 \(\begingroup\)
\geo
ebene(200,200)
noaxis()
xy(-3,3)
fill(0,0,black)
## 3D-Ebene
## ========
##
replace() nolabel() punktform(.)
color(sky)
p(0,0,FL,hide)
konstante(ss,0.5)
konstante(pp,0)
for(ii,0,20,1,\
konstante(ss,ss*2) \
konstante(pp,pp+ss) \
konstante(pp1,pp) konstante(pp2,-pp) \
p(pp1,-3,P) s(FL,P) \
p(pp2,-3,P) s(FL,P) \
)
konstante(ww,-3)
for(jj,0,7,1,\
p(-1,ww,P) p(1,ww,Q) g(P,Q) \
konstante(ww,ww*2/3) \
)
##
## Makro zum Zeichnen eines Alephs
## ===============================
## Parameter:
## 1+2 : obere linke Ecke
## 3+4 : rechte untere Ecke
## 5 : Farbe der Ränder
## 6 : Farbe der Füllung
## 7 : Name
makro(LetterAleph,\
replace() \
konst(hoehe,(%2)-(%4)) konst(breite,(%3)-(%1)) \
konst(A_x,%1) konst(A_y,%2) \
konst(B_x,%1+0.15*breite) konst(B_y,%2) \
konst(D_x,%3-0.15*breite) konst(D_y,%4) \
konst(C_x,%3) konst(C_y,%4) \
konst(E_x,%1) konst(E_y,%4) \
konst(F_x,%1) konst(F_y,%4+0.25*hoehe) \
konst(G_x,%1+0.15*breite) konst(G_y,%4+0.25*hoehe) \
konst(H_x,%1+0.15*breite) konst(H_y,%4) \
konst(I_x,%3) konst(I_y,%2) \
konst(J_x,%3) konst(J_y,%2-0.25*hoehe) \
konst(K_x,%3-0.15*breite) konst(K_y,%2-0.25*breite) \
konst(L_x,%3-0.15*breite) konst(L_y,%2) \
konst(M_x,%1+5/14*0.85*breite) konst(M_y,%2-5/14*hoehe) \
konst(N_x,%1+6/14*0.85*breite) konst(N_y,%2-6/14*hoehe) \
konst(O_x,%3-5/14*0.85*breite) konst(O_y,%4+5/14*hoehe) \
konst(P_x,%3-6/14*0.85*breite) konst(P_y,%4+6/14*hoehe) \
konst(Q_x,%1+breite/2) konst(Q_y,%4+hoehe/2) \
\
p(A_x,A_y,A) p(B_x,B_y,B) p(D_x,D_y,D) p(C_x,C_y,C) \
p(E_x,E_y,E) p(F_x,F_y,F) p(G_x,G_y,G) p(H_x,H_y,H) \
p(I_x,I_y,I) p(J_x,J_y,J) p(K_x,K_y,K) p(L_x,L_y,L) \
p(M_x,M_y,M) p(N_x,N_y,N) p(O_x,O_y,O) p(P_x,P_y,P) \
color(%5) \
s(A,B) s(B,P) s(O,C) s(C,D) s(D,N) s(M,A) \
s(E,F) s(G,H) s(H,E) s(I,J) s(K,L) s(L,I) \
param(t,0,1,0.01) \
kurve((M_x-F_x)*cos(pi()/2*(t+1))+M_x,(M_y-F_y)*sin(pi()/2*(t+1))+F_y) \
kurve((N_x-G_x)*cos(pi()/2*(t+1))+N_x,(N_y-G_y)*sin(pi()/2*(t+1))+G_y) \
kurve((J_x-O_x)*cos(pi()/2*(t-1))+O_x,(J_y-O_y)*sin(pi()/2*(t-1))+J_y) \
kurve((K_x-P_x)*cos(pi()/2*(t-1))+P_x,(K_y-P_y)*sin(pi()/2*(t-1))+K_y) \
fill(Q_x,Q_y,%6)
insert() \
)
## Ende Makro
pen(2)
LetterAleph(-1,2.5,1,1,blue,sky,aleph0)
\geooff
\geoprint()
Der Satz von Sierpiński
Hallo Freunde der Mengenlehre.
Kurt Gödel und Paul Cohen bewiesen in der Mitte des letzten Jahrhunderts aufsehenerregende Tatsachen, die die Mathematik als Ganzes aufrüttelten: Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze, die (u.A.) die Existenz unentscheidbarer Aussagen voraussagten, gefolgt von der tatsächlichen Angabe solcher unentscheidbarer Hypothesen.
Die bekanntesten Vertreter sind dabei natürlich das Auswahlaxiom und die Kontinuumshypothese(n), die von den Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (und einiger anderer) unabhängig sind.
Dieser Artikel stellt den erstaunlich elementaren Beweis einer wundervollen Beziehung zwischen diesen beiden Sätzen vor, nämlich die Tatsache, dass das Auswahlaxiom aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese folgt.
Das Auswahlaxiom"Das Auswahlaxiom ist offensichtlich richtig, der Wohlordnungssatz ist offensichtlich falsch und beim Zorn'schen Lemma weiß mans nicht genau." - Jerry Bona
Das Auswahlaxiom (AC) ist wohl das umstrittenste Axiom der Mengenlehre1. Üblicherweise wird es durch diese Aussage definiert:
\darkred\ Für jede nichtleere Menge X von nichtleeren Mengen existiert eine Abbildung f : X->union(X) mit f(x)\el\ x für alle x\el\ X.
Soweit erscheint die Aussage vollkommen einleuchtend, denn wenn man nichtleere Mengen hat, dann ist es intuitiv klar, dass man daraus auch Elemente auswählen kann. Das Interessante an diesem Axiom ist, dass es dies auch für beliebig große und insbesondere auch unendliche Mengen zulässt.
Weniger einleuchtend sind die Auswirkungen dieses Axioms, die von schönen und nützlichen Aussagen wie "Jeder Vektorraum hat eine Basis" bis zu absolut kontraintuitiven Sätzen wie dem Paradoxon von Banach-Tarski reichen.
Eine der wichtigsten (und für uns auch die wichtigste) Eigenschaften des Auswahlaxioms ist jedoch die Äquivalenz zum so genannten Wohlordnungssatz, der ganz einfach besagt, dass sich jede Menge wohlordnen lässt. Wir werden zeigen, dass aus der allgemeinen Kontinuumshypothese der Wohlordnungssatz folgt.
1 Obwohl den Streitenden vielleicht dieser Thread interessant erscheinen könnte in diesem Zusammenhang.
Die Verallgemeinerte Kontinuumshypothese"Hypothesen sind Netze, nur der wird fangen, der auswirft." - Novalis
Als Georg Cantor Ende des vorletzten und zu Anfang des letzten Jahrhunderts als einer der ersten systematisch unendliche Mengen untersuchte, stieß er nicht nur auf Resultate wie die bekannten Cantor'schen Diagonalargumente, sondern auch auf neue Fragestellungen, wie die Kontinuumshypothese(n).
Die Grundaussage der einfachen Kontinuumshypothese ist die, dass es keine Menge gibt, deren Mächtigkeit echt zwischen der Kardinalität der natürlichen und der Kardinalität der reellen Zahlen (welche ja gleich der Potenzmenge der natürlichen Zahlen ist) liegt.
Wir interessieren uns aber viel mehr für die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH), die das Ganze für beliebige Mengen formuliert:
\darkred\ Für keine unendliche Menge X gibt es eine Menge Y mit abs(X) abs(X)=abs(Y) \or abs(Y)=2^abs(X)
Wir werden in diesem Artikel den Satz von Sierpiński zeigen, der besagt, dass diese Annahme ausreicht, um jede Menge wohlordnen zu können.
Ordinalzahlen"So protestiere ich gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe als einer vollendeten, welche in der Mathematik niemals erlaubt ist. Das Unendliche ist nur eine Façon de parler." - Carl Friedrich Gauß
Als wichtiges Hilfsmittel für den Beweis werden uns die Ordinalzahlen dienen. Eine Ordinalzahl ist dabei eine Menge \alpha, die durch folgende zwei Kriterien charakterisiert wird:
\ll(i)\alpha ist transitiv, d.h. für alle \beta\el\alpha gilt \beta\subseteq\alpha
\ll(ii)\alpha wird durch opimg(\el) wohlgeordnet.
Wir werden im Beweis einige der unzähligen nützlichen Eigenschaften von Ordinalzahlen benutzen:
\ll(a)Jede wohlgeordnete Menge ist zu genau einer Ordinalzahl ordnungsisomorph, jedoch sind keine zwei verschiedenen Ordinalzahlen zueinander ordnungsisomorph.
\ll(b)Jedes Element einer Ordinalzahl ist wieder eine Ordinalzahl.
\ll(c)Die Klasse der Ordinalzahlen \big\ On\normal ist ebenfalls durch opimg(\el) wohlgeordnet und jede nichtleere Menge von Ordinalzahlen hat ein Supremum in \big\ On\normal||.
Endlich der Beweis"Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können." - David Hilbert
Wesentlich mehr Vorkenntnisse brauchen wir nicht, jetzt kann es schon losgehen.
Wir werden der Übersichtlichkeit halber für Mengen X<=Y schreiben, wenn es eine injektive Abbildung X\hookrightarrow\ Y gibt, X~Y, wenn es eine Bijektion gibt, und X+Y für die disjunkte Vereinigung zweier Mengen. Ebenso werden wir \calP^n(X) für die n\-fach iterierte Potenzmenge schreiben, d.h. \calP^0(X)=X, \calP^1(X)=\calP(X), \calP^2(X)=\calP(\calP(X)), ...
Auf gehts:
\ll(Satz von Hartog)Für jede Menge A gibt es eine Ordinalzahl \alpha,
| | für die nicht \a<=A gilt.
Ein solches \a ist also größer oder unvergleichbar mit A.
\blue\ Beweis:
Sei B die Menge aller Wohlordnungen auf \(nicht notwendigerweise echten\) Teilmengen von A. Jedes b\el\ B ist nun zu genau einer Ordinalzahl \b(b) \(ordnungs\-\)isomorph. \b bildet B auf eine Menge von Ordinalzahlen B^~ ab.
Jetzt können wir \alpha so wählen, dass \alpha größer als jede dieser Ordinalzahlen ist. \alpha kann nun offensichtlich auf keine Teilmenge von A bijektiv abgebildet werden, denn jede solche bijektive Abbildung würde eine zu \a isomorphe Wohlordnung auf dieser Teilmenge induzieren, womit \alpha\el\ B^~ und insbesondere \alpha<\alpha wäre.
\blue\ q.e.d.
\ll(Definition)\calH(A) sei definiert als die kleinste Ordinalzahl, die zu keiner Teilmenge von A gleichmächtig ist.
Nach dem Satz von Hartog existiert so eine Ordinalzahl, also existiert auch eine kleinste.
\ll(1.Lemma)Für jede Menge A gilt \calH(A)<=\calP^4(A)
Hierbei muss also vor allem explizit die Vergleichbarkeit gezeigt werden, denn die Trichotomie von Mengen kann nicht vorausgesetzt werden \(da sie äquivalent zum AC ist\).
\blue\ Beweis:
Sei \b:=\calH(A). Für alle \a<\b gibt es nach Definition eine Teilmenge von A, die wohlgeordnet werden kann und mit dieser Wohlordnung zu \alpha isomorph ist. Sei h(\a) die Menge aller Wohlordnungen auf Teilmengen von A, die zu \a isomorph sind.
h ist also eine Abbildung mit Definitionsbereich \b, da jede Ordinalzahl \a<\b auch Element von \b ist.
h ist offensichtlich injektiv, denn ist h(\a_1)=h(\a_2), dann gibt es eine Wohlordnung \xi auf einer Teilmenge von A mit \alpha_1~=\xi~=\alpha_2 => \alpha_1=\alpha_2. \(verschiedene Ordinalzahlen sind nie isomorph\)
Sei nun \omega\el\ h(\a) für ein \alpha\el\b. Weil \omega eine Wohlordnung ist, ist es eine Menge von Paaren von Elementen aus A, also \omega\subseteq\ A\cross\ A => \omega\el\calP(A\cross\ A)
=> h(\a)\subseteq\calP(A\cross\ A)
=> h(\a)\el\calP(\calP(A\cross\ A))
Da man das kartesische Produkt A\cross\ A als Teilmenge von \calP(\calP(A)) definieren kann \(durch (x, y):=menge(menge(x), menge(x,y))\), gilt \calP(\calP(A\cross\ A))\subseteq\calP^4(A)
Also ist die Menge aller h(\a) eine Teilmenge von \calP^4(A) und \b damit zu dieser Teilmenge gleichmächtig => \calH(A)<=\calP^4(A)
\blue\ q.e.d.
\ll(2.Lemma)Wenn X\union\ Y~Z\cross\ Z, dann gibt es eine surjektive Abbildung X->Z oder es ist Z<=Y.
\blue\ Beweis:
Sei f eine Bijektion X\union\ Y->Z\cross\ Z. Wir nehmen an, es gäbe keine solche surjektive Abbildung X->Z und zeigen Z<=Y.
Für jedes a\el\ X ist f(a) ein geordnetes Paar (z_1, z_2)\el\ Z\cross\ Z. Sei h(a) das erste Element des zu a gehörigen Paares. h ist also eine Abbildung X->Z. Nach Annahme gibt es aber ein b\el\ Z, so dass h(a)!=b für alle a\el\ X gilt. Für kein z\el\ Z kann es also ein a\el\ X geben mit f(a)=(b,z).
Da f aber eine Bijektion ist, muss es ein a\el\ Y geben, für welches f(a)=(b,z) ist. Also induziert f^(-1) eine injektive Abbildung {b}\cross\ Z\hookrightarrow\ Y und somit Z~{b}\cross\ Z<=Y.
\blue\ q.e.d.
\ll(3.Lemma)Seien X und Y Mengen mit X!=\0, X+X~X und Y<=\calP(X). GCH impliziert dann, dass X und Y vergleichbar sind.
\blue\ Beweis:
Es gilt X<=X+Y<=X+\calP(X)<=\calP(X)+\calP(X)~\calP(X)\cross 2~\calP(X+1). Es gilt aber außerdem X<=X+1<=X+X~X. Und somit:
X<=X+Y<=\calP(X)
Nach GCH muss also X~X+Y oder X+Y~\calP(X) sein. Im ersten Fall gilt Y<=X+Y~X => Y<=X. Im zweiten Fall ist X+Y~\calP(X+X)~\calP(X)\cross\calP(X). Nach dem \ref(2.Lemma) gibt es dann eine surjektive Abbildung X->\calP(X) oder es gilt \calP(X)<=Y. Wir wissen, dass ersteres nicht eintreten kann \(Cantors Beweis für X\lneq\calP(X)\), also muss X<=\calP(X)<=Y gelten.
\blue\ q.e.d.
\ll(4.Lemma)Wenn Z=\calP(Y\union\IN) ist für eine Menge Y, dann gilt
| | \calP^n(Z)+\calP^n(Z)~\calP^n(Z) für alle n\el\IN.
\blue\ Beweis:
Die Vereinigung mit \IN brauchen wir, um ohne AC sicher stellen zu können, dass wir eine abzählbare Teilmenge in V:=Y\union\IN erhalten. Damit ist dann nämlich V~V+1.
Und daraus wiederum folgt Z=\calP(V)~\calP(V+1)~\calP(V)\cross\ 2~\calP(V)+\calP(V)=Z+Z, womit wir unseren Induktionsanfang n=0 gefunden haben.
Können wir aus der Induktionsvorausetzung \calP^n(Z)~\calP^n(Z)+1 folgern, so können wir die gleiche Argumentation für den Induktionsschritt anwenden. Es gilt allgemein A+A~A => A<=A+1<=A+A~A => A~A+1 für alle nichtleeren Mengen A. Damit ist die Induktion also komplett.
\blue\ q.e.d.
\ll(5.Lemma)Sei Y eine Menge, Z:=\calP(Y\union\IN),n\el\IN und sei weiterhin B eine Menge, so dass nicht Z<=B gilt. Dann impliziert GCH, dass mit B<=\calP^n(Z) auch B<=Z gilt.
\blue\ Beweis:
Induktion nach n. Für n=0 ist das trivial, denn \calP^0(Z)=Z. Sei nun die Implikation für n wahr. Wir zeigen, dass sie dann auch für n+1 gilt.
Sei B<=\calP^(n+1)(Z)=\calP(\calP^n(Z)). Es gilt jetzt \calP^n(Z)=\calP^n(Z)+\calP^n(Z) nach dem \ref(4.Lemma). Setzen wir im \ref(3.Lemma) X gleich \calP^n(Z) und Y gleich B, so folgt, dass B mit \calP^n(Z) vergleichbar ist.
\calP^n(Z)<=B kann nicht gelten, da Z<=B nicht gilt, also muss B<=\calP^n(Z) sein, woraus mit Induktionsvoraussetzung B<=Z folgt.
\blue\ q.e.d.
\ll(Satz von Sierpinski)GCH=>Wohlordnungssatz
\blue\ Beweis:
Es sei Y eine Menge. Wir setzen dann Z:=\calP(Y\union\IN). \ref(Hartogs Satz) und das \ref(1.Lemma) sagen uns, dass es eine Ordinalzahl \beta gibt mit \b<=\calP^4(Z), die nicht in Z eingebettet werden kann, für die also nicht \b<=Z gilt. Das eben bewiesene \ref(5.Lemma) liefert dann Z <= \beta. Also kann Z wohlgeordnet werden, wegen Y <= Z also auch Y.
\blue\ q.e.d.
Abschluss"Nichts ist dem Geist erreichbarer als das Unendliche." - Novalis
Nun das war der Beweis. Ich persönlich finde ihn sehr schön. Er hat alles, was man sich wünscht: Eine clevere Idee und eine kurze, elegante und einigermaßen elementare Umsetzung. Gefunden habe ich ihn in diesem wunderbaren Buch, das ich jedem Interessierten nur ans Herz legen kann.
Ich hoffe, er hat euch auch gefallen.
mfg Gockel.
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