Mathematik: Der Kern und der kern.
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Mathematik

\(\begingroup\) Der Kern und der kern.
Ich möchte hier kurz ein paar Gedanken über den Kern bzw. den kern zusammentragen. Mit ihren strukturellen Konstruktionen werden Zusammenhänge zu Äquivalenzrelationen, Fasern, Faktorgruppen und den Lösungsräumen von linearen Gleichungssystemen offen gelegt.


Schauen wir uns zunächst \darkgreen\big\Äquivalenzrelationen \black\normal\an. Sie erfüllen dieselben charakteristischen Eigenschaften wie die Gleichheit, nämlich Reflexivität, Symmetrie und Transitivität, sodass man sagen kann, dass sie nur andere Formen der Gleichheit sind. Das lässt sich folgendermaßen ausdrücken: Jede Äquivalenzrelation ~ einer Menge X hat die Gestalt array( ) x ~ y <=> f(x) = f(y) wobei f eine Abbildung mit dem Urbereich X ist. Man kann nämlich für f den kanonischen Epimorphismus nehmen, der jedem Element von X seine Äquivalenzklasse bezüglich ~ zuordnet. Doch umgekehrt wird auch ein Schuh draus: So kann man nämlich mit jeder Abbildung f, die auf X definiert ist, eine Äquivalenzrelation erklären. Man nennt sie den \darkgreen\big\kern(f) \black\normal\. Es gilt also array( ) x kern(f) y <=> f(x) = f(y) Äquivalenzrelationen lassen sich also eindeutig als kerne von Abbildungen charakterisieren. Die Injektivität einer Abbildung f kann man damit auch so formulieren, dass kern(f) die Identität ist. Die Äquivalenzklassen von kern(f) sind offenbar genau die nichtleeren \darkgreen\big\Fasern \normal\black\von f, und zwar gilt [x]_(kern(f))=f^(-1) menge(f(x)). Schauen wir uns die Situation bei \darkgreen\big\Gruppen \black\normal\an. Um ihre Struktur auszunutzen, nehmen wir für f einen Gruppenhomomorphismus G -> H. Dann lässt sich kern(f) nämlich auch so darstellen: x kern(f) y <=> f(x) = f(y) <=> f(xy^(-1)) = f(1) <=> xy^(-1) \in [1]_(kern(f)) d.h. dass kern(f) bereits vollständig durch die Äquivalenzklasse von 1 bestimmt ist. Man gibt ihr daher einen eigenen Namen: \darkgreen\big\Kern(f) Mit dieser Sichtweise ist klar, dass f genau dann injektiv, also ein Monomorphismus ist, wenn kern(f)=id_G, also Kern(f)=menge(1) ist. Offenbar ist Kern(f)=menge(g \in G | f(g)=1) ein Normalteiler von G. Da liegt es nahe, dessen Faktorgruppe zu betrachten. Kern(f) ist gerade so definiert worden, dass die Kongruenz modulo Kern(f) mit kern(f) identisch ist. Daher gilt array( ) G\/Kern(f) = G\/kern(f) Die Äquivalenzklassen von kern(f), die wir bereits als die nichtleeren Fasern von f identifiziert haben, sind also genau die Nebenklassen von Kern(f). Die Faser mit dem beliebigen Vertreter g ist also mit g Kern(f) identisch, d.h. f^(-1) (menge(f(g))) = g Kern(f) = [g]_(kern(f)). Dies waren meine Verallgemeinerungen des bekannten Satzes aus der linearen Algebra, dass sich der \big\darkgreen\Lösungsraum eines LGS \normal\black\aus der Summe einer partikulären Lösung und dem Lösungsraum des homogenen LGS zu- sammensetzt. Das ist wirklich nichts anderes, als das, was wir gerade festgestellt haben: Wenn A die zum LGS zugehörige Matrix ist, und b der Zielvektor, dann nehmen wir als Gruppenhomomorphismus zwischen den additiven Gruppen der endlich-dimensionalen Vektorräume die Zuordnung x->Ax. Deren Kern ist natürlich der Lösungsraum des homogenen LGS Ax=0, und für eine partikuläre Lösung y ist der Lösungsraum von Ax=b nichts anderes als die Faser von Ay, also y+Kern(x->Ax).
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: Interessierte Studenten :: Reine Mathematik :: Mathematik :
Der Kern und der kern. [von Martin_Infinite]  
Der Unterschied von Kern und kern sowie ihr Zusammenhang zu Äquvalenzrelationen, Fasern, Faktorgruppen und Lösungräumen von LGS
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"Mathematik: Der Kern und der kern." | 9 Comments
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Re: Der Kern und der kern.
von: Plex_Inphinity am: Mi. 09. März 2005 18:14:25
\(\begingroup\)Hi Martin, ein kerniger Artikel über des kerns Kern, der bis zum Kern des kerns vordringt. Danke dafür, Plex 😄\(\endgroup\)
 

Re: Der Kern und der kern.
von: Ex_Mitglied_4018 am: Mi. 09. März 2005 18:44:54
\(\begingroup\)Hi maddin, die Verallgemeinerung find ich nicht schlecht, hab mal auch darüber nachgedacht. Ich hatte den Ansatz gewählt, dass man immer eine injektive Abbildung X/kern(f) -> Y hat, sofern f:X-> Y die Äquivalenzrelation definiert. Also eine Art Verallgemeinerung des Homomorphiesatzes. Gruß Zaos //edit Die Abbildung g: X/kern(f) -> Y ist natürlich von f induziert: g([x])=f(x)\(\endgroup\)
 

Re: Der Kern und der kern.
von: Martin_Infinite am: Do. 10. März 2005 19:59:45
\(\begingroup\)Hi Zaos, gut, dass du diese Form des Homomorphiesatzes noch erwähnst! Sei f : X -> Y eine Abbildung und k der kanonische Epimorphismus von X auf X/kern(f). Es gibt dann genau eine Abbildung g : X/kern(f) -> Y mit gk=f. Die Abbildung g ist injektiv, und wenn f surjektiv ist, sogar bijektiv. Das lässt sich bestimmt als kommutierendes Diagramm schreiben 😉 Gruß Martin\(\endgroup\)
 

Re: Der Kern und der kern.
von: Ex_Mitglied_4018 am: Do. 10. März 2005 21:13:24
\(\begingroup\)Hi Maddin, natürlich kann man das 😉
Bild
\(\endgroup\)
 

Re: Der Kern und der kern.
von: Martin_Infinite am: Fr. 11. März 2005 07:09:13
\(\begingroup\)Hi Zaos, wie bringt man zum Ausdruck, dass g injektiv ist? Aber Achtung: Es heißt ja nicht, dass es genau eine Injektion g mit gk=f gibt, sondern sogar, dass jedes g mit gk = f injektiv ist, und dass es ein solches gibt. Gruß tele-oo- \(\endgroup\)
 

Re: Der Kern und der kern.
von: Ex_Mitglied_4018 am: Fr. 11. März 2005 10:58:38
\(\begingroup\)Hmm, dass es genau eine Injektion gibt, hätte man auch im Diagramm ausdrücken können (da gibts einen speziellen Pfeil für Injektionen). Aber hier müßte man einfach als Zusatz schreiben, dass g injektiv ist.... Es ist schon irgendwie komisch von einem eindeutigen g zu sprechen und dann im selben Atemzug zu sagen, dass alle anderen, die die Eigenschaft haben, injektiv sind. 😉 Gruß Zaos\(\endgroup\)
 

Re: Der Kern und der kern.
von: Martin_Infinite am: Fr. 11. März 2005 14:12:44
\(\begingroup\)Hi Zaos, von allen anderen habe ich nicht gesprochen, schließlich gibt es auch keine davon. Gruß Martin\(\endgroup\)
 

Re: Der Kern und der kern.
von: Ex_Mitglied_4018 am: Fr. 11. März 2005 14:18:13
\(\begingroup\)Habe Ich gesagt, daß Du das gesagt hast? *lach* Ich habe extra von "allen anderen" gesprochen, um die Absurdität zu verdeutlichen. Aber wir sollten hier keine Haare spalten. Es gibt genau eine solche Abbildung und darüberhinaus ist sie injektiv, Punkt. 😉\(\endgroup\)
 

Re: Der Kern und der kern.
von: Ex_Mitglied_4018 am: Do. 11. August 2005 18:06:18
\(\begingroup\)Hi Martin, hier eine "Verallgemeinerung" des Homomorphiesatzes für Kategorien, die mir eben aufgefallen ist: Sei F: K ->L ein Funktor. Dann ist das "Bild" von F eine (nicht notwendigerweise volle) Unterkategorie von L. Jetzt definieren wir eine Kongruenzrelation in K: f,g \in hom(A,B) seien äquivalent, wenn F(f)=F(g) in hom(FA,FB) ist. Dies induziert einen Isomorphismus K/~ -> im(F) Gruß Zaos\(\endgroup\)
 

 
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