\(\begingroup\) \boxon\big\Lösen wir mal \blue\ x^3+rx^2+sx+t=0 \boxoff\black\mit x\el\IC||, r,s,t\el\IR nach x auf ...
Wenngleich man in der 9. Klasse schon mit wenig Vorkenntnissen die pq-Formel herleiten und damit die Lösungsmenge jeder quadratischen Gleichung bestimmen kann, ist das bei kubischen Gleichungen ganz anders. Vorkenntnisse über komplexe Zahlen, sogar über das Radizieren davon müssen vorhanden sein. ->>>
\big 1: \red Substitution__ Man setzt x=y-r/3 , p=s-r^2/3 und q=2r^3/27-sr/3+t. Durch Nachrechnen erhält man x^3+rx^2+sx+t=(y-r/3)^3+r(y-r/3)^2+s(y-r/3)+t =y^3-3|y^2|r/3+3|y|r^2/9-r^3/27+ry^2-2yr^2/3+r^3/9+sy-sr/3+t =y^3+(-r+r)y^2+(r^2/3-2r^2/3+s)y-r^3/27+3r^3/27-sr/3+t =y^3+(s-r^2/3)y+(2r^3/27-sr/3+t) , also nach der Substitution \big\blue y^3+py+q=0, die sog. \big\reduzierte Form der kubischen Gleichung.
\big 2: \red Die Lösung in zwei Bestandteile zerlegen und G.L.S. lösen Wir setzen y=u+v , wobei es uns wegen der beliebigen Zerlegung noch freisteht, eine Gleichung festzulegen, die von u und v abhängt. Die Gleichung geht über in (u+v)^3+p(u+v)+q=0 , also u^3+3u^2|v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=0 , also u^3+v^3+q+(u+v)(3uv+p)=0. Wir legen nun 3uv+p=0 <=> uv=-p/3 fest, damit die Gleichung in u^3+v^3+q=0 übergeht. Wir haben nun 2 Gleichungen: \label(1) u^3+v^3=-q \label(2) uv=-p/3 Bei (1) quadriert man, \label(1') u^6+2u^3|v^3+v^6=q^2 bei (2) auf beiden Seiten hoch 3 und dann mal 4: \label(2') 4u^3|v^3=-4(p/3)^3 Jetzt zieht man 2' von 1' ab und erhält: u^6-2u^3|v^3+v^6=q^2+4(p/3)^3||, also (u^3-v^3)^2=q^2+4(p/3)^3||. Durch Wurzelziehen erhält man u^3-v^3=+-sqrt(q^2+4(p/3)^3). Hier setzt man v^3=-(q+u^3) gemäß ref(1) ein und erhält u^3+q+u^3=+-sqrt(q^2+4(p/3)^3) also u^3=(-q+-sqrt(q^2+4(p/3)^3))/2=-q/2+-sqrt((q^2+4(p/3)^3)/2^2) =-q/2+-sqrt((q/2)^2+(p/3)^3) und v^3=u^3-(+-sqrt(q^2+4(p/3)^3)) =-q/2+-sqrt(q^2+4(p/3)^3)/2-(+-sqrt(q^2+4(p/3)^3))=-q/2-(+-sqrt(q^2+4(p/3)^3)/2) =-q/2-(+-sqrt((q/2)^2+(p/3)^3)). Durch Vertauschen der oberen und unteren Vorzeichen bei u oder v geht u^3 in v^3 über, doch durch Vertauschen von u und v bleiben die Gleichungen u^3+v^3+q=0 sowie uv=-p/3 unverändert. Deshalb genügt es nur ein Vorzeichen zu betrachten, etwa das obere. \big 4: \red auf zur Cardanischen Formel! Aus u^3=-q/2+sqrt((q/2)^2+(p/3)^3) v^3=-q/2-sqrt((q/2)^2+(p/3)^3) folgt u_(1,2,3)=fdef(1;e_2;e_3)*root(3,-q/2+sqrt((q/2)^2+(p/3)^3)) und v_(1,2,3)=fdef(1;e_2;e_3)*root(3,-q/2-sqrt((q/2)^2+(p/3)^3)) wobei e_(2,3)=(-1+-i*sqrt(3))/2 (denn 1, e_2 und e_3 sind die 3. Einheitswurzeln) Nun ist aber y=u_i+v_j , also gibt es \big neun \normal Lösungen für y! (Tja was das Quadrieren alles anrichtet...). Davon werden nur drei übrig bleiben. Denn es ist e_2*e_3=(1-i^2*sqrt(3)^2)/4 =(1+3)/4=1 aber Im(e_(1,2)^2) != 0. Unter der Voraussetzung, dass D=(q/2)^2+(p/3)^3>=0 ist, sind aber die Kubikwurzeln bei u_(1,2,3) und v_(1,2,3) reell. Deshalb sind u_1*v_1, u_2*v_3 und u_3*v_2 reell, da ja e_2 und e_3 vor den Kubikwurzeln im Produkt reell werden (s.o.). Dagegen sind alle anderen u_i*v_j imaginär, weil der Imaginärteil der e_(2,3) vor den Kubikwurzeln ja nie Null wird. Nun soll aber u_i*v_j =-p/3 also auch reell sein! Es bleiben die Lösungen y_1=u_1+v_1\, y_2=u_2+v_3 und y_3=u_3+v_2 . Schreiben wir diese y aus, so sieht man, dass y_1 reell ist, während y_2 und y_3 konjugiert komplex sind: y_2=u_2+v_3=u_1|e_2+v_1|e_3=u_1*(-1+i|sqrt(3))/2+v_1*(-1-i|sqrt(3))/2 =(-u_1+u_1*i|sqrt(3)-v_1-v_1*i|sqrt(3))/2 \blue =(-(u_1+v_1)+i|sqrt(3)|(u_1-v_1))/2 y_2=u_3+v_2=u_1|e_3+v_1|e_2=u_1*(-1-i|sqrt(3))/2+v_1*(-1+i|sqrt(3))/2 =(-u_1-u_1*i|sqrt(3)-v_1+v_1*i|sqrt(3))/2 \blue =(-(u_1+v_1)-i|sqrt(3)|(u_1-v_1))/2 Wir sind noch nicht fertig! Wir hatten doch D>=0 vorausgesetzt. Für den Fall D=0 ist die Wurzel in den Kubikwurzeln bei u_1 und v_1 Null, also ist dann u_1=v_1 .Außerdem ist y_(2,3)=-u_1 , also gibt es drei reelle Lösungen, von denen y_2 und y_3 zusammenfallen. Bevor wir nun den Fall D<0 untersuchen, fassen wir zusammen: \frame\big Die Cardanische(n) Formel(n) \big\blue Normalform: \red x^3+rx^2+sx+t=0 Mit x=y-r/3, p:=s-r^2/3 und q:=2r^3/27-sr/3+t wird sie die \big\blue reduzierte Form: \red y^3+py+q=0 , die mit u_1=root(3,-q/2+sqrt((q/2)^2+(p/3)^3)) und v_1=root(3,-q/2-sqrt((q/2)^2+(p/3)^3)) die Lösungen \big\red y_1=u_1+v_1 \black\normal und \big\red y_(2,3)=(-(u_1+v_1)+-i|sqrt(3)|(u_1-v_1))/2 also eine reelle und zwei komplexe hat, falls D=(q/2)^2+(p/3)^3 >=0 ist. Für D=0 ist y_2=y_3=-u_1=-v_1 , also gibt es \frameoff dann drei reelle, aber nur zwei verschiedene Lösungen.
\big 5: \red Casus irreducibilis - Der "nicht zurückführbare Fall" Sei nun D=(q/2)^2+(p/3)^3<0 . Da jedes Quadrat >= 0 ist, muss (p/3)^3<0, also p<0 und damit -p>0 sein. Außerdem ist -D>0 , also -(q/2)^2-(p/3)^3=-(q/2)^2+(-p/3)^3=(-p/3)^3-(q/2)^2>0. Also wird u^3 bzw. v^3 zu -q/2+-sqrt((q/2)^2-(p'/3)^3)=-q/2+-i*sqrt((-p/3)^3-(q/2)^2) =r*(cos(\phi)+-i*sin(\phi)) mit r=sqrt(Re(z)^2+Im(z)^2). =sqrt((q/2)^2+(-p/3)^3-(q/2)^2)=sqrt(-p/3)^3 , cos(\phi)=Re(z)/r =(-q/2)/sqrt(-p/3)^3 und sin(\phi)=Im(z)/r=sqrt((-p/3)^3-(q/2)^2)/sqrt(-p/3)^3 . Nach dem Satz von Moivre ist dann u_1=root(3,r)|(cos(\phi/3)+i|sin(\phi/3)) und v_1=root(3,r)|(cos(\phi/3)-i|sin(\phi/3)). Weil u_1 und v_1 konjugiert komplex sind, ist ihre Summe reell und es ist y_1=u_1+v_1 =Re(u_1)+Re(v_1)=2|root(3,r)|cos(\phi/3) \blue =2|sqrt(-p/3)|cos(\phi/3) \black\. Wegen der Periodizität der Kosinusfunktion sind die weiteren Lösungen y_2=2|sqrt(-p/3)|cos((\phi+2\p)/3) und y_2=2|sqrt(-p/3)|cos((\phi+4\p)/3) Also liegen beim Casus irreducibilis drei reelle Lösungen vor.
Zur Herleitung war das schon alles ! Jetzt noch ein paar Beispiele und eine Übersicht, damit man weiß, wie man nun konkret die Lösungen berechnet.
\big 1. Beispiel: \blue x^3-6x^2+12x-8=0 Es ist r=-6 , s=12 und t=-8, also p=12-36/3=0 und q=-2*216/27+72/3-8 =-2*8+24-8=0. Also lautet die reduzierte Form y^3=0. Die einzeige (dreifache) Lösung dazu ist offensichtlich y=0. Also ist x=0+6/3=2.
\big 2.Beispiel \blue x^3+3x^2-6x-1=0 Es ist r=3 , s=-6 und t=-1 , also p=-6-9/3=-9 und q=2*27/27+18/3-1 =2+6-1=7. Also lautet die reduzierte Form y^3-9y+7=0. Es ist D=(7/2)^2+(-9/3)^3=49/4-27=49/4-108/4=-59/4<0 -> Casus irreducibilis. Es ist cos(\phi)=-7/(2*sqrt(9/3)^3)=-7/(2*3^(3/2))=-(7*sqrt(3))/(2*3^(3/2+1/2))=-7/18*sqrt(3). Das ergibt \phi ~= 2.30983. Also sind die Lösungen für y: y_1~=2*sqrt(3)*cos(2.30983/3)~=2.48705 y_2~=2*sqrt(3)*cos((2.30983+2\p)/3)~=-3.33181 y_3~=2*sqrt(3)*cos((2.30983+4\p)/3)~=0.84476 Die Lösungen für x sind x_i=y_i-r/3=y_i-1 , also x_1~=1.48705 x_2~=-4.33181 x_3~=-0.15524 Man könnte sie auch exakt aufschreiben: x_1=2*sqrt(3)*cos(arccos(-7/18*sqrt(3))/3)-1 x_2=2*sqrt(3)*cos((arccos(-7/18*sqrt(3))+2\p)/3)-1 x_3=2*sqrt(3)*cos((arccos(-7/18*sqrt(3))+4\p)/3)-1
\big 4. Beispiel \big\blue sum(x^(3-k)/a^k,k=0,3)=0 \normal\black\, a\el\IR \\ menge(0) Die Summe ist ja gleich x^3+x^2/a+x/a^2+1/a^3 . Es ist r=1/a , s=1/a^2 und t=1/a^3 , also p=1/a^2-(1/a)^2/3=2/(3a^2) und q=2*(1/a)^3/27-(1/a*1/a^2)/3+1/a^3 =2/(27a^3)-1/(3a^3)+1/a^3=(2-9+27)/(27a^3)=20/(27a^3). Damit ist D=(20/(54a^3))^2+(2/(9a^2))^3 =400/((2*27)^2*a^6)+8/((3^2)^3*a^6)=400/(4*27^2*a^6)+8/((3^3)^2*a^6) =100/(27^2*a^6)+8/(27^2*a^6)=108/(27^2*a^6)=4/(27a^6) > 0. Wir werden nun zwischen zwei Fällen unterscheiden:
\stress 1. a>0 u=root(3,-20/(54a^3)+sqrt(4/(27a^6)))=root(3,-10/(27a^3)+2/(sqrt(27)*a^3))=root(3,(-10+2*sqrt(9*3))/(27*a^3)) =root(3,(-10+6*sqrt(3)))/(3*a) Nun ist aber 6*sqrt(3)-10=3*sqrt(3)-9+3*sqrt(3)-1 =sqrt(3)^3+3*sqrt(3)^2*(-1)+3*sqrt(3)*(-1)^2+(-1)^3=(sqrt(3)-1)^3 , also ist u=(sqrt(3)-1)/(3a). Analog ist v=root(3,(-10-6*sqrt(3)))/(3*a)=-root(3,10+6*sqrt(3))/(3a) und 10+6*sqrt(3)=3*sqrt(3)+9+3*sqrt(3)+1=sqrt(3)^3+3*sqrt(3)^2*1+3*sqrt(3)*1^2+1^3 =(sqrt(3)+1)^3 , also ist v=-(sqrt(3)+1)/(3a). Damit ist y_1=(sqrt(3)-1)/(3a)+ -(sqrt(3)+1)/(3a)=-2/(3a) also x_1=-2/(3a)-(1/a)/3=-3/(3a)=-1/a , y_(2,3)=(-(-2/(3a))+-i*sqrt(3)*((sqrt(3)-1)/(3a)+(sqrt(3)+1)/(3a)))/2 =(2/(3a)+-i*sqrt(3)*((2*sqrt(3))/(3a)))/2=1/(3a)+-i*1/a , also x_(2,3)=(1/(3a)+i*1/a)-1/(3a)=+-i/a
\stress 2. a<0 u=root(3,-20/(54a^3)+sqrt(4/(27a^6)))=root(3,-10/(27a^3)+2/(-sqrt(27)*a^3))=root(3,(-10-2*sqrt(9*3))/(27*a^3)) =-root(3,10+6*sqrt(3))/(3a) . Das ist nun aber dasselbe wie das v für a>0, also ist u=-(sqrt(3)+1)/(3a) . v=root(3,-20/(54a^3)-sqrt(4/(27a^6)))=root(3,-10/(27a^3)-2/(-sqrt(27)*a^3))=root(3,-10/(27a^3)-2/(-sqrt(27)*a^3)), was dasselbe wie das u oben für a>0 ist. Also ist v=(sqrt(3)-1)/(3a) . Damit ist u+v dasselbe wie für a>0, aber es ist u-v genau minus das u-v für a>0. Also ergibt sich x_1=-1/a , x_(2,3)=(1/(3a)-(+-i*1/a))-1/(3a)=-(+-i/a)=+-i/a , also sind die Lösungen für a>0 und a<0 identisch. \big x_1=-1/a , x_(2,3)=+-i/a
\blue alternative Lösung: \black Die Gleichung ist äquivalent mit sum(1/(ax)^k,k=0,3)=0, weil man durch x^3 teilen darf, denn x=0 ist offensichtlich keine Lösung. Dies ist eine geometrische Summe , also ist sie gleich ((1/(ax))^4-1)/(1/(ax)-1). Deren Nullstellen sind alle x , für die (1/(ax))^4=1 ist und x nicht 1/a ist (sonst wird nämlich der Nenner Null). Nun sind aber die 4-ten Einheitswurzeln 1,-1,i und -i. Also erhält man 1/(ax)=fdef(+-1;+-i) , also x=fdef(+-1/a;+-1/(ai))=fdef(+-1/a;+-i/(ai^2)) =fdef(+-1/a;-(+-i/(a))). Wegen x != 1/a bleiben x_1=-1/a , x_(2,3)=+-i/a .
Warum habe ich diesen Artikel geschrieben? Viele Herleitungen sind m.E. sehr unübersichtlich, was wohl daran liegt, dass die Formeln nie mit sowas wie einem fed geschrieben werden, jedenfalls nicht durchgängig. Außerdem arbeiten viele Herleitungen mit unnützen Bezeichnungen und Begriffen, die die Herleitung nur länger machen und davon ablenken. Um diese so kompakt wie möglich zu halten, habe ich wie oben schon erwähnt Vorkenntnisse über komplexe Zahlen und dem Radizieren damit vorausgesetzt. Besonders fehlte mir immer eine Übersicht über das Lösen kubischer Gleichungen, die auch noch optisch was hergibt. Die habe ich nun auch endlich (auch für mich selber) zusammengesetzt. Und Spaß fehlte beim Schreiben dieses Artikels natürlich auch nicht!
Also wenn beim nächsten mal im Forum eine kubische Gleichung gelöst werden soll, sagt bitte nicht: "Die kann nur numerisch gelöst werden." sondern "Kann man mit den Cardanischen Formeln lösen, muss man aber nicht ... "
"Mathematik: Die kubische Gleichung" | 39 Comments
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Re: Die kubische Gleichung
von: Hans-Juergen am: Mo. 04. August 2003 10:51:44
\(\begingroup\)Hallo Martin,
mit Deiner sehr gründlichen und übersichtlichen, von instruktiven Beispielen begleiteten Darstellung der Theorie der kubischen Gleichung hast Du mir und sicherlich vielen anderen Besuchern des Matheplaneten einen großen Dienst erwiesen; dafür herzlichen Dank!
Es ist immer wieder erstaunlich zu sehen, wieviel Geduld und Scharfsinn bei der Lösung der kubischen im Vergleich zur quadratischen Gleichung aufgebracht werden müssen, und nicht weniger erstaunlich ist, daß Geronimo Cardano, dessen Name damit verbunden ist, bereits vor 500 Jahren (nämlich von 1501 bis 1576) lebte und wirkte. Er ist derselbe, nach dem auch die "kardanische Aufhängung" (drei Ringe, die um senkrecht aufeinanderstehende Achsen drehbar sind) und die Kardanwelle beim Auto benannt sind.
Die traditionelle Verbindung Cardanos mit der kubischen Gleichung erscheint dagegen eher zweifelhaft. Nach verschiedenen Quellen, die auch im Internet zu finden sind, war es Niccolò Tartaglia (ca. 1500-1557), der die Auflösung der allgemeinen Gleichung dritten Grades fand. Er sei ein Freund Cardanos gewesen und hätte diesem sein Ergebnis unter dem Siegel der Verschwiegenheit mitgeteilt. Cardano habe, so wird berichtet, einen feierlichen Eid darauf geleistet, die Lösungsformel nicht als seine eigene zu veröffentlichen und dieses Versprechen schmählich gebrochen. (Manche Autoren schreiben zusätzlich, daß Tartaglia selber auch nicht deren Entdecker gewesen sei, sondern seinerseits das Verfahren von einem gewissen Fontana erhalten habe. Hier liegt jedoch ein Irrtum vor: Tartaglia und Fontana waren ein und dieselbe Person. Fontana war der eigentliche Name von Tartaglia, was "Stotterer" bedeutet.)
Und noch eine historische Anmerkung hierzu: Der vielen von uns bekannte Fibonacci (= "Sohn des Bonaccio" = gutmütiger Mensch, eigentlich Leonardo von Pisa), nach dem die Fibonacci-Zahlen benannt sind, wurde zwischen 1170 und 1180 geboren. Er lebte also einige Jahrhunderte früher als Cardano und Tartaglia. In seinem Buch "Von Pythagoras bis Hilbert" schreibt Egmont Colerus über ihn, daß er bei einem öffentlichen Wettkampf die Lösung der kubischen Gleichung x3+2x2+10x=20 näherungsweise als x=1°22'7''42'''33IV4V40VI angab, ohne zu verrraten, wie er darauf kam. Hierbei bedeuten 1° die 1 als Ganzes, 22' den Bruch 22/60, 7'' den Bruch 7/3600 usw., d. h. Fibonacci rechnete im 60er-System. Neuere Nachprüfungen, so schreibt Colerus weiter, hätten ergeben, daß dieser Näherungswert Leonardo's nur um 1/31104000000 größer ist als der nach heutigen Methoden gewonnene.
\(\begingroup\)@Anonymus: Köntest du das konkretisieren?
@Hans-Jürgen: Vielen Dank dass du noch die
ganze Geschichte historisch umrahmt hast!\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Gibt's denn hier niemanden der, bevor Sie/Er sie
kannte,
die Lösung selbst gefunden hat?
Es ist enttäuschend wie "vom Himmel gefallen"
hier,
und in der Literatur, das Wesentliche der Lösung
in
wenigen Zeilen dargestellt wird
-
ohne Gedankengänge - schrittweise bessere, auch
mit
Dokumentation von Fehlschlägen - offen zu legen.
z.B. war ich in einem Bibliotheks-Katalog auf
"Die Kubische und Biquadratische Gleichung"
von
Heinrich Dörrie gestoßen - aber, auf ca. 100 Seiten hauptsächlich Beispiele, und die
grundsätzliche Lösung nur wie anderswo
dargestellt.
Das
ist wohl der Fluch von etwas das als gestohlen
das Licht der Welt erblickte.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@FriedrichLaher:
Ich wollte hingegen nur zeigen, wie man solche
Gleichungen löst, und warum die Lösungsmethoden
richtig sind. Und naja, wie man das alles
herleiten kann und warum man welchen Weg
einschlagen sollte, liegt doch auf der Hand,
wenn man sich die Ergebnisse der einzelnen
Schritte ansieht. Doch dazu würde der Artikel
noch um viele Kommentare ergänzt werden
müssen, was dann wieder mehr Arbeit macht als
dass es von Nutzen sein würde.\(\endgroup\)
Dein Artikel gefällt mir und ich wollte Ihn mir ausdrucken. Leider ist es mir nicht möglich den vollständigen Artikel auszudrucken.
Wär es vielleicht möglich, dass Du ihn mir zumailst?
Meine Email: [entfernt]
\(\begingroup\)wie rechne ich jetzt aber x aus, wenn
2x^3+3x^2+x= 97236 ?? Ich hab das leider nicht so gut verstanden! wäre echt dankbar wenn mir einer hilft!\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Du musst die Gleichung auf die Normalform
bringen. Und naja, hättest du dir meinen
Artikel durchgelesen, wüsstest du 100%ig,
wie es weitergeht.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich habe für beliebige kubische Gleichungen X auszurechnen.
Eine Probe mit dem gezeigten Lösungsansatz ergab aber für die Gl.
-4X^3+6X^2=Y ==> X^3-1,5X^2+Y/4=0
für Y=1 mit D<0 drei reelle Lösungen von X. (2 x 1,366..,-0,366..)
Diese Ergebnisse sind tatsächlich richtig, jedoch gibt es noch ein weiteres Ergebniss. X=0,5. Da ich nur Ergebnisse im Wertebereich 0..1
erwarte, wäre dies die richtige Lösung. Diese liefert aber das Berechnungsverfahren nicht.
Das fehlende Glied X^1 habe ich mit einem Koeffizenten von 0 gebildet.
Was ist hier falsch?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo
Ich muss eine Facharbeit über dieses Thema schreiben habe aber leider immernoch nicht eine besonders große Übersicht. Kann mir vielleicht einer von den schlaueren helfen?
Ich mache Abitur und bin in der 12 und versteh nichts von der ganzen Sache. GSG girl\(\endgroup\)
\(\begingroup\)sers!
ich muss auch eine Facharbeit schreiben, hab aber überhaupt keine Ahnung vllt. kann hier mir jemand helfen
Danke =)
Gruß Mägges\(\endgroup\)
von: Hans-im-Pech am: Do. 05. Januar 2006 20:27:12
\(\begingroup\)@Anonymous:
Hallo,
ihr könnt konkrete Fragen gerne im Forum stellen, meldet Euch dazu doch einfach an. Ansonsten ist das hier ein einführender Artikel, ausführlicheres findet man in vielen Büchern oder im Internet.
Viele Grüße,
HiP\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Guten Tag
echt gelungenes Werk =)
aber ein kleiner Tippfehler ist drin. Unter "2. die Lösung in zwei Bestandteile zerlegen und G.L.S. lösen" bei "Jetzt zieht man 2' von 1' ab und erhält" muss u^6 stehn und nicht u^3
gruß Markus\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Giten Tag nochmal =)
wie lös ich Gleichungen 3ten Grades numerisch, könnte mir hier jemand einen link geben?
Danke im voraus
Markus\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Anonymous.
Hier in diesem Artikel findest du diverse Möglichkeiten, Polynomfunktionen zu lösen, unter Anderem werden zwei numerische Verfahren diskutiert.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Guten Morgen,
eine Frage hab ich noch unter "4: auf zur Cardanischen Formel" versteh ich nicht warum wenn ich bei den Gleichungen u³=... , und v³=..., die 3 Wurzel zieh, warum ich vor der Wurzel 1 und e2 und e3 bekomme. Genau so wenig kapier ich die folgenden schritte bis "Wir sind noch nicht fertig". Kurz zu mir: Bin in der 12 Klasse LK/MA und muss eine Facharbeit über Gleichung dritten Grades schreiben. Also hof ich, dass mir das hier einer präzise erklären könnte. Nämlich von meinen Mathelehrer hab ich nict wirklich große Hilfe bekommen
Danke im voraus Markus\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi.
Es ist hierfür wesentlich, dass du mit komplexen Zahlen umgehen kannst. Ich hoffe einfach mal, dass sie schonmal dran waren, sonst wird es wirklich schwer, einen vernünftigen Überblick über die Cardanischen Formeln zu liefern.
Zur eigentlichen Frage:
Du weißt sicherlich, dass das Wurzelziehen nicht eindeutig ist. Wenn du die Gleichung x^2=c hast, dann gilt entweder x=-sqrt(c) oder x=+sqrt(c).
Dasselbe gilt für andere Wurzeln. Nur, dass es bei der n-ten Wurzel eben n verschiedene Lösungen geben kann. Deshalb folgt aus x^3=c eine der drei Gleichungen
x=1*wurzel(3,c)
x=e_2*wurzel(3,c)
x=e_3*wurzel(3,c)
Wobei \zeta_i eine so genannte dritte Einheitswurzel ist. Allgemein ist eine n-te Einheitswurzel eine Lösung der Gleichung x^n-1=0.
Im Fall n=2 sind das ja genau die Lösungen +1 und -1. Daher hat man beim Lösen einer quadratischen Gleichung auch immer + oder - vor der Wurzel stehen.
Im Fall n=3 sind das genau die drei angegebenen Werte 1,e_2=(-1+i*sqrt(3))/2 und e_3=(-1-i*sqrt(3))/2.
Und genauso ist es beim Lösen allgemeiner Gleichungen der Form x^n=c: Man bestimmt eine der Lösungen \(das ist diejenige, die man bei positiven, reellen c durch "normales" Wurzelziehen bekommt, also wurzel(n,c)\) und multipliziert der Reihe nach mit allen n-ten Einheitswurzeln.
Ich hoffe, dass es etwas klarer geworden ist.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Kann mir jemand mal einen Näherungs wert fur i geben ?
ich schaf es zwar die Gleichung zu lösen kann aber nie überprüfen ob die
Lösungen stimmen, und ich will meine Taschenrechner programmieren, der diese i auch nicht kennt !
Ich bedanke mich schon einmal im voraus !
MfG Fabian
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Fabian:
i ist die imaginäre Einheit, eine komplexe Zahl. Wenn du komplexe Zahlen nicht kennst, dann solltest du andere Lösungsverfahren für deine Gleichung in Betracht ziehen, die ohne sie auskommen. Einige findest du hier:
article.php?sid=579
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich kenne komplexe Zahlen aber wenn ich die Nullstellen zeichnen will hilft mir das da i in der Lösung steht auch nicht !
MfG Fabian \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Wenn du komplexe Zahlen bereits kennst, sollte dir aber klar sein, wie dämlich die Frage nach einem Näherungswert von i ist...
Was hält dich denn davon ab, die Nullstellen zu zeichnen? Komplexe Zahlen stellt man am besten in der Gauss'schen Zahlenebene dar. Das dürfte ohne Probleme gehen, dort ein bis drei Punkte einzuzeichnen.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Frage zu:
2: Die Lösung in zwei Bestandteile zerlegen und G.L.S. lösen
Sind u,v so gewählt, daß u^3+v^3=-q und uv=-p/3 dann ist
(u+v)^3+p(u+v)+q=0.
-Warum erwischt man mit diesem Ansatz alle Nullstellen?
Könnte es nicht auch u,v geben, so daß u^3+v^3=-q NICHT gilt oder uv=-p/3 NICHT gilt, aber trotzdem (u+v)^3+p(u+v)+q=0 ?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Nein, das kann nicht gehen, denn u und v sind ja gerade so gewählt, dass eben genau diese Gleichungen gelten.
Es wurde zuerst eine beliebige__ Zerlegung y=u+v angenommen. Später wurde die zusätzliche__ Forderung uv=-p/3 getroffen.
u und v sind fast eindeutig bestimmt aus diesen beiden Gleichungen.
u+v=y
uv=-p/3
=> v=y-u
=> u(y-u)=-p/3
=> u^2-yu-p/3=0
=> u_1\/2 = y/2 +- sqrt((y/2)^2+p/3)
Je nachdem wie man u wählt, ist v jeweils die andere Lösung der quadratischen Gleichung. Auf jeden Fall existieren solche u und v und sie sind \(eben bis auf diese Symmetrie\) eindeutig bestimmt.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Gockel.
Danke für die schnelle Antwort. Und doch, das kann wohl gehen. Ich meinte nämlich etwas anderes:
Klar:
u^3+v^3=-q und uv=-p/3 => (u+v)^3+p(u+v)+q=0
Aber:
(u+v)^3+p(u+v)+q=0 => u^3+v^3=-q und uv=-p/3
gilt im Allgemeinen nicht, denn:
Beispiel für den Fall q=0 (War nicht ausgeschlossen!):
Gesucht: y mit y^3+py+q=0 wobei p=3 und q=0, also y^3+3y=0
Wähle u=2 und v=-2:
Dann ist (u+v)^3+p(u+v)+q=0, d.h. u+v=0 ist eine Nullstelle von y^3+py+q
aber uv=-4#-1=-p/3
Diese Nullstelle findet man natürlich auch, wenn man u=1 und v=-1 wählt, und in dem Fall sind die Bedingungen u^3+v^3=-q und uv=-p/3 erfüllt.
Ich sehe jedoch keinen Grund, warum es nicht eine Nullstelle y geben könnte, so daß für alle u,v mit y=u+v mindestens eine der Bedingungen u^3+v^3=-q und uv=-p/3 verletzt ist.
Grüße,
Frank.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Frank.
\quoteonAber:
(u+v)^3+p(u+v)+q=0 => u^3+v^3=-q und uv=-p/3
gilt im Allgemeinen nicht
\quoteoff
Das wurde auch nicht behauptet! Wie ich schon schrieb, ist die Gleichung uv=-p/3 eine zusätzliche Forderung, keine Folgerung!
uv=-p/3 ist Voraussetzung, nicht Behauptung.
\quoteon
Ich sehe jedoch keinen Grund, warum es nicht eine Nullstelle y geben könnte, so daß für alle u,v mit y=u+v mindestens eine der Bedingungen u^3+v^3=-q und uv=-p/3 verletzt ist.
\quoteoff
Wenn du dir meinen vorherigen Kommentar nochmal anschaust, dann siehst du, dass man zu jedem y\el\IC mit y^3+py+q=0 \(also eben zu jeder Nullstelle der Gleichung\) bestimmte u und v\el\IC finden kann, die y=u+v und uv=-p/3 erfüllen, indem man das Gleichungssystem löst, wie ich es getan habe.
Die Gleichung u^3+v^3=-q ist dann eine Folgerung aus den Gleichungen y=u+v, uv=-p/3 und y^3+py+q=0.
Wie genau das folgt, steht oben im Artikel.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)ich hab selber mal ne kleine herleitung verfasst und dann versucht ein beispiel zu lösen
wenn ich meine lösungen allerdings danach ind ie kubische gleichung einsetze komme ich nicht auf das ergebnis 0
kann sich da shier mal einer durchsehen und mir sagen wo der fehler ist?? ich kann ihn nicht finden!!
Die Herleitung der Cardanischen Formeln
Wir bringen die kubische Gleichung
ax^3+bx^2+cx+d=0 in die Form u^3+pu+q=0 wobei a = 1, p∶=c-b^2/3 , q∶= b^3/27-bc/3+d und x∶=u-b/3
Wir legen fest: u≔A+B
und setzen es in die Form u^3+pu+q=0 ein.
(A+B)^3+p(A+B)+q=0
A^3+3A^2 B+3AB^2+B^3+p(A+B)+q=0
Wir legen fest: 3AB+p=0 <=> AB = - p/3
A^3+B^3+q=0
I) A^3+B^3=-q und
II) AB = - p/3
Man quadriert (I) und setzt (II) auf beiden Seiten hoch drei und multipliziert dann mit vier.
I‘) A^6+2A^3 B^3+B^6=q^2 und II) 4A^3 B^3=-4(p/3)^3
Man zieht nun (II‘) von (I‘) ab und erhält:
A^3-2A^3 B^3+B^6=q^2+4(p/3)^3
=(A^3-B^3 )^2=q^2+4(p/3)^3 I √
A^3-B^3=±√(q^2+4(p/3)^3 )
Umformen von (I) in B^3=-(q+A^3 ) und Einsetzen in die obige Gleichung:
A^3+q+A^3=±√(q^2+4(p/3)^3 ) = A^3=-(q/2)+√((q/2)^2+(p/3)^3 )
Genauso lösen wir (I) nach A^3 auf und setzen es in die gleiche Gleichung ein wie zuvor. Wir erhalten:
B^3=-(q/2)-√((q/2)^2+(p/3)^3 )
Daraus folgen die Cardanischen Formeln:
A=∛(-q/2+√((q/2)^2+(p/3)^3 ))
B=∛(-q/2-√((q/2)^2+(p/3)^3 ))
Lösen einer kubischen Gleichung mit den Cardanischen Formeln
-x^3+9x^2-24x+16=0 = x^3-9x^2+24x-16=0
x∶=u-b/3
(u+3)^3-9(u+3)^2+24(u+3)-16=0
u^3+9u^2+27u+27-9u^2-54u-81+24u+72-16=0
u^3-3u+2=0
p=-3 ,q=2
Berechnen der Diskriminante
D=(q/2)^2+(p/3)^3
(2/2)^2+((-3)/3)^3=0
1.) Lösung (eine doppelte reelle Lösung)
A,B=∛(-q/2±√((q/2)^2+(p/3)^3 )) =∛(-q/2±0)=∛(-(q/2) )
A,B=∛(-(2/2) )=(-1)^(1/3)=1
In diesem Fall gilt u_1=u_2=A=B HIER BIN ICH MIR zB NICHT SICHER!!!
Einsetzen in x∶=u-b/3
x=(-1)-(9/3)=-4
x_1,2=-4
2.) Lösung
C= ∛(-4q)
C=∛(-4∙2)= (-8)^(1/3)=-2
Einsetzen in x∶=u-b/3 (HIER SETZE ICH MEIN C FÜR U EIN?!) x=(-2)-(9/3)=-5
x_1=x_2=-4 ,x_3=-5
BITTE HELFT MIR SO SCHNELL WIE MÖGLICH; ICH HABE AM MONTAG DEN 19.MAI EINE MATHE PRÜFUNG DA MUSS DAS STIMMEN!!
Caro\(\endgroup\)
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