Mathematik: Ana[rchie] II: Der Blitzableiter
Released by matroid on Di. 24. Mai 2005 06:50:36 [Statistics]
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Mathematik

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Ana[rchie] II: Der Blitzableiter

Hallo, Analysis-Freunde. Dies ist nun der 2.Teil meiner Reihe zum Thema Analysis für Oberstufenschüler. Diesmal geht es uns vor allem um die Differentialrechnung, die in Physik, Ingenieurswesen, Architektur und vielen anderen Bereichen des täglichen Lebens Anwendung findet.

Das Tangentenproblem

Differentialrechnung begann historisch gesehen mit der recht unspektakulären Frage, ob es möglich sei, allein auf rechnerischem Wege zu ermitteln, welchen Anstieg die Tangente an einen Funktionsgraphen hat. Wie kann man sich also allein aus der Funktionsgleichung f(x) die Tangentengleichung in einem Punkt bestimmen? Der Trick dabei besteht ganz einfach darin, dass man zuerst Sekanten betrachtet und diese langsam in eine Tangente übergehen lässt: \geo xy(0,6) pen(2) plot(1/2*power(x-2,2)+1,f) punkt(f,1,A) nolabel() punkt(f,5,B1) punkt(f,4,B2) punkt(f,3,B3) punkt(f,2.6,B4) punkt(f,2.2,B5) punkt(f,1.8,B6) punkt(f,1.4,B7) punkt(f,1.2,B8) pen(1) color(000088) strahl(A,B1) color(000099) strahl(A,B2) color(0000aa) strahl(A,B3) color(0000bb) strahl(A,B4) color(0000cc) strahl(A,B5) color(0000dd) strahl(A,B6) color(0000ee) strahl(A,B7) color(0000ff) strahl(A,B8) \geooff \geoprint() Hier wird die Funktion f(x)=1/2*x^2-2x+3 und der Punkt A(1,f(1)) betrachtet. Dann werden Sekanten durch die Punkte (5,f(5)), (4,f(4)), (3,f(3)), (2.6,f(2.6)), (2.2,f(2.2)), (1.8,f(1.8)), (1.4,f(1.4)) und schließlich (1.2,f(1.2)) gelegt und wie man sieht, nähern sie sich dabei immer stärker unserem Ziel der Tangente an. Zum Vergleich nochmal die letzte\blue Sekante\black und die echte\darkgreen Tangente\black||: \geo xy(0,3) pen(2) plot(1/2*power(x-2,2)+1,f) punkt(f,1,A) nolabel() punkt(f,1.2,B5) pen(1) color(0000ff) gerade(A,B5) color(008800) plot(-x+2.5) \geooff \geoprint() Die Idee, die hinter diesem Vorgehen zur Ermittlung der Tangenten steckt, führt uns doch sofort auf das Hauptproblem dabei: Wie bestimmt man in der Tangentengleichung y=mx+n entweder m oder n aus dem Punkt und der Funktionsgleichung? Offensichtlich hat man, wenn man eins von beidem hat, unter Zuhilfenahme des Punktes auch das zweite. Doch wie an eins von beidem herankommen? In der Praxis wird dann der Anstieg bestimmt, indem man das Verfahren mit den Sekanten weiterspinnt: Man berechnet den Anstieg der Sekanten mittels der zwei Punkte, durch die man sie gelegt hat, und berechnet von der so entstehenden Folge den Grenzwert für den Fall, dass man die Sekanten immer dichter an die Tangente gehen lässt. Bei dieser Grenzwertbetrachtung wendet man oft die so genannte "h-Methode" an:

Die "h-Methode"

Die h\-Methode verallgemeinert wie gesagt die Überlegungen zum Übergang von Sekanten zu Tangenten. Dabei nimmt man einen Punkt A(x,f(x)), in dem man die Tangente an den Funktionsgraphen legen will, sowie einen dicht benachbarten Punkt $ $ B(x+h,f(x+h)). Legt man eine Sekante durch die beiden Punkte, so beträgt der Anstieg dieser Sekante: m=\Delta||y/\Delta||x=(f(x+h)-f(x))/h \geo x(0.7,1.5) y(1.1,1.9) pen(2) plot(1/2*power(x-2,2)+1,f) nolabel() punkt(f,1,A) punkt(f,1.2,B) punkt(1.2,1.5,C,hide) pen(1) strecke(A,C) strecke(C,B) print(A(x\,f(x)),0.75,1.5) print(B(x+h\,f(x+h)),0.85,1.3) color(0000ff) gerade(A,B) color(008800) plot(-x+2.5) print(\Delta||x=h,1.1,1.55) print(\Delta||y,1.22,1.4) \geooff \geoprint() Auf diesem sogenannten \darkblue\ Differenzenquotienten__\black bauen die restlichen Überlegungen auf, denn wie wir oben erkannt haben, nähert sich der Wert dieses $ $ Differenzenquotienten dem gesuchten Anstieg der Tangente an, wenn wir h \(also auch den Abstand der beiden Punkte\) gegen Null gehen lassen. Der Grenzwert lim(h->0,(f(x+h)-f(x))/h) gibt also den Anstieg der Tangente am Funktionsgraphen im Punkt (x,f(x)) an. Man spricht der Kürze halber auch einfach vom Anstieg der Funktion. Existiert dieser Grenzwert \- er wird übrigens als \darkblue\ Differentialquotient__\black bezeichnet \- so sagt man auch, die Funktion sei array(\darkblue\ differenzierbar an der Stelle x)__\black||. Existiert er für jedes x des Definitionsbereiches, so sagt man, die ganze Funktion sei \darkblue\ differenzierbar__\black||. Und weil Funktionen so was schönes sind, fassen wir auch diese Grenzwerte in Form einer Funktion zusammen, der sogenannten array(\darkblue\ 1.Ableitungsfunktion von f)__\black \- oder kurz Ableitung \- , die jedem x des Definitionsbereichs von f den obigen Grenzwert zuordnet. Geschrieben wird dies meistens mit f\'(x) \(gesprochen: f Strich von x\): f\'(x)=lim(h->0,(f(x+h)-f(x))/h) Diese Funktion - das heißt insbesondere die Differentialquotienten - müssen nicht existieren. Es gibt Funktionen, die nur an bestimmten Ausnahmestellen nicht differenzierbar sind, es gibt aber auch Funktionen, die in ihrem gesamten Definitionsbereich nicht differenzierbar sind. \small\ Anmerkung: \small\ Es gibt auch andere Varianten des Grenzwertes... manchmal wird auch folgendes bevorzugt: f\'(x)=lim(w->x,(f(w)-f(x))/(w-x)), was der obigen Variante aber komplett entspricht, da man h=w-x setzen kann und so der Grenzwert für w->x in den Grenzwert lim(h->0,(f(x+h)-f(x))/h) übergeht. Da auch die 1.Ableitung nun eine Funktion ist, kann man auch diese wieder ableiten \(wenn die entsprechenden Grenzwerte existieren\). Dann spricht man von der zweiten, dritten, ..., n\-ten Ableitung: f\''(x), f\'''(x), ..., f^(n)(x) notiert und "f zwei\-Strich", "f drei\-Strich", ..., "f n\-Strich" gesprochen. Neben dieser Schreibweise mit dem Strich werden auch andere Schreibweisen verwendet. Hat man eine Funktion y=f(x), so schreibt man auch nicht selten dy/dx \(sprich: dy nach dx\), besonders dann, wenn man kenntlich machen will, nach welcher Größe man gerade ableitet, welche also die Veränderliche ist. Auch hier gibt es Mehrfachableitungen, die dann als (d^2\.y)/dx^2 , (d^3\.y)/dx^3 , ..., (d^n\.y)/dx^n notiert werden.

Ableitungsregeln

Wie auch bei den Grenzwerten sind fürs Ableiten handliche Regeln lieber als die umständliche Definition, die zwar schön anschaulich aber schwer handhabbar ist. Machen wir uns also auf den Weg :)

Die Summenregel

Diese erste Regel ist sehr einfach: Sind f und g differenzierbare Funktionen, so ist f(x)+g(x) ebenfalls differenzierbar und es gilt: \darkred\ [f(x)+-g(x)]'=f\'(x)+g'(x) \blue\ Beweis: Hier ist er denkbar einfach, denn wir wissen ja schon, dass ein ähnliches Gesetz für Grenzwerte gilt, also können wir die Grenzwertdefinition der ersten Ableitung benutzen, um diese Regel zu beweisen: [f(x)+-g(x)]'=lim(h->0,(f(x+h)+-g(x+h)-(f(x)+-g(x)))/h) =lim(h->0,(f(x+h)-f(x)+-g(x+h)-+g(x))/h) =lim(h->0,(f(x+h)-f(x))/h)+-lim(h->0,(g(x+h)-g(x))/h) =f\'(x)+g'(x) \blue\ q.e.d.

Die Faktorregel

Ebenso einfach zu beweisen ist die so genannte Faktorregel: Ist f eine differenzierbare Funktion und a\el\IR, dann ist a*f(x) ebenfalls differenzierbar und hat die Ableitung a*f\'(x): \darkred\ [a*f(x)]'=a*f\'(x) \blue\ Beweis: Der gestaltet sich mit den Grenzwertsätzen auch denkbar einfach: [a*f(x)]'=lim(h->0,(a*f(x+h)-a*f(x))/h)=lim(h->0,a*(f(x+h)-f(x))/h) =lim(h->0,a)*lim(h->0,(f(x+h)-f(x))/h)=a*f\'(x) \blue\ q.e.d. Dies kann man sich sehr einfach auch geometrisch veranschaulichen: Die Multiplikation mit einer reellen Zahl a bedeutet, dass die Funktion um den Faktor a in y\-Richtung gestreckt (bzw. gestaucht) wird. Vor allem werden dabei auch alle angelegten Tangenten mitgestreckt (gestaucht), also muss sich der Anstieg der Tangenten \(||\=^^ die erste Ableitung\) auch um diesen Faktor verändern. \geo #xy(-10,10) color(880000) plot(x^3-4.5*x^2+6*x) color(ff0000) plot(-0.75*x+3.375) color(000088) plot(0.4*(x^3-4.5*x^2+6*x)) color(0000ff) plot(-0.3*x+1.35) \geooff \geoprint()

Produktregel

Komplizierter, aber keinesfalls unwichtiger, ist die Produktregel, die es uns erlaubt ein Produkt aus differenzierbaren Funktionen zu differenzieren: Sind f und g differenzierbare Funktionen, so ist f(x)*g(x) auch differenzierbar und es gilt: \darkred\ [f(x)g(x)]'=f\'(x)g(x)+f(x)g'(x) \blue\ Beweis: Das ist diesmal etwas mehr Umformungsarbeit: [f(x)g(x)]'=lim(h->0,(f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x))/h) =lim(h->0,(f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x))/h) =lim(h->0,((f(x+h)-f(x))g(x+h)+f(x)(g(x+h)-g(x)))/h) =lim(h->0,((f(x+h)-f(x))g(x+h))/h)+lim(h->0,(f(x)(g(x+h)-g(x)))/h) =lim(h->0,(f(x+h)-f(x))/h)*lim(h->0,g(x+h))+f(x)*lim(h->0,(g(x+h)-g(x))/h) =f\'(x)g(x)+f(x)g'(x) \blue\ q.e.d. Die Anschauung ist in diesem Fall etwas schwierig. Man könnte es sich zwar als Streckung bzw. Stauchung vorstellen, aber der Streckfaktor bleibt nicht konstant und kann somit an verschiedenen Stellen der Funktion stark schwanken. Es ist also besser, sich in diesem Fall an die Formeln statt an die Anschauung zu halten. Anmerkung: Wenn man es ganz genau nimmt, könnte man auch die Faktorregel als Spezialfall der Produktregel auffassen, da a ja als konstante Funktion g(x)=a aufgefasst werden könnte, deren Ableitung überall 0 ist, da alle Tangenten ja parallel zur x-Achse verlaufen würden und somit den Anstieg null hätten. Setzt man dies in die Produktregel ein, so erhält man ebenfalls die Faktorregel. Ich habe sie trotzdem extra erwähnt, da der Fall des konstanten Faktors einfacher und anschaulicher ist und meist deswegen sowieso gesondert behandelt wird.

Quotientenregel

Das Ganze geht natürlich ganz ähnlich auch für Quotienten: Sind f und g differenzierbare Funktionen, dann ist für g(x)!=0 die Funktion f(x)/g(x) differenzierbar und es gilt: \darkred gauss(f(x)/g(x))'=(f\'(x)g(x)-f(x)g'(x))/((g(x))^2) \blue\ Beweis: Wie gesagt läuft es hier mit einem ähnlichen Trick wie oben: gauss(f(x)/g(x))'=lim(h->0,(f(x+h)/g(x+h)-f(x)/g(x))/h) =lim(h->0,(f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h))/(g(x+h)g(x)h)) =lim(h->0,1/(g(x+h)g(x))*(f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h))/h) =lim(h->0,1/(g(x+h)g(x)))|(lim(h->0,(f(x+h)-f(x))/h|g(x))-lim(h->0,f(x)|(g(x+h)-g(x))/h) =(f\'(x)g(x)-f(x)g'(x))/((g(x))^2) \blue\ q.e.d. Ganz analog fällt auch hier die Vorstellung schwer. Man könnte sich zwar auch wieder die Streckung mit 1/g(x) vorstellen, aber genau wie bei der Produktregel ist auch dies sehr schwer, da der Streckfaktor sehr uneinheitlich sein kann.

Die Kettenregel

Neben den 4 Grundrechenarten gibt es natürlich auch noch die Möglichkeit, Funktion zu verketten, also aus f(x) und g(x) die Funktion f(g(x)) zu bilden. Auch hierfür gibt es eine Ableitungsregel: Sind f und g differenzierbare Funktionen, so ist f(g(x)) auch differenzierbar und es gilt: \darkred\ [f(g(x))]'=f\'(g(x))*g'(x) \blue\ Beweis: Wir nehmen an, dass g(x) eine nicht-konstante Funktion ist. Den Fall der konstanten Funktion haben wir oben schon abgehandelt. [f(g(x))]'=lim(h->0,(f(g(x+h))-f(g(x)))/h) =lim(h->0,(f(g(x+h))-f(g(x)))/(g(x+h)-g(x))*(g(x+h)-g(x))/h) =lim(t->0,(f(g(x)+t)-f(g(x)))/t)*lim(h->0,(g(x+h)-g(x))/h) =f\'(g(x))*g'(x) \blue\ q.e.d. Hierbei wurde im ersten Grenzwert die Substitution \(d.h. eine Ersetzung\) t=g(x+h)-g(x) durchgeführt. Die Kettenregel lässt sich in dem Merksatz "innere mal äußere Ableitung" zusammenfassen, denn es wird ja die Ableitung der sogenannten äußeren Funktion f(x) mit der Ableitung der inneren Funktion g(x) multipliziert. Wichtig ist aber dabei, dass man auf das Argument von f' achten muss. Das Argument bleibt unverändert g(x).

Die Umkehrregel

Besonders für die Umkehrfunktionen gibt es eine spezielle Regel, die uns das Ableiten dieser Funktionen vereinfacht, denn sind f und g differenzierbare Funktionen und g ist die Umkehrfunktion von f \(d.h. für y=f(x) gilt g(y)=x\), dann gilt für die Ableitung: \darkred\ f\'(x)=1/g'(f(x)) \blue\ Beweis: f\'(x)=lim(h->0,(f(x+h)-f(x))/h) =lim(h->0,1/((x+h-x)/(f(x+h)-f(x))) =lim(h->0,1/((g(f(x+h))-g(f(x)))/(f(x+h)-f(x))) =1/lim(t->0,(g(f(x)+t)-g(f(x)))/t) =1/g'(f(x)) \blue\ q.e.d. Auch hier wurde eine Substitution durch t=f(x+h)-f(x) vorgenommen.

Grundlegende Ableitungen


Nachdem wir die Ableitungsregeln kennen, können wir prinzipiell jede differenzierbare Funktion solange auseinander nehmen, bis die Bestandteile so einfach sind, dass wir sie mittels der Definition ableiten können.
Diese einfachsten Funktionen und ihre Ableitungen sollte man am besten immer parat haben. Wir wollen die wichtigsten hier einmal auflisten:

f(x)f'(x) 

a |$ $ \(a\el\IR\)

0
Beweis

x^r|$ \(r\el\IR\)

rx^(r-1)
Beweis

a^x|$ \(a\el\IR_>0 \)

ln(a)*a^x
Beweis

log_a(x)|$ \(a\el\IR_>0 \)

1/(ln(a)*x)
Beweis

sin(x)

cos(x)
Beweis

cos(x)

-sin(x)
Beweis

tan(x)

1/(cos^2(x))=tan^2(x)+1
Beweis

arcsin(x)

1/sqrt(1-x^2)
Beweis

arccos(x)

-1/sqrt(1-x^2)
Beweis

arctan(x)

1/(1+x^2)
Beweis

Konstante Funktionen

Wie oben schon einmal kurz erwähnt, gilt für konstante Funktionen f(x)=a \(mit a\el\IR\) f\'(x)=0. Das ist sehr trivial zu beweisen, denn es gilt: f\'(x)=lim(h->0,(f(x+h)-f(x))/h)=lim(h->0,(a-a)/h)=0 \blue\ q.e.d.

Potenzfunktionen

Die wichtigsten Funktionen sind die von der Form f(x)=x^n , n\el\IN. Hier ist die Ableitung f\'(x)=nx^(n-1). \blue\ Beweis: f\'(x)=lim(h->0,(f(x+h)-f(x))/h) =lim(h->0,((x+h)^n-x^n)/h) =lim(h->0,(sum((n;k)\.h^k\.x^(n-k),k=0,n) $ -x^n)/h) =lim(h->0,sum((n;k)\.h^k\.x^(n-k),k=1,n)/h) =lim(h->0,(n;1)\.x^(n-1))+lim(h->0,sum((n;k)*h^k*x^(n-k),k=2,n)/h) =nx^(n-1)+lim(h->0,sum((n;k)*h^(k-1)*x^(n-k),k=2,n)) =nx^(n-1)+0 \blue\ q.e.d. Mit Hilfe der Quotientenregel können wir auch sehr schnell auf negative Exponenten erweitern. Ist also f(x)=x^m mit m=-n, n\el\IN. Dann gilt f(x)=1/x^n =>f\'(x)=(0*x^n-nx^(n-1))/x^2n =-n*x^(n-1-2n) =-n*x^(-n-1) =mx^(m-1) \blue\ q.e.d. Wenn man die Ableitungregeln von der Exponential- und Logarithmusfunktion bereits bewiesen hat, kann man diese Regel auch auf reelle Exponenten (korrekterweise muss man dabei aber auf x>0 einschränken) verallgemeinern, indem man die Kettenregel anwendet: f(x)=x^r=exp(r*ln(x)) => f\'(x)=r*1/x*exp(r*ln(x)) =r*x^r/x =rx^(r-1) \blue\ q.e.d. Das hat den Vorteil, dass man damit auch Wurzelfunktionen schnell ableiten kann, denn es gilt z.B. sqrt(x)=x^(1/2), was man mit dieser Regel schnell zu 1/2*x^(-1/2)=1/(2||sqrt(x)) ableiten kann.

Die Exponentialfunktion

Die Funktion f(x)=exp(x) hat sich selbst als Ableitung, was man wie folgt beweist: f\'(x)=lim(h->0,(exp(x+h)-exp(x))/h)=lim(h->0,exp(x)*(exp(h)-1)/h) Wir setzen jetzt exp(h)-1=k und formen um zu h=ln(k+1). Der Grenzwert wird also zu: lim(k->0,exp(x)*k/ln(k+1)=exp(x)*lim(k->0,1/(1/k*ln(k+1))) =exp(x)*lim(k->0,1/ln((k+1)^(1/k))) Da ln eine stetige Funktion ist, dürfen wir ln und Grenzwertbildung vertauschen: =exp(x)*1/ln(lim(k->0,(k+1)^(1/k))) Im letzten Teil haben wir festgestellt, dass lim(k->0,(k+1)^(1/k))=\ee ist, die Ableitung wird also zu f\'(x)=exp(x)*1/ln(\ee)=exp(x) \blue\ q.e.d. Mit Hilfe der Kettenregel können wir für sämtliche Exponentialfunktionen nun eine Regel aufstellen: Ist f(x)=a^x für ein a\el\IR>0, dann gilt: f(x)=exp(x*ln(a)) => f\'(x)=ln(a)*exp(x*ln(a))=ln(a)*a^x

Logarithmusfunktionen

Mit der Umkehrregel können wir zu den Logarithmusfunktionen eine Ableitung finden, denn die Umkehrfunktion zu y=f(x)=log_a(x) ist definitionsgemäß g(y)=a^y (wobei a\el\IR_>0). Nach der Umkehrregel folgt also direkt: f\'(x)=1/g'(f(x)) =1/(ln(a)*a^(f(x))) =1/(ln(a)*x) Insbesondere gilt für f(x)=ln(x) die Ableitung f\'(x)=1/x.

Die trigonometrischen Funktionen

Die Ableitung der Sinus\-Funktion f(x)=sin(x) ist vergleichsweise einfach zu ermitteln: f\'(x)=lim(h->0,(sin(x+h)-sin(x))/h) =lim(h->0,(sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x))/h) =lim(h->0,sin(x)*(cos(h)-1)/h)+lim(h->0,cos(x)*sin(h)/h) Die Grenzwerte lim(h->0,(cos(h)-1)/h)=0 und lim(h->0,sin(h)/h)=1 sind aus dem letzten Teil bekannt, so dass wir zusammenfassen können zu: f\'(x)=cos(x) \blue\ q.e.d. Die Ableitung von f(x)=cos(x) ist sehr einfach mit der Kettenregel zu ermitteln, denn es gilt cos(x)=sin(\pi/2-x) => f\'(x)=-cos(\pi/2-x)=-sin(x) \blue\ q.e.d. Die Ableitung von f(x)=tan(x)=sin(x)/cos(x) kann man sich einfach durch die Quotientenregel ermitteln: f\'(x)=(cos(x)*cos(x)-sin(x)*(-sin(x)))/(cos^2(x)) =(sin^2(x)+cos^2(x))/(cos^2(x)) =1/(cos^2(x)) =tan^2(x)+1 \blue\ q.e.d.

Die zyklometrischen/Arcus-Funktionen

Die Ableitung von f(x)=arcsin(x) kann man sich durch die Umkehrregel ermitteln, wenn man g(y)=sin(y) setzt: f\'(x)=1/g'(f(x)) =1/cos(arcsin(x)) =1/sqrt(1-sin^2(arcsin(x))) =1/sqrt(1-x^2) \blue\ q.e.d. Vollkommen analog können wir die Ableitung der Funktion f(x)=arccos(x) ermitteln. Dazu setzen wir g(y)=cos(y) und verfahren genauso: f\'(x)=1/g'(f(x)) =1/(-sin(arccos(x)) =-1/sqrt(1-cos^2(arccos(x))) =-1/sqrt(1-x^2) \blue\ q.e.d. Ähnlich geht es mit der Arcus-Tangensfunktion f(x)=arctan(x), deren Umkehrfunktion g(y)=tan(y) ist: f\'(x)=1/g'(f(x)) =1/(tan^2(arctan(x))+1) =1/(x^2+1) \blue\ q.e.d.

Nochmal Tangenten

Kommen wir zurück zum Problem der Tangenten und machen es einmal praktisch. Nehmen wir an, wir haben die Funktion f(x)=4*exp(-x^2)*x^3 \geo xy(-2,2) plot(4*exp(-x^2)*x^3) \geooff \geoprint() Wir wollen eine Tangente im Punkt P(1,f(1)) anlegen. Diese Tangente hat, wie wir wissen, die Form t: y=mx+n. Dabei ist uns folgendes bekannt: 1\) Der Anstieg der Tangente lässt sich mit der 1.Ableitung berechnen: m=f\'(x) 2\) Der Punkt liegt sowohl auf der Tangente als auch auf dem Graphen, d.h. y=m*1+n=4*exp(-1^2)*1^3=4*exp(-1) Dazu brauchen wir also zuerst die 1.Ableitung. Mit Hilfe der Produkt\- und Kettenregel bekommen wir: f\'(x)=4*(-2x*exp(-x^2)*x^3+exp(-x^2)*3x^2) =4*x^2*exp(-x^2)*(-2x^2+3) Wenn wir das für 1\) verwenden, erhalten wir: m=4*1^2*exp(-1^2)*(-2*1^2+3)=4*exp(-1) Das setzen wir jetzt in Gleichung 2\) ein: 4*exp(-1)+n=4*exp(-1) => n=0 Das führt uns auf die Tangentengleichung y=4x/\ee Zeichnen wir dies ein, so können wir unser Ergebnis auch kontrollieren: \geo xy(-2,2) plot(4*exp(-x^2)*x^3) color(000088) plot(4*x*exp(-1)) \geooff \geoprint()

Abschluss

So viel nur um eine Tangente zu bestimmen? Diese Frage steht vielen an dieser Stelle sicher ins Gesicht geschrieben. Natürlich nicht! kann ich da nur sagen, denn die Tangenten bzw. der Anstieg der Funktion ist nur der erste Schritt in ein weites Anwendungsfeld. Einen Auszug aus diesen Anwendungen findet ihr in den nächsten beiden Teilen, wo wir Kurvendiskussionen und Extremwertaufgaben besprechen werden, was - wenn man so will - die beiden Hauptanwendungen der Differentialrechnung sind. mfg'(Gockel)

Die Ana[rchie]-Reihe

Teil I: Folgen Sie mir! Teil II: Der Blitzableiter Teil III: 90-60-90 und andere schöne Kurven Teil IV: Extremsport Teil V: Neues vom Integrationsbeauftragten Teil VI: Ich hab den Bogen raus!
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Ana[rchie] II: Der Blitzableiter [von Gockel]  
Teil zwei der Reihe beschäftigt sich mit dem Thema der Differentialrechnung und klärt zuerst die Grundlagen, d.h. die Definition der Ableitung und Ableitungsregeln.
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"Mathematik: Ana[rchie] II: Der Blitzableiter" | 17 Comments
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Re: Ana[rchie] II: Der Blitzableiter
von: Holibert am: Di. 24. Mai 2005 10:28:36
\(\begingroup\)Hallo, klasse Artikel ! Gruss\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] II: Der Blitzableiter
von: Cocolin am: Di. 24. Mai 2005 11:44:09
\(\begingroup\)Hi, Denke ich auch! Super Artikel! mfg. Cocolin\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] II: Der Blitzableiter
von: Hank am: Di. 24. Mai 2005 13:12:28
\(\begingroup\)Hi Gockel, Der Artikel ist wirklich super, aber beim Beweis der "Kettenregel" finde ich deine Substitution mit dem "h" etwas unglücklich von der Notation her. naja, macht ja nix. Gruß Hank \(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] II: Der Blitzableiter
von: meru_v_ii am: Di. 24. Mai 2005 15:55:07
\(\begingroup\)Hallo Gockel! Danke für diesen Artikel! mfg, meru\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] II: Der Blitzableiter
von: Gockel am: Di. 24. Mai 2005 16:28:30
\(\begingroup\)Danke für das Lob :) @Hank: Du hast recht, da ist natürlich eine Überschneidung, die verwirrend ist. Ich werds sofort editieren, damit das eindeutiger wird. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

[Kein Betreff]
von: MSS am: Di. 24. Mai 2005 18:53:19
\(\begingroup\)Hallo Gockel! Ein wirklich sehr schöner Artikel, allerdings lässt mich mein Streben nach Exaktheit nicht in Ruhe und deswegen muss ich doch etwas kritisieren. 😉 1. Beim Beweis von Produkt- und Quotientenregel benutzt du lim(h->0,g(x+h))=g(x), was die Stetigkeit von g in x ist. Natürlich gilt der Satz, dass eine in x diffbare Funktion auch in x stetig ist, allerdings hast du das nicht erwähnt. Das solltest du vll doch noch machen. Ob du das dann auch noch beweist, ist deine Sache 😉 2. Der Beweis der Kettenregel ist nicht allgemeingültig. Zum einen ist er für konstante g nicht ok, da du dort erweiterst. Diesen Spezialfall kann man natürlich extra beweisen, aber auch bei Funktionen wie g(x)=x^2*sin(1/x) ist diese Erweiterung im Punkte 0 nicht möglich, da g in jeder Umgebung von 0 eine Nullstelle ungleich 0 hat. Dies sollte mMn auch noch erwähnt werden oder du erweiterst den Beweis. 😉 3. Beim Beweis der Umkehrregel sollte man vll noch erwähnen, warum t immer ungleich 0 ist und warum mit h->0 auch t->0 geht. Bei Letzterem wird nämlich wieder die Stetigkeit verwendet. Außerdem würde ich die Aussage etwas umformulieren: Besitzt die Funktion g eine Umkehrfunktion f und ist g in y differenzierbar, wobei f'(y)!=0 sei, so ist auch g in x:=f(y) differenzierbar und die Ableitung ist ... . oder Ähnliches. Denn die Diffbarkeit von f muss man nicht voraussetzen, man beweist sie 😉 Für nicht so erfahrene Leute, z.B. Schüler, wird bei diesen Dingen nämlich mMn suggeriert, die Beweise seien vollständig ok und alle Umformungen seien gerechtfertigt. Leider sind sie das ja nicht ganz. 😉 Dann ist auch noch etwas zu arcsin und arccos zu sagen: Du erwähnst nicht, wo die Formeln gelten. Denn sie gelten ja nicht auf dem ganzen Definitionsbereich [-1,1], sondern nur auf (-1,1). Außerdem solltest du begründen, warum du für cos(acrsin(x)) dort sqrt(1-sin^2(arcsin(x))) einsetzt, denn das ist auch nicht selbstverständlich. Es könnte ja auch ein "-" vor der Wurzel stehen ... 😉 Ich finde den Artikel sonst wirklich sehr gelungen und finde es schön, dass sich jmd. so viel Mühe und Arbeit macht!!! Ich hoffe, meine Kritik wird nicht "bösartig" gewertet. 😉 Gruß MSS\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] II: Der Blitzableiter
von: Gockel am: Di. 24. Mai 2005 20:03:09
\(\begingroup\)Hi Max. Der Beweis für Differenzierbar -> Stetig wird im nächsten Teil nachgereicht. Ich hatte zuerst geschwankt, wo der hin soll, hab mich dann aber dafür entschieden, ihn bei der Kurvendiskussion unterzubringen. Es ist hier aber natürlich genauso wichtig. Danke dass du es erwähnt hast. Bei 2. Hast du recht: Die Konstanten Funktionen muss man extra behandeln. [Hier stand Mist.] [Hier stand noch mehr Mist] Bei der von dir angesprochenen Funktion muss man die Ableitung im Punkte 0 ja eh zu Fuss also per Grenzwertbildung berechnen, da das Ergebnis der Produktregel nicht definiert ist in 0. Deshalb seh ich im Moment nicht so recht, was das mit der Kettenregel zu tun hat. Zu 3.: t ist ungleich 0, weil t=f(x+h)-f(x) ist und dem entsprechend ungleich 0, da f sonst eine konstante Funktion wäre, die aber nicht umkehrbar ist, weshalb sie hier gar nicht in Frage kommt. Dass +-1/sqrt(1-x^2) für x=+-1 nicht definiert ist, hab ich einfach mal als offensichtlich vorrausgesetzt. Die Wahl des Vorzeichens bei cos(x)=+-sqrt(1-sin^2(x)) und sin(x)=+-sqrt(1-cos^2(x)) ist natürlich so eine Sache... da hast du recht. Die konkret vorliegende Wahl hängt natürlich mit der Konvention zusammen, dass arcsin von [0,1]->[-\pi/2\.,\.\pi/2\.] und arccos von [0,1]->[0,\pi||] abbildet. Danke für deine Hinweise, es ist gut so, dass du das nochmal ansprichst. Gut, dass das nochmal klargestellt wurde. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] II: Der Blitzableiter
von: MSS am: Di. 24. Mai 2005 20:48:03
\(\begingroup\)Hallo! Du hast jetzt selbst bei der konstanten Funktion falsch eingesetzt! Du hast ne lineare Funktion eingesetzt. Bei einer konstanten Funktion g ist trivialerweise auch die Verknüpfung konstant ... Das g(x)=x^2*sin(1/x) war ja nur ein Beispiel. Du kannst dir sicher vorstellen, dass es davon noch etliche gibt und warum soll ich für f(u)=e^u, u=g(x)=x^2*sin(1/x), f(g(x))=e^(x^2*sin(1/x)) da mit dem Differentialquotienten ran, wenn ich doch die Kettenregel benutzen kann, wobei ich weiß, dass g'(0)=0 ist. Von komplizierteren Verkettungen möcht ich gar nichte erst sprechen. Deshalb hat das auch nichts mit der Produktregel zu tun ... 😉 Zu 1/(sqrt(1-x^2)): Das ist ja nach der Umkehrregel grad die Ableitung nur für (-1,1). Aber nur weil diese Funktion in +-1 nicht definiert ist, heißt das ja noch nicht, dass man mit dem Differentialquotienten in +-1 nicht doch eine andere Ableitung bekommt (sodass die Ableitung dort jeweils unstetig ist). Allerdings ist das hier natürlich nicht der Fall, da die Funktion als elementare Funktion "gutmütig" genug ist. Ich denke, aber das ist schon ok so. Du kannst es von mir aus ruhig stehen lassen! 😉 Gruß MSS\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] II: Der Blitzableiter
von: Gockel am: Di. 24. Mai 2005 21:38:06
\(\begingroup\)Hi nochmal. Ich hab die Peinlichkeit oben wegeditiert... du hast mich scheinbar etwas aus dem Konzept gebracht gehabt 😉 Was du aber mit deiner Funktion g(x) willst, weiß ich immer noch nicht... Oben hattest du g(x)=x^2*sin(1/x) und jetzt schreibst du von g(x)=x^2*sin(x). Das ist ein Unterschied. Die erste Funktion hat in 0 eine unstetige Ableitung, die zweite nicht. Was den arcsin betrifft. Wenn man den Differentialquotienten an der Stelle x=1 untersucht kommt man vollkommen analog zur Kettenregel auf lim(h->0,(arcsin(1+h)-arcsin(1))/h)=lim(x->1,1/sqrt(1-x^2))=+\inf Du hast recht, das hätte ich dazu sagen müssen. mfg Gockel. P.S.: Langsam glaub ich, ich geh lieber Bett, sonst leiste ich mir noch mehr so Ungereimtheiten.\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] II: Der Blitzableiter
von: MSS am: Di. 24. Mai 2005 22:10:42
\(\begingroup\)Sorry, hatte mich verschrieben. Sollte natürlich x^2*sin(1/x) heißen ... Gruß MSS\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] II: Der Blitzableiter
von: Gockel am: Di. 24. Mai 2005 22:16:32
\(\begingroup\)Nagut, dann glaube ich langsam zu verstehen, worauf du hinauswillst. Es ist in der Tat problematisch, wenn man solche Funktionen hat (Übrigens: du hast dir da auch eine kleine Ungenauigkeit geleistet, deine Funktion g(x) existiert in 0 gar nicht, also ist exp(g(x)) in diesem Punkt auch nicht definiert ;-)) Ich denk nochmal drüber nach. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] II: Der Blitzableiter
von: Gockel am: Di. 24. Mai 2005 23:11:47
\(\begingroup\)Hi. Ich hab nochmal recherchiert und dabei diesen Beweis für die Kettenregel, der mE auch die von dir angesprochenen Ausnahmen mit einschließt: Seien f und g diffbar. Wir definieren uns die Funktionenschar f_x^\* wie folgt: f_x^\*(a)=fdef((f(a)-f(x))/(a-x),a!=x;f'(x),a=x) Es gilt, da f differenzierbar ist: lim(a->x,f_x^\*(a))=f\'(x)=f_x^\*(x) Daraus folgt außerdem, dass für alle a gilt: f(a)-f(x)=f_x^\*(a)*(a-x) Damit können wir jetzt die Kettenregel herleiten: [f(g(x))]'=lim(a->x,(f(g(a))-f(g(x)))/(a-x)) =lim(a->x,(f_(g(x))^\*(g(a))*(g(a)-g(x))/(a-x))) =lim(a->x,(f_(g(x))^\*(g(a))))*lim(a->x,((g(a)-g(x))/(a-x))) =f_(g(x))^\*(g(x))*g'(x) =f\'(g(x))*g'(x) \blue\ q.e.d. Wobei hier die Stetigkeit von g benutzt wird. So. Ich hoffe, dass es nun endlich korrekt ist... (Hässlicher ist es auf jeden Fall :/ ) mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] II: Der Blitzableiter
von: MSS am: Mi. 25. Mai 2005 00:38:14
\(\begingroup\)Hallo Gockel! Ich hatte natürlich oben g(0):=0 vergessen, du hast Recht! Aber ja, so ist es richtig! So macht man es normalerweise, ich kenne diesen Beweis ja schon relativ lange. Ich finde dies auch gar nicht häßlich, im Gegenteil: Ich finde es elegant, da man 1. dadurch die angesprochenen Ausnahmen umgeht und 2. eine andere Beschreibung der Differenzierbarkeit kennenlernt: f ist genau dann differenzierbar in dem Punkt a, wenn es eine in a stetige Funktion f_1(x) gibt, sodass f(x)=f(a)+f_1(x)(x-a) In diesem Falle ist f'(a)=f_1(a). Und wie du gesehen hast, ist diese Formulierung manchmal besser zu handhaben. So wie das "Tangentenproblem" zur Idee des Differentialquotienten geführt hatte über die ganze Idee mit den Sekanten etc., ist hier, bei dieser Definition, die Idee dahinter das Problem der linearen Approximation! Und deshalb wird diese Umformulierung heute auch gern und häufiger als früher verwandt ... Gruß MSS\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] II: Der Blitzableiter
von: FlorianM am: Mi. 25. Mai 2005 15:46:54
\(\begingroup\)Super schöner, kompakter Artikel!!\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] II: Der Blitzableiter
von: Puppetmaster am: Mi. 25. Mai 2005 22:46:45
\(\begingroup\)sehr schöner, verständlicher Artikel. mfg\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] II: Der Blitzableiter
von: Hans-im-Pech am: Mo. 30. Mai 2005 12:40:22
\(\begingroup\)Sehr schöner Artikel, ideal zum Verlinken für die zahlreichen Fragen, wie man ableitet! 😄 Gruß, HiP\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] II: Der Blitzableiter
von: lula am: Fr. 21. März 2008 19:02:29
\(\begingroup\)Hallo Zum Anfang des Artikels: Die Historie ist falsch, Newton und Leibniz wollten nicht Tangenten an Kurven "ausrechnen" - das kann man nicht-, sondern sie wollten über Momentangeschwindigkeiten und Beschleunigungen reden können. Genau wie man eine Tangentensteigung nicht ausrechnen kann, man kann sie nur definieren, kann man auch die Momentangeschw. nur definieren als GW. von Durchschnittsgeschwindigkeiten. Ausserdem ist die Darstellung der Ableitung als beste lineare Approximation die bessere Herangehensweise, weil etwa schneidende Tangenten, wie in Wendepunkten dem naiven Verständnis von Tangenten widerspricht. Die Geschichte mit dem Tangenten bestimmen kommt aus der Zeit des Schulunterrichts insbesondere von Lehrern die keine Physik können. Das wiederholt sich in der Integralrechng, die auch nicht primär zur Bestimmung von Flächeninhalten unter den Graphen von Kurven ausgedacht wurde, sondern um Summen über momentane Größen auszurechnen, wie Arbeit aus Leistung, Weg aus Geschwindigkeit usw. bis dann lula\(\endgroup\)
 

 
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