Mathematik: Partialbruchzerlegung von 1/(1+x^N)
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Analysis

\(\begingroup\) Etwa für das Integral int(1/(1+x^N),x) lässt sich die Partialbruchzerlegung von 1/(1+x^N) heranziehen; diese ist Gegenstand des folgenden Artikels.

Da, je nachdem, ob N gerade oder ungerade ist, Unterschiedliches für die Wurzeln von 1 + x^N gilt, ist es sinnvoll, in die Fälle N = 2n bzw. N = 2n+1 zu unterteilen. \light\ Partialbruchzerlegung von 1/(1+x^2n) Wir wissen 1 + x^2n hat 2n komplexe Wurzeln \w_1, \w_2, ..., \w_(2n) \(von denen keine reell ist\), wobei jede Wurzel zu einem Paar komplexer Konjugate gehört. Für die komplexe PBZ gilt demnach 1/(1+x^2n) = sum(A_k/(x-\w_k),k=1,2n) wovon wir die Koeffizienten A_k und die Nennernullstellen \w_k benötigen. \* Nennernullstellen__: Aus dem Einheitswurzelproblem 1+x^2n = 0 <=> -1 = exp((2k-1)\pi i) = x^2n erhalten wir \w_k = exp(i*\pi*(2k-1)/(2n)) |(k = 1,2,...,2n) Durch Einsetzen zeigt man leicht (\w_k = \w^-_(2n - (k-1)))____ Es ist also \w_(n+1) = \w^-_(n) , \w_(n+2) = \w^-_(n-1) , ..., \w_(2n-1) = \w^-_(2) , \w_(2n) = \w^-_1 \* Koeffizienten__: Multipliziert man die obige Gleichung mit x-\w_L, wird (x-\w_L)/(1+x^2n) = sum(A_k * (x-\w_L)/(x-\w_k),k=1,2n) = A_L + sum(A_k*(x-\w_L)/(x-\w_k),array(k=1;(k!=L)),2n) Betrachten wir nun den Grenzübergang x->\w_L. LS__: Da ein Grenzwert des Typs " 0/0 " vorliegt, wird mit der Regel von L'Hospital lim(x->\w_L,((x-\w_L)/(1+x^2n))) = 1/(2n*\w_L^(2n-1)) RS__: lim(x->\w_L,(A_L + sum(A_k*(x-\w_L)/(x-\w_k),array(k=1;(k!=L)),2n) )) = A_L Damit gilt also für die Koeffizienten A_k = 1/(2n*\w_k^(2n-1)) = 1/2n * \w_k/\w_k^2n = (-\w_k/2n = A_k)____ Mit diesen Ergebnissen können wir die PBZ folgendermaßen umschreiben: 1/(1+x^2n) = sum(A_k/(x-\w_k),k=1,2n) = -1/(2n) sum(\w_k/(x-\w_k),k=1,2n) = -1/(2n) sum((\w_k/(x-\w_k) + \w^-_k/(x-\w^-_k)),k=1,n) = -1/(2n) sum(([\w_k + \w^-_k|]x - 2 \w_k \w^-_k)/(x^2 - [\w_k + \w^-_k|]x + \w_k \w^-_k),k=1,n) |\|\small z + z^- = 2 Re(z), z*z^- = abs(z)^2 = -1/(2n) sum((2 Re(\w_k) x - 2 abs(\w_k)^2)/(x^2 - 2 Re(\w_k) x + abs(\w_k)^2),k=1,n) \small Mit Re(\w_k) = Re(exp(i*\pi*(2k-1)/(2n))) = cos(\pi*(2k-1)/(2n)) ; abs(\w_k) = 1 => ( 1/(1+x^2n) = -1/n sum((cos((2k-1)* \pi/(2n)) x - 1)/(x^2 - 2 cos((2k-1)* \pi/(2n)) x + 1),k=1,n) ) ____ \small Beispiel__: \small |1/(1+x^6) = -1/3 sum((cos((2k-1)* \pi/6) x - 1)/(x^2 - 2 cos((2k-1)* \pi/6) x + 1),k=1,3) \small = -1/3 stammf( (cos(\pi/6)x - 1)/(x^2 - 2cos(\pi/6)+1) + (cos(\pi/2)x-1)/(x^2 - 2cos(\pi/2)x+1) + (cos(5 \pi/6)x -1)/(x^2 - 2 cos(5 \pi/6) + 1) ) \small = -1/3 stammf( (root(3)/2 x -1)/(x^2 - root(3) + 1) + (-1)/(x^2 + 1) + (-root(3)/2 x - 1)/(x^2 + root(3) + 1)) = 1/(1+x^6) \light\ Partialbruchzerlegung von 1/(1+x^(2n+1)) Wir wissen 1 + x^(2n+1) hat 2n+1 komplexe Wurzeln \w_1, \w_2, ..., \w_(2n+1), wobei \w_k = exp(i*\pi*(2k-1)/(2n+1)) |(k = 1,2,...,2n+1) gilt, und, mit Ausnahme von \w_(n+1) = -1, jede Wurzel zu einem Paar komplexer Konjugate gehört. Für die komplexe PBZ gilt wieder 1/(1+x^(2n+1)) = sum(A_k/(x-\w_k),k=1,2n+1) und wie beim vorangegangenen Fall findet man A_k = -\w_k/(2n+1) insb. ist A_(n+1) = 1/(2n+1). Die PBZ lässt sich also diesmal umschreiben 1/(1+x^(2n+1)) = 1/(2n+1) 1/(x+1) + (-1)/(2n+1)*sum(\w_k/(x-\w_k),array(k=1;(k!=n+1)),2n+1) In dieser Summe mit 2n Summanden gilt ähnlich \w_1 = \w^-_(2n+1), \w_2 = \w^-_(2n), \w_3 = \w^-_(2n-1), ... Die Umschreibung lautet daher 1/(1+x^(2n+1)) = 1/(2n+1) 1/(x+1) + (-2)/(2n+1) sum(( Re(\w_k) x - abs(\w_k)^2)/(x^2 - 2 Re(\w_k) x + abs(\w_k)^2),k=1,n) => ( 1/(1+x^(2n+1)) = (-1)/(2n+1) * \stammf( (-1)/(x+1) + 2*sum((cos((2k-1)/(2n+1)* \pi) x - 1)/(x^2 - 2 cos((2k-1)/(2n+1)* \pi) x + 1),k=1,n) ) )____ \small Beispiel__: \small |1/(1+x^5) = (-1)/5 * \stammf( (-1)/(x+1) + 2*sum((cos((2k-1)/5* \pi) x - 1)/(x^2 - 2 cos((2k-1)/5* \pi) x + 1),k=1,2) ) \small = -1/5 * \stammf( (-1)/(x+1) + 2* (cos(\pi/5)x - 1)/(x^2 - 2cos(\pi/5)x + 1) + 2* (cos(3\pi/5)x - 1)/(x^2 - 2cos(3\pi/5)x +1) ) \small = -1/5 * \stammf( (-1)/(x+1) + 2* ((1+root(5))/4 x - 1)/(x^2 - (1+root(5))/2 x + 1) + 2* ((1-root(5))/4 x - 1)/(x^2 - (1-root(5))/2 x +1) ) = 1/(1+x^5)
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