Mathematik: Vektoren III - Das Spatprodukt
Released by matroid on Mo. 15. November 2004 21:54:08 [Statistics]
Written by Gockel - 24713 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
Mathematik

\(\begingroup\) Logo

(Un)produktive Vektoren Teil III: Das Spatprodukt

Dies soll nun der dritte und letzte Teil meiner kleinen Reihe sein, in dem ich etwas doch recht Nützliches vorstellen will, das ebenfalls Produkt genannt wird, obwohl es in der Tat recht wenig mit Produkten zu tun hat, d.h. speziell soll es uns diesmal um das so genannte Spatprodukt gehen, das es uns erlaubt, Volumina schnell und einfach zu berechen.

Das Spatprodukt

Definition

Wenn man drei \(linear unabhängige\) Vektoren gegeben hat, so spannen diese einen Körper, einen so genannten Spat auf. Dabei handelt es sich im Prinzip einfach um ein schiefes Prisma, das irgendwie in den Raum gestellt wurde: \geo x(-2,1) y(-1,2) #erstmal das Koordinatensystem nolabel() fill(0,0,ffffff) punkt(0,0,O) punkt(-0.5,-0.5,x1,hide) punkt(1,0,y1,hide) punkt(0,1,z1,hide) strahl(O,x1) strahl(O,y1) strahl(O,z1) label() pfeil(O,x1,i) pfeil(O,y1,j) pfeil(O,z1,k) nolabel() #Dann der Körper punkt(0.5,1.5,A) punkt(-2,-1,B) punkt(0.5,0.5,C) punkt(-1.5,0.5,AB) punkt(1,2,AC) punkt(-1.5,-0.5,BC) punkt(-1,1,ABC) pen(2) pfeil(O,A) pfeil(O,B) pfeil(O,C) print(\big\ a^>,-1,-0.6) print(\big\ b^>,0.5,0.4) print(\big\ c^>,0.4,1.0) pen(1) color(dddddd) strecke(A,AB) strecke(B,AB) strecke(A,AC) strecke(B,BC) strecke(AB,ABC) strecke(C,AC) strecke(C,BC) strecke(AC,ABC) strecke(BC,ABC) \geooff \geoprint() Wir wollen nun einmal das Volumen dieses Körpers berechnen. Bekannt sein dürfte Die Formel V=A_G*h mit der wir das Volumen aus Kenntnis der Grundfläche A_G des Körpers und der Körperhöhe berechnen können. Bei der Flächenberechnung denkt der aufmerksame Leser nicht umsonst gleich ans Kreuzprodukt. Da wir hier die Vektoren a^> und b^> als gegeben nehmen, ist die Grundfläche schnell und einfach durch abs(a^>\cross\ b^>) zu berechnen. Fehlt noch die Höhe, aber die ist mit einem Trick ebenso schnell ermittelt. Wir können den Vektor c^> zwar nicht direkt verwenden, da es sich um die senkrechte Höhe handeln muss und c^> ja nicht notwendigerweise senkrecht auf der Ebene von a^> und b^> stehen muss. Durch eine Projektion auf einen bereits vorhandenen senkrechten Vektor wird uns allerdings geholfen. Und da springt einem ja das schon berechnete Kreuzprodukt förmlich ins Gesicht, denn das ist ja per Definition schon senkrecht zu unserer Grundfläche. Die Frage ist also, wie wir an die Projektion herankommen. Da kommt natürlich das Skalarprodukt in Frage: Wir schauen uns also einmal das Skalarprodukt (a^>\cross\ b^>)\circ\ c^> an. Dieses ist per Definition gleich abs(a^>\cross\ b^>)*abs(c^>)*cos \sphericalangle(a^>\cross\ b^>, c^>)=abs(a^>\cross\ b^>)*c' Wobei c' hier die Projektion von c auf den Vektor a^>\cross\ b^> sein soll. Dieses Skalarprodukt hat alles, was wir suchen: c' ist die \(noch vorzeichenbehaftete\) Höhe und abs(a^>\cross\ b^>) ist unsere Grundfläche. Wir müssen also nur den Betrag bilden und haben unser Volumen gefunden. Wir definieren also das Spatprodukt als genau dieses Volumen \(mit Vorzeichen von c'\): \blue\ Die reelle Zahl (a^>\cross\ b^>)\circ\ c^> wird als Spatprodukt der Vektoren a^>, b^> und c^> bezeichnet. Aufgrund dieser Definition wird das Spatprodukt auch manchmal "gemischtes Produkt" genannt, weil eben sowohl Skalar- als auch Kreuzprodukt darin vorkommen.

Erste Eigenschaften des Spatprodukts

Wir wollen noch ein bisschen mehr über unser neugewonnenes Instrument der Vektorgeometrie wissen... Zuerst wollen wir uns dem Vorzeichen widmen, das durch das Skalarprodukt an unser Volumen ran gekommen ist... Wir kennen den Verlauf der Kosinus-Funktion: \geo x(0,2) y(-1,1) plot(cos(x*0.5*PI())) print(\pi/2 \=^^ 90°,0.7,-0.05) \geooff \geoprint() Wir erkennen, dass cos \phi genau dann größer Null ist, wenn 0°<=\phi<90°, und genau dann kleiner Null, wenn 90°<\phi<=180° ist. \(Andere Winkel müssen wir für die Vektorgeometrie nicht beachten\) Da die andern beiden Faktoren in der Definition des Skalarprodukts Beträge von Vektoren, also immer positiv sind, fällt einzig und allein der Winkel zwischen a^>\cross\ b^> und c^> beim Vorzeichen ins Gewicht. Man sollte sich klarmachen, was es bedeutet, wenn dieser Winkel zwischen 0 und neunzig Grad liegt und was, wenn er mehr als neunzig Grad beträgt: Ist der Winkel kleiner 90°, so liegt c^> auf derselben Seite der a^>-b^>-Ebene wie a^>\cross\ b^>. Ist er größer 90°, so liegen c^> und a^>\cross\ b^> auf verschiedenen Seiten der Ebene. Da a^>, b^> und a^>\cross\ b^> ja insbesondere ein Rechtssystem definieren, können wir also am Vorzeichen des Spatprodukts erkennen, ob a^>, b^> und c^> \(in dieser Reihenfolge\) ebenfalls ein Rechts- oder ein Linkssystem bilden: (a^>\cross\ b^>)\circ\ c^> $ >0 $ <=> a^>, b^> und c^> bilden ein Rechtssystem (a^>\cross\ b^>)\circ\ c^> $ <0 $ <=> a^>, b^> und c^> bilden ein Linkssystem Was aber, wenn \phi=90° ist? Dann wird der cos 0 und damit das gesamte Spatprodukt... eine Ausnahme? Eine kleine Unregelmäßigkeit? Nein keineswegs; das ist geometrisch vollkommen zu rechtfertigen, wenn man sich klar macht, dass ein Vektor c^>, der senkrecht zu a^>\cross\ b^> steht, genau in der Ebene von a^> und b^> liegt. Der aufgespannte Spat hat also in diesem Fall gar keine Höhe und berechtigterweise das Volumen 0. Es ergibt sich eine weitere Eigenschaft, die sich in manchen Fällen als nützlich erweisen kann: (a^>\cross\ b^>)\circ\ c^> $ =0 $ <=> a^>, b^> und c^> liegen in einer Ebene, sind also linear abhängig.

Die Koordinatendarstellung des Spatprodukts

Um die Koordinatendarstellung des Spatprodukts zu ermitteln, setzen wir einfach allgemein unsere Koordinaten ein: ((a_x;a_y;a_z)\cross(b_x;b_y;b_z))\circ(c_x;c_y;c_z)=(a_y*b_z-a_z*b_y;a_z*b_x-a_x*b_z;a_x*b_y-a_y*b_x)\circ(c_x;c_y;c_z) =c_x*a_y*b_z-c_x*a_z*b_y + c_y*a_z*b_x-c_y*a_x*b_z + c_z*a_x*b_y-c_z*a_y*b_x =det(a_x,b_x,c_x;a_y,b_y,c_y;a_z,b_z,c_z)=det(a_x,a_y,a_z;b_x,b_y,b_z;c_x,c_y,c_z) Besonders die letzte Zeile ist interessant für diejenigen, die schon einmal mit Determinanten gerechnet haben, da man damit viele Eigenschaften sehr schnell und elegant beweisen kann. Von der schnellen und eleganten Berechnung einmal abgesehen... Insbesondere die reine Koordinatenformel ist gewöhnungsbedürftig, da sie aufgrund der vielen Variablen unübersichtlich ist. Wer das Prinzip der Determinanten verstanden hat, hat dadurch aber ein wichtiges Hilfsmittel, das Ordnung in diese Unübersichtlichkeit bringen kann.

Symmetrie im Spatprodukt

Wir wollen einmal untersuchen, was passiert, wenn man die Faktoren des Spatprodukts permutiert. Allein von der geometrischen Anschauung her, sollte jedem klar sein, dass es in Bezug auf das Volumen egal ist, in welcher Reihenfolge wir die Vektoren a^>, b^> und c^> haben, da sie jedes Mal denselben Spat aufspannen. Der Betrag des Spatprodukts ist also von der Reihenfolge unabhängig. Es kann sich lediglich das Vorzeichen ändern, weil wir ja möglicherweise so permutieren, dass ein Linkssystem anstelle eines Rechtssystems entsteht. Hier ließe sich die Determinante gut anführen: Durch Vertauschen der Vektoren vertauschen wir die Zeilen bzw. Spalten der Matrix, wodurch sich die Determinante nach den bekannten Regeln im Vorzeichen ändert, aber nicht im Betrag. \det(a^>,b^>,c^>)=-\det(a^>,c^>,b^>)= \det(b^>,c^>,a^>)=-\det(b^>,a^>,c^>)= \det(c^>,a^>,b^>)=-\det(c^>,b^>,a^>) Wenn es also nur um die Berechnung des Volumens geht, ist die Reihenfolge der Vektoren vollkommen egal, da wir eh nur den Betrag des Spatprodukts betrachten:

Rechenbeispiel

Gegeben sind die Punkte A(1\;2\;3), B(-4\;12\;7) und C(3\;4\;-5). Zusammen mit dem Nullpunkt bilden sie eine schiefe dreiseitige Pyramide. Berechnen Sie das Volumen, die Grundfläche und die Höhe der Pyramide, wenn das Dreieck \Delta||ABC als Grundseite angesehen wird. Dazu können wir geschickt ausnutzen, dass wir durch die Punkte Vektoren legen können, das Spatprodukt dieser Vektoren uns das Volumen des zugehörigen Spates angibt, und für Pyramiden gilt: V=1/3*A_G*h Schritt 1: Wir berechnen uns geeignete Vektoren, die die Pyramide aufspannen. Da empfehlen sich OA^>, AB^> und AC^>, da wir damit alle Aufgabenteile erfüllen können. OA^>=(1;2;3) AB^>=(-5;10;4) AC^>=(2;2;-8) Schritt 2: Wir berechnen das Volumen das Spates: V_Spat=abs((OA^>\cross\ AB^>)\circ\ AC^>) =abs(det(1,-5,2;2,10,2;3,4,-8)) =abs(1(-80-8)-2(40-8)+3(-10-20)) =abs(-242) =242 VE und daraus das Volumen der Pyramide, indem wir durch 6 teilen. Durch 6 deshalb, weil es sich um eine dreiseitige Pyramide handelt und wir deshalb unseren Spat halbieren müssen, um ein dreiseitiges Prisma zu erhalten. Und dieses müssen wir dann nochmal dritteln, weil die Pyramide, die die Höhe und Grundfläche mit einem Prisma gemeinsam hat, genau ein Drittel des Prismenvolumens hat. Also müssen wir das Volumen des Spates mit 1/2*1/3=1/6 multiplizieren: V_Pyramide= 121/3 VE Schritt 3: Wir berechnen die Grundfläche, indem wir das Kreuzprodukt von AB^> und AC^> bilden: (-5;10;4)\cross(2;2;-8)=(-80-8;8-40;-10-20)=(-88;-32;-30) Davon nehmen wir den Betrag, der uns, wie wir wissen, den Betrag des Parallelogramms, das AB^> und AC^> aufspannen, angibt. Wenn wir diesen halbieren, erhalten wir den Flächeninhalt von \Delta||ABC. A_Parallelogramm=abs((88;32;30))=sqrt(9668) \approx 98.536 FE => A_Dreieck=1/2*sqrt(9668)=sqrt(2417) \approx 49.162 FE Schritt 4: Wir benutzen die Defintion V_Pyramide=1/3*A_G*h um damit die Höhe zu berechnen: h=3*V_Pyramide/A_Dreieick=121/sqrt(2417) \approx 2.461 LE Wir haben also eine Höhe von rund 2,46, eine Grundfläche von rund 49,16 und ein Volumen von 121/3.
Das hier und in den letzten beiden Teilen Dargestellte findet unzählige Anwendungen, von denen ich ein paar ja schon in den letzten Artikel beleuchtet habe. Man lernt hier also keinesfalls nur für sich und/oder die Schule, sondern man lernt etwas, was in der Praxis sehr bedeutsam ist. Von Vektorgraphik bis Architektur, von Elektrizitätslehre bis Mechanik... Überall sind Vektoren und ihre Produkte zu finden. Ich hoffe es hat euch gut gefallen, was ich in den vergangenen Artikel darüber geschrieben habe, bedanke mich für eure Aufmerksamkeit und beende hiermit die Reihe (Un)produktive Vektoren. (mfg^>\cross\ Goc^>)\circ\ kel^

Logo

(Un)Produktive Vektoren

Teil I: Das Skalarprodukt Teil II: Das Kreuzprodukt Teil III: Das Spatprodukt
\(\endgroup\)
Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Analytische Geometrie :: Schüler aufwärts :: Leicht verständlich :: Mathematik :
(Un)produktive Vektoren III [von Gockel]  
(Un)produktive Vektoren Teil III: Das Spatprodukt
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 24713
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 4175 externe Seitenaufrufe zwischen 2012.01 und 2022.06 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
http://www.gutefrage.net82219.7%19.7 %
http://google.ru2686.4%6.4 %
http://google.de213251.1%51.1 %
http://google.ro2596.2%6.2 %
http://google.sk2044.9%4.9 %
https://google.de1243%3 %
http://google.fr1022.4%2.4 %
http://google.nl441.1%1.1 %
https://google.com441.1%1.1 %
https://www.ecosia.org220.5%0.5 %
https://www.bing.com190.5%0.5 %
https://duckduckgo.com160.4%0.4 %
http://google.it120.3%0.3 %
http://vorhilfe.de60.1%0.1 %
http://matheraum.de40.1%0.1 %
http://r.duckduckgo.com30.1%0.1 %
http://google.com30.1%0.1 %
http://metager.de30.1%0.1 %
http://search.babylon.com40.1%0.1 %
http://startpins.com20%0 %
http://suche.t-online.de140.3%0.3 %
http://int.search.myway.com30.1%0.1 %
http://search.iminent.com10%0 %
http://search.conduit.com100.2%0.2 %
http://www.bing.com90.2%0.2 %
http://suche.web.de50.1%0.1 %
http://search.icq.com50.1%0.1 %
http://avira.search.ask.com10%0 %
http://isearch.avg.com10%0 %
https://cse.newshub360.de10%0 %
http://int.search-results.com10%0 %
http://suche.gmx.net10%0 %
http://search.sweetim.com10%0 %
http://www.claro-search.com10%0 %
http://int.search.tb.ask.com10%0 %
http://search.softonic.com20%0 %
http://search.incredibar.com10%0 %
http://search.creativetoolbars.com10%0 %
http://isearch.babylon.com10%0 %
http://google.at10%0 %
http://at.search.yahoo.com10%0 %
http://192.168.0.1:191010%0 %
http://www.ecosia.org30.1%0.1 %
http://suche.aolsvc.de10%0 %
http://ecosia.org20%0 %
http://suche.aol.de10%0 %
http://ch.yhs4.search.yahoo.com10%0 %
https://r.search.yahoo.com10%0 %
http://search.certified-toolbar.com10%0 %
http://avira-int.ask.com20%0 %
http://de.search.yahoo.com30.1%0.1 %
http://www.search.ask.com10%0 %
http://eu.ixquick.com10%0 %
http://www.facebook.com10%0 %
http://www.benefind.de10%0 %

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 4060 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2012-2017 (822x)http://www.gutefrage.net/frage/wie-kann-ich-beweisen-dass-4-vektoren-in-einer...
201203-03 (268x)http://google.ru/url?sa=t&rct=j&q=spatprodukt prisma
201201-01 (264x)http://google.de/xhtml?aq=1&oq=spatp&aqi=g6-k2d1t0&fkt=2497&fsdt=9907&cqt=&rs...
201202-02 (259x)http://google.ro/url?sa=t&rct=j&q=berechnung eines pyramidenvolumen mit vekto...
201211-11 (204x)http://google.sk/url?sa=t&rct=j&q=volumen berechnen vektoren
201212-12 (181x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&ved=0CCEQFjAD
201204-04 (165x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wie rechnet man spatprodukt vektor
201205-05 (154x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CFkQFjAA
201206-06 (129x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&ved=0CGsQFjAD
2013-2018 (125x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
201209-09 (118x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CBsQFjAC
2020-2022 (112x)https://google.de/
201210-10 (103x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wie berechnet man spatprodukt
201301-01 (102x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=das volumen von 3 vektoren
2012-2015 (95x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=volumen vierseitige pyramide spatprodukt
201302-02 (72x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CBoQFjAC
2014-2015 (66x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=spatprodukt erklärung
201306-06 (59x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wie komme ich auf die höhe beim spatprod...
201305-05 (58x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wie oft geht eine viereckige pyramide in ei...
201303-03 (56x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wann darf man das spatprodukt anwenden?
201304-04 (56x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=Zerlegung Spat in Pyramiden
201311-11 (54x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=volumen durch vektoren
201411-11 (44x)http://google.nl/url?sa=t&rct=j&q=
2020-2022 (44x)https://google.com/
201403-03 (37x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=vektoren spat aufspannen
201504-04 (37x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=5&ved=0CCUQFjAE
201405-05 (36x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=7&ved=0CDwQFjAG
201404-04 (36x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=spat mathematik definition
201208-08 (33x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=volumenberechnung dreiseitige pyramide vekt...
201410-10 (29x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=spatprodukt tric
201501-01 (28x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CB0QFjAA
201505-05 (27x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CB4QFjAB
201401-01 (22x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=vektoren spat aufspannen damit volumen
2021-2022 (21x)https://www.ecosia.org/
201310-10 (19x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=spat mathe definition
201307-07 (18x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=volumen berechnen vektoren
201309-09 (17x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=3 vektoren berechne
2020-2022 (16x)https://www.bing.com/
2021-2022 (14x)https://duckduckgo.com/
2020-2021 (12x)https://google.de
201409-09 (12x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=12&ved=0CEAQFjAL
201407-07 (12x)http://google.it/url?sa=t&rct=j&q=
2016-2017 (7x)http://google.de/
201509-09 (7x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=spatprodukt vektoren mathematik
2013-2015 (6x)http://vorhilfe.de/forum/Spatprodukt/t143598
201606-06 (4x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=7&rct=j&q=schiefes dreiseitiges prism...

[Top of page]

"Mathematik: Vektoren III - Das Spatprodukt" | 15 Comments
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: (Un)produktive Vektoren III
von: susi0815 am: Mo. 15. November 2004 22:18:23
\(\begingroup\)wieder ein schöner Artikel ! Danke. Susi\(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren III
von: matroid am: Di. 16. November 2004 07:04:58
\(\begingroup\)Hi Gockel, ich finde, das ist eine sehr gute Serie. Ich freue mich immer über solche gut lesbaren Darstellungen, denn ich denke, daß viele Mathe-Interessenten an der Grenze von Schule und Hochschule genau solche Sachen lesen wollen. Du bist ja auch genau der richtige 😉 diese Klientel anzusprechen und schaffst es auch immer, eine didaktisches Konzept in Deine Ausarbeitungen zu legen. Du nimmst Leser richtig schön an die Hand und zeigst alles. Danke für Deine Spaß an der Sache. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren III
von: thaldyron am: Di. 16. November 2004 19:23:43
\(\begingroup\)Hallo! Netter Artikel aber in der Überschrift hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen: "(Un)poduktive" \(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren III
von: Gockel am: Di. 16. November 2004 20:32:00
\(\begingroup\)Hi. Ich hab gleich ne Änderungsanfrage geschickt :) mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren III
von: MathSG1982 am: Mi. 17. November 2004 19:31:54
\(\begingroup\)Sorry, aber ich muss mich wiederholen: In jedem besseren Oberstufenskript finde ich so etwas. \(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren III
von: matroid am: Mi. 17. November 2004 19:52:08
\(\begingroup\)Dafür hat aber noch niemand vorher perspektivische Zeichnungen mit dem fed erstellt *applaus*\(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren III
von: Martin_Infinite am: Mi. 17. November 2004 20:39:54
\(\begingroup\)@Math: Wiederhole, so oft du willst :P Solange du nicht weißt, was Artikel-Schrieben bedeutet, bringt es sowieso nichts.\(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren III
von: Gockel am: Mi. 17. November 2004 20:40:37
\(\begingroup\)@SG: Jetzt mal ehrlich: NA UND? Was schert mich, was in deinem Buch steht. 1.) zwingt dich niemand die Artikel zu lesen. 2.) Wir haben dich auch schon beim ersten Mal gut verstanden, das musste nicht wiederholt werden. Glaubst du ich lasse die Reihe unvollendet, selbst wenn mich dein Kommentar beeindrucken würde? @chef: Hihi danke :) Der Trick ist ganz einfach: Du stellst die Vektoren anhand der normalen Basis i^>, j^>, k^> dar und projezierst das ganze in die Ebene, in dem du i^>=-0.5*e_x^>-0.5*e_y^>, j^>=e_x^> und k=e_y^> setzt. Dann kannst du einfach wieder koordinatenweise addieren und erhälst den projezierten Punkt in der Ebene. Würde theoretisch auch für andere Projektionen (isomerische Perspektive etc.) funktionieren, man muss nur die Umrechnung anpassen. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren III
von: snooze am: Sa. 14. Mai 2005 17:37:44
\(\begingroup\)Dankeschön!\(\endgroup\)
 

Re: Vektoren III - Das Spatprodukt
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 20. November 2005 23:19:59
\(\begingroup\)Ui. Es gibt noch Internetseiten die nicht zur totalen Verblödung führen. Respekt!\(\endgroup\)
 

Re: Vektoren III - Das Spatprodukt
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 23. Februar 2006 20:28:36
\(\begingroup\)Endlich mal eine Erklärung bei der jem . der nicht so gut mathe kann - wie ich - endlich einmal direkt durchblickt und nit stunden von Lehrererklärungen braucht um es zu verstehen. Mfg Ente\(\endgroup\)
 

Re: Vektoren III - Das Spatprodukt
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 10. Mai 2006 17:51:44
\(\begingroup\)Kann es sein, dass im Rechenbeispiel für das Spatprodukt ein Fehler steckt? ...oder bin ich zu blöd?? Ich komme auf V = |-242| = 242 Vom methodisch-didaktischen her, finde ich den Artikel übrigens klasse!!\(\endgroup\)
 

Re: Vektoren III - Das Spatprodukt
von: Gockel am: Mi. 10. Mai 2006 18:26:43
\(\begingroup\)Hi. Da hast du tatsächlich einen Fehler gefunden. Ich werds sofort korrigieren und danke dir für das Lob :) Schön zu wissen, dass es jemandem gefällt. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Vektoren III - Das Spatprodukt
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 23. Januar 2007 23:21:03
\(\begingroup\)Hallo! Zuerst mal vielen Dank für diese super Seite, hilft mir echt sehr. Ich bin das Spatprodukt für ein Referat durchgegangen und habe eine Fehler entdeckt, denke ich doch mal. Bei dem Rechenbeispiel in Schritt 2: errechnet wird V(Spat) aus (AB x AC) o 0A 242 VE mal 1/6 sind 40/1/3 VE und nicht 43/3 VE. Dadurch stimmt natürlich auch die Höhe nicht, die unten über das Volumen berechnet wird. (2,46 LE) Auch bei der Fläche ist ein kleiner Fehler enthalten: 1/2 * wurzel (9668) = 49,163 FE MFG Dennis \(\endgroup\)
 

Re: Vektoren III - Das Spatprodukt
von: Diophant am: Fr. 12. Dezember 2008 08:34:51
\(\begingroup\)Hallo, Schüler, aufgepasst: mit dem hier vorgestellten Spatprodukt lässt sich so manche Volumenberechnung in Nullkomma-Fast-Nix erledigen... @Gockel: Klasse Artikel (auch was die fed-Künste angeht!). Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]