\(\begingroup\)Das regelmäßige Siebzehneck
Carl Friedrich hat seinen 17. Geburtstag. Zur Feier hat er 16 Gäste eingeladen, und es soll einen runden Kuchen geben. Nun sind die Gäste eifersüchtig darauf bedacht, alle ein Kuchenstück in exakt der gleichen Form wie das von Carl Friedrich zu bekommen, denn keiner möchte sich ungerecht behandelt fühlen. Und da die Gäste alle glühende Verehrer der Euklidischen Geometrie sind, sollen bei der Kuchenverteilung nur Lineal und Zirkel zum Einsatz kommen.
Was ist zu tun?
Gerade in der vorigen Woche war es Carl Friedrich gelungen
zu zeigen, dass die komplexen Lösungen der Gleichung
x^(2^n + 1) - 1 = 0
eine zyklische Gruppe der Ordnung 2^n + 1 bildeten, sofern
2^n + 1 eine Primzahl war.
Und als er noch ein Kind war, hatte er herausgefunden, dass
2^n + 1 nur prim sein konnte, wenn n selber eine Zweierpotenz
war, die Zahl also zu den bekannten Fermatprimzahlen gehörte:
Angenommen, n enthält einen ungeraden Faktor u > 1, so zerfällt
das Polynom x^n + 1 = x^(2^k*u) + 1 = (x^2^k)^u + 1 in die Faktoren
x^2^k + 1 und (x^2^k)^(u-1) - (x^2^k)^(u-2) +- ... - x^2^k + 1,
und folglich muss auch 2^(2^k*u) + 1 zusammengesetzt sein.
Es bleibt nur die Möglichkeit p = 2^2^k + 1.
Für k = 2 ergibt sich gerade 2^2^2 + 1 = 17 - eine Primzahl.
Diese Gruppe ist also isomorph zu \IZ_17, und die Automorphismen
{\phi_p: \zeta_j -> \zeta_j^p \| p,j \el {1,...,16}} dieser Gruppe, die durch
das Bild \zeta_p von \zeta_1 unter \phi_p zu charakterisieren sind \(und von
denen ein einziges zu konstruieren das Problem ist\), bilden eine
gleichfalls kommutative Gruppe \calG, die zu \IZ_17^\* ~= \IZ_16 isomorph
ist.
Durch die Abbildung eines festen Erzeugers (o.B.d.A. \zeta_1)
auf irgendeinen der 16 Erzeuger kann nämlich eine Permutation
auf der Menge der Nullstellen von x^(2^n+1)-1 induziert werden,
die mit der multiplikativen Struktur von dessen
Zerfällungskörper L verträglich wäre, also ein Automorphismus.
Von einem berühmten, leider tragisch jung verstorbenen
französischen Mathematiker hatte Carl Friedrich gehört, dass
den normalen Untergruppen
\calG = G_0 |> G_1 |> ... |> G_n = {id}
dieser Automorphismengruppe gewisse Zwischenkörper
L = K_n \superset K_(n-1) \superset ... \superset K_0 = \IQ
zwischen \IQ = K_0 und L = K_n, in dem alle Nullstellen liegen,
entsprächen, und die Grade [K_(i+1) : K_i ] der Körpererweiterungen
entsprächen genau den Indices \| G_(i) \/ G_(i+1) \| der Untergruppen.
Da diese Indices in \calG, wie Carl Friedrich wusste, alle 2 sein
müssen, kann L als Körperturm über \IQ beschrieben werden, dessen
"Stockwerke" sämtlich quadratische Erweiterungen des jeweils
darunterliegenden "Stockwerks" darstellen.
"So viel Glück kann man auch nur an seinem Geburtstag haben",
denkt Carl Friedrich.
Das vertrackte Kuchenproblem kann also angegangen werden.
Rein rechnerisch scheint die Sache ja einfach: die
komplexen siebzehnten Einheitswurzeln haben die Form
\zeta_k = exp(i*(2*k*\pi)/17) = cos((2*k*\pi)/17) + i*sin((2*k*\pi)/17),
denn sie alle genügen der Gleichung. In der Gaußschen
Ebene bilden sie gerade die gesuchte Zerlegung des
Einheitskreises.
Praktischerweise gelten für diese Einheitswurzeln die
Rechenregeln
\zeta_0 = 1,
\zeta_0 + \zeta_1 + \zeta_2 + ... + \zeta_16 = 0
und
\zeta_m * \zeta_n = \zeta_(m+n mod 17) \forall m, n \el {0,...,16}.
Damit bilden die siebzehnten Einheitswurzeln eine
zyklische Gruppe der Ordnung 17, und jede außer der 1
ist ein Erzeuger dieser Gruppe. Jedem Erzeuger \zeta_p
dieser Gruppe wiederum entspricht ein Körperautomorphismus,
der durch \zeta_j -> \zeta_j^p für alle j \el {1,...,16}
induziert wird.
\(Die Menge der Erzeuger werde im Folgenden mit E_16
bezeichnet.\)
Und es gibt einen kleinen Unterschied in der Gruppe
dieser Erzeuger: Wenn man die \zeta\'s iteriert quadriert,
so zerfällt E_16 in zwei verschiedene Bahnen: die, die aus
Quadrieren von \zeta_1 hervorgehen, und die, die aus
\zeta_3 hervorgehen.
Mit Hilfe der obigen Rechenregeln kann man leicht
herausfinden, wie diese Bahnen zusammengesetzt sind.
Carl Friedrich erkennt, dass für das Folgende diese
Unterscheidung bedeutsam werden wird. Die erste Bahn
fasst er in Q_1 zusammen, die zweite in Q_2.
E_16 = Q_1 \union Q_2
Es sind
Q_1 = {\zeta_1 ,\zeta_2 ,\zeta_4 ,\zeta_8 ,\zeta_9 ,\zeta_13 ,\zeta_15 ,\zeta_16 }
und
Q_2 = {\zeta_3 ,\zeta_5 ,\zeta_6 ,\zeta_7 ,\zeta_10 ,\zeta_11 ,\zeta_12 ,\zeta_14 }.
Für die Aufgabe der Kuchenteilung nützt Carl Friedrich
die Darstellung der Einheitswurzeln als Ausdrücke mit
transzendenten Funktionen wie exp, sin und cos herzlich
wenig. Er muss versuchen, sie in algebraische Ausdrücke
zu transformieren, die auf ganzen Zahlen und den
Grundrechenarten sowie dem Ziehen der Quadratwurzel beruhen,
denn nur dann besteht Aussicht, sie mit Zirkel und Lineal
konstruieren zu können.
Dazu stellt er die Summen
p_1 = \zeta_1 + \zeta_2 + \zeta_4 + \zeta_8 + \zeta_9 + \zeta_13 + \zeta_15 + \zeta_16
und
p_2 = \zeta_3 + \zeta_5 + \zeta_6 + \zeta_7 + \zeta_10 + \zeta_11 + \zeta_12 + \zeta_14
auf, die sogenannten Gaußschen Perioden. Für diese gilt
aufgrund der Rechenregeln
p_1 + p_2 = -1
und, was etwas aufwendiger zu prüfen ist,
p_1 * p_2 = -4.
Sowohl Summe als auch Produkt von p_1 und p_2 sind ganzzahlig.
Das kann nur heißen, dass beide mit Hilfe der Quadratwurzel
ausgedrückt werden können:
(x-p_1)*(x-p_2) = x^2 - (p_1+p_2)*x + p_1*p_2 = x^2 + x - 4,
womit {p_1 ,p_2 } = {-1/2 -1/2*sqrt(17),-1/2+1/2*sqrt(17)} ist.
Ein Größenvergleich ergibt schnell:
p_1 = -1/2 + 1/2*sqrt(17), $ p_2 = -1/2 - 1/2*sqrt(17).
Q_1 zerfällt gleichfalls in zwei Bahnen, nämlich die Zahlen Q_11,
die beim iterierten Erheben zur 4. Potenz aus \zeta_1 hervorgehen,
und die Zahlen Q_12, die dabei aus \zeta_2 hervorgehen.
In Q_2 passiert das Gleiche; hier ergeben sich verschiedene
Bahnen, wenn man \zeta_3 \(-> Q_21 \) bzw. \zeta_6 \(-> Q_22 \) iteriert
in die 4. Potenz erhebt.
Über Q_11 , Q_12 , Q_21 und Q_22 bildet Carl Friedrich nun
die Summen
p_3 = \zeta_1 + \zeta_4 + \zeta_13 + \zeta_16 ,
p_4 = \zeta_2 + \zeta_8 + \zeta_9 + \zeta_15 ,
p_5 = \zeta_3 + \zeta_12 + \zeta_14 + \zeta_5 ,
p_6 = \zeta_6 + \zeta_7 + \zeta_10 + \zeta_11 .
Er fährt weiter fort wie im ersten Durchgang und findet:
p_3 + p_4 = p_1 = -1/2 + 1/2*sqrt(17),
p_3 * p_4 = -1,
p_5 + p_6 = p_2 = -1/2 -1/2*sqrt(17),
p_5 * p_6 = -1.
Damit und mit zwei weiteren Größenvergleichen kann er
die Werte von p_3 , p_4 , p_5 und p_6 ermitteln, indem er
p_1 und p_2 als Koeffizienten quadratischer Gleichungen
einsetzt und diese mit der ihm aus der Schule bekannten
p\-q\-Formel löst:
p_3 = -1/4 + 1/4*sqrt(17) + sqrt(17/8 - 1/8*sqrt(17)),
p_4 = -1/4 + 1/4*sqrt(17) - sqrt(17/8 - 1/8*sqrt(17)),
p_5 = -1/4 - 1/4*sqrt(17) + sqrt(17/8 + 1/8*sqrt(17)),
p_6 = -1/4 - 1/4*sqrt(17) - sqrt(17/8 + 1/8*sqrt(17)).
Carl Friedrich erkennt, dass er der Darstellung der
17. Einheitswurzeln als algebraische Ausdrücke dicht auf
den Fersen ist. Er braucht das erprobte Verfahren nun nur
noch mit den verschiedenen Bahnen in Q_11 wiederholen, die
als iterierte 16. Potenzen von \zeta_1 bzw. \zeta_4 auftreten:
{\zeta_1 , \zeta_16 } und {\zeta_4 ,\zeta_13 }.
p_7 = \zeta_1 + \zeta_16 ,
p_8 = \zeta_4 + \zeta_13.
p_7 + p_8 = p_3,
p_7 * p_8 = p_5.
x^2 - p_3 * x + p_5 = (x - p_7)*(x - p_8)
=> p_7 = p_3/2 + sqrt(p_3^2/4-p_5 )
= -1/8 + 1/8*sqrt(17) + sqrt(17/32-1/32*sqrt(17)) + sqrt(17/16 + 3/16*sqrt(17) - sqrt(85/128 + 19/128*sqrt(17))).
Damit ist er am Ziel, denn p_7 ist nichts anderes als die Summe
von \zeta_1 und \zeta^-_1 und damit der doppelte cos\-Wert von \zeta_1.
Er findet nun noch schnell die etwas schönere Darstellung
\frame
cos((2*\pi)/17) = 1/16*(-1+sqrt(17)+sqrt(34-2*sqrt(17)))
$ $ $ $ $ $ $ + 1/8*sqrt(17 + 3*sqrt(17) - sqrt(34 - 2*sqrt(17)) - 2*sqrt(34 + 2*sqrt(17))).
\frameoff
\(Diese Überlegungen des jungen Carl Friedrich sollten später in
dessen erstem großen Werk veröffentlicht werden: den berühmten
vec(Disquisitiones Arithmeticae).\)
Der Rest ist nun, wie bereits einiges von der Vorarbeit, reine
Fleißsache: die Vorgehensweise zur Konstruktion einer Strecke,
die so lang ist wie die Wurzel einer bereits zuvor konstruierten
Strecke, hatten Carl Friedrich und seine Freunde im
Geometrieunterricht behandelt.
Damit können sie nun endlich den Geburtstagskuchen in 17 völlig
gleiche Stücke schneiden, und es gibt keinen Anlass zum Streit.
Eine besonders kurze, platzsparende und sogar leicht zu merkende
Vorgehensweise, wie man dieses auch auf seiner eigenen Geburtstagsparty
erreichen kann, möchte ich hier aufzeigen (siehe Skizze).
Ein anderes Thema ist, nachzuweisen, dass die x-Koordinate des letzten
Endes konstruierten Punktes P1 tatsächlich den obengenannten
Zahlwert hat - man möge sich auf lange, fehlerträchtige Rechnungen mit
horrenden Wurzelausdrücken einstellen!
Konstruktionsanleitung:
Zeichnen eines ausreichend großen Kreises k1 um 0,
Zeichnen eines Durchmessers AB und Konstruktion der
Mittelsenkrechten m1, die den Kreis k1
in C und D schneidet,
Konstruktion des Mittelpunktes E von C0,
Konstruktion des Mittelpunktes F von E0, Zeichnen von FB,
Konstruktion der Winkelhalbierenden w1 des Winkels BF0,
Konstruktion der Winkelhalbierenden w2 des Winkels zwischen
m1 und w1, die mit AB den Schnittpunkt G hat,
Konstruktion einer Senkrechten s1 zu w2 durch den
Punkt F,
Konstruktion der Winkelhalbierenden w3 zwischen s1 und w2 mit dem
Schnittpunkt H von w3 und AB,
Konstruktion des Thaleskreises k2 über der Strecke HB mit
den Schnittpunkten J und K von k2 und CD,
Konstruktion eines Kreises k3 um G, der durch J und K verläuft
und der AB in den Punkten L und N schneidet (Achtung: N liegt
sehr nahe am Mittelpunkt M des Thaleskreises k2),
Konstruktion einer Tangente zu k3 durch N.
Die Schnittpunkte der Tangente mit k1 sind die Punkte P3
und P14 des regelmäßigen Siebzehnecks. Ausgehend von B = P0
lassen sich durch fortgesetztes Abtragen des Abstandes P0P3
auf der Kreislinie k1 alle weiteren Punkte des Siebzehnecks
konstruieren.
Noch ein wenig Legende:
1894 lieferte ein Doktorand der Mathematik, Johann Gustav Hermes, an
der Mathematischen Fakultät der Universität Königsberg einen Koffer ab.
Der Inhalt waren etwa 10.000 handgeschriebene Seiten, auf denen er
mit vergleichbaren Methoden die Konstruktion eines anderen regelmäßigen
n-Ecks behandelt: des 65.537-Ecks. Es handelte sich um den Ertrag seiner
zehnjährigen Bemühungen, den Doktorgrad zu erlangen, und die Professoren
hatten bereits geglaubt, er werde es niemals zum Ende bringen.
Nun hatten sie, die ihm die Aufgabe aus mangelnder Sympathie gestellt
hatten, ein ordentliches Problem am Hals: Sie mussten Hermes nachweisen,
dass seine Konstruktion falsch war, um zu verhindern, dass er den Doktorhut
bekam. Davor kapitulierten die Professoren, und Hermes wurde Doktor.
Soweit die Legende. Johann Gustav Hermes wurde am 20.6.1846 in Königsberg
geboren, studierte dort 1866-1870 und promovierte 1878 mit "Zurückführung
des Problems der Kreistheilung auf lineare Gleichungen für Primzahlen von der
Form 2^m+1". Er starb am 8.6.1912 in Oeynhausen.
Diese Dissertation ist nicht zu verwechseln mit seinem unveröffentlichten
Manuskript vom 4.11.1879 "Johann Gustav Hermes. Diarium zur Kreisteilung.
Konstruction des regulären 65537-Ecks. Königsberg in Pr., Umfang: 219
Seiten, Format: 59 x 48,5 cm.
Der Koffer mit dem Manuskript überstand beide Weltkriege und wird heute
in der Bibliothek der Mathematischen Fakultät der Universität Göttingen
aufbewahrt.
\(\begingroup\)Hallo Norbert!
Ich freue mich sehr über diesen Artikel. Ich habe mich als Schüler einmal auf die Suche nach einer Konstruktionsanleitung für das 17-Eck gemacht, und nach einer kleinen Odyssee durch diverse Bibliotheken habe ich dann auch eine gefunden und die Konstruktion tatsächlich mit Zirkel und Lineal auf dem Papier durchgeführt. Die Konstruktion, die ich kenne, kommt mit einem festen Kreis und ansonsten nur dem Lineal aus, braucht aber dafür mehr Platz als Deine. Spätestens seit dieser Zeit bin ich ein großer Freund von Konstruktionen mit Zirkel und Lineal und freue mich deshalb, daß Du uns hier dieses berühmte Problem nicht nur theoretisch, sondern eben auch mit konkreter Konstruktion vorgestellt hast.
Morris\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
soweit ich weis hat ein Mathematiker aus Göttingen
in den 20er Jahren des 20 Jahrhunderts in analogie zu
Gauß eine Konstruktion des regelmäßigen 256 Ecks mit Zirkel und
Lineal vorgenommen.
Ich weis allerdings nicht ob das stimmt. Wäre aber bestimmt
interessant.
Gruß Hank\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Norbert,
ein sehr schöner Artikel über die mathematischen Hintergründe zur Konstruktion. Vor gut zwei Jahren hatte ich das 17-Eck mal mit dem fedgeo kontruiert:
uselib(rebecca,1)
\geo 4
e(800,800)name(F17)c(blue)nolabel()P(2.5,2.5,M,l)k(M,2,k1)c(grey)p(k1,0,P1,l)p(k1,180,Q,h)s(P1,Q,q)p(k1,90,Q1,h)s(M,Q1,q1)m(M,Q1,M2,h)m(M,M2,A,l)s(P1,A,q2)WH(A,k2,q1,X,q2,X1,X-,k3)WH1(X1+,k4,k3,W1,A,W1+,q3)sp(q3,q,Q3,h)WH(A,k5,q1,X2,q3,X3,X2-,k6)WH1(X3+,k7,k3,W2,A,W2+,q4)sp(q4,q,B,l)s(A,B,q5)nor(q5,A,q6,h)WH(A,k8,q6,X4,q5,X5,X4-,k9)WH1(X5+,k10,k9,W4,A,W4-,q7)sp(q7,q,C)s(A,C,q8)m(C,P1,M1)a(C,M1,r2)k(M1,r2,k11)sp(k11,q1,D,l)a(B,D+,r3)k(B,r3,k12)sp(k12,q,F,l)t(k12,F+,t1)t(k12,F-,t2)sp(k1,t1,P4)sp(k1,t2,P6)c(lavender)s(M,P4+,s1)s(M,P6+,s2)WH(M,k13,s1,X6,s2,X7,X6+,k15)WH1(X7-,k14,k15,W5,M,W5+,q9)c(grey)sp(q9,k1,P5)c(lavender)s(M,P5+,s3)c(grey)a(P4+,P5+,sl)
z(P4+,k16,P3)z(P1,k17,P2)z(P4-,k18,P7)z(P6-,k19,P8)z(P8-,k20,P9)z(P9-,k21,P10)z(P10-,k22,P11)z(P11-,k23,P12)z(P12+,k24,P13)c(red)pen(2)s(P1,P2+)s(P2+,P3+)s(P3+,P4+)s(P4+,P3-)s(P3-,P6+)s(P6+,P13+)s(P13+,P12+)s(P12+,P11-)s(P11-,P10-)s(P10-,P9-)s(P9-,P8-)s(P8-,P6-)s(P6-,P7-)s(P7-,P4-)s(P4-,P7+)s(P7+,P2-)s(P2-,P1)f(P1,P2+,P3+,P4+,P3-,P6+,P13+,P12+,P11-,P10-,P9-,P8-,P6-,P7-,P4-,P7+,P2-,E0FFFF)
\geooff
geoprint(F17,Siebzehneck - mit Zirkel und Lineal,0.3,0.2,4.7,4.7)
Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo shadowking,
als ich heute morgen Deinen Artikel vorgefunden habe, war ich gleich sehr erfreut. Das 17-Eck ist ein dankbares Thema und Deine Darstellung ist wirklich gut nachvollziehbar, und durch die kleine Rahmenhandlung auch didaktisch sehr interessant. So, Schritt für Schritt, kann ich mir vorstellen, daß der junge Carl Friedrich die Konstruktion geschafft hat.
Gruß
Matroid
PS: @Rebecca: Danke, daß Du Deine Konstruktion eingefügt hast. Ich weiß noch wie ich stolz damals war, daß man die Konstruktion mit dem fed machen konnte.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Gewaltig.Das ist einer der Momente, wo man vor Ehrfurcht erstarrt angesichts der unendlichen Weiten der Mathematik. Bravo Shadow.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Unglücklicherweise hat Eve, noch während Carl Friedrich, Alice, Bob, und all seine anderen Gäste am Konstruieren waren, den ganzen Kuchen allein aufgegessen. ;)
Eine Anmerkung hätte ich noch: Das ganze macht nur Sinn, wenn der Kuchen eine homogene Dichteverteilung hat, und, sofern es ein Kuchen mit Zutaten ist, die nur in Vielfachen ganzer Zahlen auftauchen (Kirschen z.B.), die Anzahl dieser Zutaten durch 17 teilbar sein muss. Sonst "könnte sich einer der Gäste ungerecht behandelt fühlen"...
Wie? Oh, sorry, ich fürchte, ich bin noch zu sehr in der Realität verwurzelt, dass ich solche vollkommen lächerlichen Nebenbedingungen beachte ...
jk :)
MfG Red*Star\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ein beeindruckender Artikel.
Kurze Anmerkung: Ist ein 256 Eck nicht recht einfach zu konstruieren?
Schließlich ist 256 eine Potenz von 2 und Winkelhalbierung ist mit Zirkel und Lineal trivial.
Oder habe ich da etwas grundsätzlich falsch verstanden?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ja, das 256-Eck ist einfach.
Das was da konstruiert wurde war vielleicht das (2^16+1) Eck, da meine ich auch mal was von gehört zu haben...
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Es handelt sich um das 65537 (2^(2^4)+1) Eck. Johann Gustav Hermes (Vornamen nicht sicher) hat ca. 10 Jahre an der algebraischen Vorarbeit und der Konstruktion gearbeitet. Das Werk, das höchstwahrscheinlich noch nie gelesen worden ist, lagert nun im Mathematischen Institut der Universität Göttingen (die Arbeit wurde aber in Königsberg durchgeführt).
Gruß Morris\(\endgroup\)
\(\begingroup\)hey
kann man das nicht irgendwie verständlich machen für schüler die noch nicht so weit sind?? ich soll ein vortrag über carl friedrich gauß halten und muss alles erklären doch ich verstehe das was da oben ist üebrhaupt nicht!!!!\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi.
Ich wage einfach mal zu behaupten, dass es sogut wie unmöglich ist, den kompletten Beweis für Schüler verständlich zu machen (zumindest in der Zeit eines Vortrages).
Ich glaube auch nicht, dass das sonderlich interessant wäre für den Durchschnittsschüler (der ja mit Mathe eh nix am Hut hat, leider). Vielleicht solltest du dich einfach auf den Fakt beschränken, dass es Gauß gelungen ist, nachzuweisen, dass die Konstruktion des 17-Ecks wirklich möglich ist und dass er sie dann auch durchgeführt hat (ob nun auf die hier beschriebene Weise, sei dahingestellt...).
Das ist nämlich gar nicht so selbstverständlich. In der Tat kann man viele n-Ecke nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren (das regelmäßige 9-Eck z.B. nicht).
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Habe gerade eine sehr elementare Darstellung der 17 Eck Konstruktion im Kapitel 7 von "Algebra für Einsteiger" von Jörg Bewersdorff gelesen. Dort braucht es noch keine Körpertürme. Gauss hatte bei seiner Konstruktion die Galois Theorie ja auch noch nicht zur Hand.
Eventuell könnte diese Darstellung für interessierte Schüler zum Nachvollziehen reichen und zur modernen Algebra motivieren.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Das würde mich sowieso einmal interessieren, wie Gauss damals auf diese Konstruktionen gekommen ist. Galoistheorie gab es definitiv noch nicht. Auch habe ich letztens irgendwo gelesen, dass Gauss auch gezeigt hat, dass man gewisse regelmäßige n-Ecke nicht konstruieren kann; das glaube ich aber nicht ... hat da jemand einen historischen Überblick? Vielleicht sollte ich mal die Disquisitiones lesen ...\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich glaube, es ist möglich, das Problem auf elementare Rechenschritte zu reduzieren. Dazu muss man zuerst einmal zeigen, was Gauss motiviert hat, die zyklische Gruppe mod 3^n innerhalb von Z_17 zu durchlaufen, und wie diese Untergruppen auf natürliche Weise zerfallen. Wenn ich mehr darüber weiss, melde ich mich wieder
ciao
Gerald
\(\endgroup\)
von: shadowking am: Sa. 17. Dezember 2016 00:50:13
\(\begingroup\)Gauß selbst war es nicht, der auf die am Ende des Artikels dargestellte Konstruktion kam; die stammt von Herbert William Richmond (1895). Gauß hat, soweit mir bekannt, selbst keine Konstruktion des Siebzehnecks gefunden (das war wohl auch nicht sein Ehrgeiz; sollten das andere tun). Er hat gezeigt, daß ein regelmäßiges $n$-Eck genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn
$\displaystyle n=2^m\cdot\prod_{k=1}^n (2^{2^{a_k}}+1)$,
wobei $m, n \in\mathbb{N}, \forall k \in \{1,\ldots,n\} \,a_k \in\mathbb{N}$, die Faktoren im Produkt sämtlich prim sind und jeder genau einmal auftritt. Er konnte darauf kommen, ohne die volle Galoistheorie zu besitzen, indem er sein Konzept der quadratischen Reste und Nichtreste anwendete.
Gauß soll mit Stolz auf seine Entdeckung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes geblickt haben, das ein Kriterium liefert, wann eine Zahl modulo einer anderen ein Quadrat oder kein Quadrat ist. Und diese Unterscheidung hat ihn wahrscheinlich auch auf den Weg geführt, der im Artikel angedeutet ist: Innerhalb der multiplikativen Gruppe $(\mathbb{Z}_q^{\times},\cdot)$ bilden die quadratischen Reste eine Untergruppe. Die erste Gaußsche Periode {1,2,4,8,16,15,13,9} sind gerade die von Null verschiedenen quadratischen Reste modulo 17, die, wie wir heute sagen, als Untergruppe innerhalb $\mathbb{Z}_{17}^{\times}$ von 2 erzeugt werden, die zweite besteht aus den vierten Potenzresten {1,4,16,13}, die innerhalb der ersten Periode die Plätze mit gerader Nummer einnehmen (also von 4 erzeugt sind), und so weiter.
Gauß wusste auch, dass bestimmte Teilmengen von $\mathbb{C}$ bezüglich bestimmter, mit der komplexen Konjugation verwandter, Operationen (die seit E.Galois "Gruppen" heißen) invariant sind. Die Summe über alle Bilder einer 17. Einheitswurzel unter den Operationen $\{\sigma^0=\mathrm{id}, \sigma, \sigma^2,\ldots\}$, wobei $\sigma$ eine 17. Einheitswurzel auf eine andere abbildet und identische Bilder nur je einmal in die Summe eingehen, ist bezüglich aller dieser Operationen selbst invariant, da sich nur die Summationsreihenfolge ändert, aber nicht die Summanden. Nähme man $\sigma$ statt aus der vollen $\mathbb{Z}_{17}^{\times}$ aus den quadratischen Resten, so würde die Summe eine algebraische Zahl vom Grade 2 über $\mathbb{Q}$, also über eine quadratische Gleichung bestimmbar sein. Und über dem Körper $\mathbb{Q}$, der erweitert ist um diese algebraische Zahl (wir schreiben heute $\mathbb{Z}[\sqrt{17}]$), würde man diese Vorgehensweise mit den vierten Potenzresten wiederholen können - und mit dieser Prozedur sukzessive so lange fortfahren, bis man den Realteil einer 17. Einheitswurzel bestimmt hätte.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo shadowking!
Vielen Dank für diese schöne Anleitung zur Konstruktion!
Kann es sein, daß sich bei der Zeichnung ein kleiner Fehler eingeschlichen hat?
Ein Konstruktionsschritt lautet dort:
\quoteonKonstruktion einer Senkrechten o1 zu w2 durch den
Punkt F,
\quoteoff
Wenn ich aber die Skizze sehe, trägt diese Senkrechte dort den Namen "s1" und es ist kein Objekt mit Namen "o1" zu finden.
Viele Grüße, Bernhard
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Bernhard,
gut aufgepasst! Ich bin der Sache einmal nachgegangen und habe gefunden, dass dieser seltsame Tippfehler (O liegt auf Standardtastaturen recht weit entfernt von S) in den allerersten Versionen des Artikels von 2005 gar keiner ist – in der in diesen enthaltenen Skizze heißt die entsprechende Halbgerade tatsächlich "o1". Später muss für die Veröffentlichung hier auf dem MP die Skizze verbessert, da die ursprüngliche handwerklich nicht besonders gut gemacht war, und dabei die Bezeichnung geändert worden sein. In der Buchversion wurde übrigens der Name der Halbgeraden auch in der Konstruktionsanleitung zu "s1" geändert, was aber hier unterblieben ist. Ich werde dies aber baldmöglichst in Ordnung bringen.
Gruß Norbert\(\endgroup\)
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
Mathematik: Das regelmäßige 17-Eck
Printer-friendly version
Carl Friedrich hat seinen 17. Geburtstag. Zur Feier hat er 16 Gäste eingeladen, und es soll einen runden Kuchen geben. Nun sind die Gäste eifersüchtig darauf bedacht, alle ein Kuchenstück in exakt der gleichen Form wie das von Carl Friedrich zu bekommen, denn keiner möchte sich ungerecht behandelt fühlen. Und da die Gäste alle glühende Verehrer der Euklidischen Geometrie sind, sollen bei der Kuchenverteilung nur Lineal und Zirkel zum Einsatz kommen.
Was ist zu tun?
Get link to this article
Comments
Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei
Dieser Artikel ist im Verzeichnis der 
