschäftigt habe, habe ich versucht auch diese zu verallgemeinern. Mein Ansatz war damals Polynome in mehreren Variablen zu nehmen. Das Ergebnis war aber, soweit ich mich erinnere, nicht sehr hilfreich. Es wäre interessant, ob man es so modellieren kann, dass andere quasi-arithmetische Mittel entstehen. Bei der nichthomogenen Ungleichung hilft es die rechte Seite mit a+b+c+d zu multiplizieren und die linke Seite mit 4. Danach ist es egal, ob die Nebenbedingung gilt oder nicht, da man alles skalieren kann. Im Mathelager in Ilmenau hatte Wolfgang Moldenhauer darüber einen Vortrag gehalten. Die entstehende Ungleichung kann man mittels Ausmultiplizieren und AM>=GM beweisen. Damit geht übrigens auch der Pirlsche Hammer (Potenzieren). Wenn man das unter Ausnutzen der Symmetrien mit Summenzeichen aufschreibt, geht das sogar vom Aufwand (das habe ich von Naphthalin, der da Experte ist). Viele Grüße, Christoph\(\endgroup\)
 

 
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