Mathematik: Die Blätter des Pythagorasbaums
Released by matroid on So. 01. Januar 2006 20:48:47 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) Pythagorasbaum, Zeichnung

Die Blätter des Pythagorasbaums

Ein Pythagorasbaum entsteht, wenn man auf ein Quadrat (Stamm) ein rechtwinkliges Dreieck (Verzweigung) mit seiner Hypotenuse aufsetzt. An die Katheten schließen sich wieder Quadrate (Zweige) an, an deren gegenüberliegenden Seiten sich wiederum rechtwinklige Dreiecke befinden, die dem ersten Dreieck ähnlich sind usw. Alle entstehenden Verzeigungen enden mit Quadraten (Blättern). Für welche rechtwinkligen Dreiecke ist es möglich, jeden Pythagorasbaum durch Hinzufügen von weiteren Dreiecken und Quadraten so wachsen zu lassen, dass er höchstens zwei verschiedene Größen von Blättern besitzt?

Setzen wir ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck auf das Ausgangsquadrat und fügen an die Katheten zwei Quadrate an, auf deren gegenüberliegenden Seiten wieder rechtwinklige Dreiecke sitzen usw., erhalten wir einen symmetrischen Pythagorasbaum \(Abbildung oben links\). Er besitzt nur eine Größe von Blättern. Nach dem Pythagorassatz sind die jeweiligen Kathetenquadrate in ihrer Kantenlänge immer um einen Faktor wurzel(2) kleiner als das Hypotenusenquadrat. Wenn man den Baum nicht an allen Stellen in gleicher Weise entwickelt, wird er unsymmetrisch und hat mehrere Größen von Blättern \(Abbildung oben rechts\). Es leuchtet unmittelbar ein, dass wir jeden solchen Baum, wenn wir alle größeren Blätter in Zweige verwandeln, so weiterentwickeln können, dass er nur noch eine Größe von Blättern besitzt. Damit haben wir die einzige Lösung für nur eine Blattgröße, weil ein ungleichschenkliges Dreieck notwendigerweise zu mindestens zwei Blattgrößen führen würde. Pythagoriasbaum Auf einfache Weise können wir jeden solchen Baum so verwandeln, dass er genau zwei Blattgrößen besitzt. Dazu brauchen wir nur auf einige Blätter Dreiecke zu setzen und darauf zwei kleinere, aber untereinander gleiche Quadrate als neue Blätter. Die Abbildung oben rechts kann wieder als Beispiel dienen. Wir haben also auch hier eine einfache Lösung gefunden. Gibt es außer dem gleichschenkligen Dreieck noch weitere Lösungen für zwei Blattgrößen? Betrachten wir dazu die drei Fälle, wie die vorletzten Verzweigungen eines Baumes fortgesetzt werden können \(gelbe Dreiecke in der Abbildung unten links\). Fall 1 scheidet als Lösung aus, weil beispielsweise das linke der vier Blätter kleiner sein muss als die beiden rechten Blätter und damit mindestens drei Blattgrößen vorhanden wären. Genauso muss im Fall 2 das rechte Blatt größer sein als die beiden linken. Nur im Fall 3 können wir erreichen, dass die beiden äußeren Blätter gleich groß sind und es dann nur zwei Blattgrößen gibt. Zur Herleitung der dafür notwendigen Bedingung wird die Länge der Hypotenuse des gelben Dreiecks gleich 1 und die ihrer längeren Kathete gleich x gesetzt. Dann ist wegen der Ähnlichkeit mit dem roten Dreieck dessen längere Kathete gleich x^2. Da sie gleich der kürzeren Kathete des gelben Dreiecks sein soll, lautet der Pythagorassatz für dieses Dreieck: x^4 + x^2 = 1 oder (mit u = x^2): u^2 + u - 1 = 0 u = -1/2 + 1/2*sqrt(5) = 0.618... (Verhältnis des goldenen Schnitts) x = sqrt(u) = 0.786... Als einzige Lösung kommt also nur ein Dreieck in Frage, bei dem das Verhältnis von Hypotenuse zur kürzeren Kathete dem goldenen Schnitt und das Verhältnis zur längeren Kathete der Wurzel aus dem goldenen Schnitt entspricht. Aber erfüllt dieses Dreieck wirklich die oben gestellte Bedingung, die sich ja auf den ganzen Baum bezieht? Nehmen wir an, das Ausgangsquadrat (Stamm) habe die Seitenlänge 1. Dann haben entsprechend der obigen Überlegung die beiden Kathetenquadrate nach der ersten Verzweigung die Seitenlängen x und x^2. Weitere Verzweigungen lassen Quadrate entstehen, deren Seitenlängen sich jeweils in gleicher Weise verkleinern und sich durch x^n mit n als natürlicher Zahl ausdrücken lassen. Angenommen, wir hätten einen solchen "goldenen" Baum mit vielen verschiedenen Blattgrößen, wobei die kleinsten Blätter die Seitenlängen x^(k-1) und x^k haben. Wenn man nun die größeren Blätter in Zweige umwandelt und weiterentwickelt, erhält man irgendwann unweigerlich Blätter mit den beiden kleinsten Blattgrößen und hat dann einen Baum, der die Bedingung erfüllt. Das hier als Verzweigung benutzte Dreieck stellt also die einzige weitere Lösung dar. In den Abbildungen wurde die rechte Kathete als die Längere angenommen. Natürlich ist auch die gespiegelte Variante eine Lösung. Die Abbildung unten rechts zeigt ein Beispiel eines solchen "\stress\goldenen\normal\ " Baumes. Werner Brefeld


Weitere Mathematik-Rätsel mit Lösungen und Überlegungen zum Thema "Mathematik - Hintergründe im täglichen Leben" findet man unter www.brefeld.homepage.t-online.de. Das gezeichnete Bild des Pythagorasbaums stammt von hier
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Die Blätter des Pythagorasbaums [von Werner Brefeld]  
Ein Pythagorasbaum entsteht, wenn man auf ein Quadrat (Stamm) ein rechtwinkliges Dreieck (Verzweigung) mit seiner Hypotenuse aufsetzt. An die Katheten schließen sich wieder Quadrate (Zweige) an, an deren gegenüberliegenden Seiten sich wiederum rechtwinklige Dreiecke
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"Mathematik: Die Blätter des Pythagorasbaums" | 6 Comments
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Re: Die Blätter des Pythagorasbaums
von: predator am: So. 01. Januar 2006 21:11:15
\(\begingroup\)Hallo Werner, das ist eine komplizierte Frage, die Du hier bearbeitest. Es sind also genau zwei Arten von Dreiecken geeignet, dass man einen Baum erhält, mit genau zwei Blattgrößen. Allerdings muss man doch zum rechten Zeitpunkt aufhören weiter zu verzweigen, sonst entstehen wieder neue Blattgrößen. Aber Du hast in dem Sinne Recht, dass man es anders eben gar nicht schaffen kann (sofern der Baum nicht nur 2 Blätter hat). Die Pythagorasbäume haben weitere 'seltsame' Eigenschaften. Der Satz des Pythagoras sagt etwas über die Flächen von Quadraten, die man auf den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks errichtet. Er sagt, dass die Summe der zwei kleineren Quadraten gleich der des dritten Quadrats ist. Die Quadrate sind untereinander ähnliche Figuren, d.h. dass sie, bis auf die Größe, die gleiche Form haben. Ersetzt man im Satz des Pythagoras das Quadrat durch 'ähnliche Figuren', dann erhält man die verallgemeinerte Aussage: Errichtet man auf den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ähnliche geometrische Figuren, dann gilt für die Flächen: Die Fläche der zwei kleineren Figuren ist gleich der der dritten Figur. Siehe auch: did.mat.uni-bayreuth.de/~matthias/geometrieids/pythagoras/html/node5.html So kann man auch Pythagorasbäume mit Fünfecken statt Quadraten zeichnen. Es sind dann aber eher Pythagorasblumen. Gruss p.\(\endgroup\)
 

Re: Die Blätter des Pythagorasbaums
von: Mabe am: Mo. 02. Januar 2006 00:26:14
\(\begingroup\)Hallo, ein sehr interessantes Problem, wovon ich bisher noch nichts gehört hatte. Dies ist aber wohl ein rein theoretisches Problem, oder hat es auch irgendwo Anwendung, bzw. wird es angewendet?! Gruß und DANKE MABE\(\endgroup\)
 

Re: Die Blätter des Pythagorasbaums
von: Wally am: Mo. 02. Januar 2006 09:24:28
\(\begingroup\)Hallo, Werner, Das ist ein interessantes Problem. Ich habe mal schnell zwischendurch auf deiner Homepage geschnüffelt ... da schau ich bestimmt noch öfters mal vorbei. Viele Grüße Wally\(\endgroup\)
 

Re: Die Blätter des Pythagorasbaums
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 02. Januar 2006 21:44:07
\(\begingroup\)Hallo Mabe, als ich mir dieses Mathematik-Rätsel ausgedacht habe, ist mir zumindest keine Anwendung eingefallen. Sollte es eine solche geben, würde sie mich auch sehr interessieren. Viele Grüße Werner Brefeld (http://www.brefeld.homepage.t-online.de)\(\endgroup\)
 

Re: Die Blätter des Pythagorasbaums
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 02. Januar 2006 21:55:28
\(\begingroup\)Hallo predator, weisst Du, wo man das Bild eines Pythagorasbaums mit Fünfecken findet? Besitzt Du eines? Gruß Werner Brefeld (werner.brefeld@web.de)\(\endgroup\)
 

Re: Die Blätter des Pythagorasbaums
von: predator am: Mo. 02. Januar 2006 23:26:19
\(\begingroup\)@Werner: Nein, meine Erinnerung hat mich getrogen. Es waren Sechsecke. Hier, ab Seite 20. Eigentlich kann man das ganze Dokument empfehlen. www.dovepresent.com/MANSW/GemsNotes.doc Gruss p.\(\endgroup\)
 

 
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