\(\begingroup\) Im Laufe eines Mathematikstudiums begegnen einem Studenten viele, zum Teil verschiedenartige Strukturen: Gruppen, Körper und Vektorräume in der Linearen Algebra, Stetigkeit und Konvergenz (in metrischen Räumen), differenzierbare Strukturen (in normierten Vektorräumen) in der Analysis. Später begegnen einem noch weitere algebraische Strukturen wie Ringe und Moduln, und andere haben mit Sigma Algebren und Maßräumen in der Stochastik zu tun.
Die Kategorientheorie ist ein Gebiet der Mathematik, das die Gemeinsamkeiten all dieser Strukturen in Worte fasst und die strukturellen Unterschiede anhand der Wechselwirkungen unter diesen Strukturen (Kategorien genannt) zu erfassen versucht.
Vom Wesen her ist sie sehr abstrakt, aber wie viele abstrakte Theorien, ist auch diese meiner Meinung nach höchst elegant.

Mit diesem Artikel will Ich einen Einblick in die Sprache der Kategorientheorie geben.

Nun, was ist eine Kategorie? Ich könnte jetzt die Definition angeben, aber so unmotiviert und trocken ist das nicht leicht verdaulich. Salopp gesagt ist eine Kategorie eine Ansammlung von Objekten, an denen wir interessiert sind (z.B reelle Vektorräume). Und wie wir im Laufe unserer Beschäftigung mit der Mathematik gelernt haben ist der Begriff der Abbildung fundamental. Am besten sollten die Abbildungen, die wir zur Untersuchung unserer Objekte (an denen wir ja immernoch interessiert sind, denn ein Mathematiker gibt nie auf) benutzen, strukturerhaltend sein! Nun was bedeutet das? Bei Vektorräumen würde vielleicht der eine oder andere wie aus der Pistole geschossen "lineare Abbildungen!" rufen...
nun... er hat Recht, aber wieso? Eine lineare Abbildung (auch üblicherweise Homomorphismus genannt) überträgt die Vektorraumstruktur: Das Bild einer Summe von Vektoren ist die Summe deren Bilder und das Vielfache eines Bildes eines Vektors ist das Bild dessen Vielfachen.
Formal: f(v+kw)=f(v)+k(f(w)).
Hm, das leuchtet ein...Was gilt noch? Achja, in der Linearen Algebra haben wir ja gelernt: Die Verknüpfung linearer Abbildungen ist linear, und die Komposition von linearen Abbildungen ist assoziativ (wie bei beliebigen Abbildungen). Außerdem besitzt jeder Vektorraum ein "Neutralelement" (Die Identität), welches auch eine lineare Abbildung ist.
Spätestens jetzt sollte der eine oder andere gemerkt haben "Moment mal, solche strukturerhaltende Abbildungen kenne ich auch woanders her!"
Sicher, sie treten überall in der Mathematik auf. Richtig gehört: überall. Bevor Ich endlich zur Definition gelange, noch ein Beispiel:
Kategorie der metrischen Räume mit den stetigen Abbildungen. Warum dies wirklich eine Kategorie ist, wird am Ende der Definition evident sein.

Bemerkung: In der Definition fällt unter anderem der Begriff der Klasse. Klassen sind gewisse Verallgemeinerungen von Mengen. Bekanntlich existiert nicht die Menge aller Mengen, dies führt zu den bekannten Antinomien, jedoch die Klasse aller Mengen existiert. Für die Kategorientheorie ist jedoch (zunächst, wie etwa in dem Umfang dieser Einleitung) nicht wichtig zu wissen, wie genau eine Klasse definiert ist und wie man mit ihnen umgehen darf (zum Beispiel in wie weit man von Zuordnungen zwischen Klassen sprechen kann). Wichtig für uns im Moment ist, dass wir sinnvoll von Zusammenfassungen von gewissen Objekten reden können, wovon wir wissen, wie sie definiert sind. Etwa die Klasse aller Vektorräume, oder die Klasse aller Körper, aller metrischen Räume, Ringe oder die Klasse aller Mengen etc.

Nun endlich:

\big\Definition:
Eine Kategorie__ K besteht aus
\- einer Klasse ob(K) von Objekten
\- zu einem Paar (X,Y) von Objekten je eine Menge K(X,Y) von
\ sogenannten Morphismen__.
\small\ Ein Element f\el\ K(X,Y) heißt Morphismus von X nach Y,
\small\ man schreibt auch: f: X->Y, wie bei Abbildungen
\small\ und nennt X die Quelle und Y das Ziel von f.
\- zu einem Tripel (X,Y,Z) einer Verknüpfung (Komposition genannt): \kringel\: K(X,Y)\cross\ K(Y,Z)->K(X,Z) ; (f,g)-> g\kringel\ f

mit folgenden Eigenschaften:

(i) (Assoziativität)__
Sind f:X->Y\,g:Y->Z\,h:Z->W Morphismen, so gilt:
h\circ(g\circ\ f)=(h\circ\ g)\circ\ f

(ii) (Identität)__
Zu jedem Objekt X gibt es einen Morphismus id_X|:X->X,
so dass id_X\circ\ f=f\,g\circ\ id_X=g
für alle f:Y->X und alle g:X->Z gilt.

Weitere Definitionen:
Ein umkehrbarer Morphismus heißt Isomorphismus. Ein Isomorphismus
X->X heißt Automorphimus. Die Menge Aut(X) der Automorphismen von X ist eine Gruppe (die Verknüpfung ist die selbe wie in der Definition oben).
[ Bemerkung: Aut(X) wirkt auf die Menge der Morphismen K(X,Y) bzw K(Z,X) ]

Nun einige Beispiele für Kategorien:
1) (a) Objekte: Mengen, (b) Morphismen: Abbildungen
2) (a) topologische Räume (b) stetige Abbildungen
3) (a) metrische Räume (b) stetige Abbildungen (ist eine Unterkategorie von 2) )
4) (a) Gruppen (b) Gruppenhomomorphismen
5) (a) Ringe (b) Ringhomomorphismen
6) (a) K-Vektorräume (b) K-Homomorphismen ( K ein Körper)
6) (a) differenzierbare Mannigfaltigkeiten (b) differenzierbare Abbildungen
7) (a) Sigma-Algebren (b) meßbare Abbildungen
8) (a) Graphen (b) Abbildungen zwischen den Ecken zweier Graphen, die so beschaffen sind, dass die Ecken einer Kante in Ecken einer (anderen) Kante abgebildet werden.

Auch wenn diese Beispiele (und auch die Notationen) suggerieren, dass Morphismen stets Abbildungen sind, sei hier bemerkt, dass dies nur ein Spezialfall ist. Ein Beispiel einer Kategorie, deren Morphismen keine Abbildungen sind ist die Homotopie-Kategorie: Die Objekte sind topologische Räume und die Morphismen Homotopieklassen von Abbildungen. In der Algebra kommt es auch sehr häufig vor, dass Objekte (unter anderem auch komplizierte) kommutative Diagramme sind und Morphismen Abbildungen die diese Diagramme zu einem größeren kommutativen Diagramm erweitern. Auf diese Weise kann man zum Beispiel ganz elegant das Tensorprodukt definieren.

Nun, wir haben gelernt, dass Kategorien Objekte und Morphismen beinhalten, die die Strukturen zwischen Objekten erhalten. Nun kann man einen Schritt weiter gehen: Besitzen Kategorien selbst Strukturen? Gibt es unter ihnen auch strukturerhaltende "Abbildungen"? Ok, man sollte vorsichtig mit dem Begriff der Abbildung sein, schließlich sollen Klassen und nicht Mengen zueinander in Beziehung stehen. Ohne weiter auf das Problem der Begrifflichkeit einer Klasse einzugehen sprechen wir von gewissen Zuordnungen. Dann hat die obige Frage eine Antwort:
Ja, es gibt "strukturerhaltende Zuordnungen" Funktoren genannt:


\big\Definition (Funktor)__
Es seien K und L Kategorien. Unter einem (kovarianten) Funktor F: K->L versteht man eine Zuordnung, durch die zu jedem Objekt X\el\ ob(K) ein Objekt F(X)\el\ob(L) und zu jedem Morphismus f: X->Y (wobei X\,Y Objekte von K sind) ein Morphismus F(f): F(X)->F(Y) gegeben ist, und darüberhinaus folgende Identitäten
F(id_X)=id_(F(X)) und F(f\circ\ g)=F(f)\circ\ F(g)
für alle Objekte X und alle Morphismen f\,g, für die die Quelle von f mit dem Ziel von g übereinstimmt stimmt, gelten.

Ein kontravarianter Funktor F:K->L ist analog definiert. Der Unterschied besteht darin, dass jedem Morphismus f:X->Y ein Morphismus F(f):F(Y)->F(X) zugeornet wird und folgende Identitäten erfüllt sein müssen:
F(id_X)=id_(F(X)) und F(f\circ\ g)=F(g)\circ\ F(f)
für alle Objekte X und alle Morphismen f\,g (wie oben).

Kovariante Funktoren behalten also die Richtungen der Pfeile bei, kontravariante kehren sie um.

vec(Bemerkung 1:) Auf diese Weise kann man die Klasse aller Kategorien
(betrachtet als Objekte) zusammen mit den Funktoren \(betrachtet als Morphismen\) zu einer Kategorie machen. Lässt man allgemeine Kategorien zu, so ist es unerlässlich, sich mit dem Begriff der Klasse ausseinanderzusetzen - denn die Morphismen müssen ja Mengen sein, und es ist zunächst nicht ersichtlich, wie das funktionieren soll. Für gewisse Kategorien ist das obige aber leicht zu zeigen. Sie nennen sich "kleine Kategorien" und dies soll heißen, dass die Objekte sich stets zu einer Menge zusammenfassen. Die Schwierigkeit des Begriffes der Klasse entfällt also, aber kleine Kategorien sind nicht sehr interessant.

vec(Bemerkung 2:) Man kann auch eine Kategorie definieren, in denen Funktoren die Objekte der Kategorie stellen. Die Morphismen heißen dann funktorielle Transformationen (auch natürliche Transformationen genannt). Ich werde aber hier auf die Definition verzichten.


vec(Beispiel:)
Es seien K=L=Kategorie der endlichdimensionalen k-Vektorräume und k-linearen Abbildungen (k ein Körper)
Der Funktor F ordne jedem Vektorraum V seinen Dualraum V' zu und jedem Homomorphismus f:V->W die duale Abbildung f': W'->V'; g->g\circ\ f
Dieser Funktor ist kontravariant (die Richtung wird umgekehrt)


Was sich vorzüglich als ein weiteres Beispiel anbietet ist die folgende Frage:

Was ist algebraische Topologie?

Lange Antwort: Erhält man nur, wenn man dieses Fach studiert.
Ok, gibt es eine kurze? Ja da gibt es eine: Die algebraische Topologie ist das Studium von Funktoren von topologischen in algebraischen Kategorien.
... und wieso...was hat man davon?
Nun, die Topologie ist unter anderem an folgender Frage interessiert: Wann sind zwei Räume homöomorph?
Zwei Räume heißen homöomorph, wenn eine bijektive, stetige Abbildung mit stetiger Umkehrung zwischen ihnen existiert.
(Eine solche Abbildung heißt Homöomorphismus.)
Mit der Kategoriensprache ist das äquivalent zum Satz: "Es exisitiert ein Isomorphismus in K(X,Y) in der Kategorie der topologischen Räume und den stetigen Abbildungen. (Diese Kategorie heiße jetzt C). Sei nun A eine algebraische Kategorie, zum Beispiel die der Gruppen und Gruppenhomomorphismen.
Wenn nun ein Funktor F:C->A existiert, kann man leicht(er) zeigen, dass zwei Räume NICHT homöomorph sind. Denn man ordnet dann den beiden Räumen X und Y die Gruppen F(X) und F(Y) zu. Wenn diese beiden Gruppen nicht isomorph sind, können die Räume X und Y nicht homöomorph sein. (Denn Angenommen sie sind es. Funktoren ordnen Isomorphismen Isomorphismen zu, Widerspruch, da die Gruppen ja nicht isomorph waren). Die andere Richtung (Aus der Isomorphie der Gruppen die Isomorphie der Räume folgern) funktioniert leider nicht, da der Funktor ja nur in die eine Richtung zuordnet.
Die wichtigsten Algebraisch-Topologischen Funktoren sind:
(singuläre) Homologie, (singuläre) Kohomologie und Homotopie (z.B. Fundamentalgruppe).
Schließlich sei bemerkt, dass die Algebraische Topologie der Ursprung der Kategorientheorie ist.