Mathematik: Wavelets II - Des Herrn Fouriers Falten
Released by matroid on Fr. 24. November 2006 18:53:58 [Statistics]
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Mathematik

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Einleitung

Willkommen zum zweiten Teil der Wavelet-Artikelreihe. Wie bereits im ersten Teil werden hier - meist ohne Beweis - notwendige Voraussetzungen wiederholt; speziell geht es um Faltung und Fouriertransformation. Da der Artikel weitaus länger als ursprünglich geplant geworden ist, wird die gefensterte Fouriertransformation auf den dritten Teil der Reihe verschoben; didaktisch gesehen ist das sogar vernünftig, weil man deren Nachteile als Motivation für die Einführung der Wavelets anführen kann. Hier wird auch kurz auf Fourierreihen und die 'Diskrete Fourier Transformation' eingegangen. Der Hauptanteil bei der Einführung der Fouriertransformation liegt neben der expliziten und beispielhaften Darlegung, wobei Letztere innerhalb dieses Artikels den zweiten Teil einnehmen wird, vor allem in einer kurzen aber hoffentlich ausreichend adäquaten Definition selbiger im L2. Ich hoffe, dass die Struktur des Artikels trotz notwendiger inhaltlicher Reduktion verständlich ist.
Im Bezug auf das Artikeldesign habe ich leichte Umgestaltungen eingeführt: Überschriften erklingen - synästhetisch formuliert - in Orange auf Blau, da ich diese Farbkombination einfach liebe. Definitionen präsentieren sich zwecks schnelleren Auffindens in blau mit grauem Hintergrund. Herleitungen, Feststellungen, Sätze und ausführlichere Rechnungen sind weiterhin gerahmt und besondere Hinweise finden sich inmitten roter Balken.
Ich entschludige mich für die lange Wartezeit zwischen dem Erscheinen des ersten und des zweiten Teiles -- wie so ist es einfach der eklatante Mangel an Zeit, der dies als notwendige Konsequenz leider mit sich führt.
Letztlich entnehme ich Shakespeare's Romeo and Juliet das Motto für diesen zweiten Teil:

O any thing, of nothing first create! O heavy lightness! serious vanity! Mis-shapen chaos of well-seeming forms!



Faltung und Fouriertransformation

Die Faltung

Bevor ich die Faltung formal einführe, möchte ich kurz beispielhaft erläutern, wo sie Anwendung findet. Nehmen wir an, ich möchte für ein Computerspiel oder einen Film Geräusche, Stimmen und ähnliches so verfremden, als wären wir in einer Gruft oder Kirche, habe aber - kulissenbedingt - nur Studioaufnahmen zur Verfügung. Akustische Eigenschaften von Gruft oder Kirche können dann in einer sogenannten Impulsantwort oder Systemantwort zusammengefasst werden. Faltet man das Ursprungssignal dann mit diesen, so erhält man das gewünschte Resultat. Bildlich (und mathematisch :-)) kann man sich die Faltung so vorstellen, dass eine Ausgangsfunktion durch eine andere 'gemittelt' wird.
Bezüglich eines Maßes \mu_n definiert man für Funktionen f, g\el L^1(\IR^n) die Faltung \IR^2n ->\IR wie folgt: \grey\blue\(f\*g)(x):=int(f(x-y)g(y),\mu_n(y),\IR^2n) . Substituiert man y |-> x-y , folgt sofort \frame f\*g=g\*f\frameoff . Neben dieser Kommutativität erhält man durch reines Ausrechnen unter Anwendung des Satzes von Fubini für f,g,h\el L^1(\IR^n) ebenso \frame(f+g)\*h=f\*h+g\*h (Distributitivät) (f\*g)\*h=f\*(g\*h) (Assoziativität) \mu_n-f.ü.\frameoff Wie verhält es sich aber überhaupt mit der Wohldefiniertheit dieser Faltung? Nun, die allgemeine Integraltransformation und Anwendung des Bildmaßes liefern \frame int((int(abs(f(x-y)g(y)),\mu_n(x), \IR^n)), \mu_n(y), \IR^n) =norm(f)_1 int(abs(g(y)), \mu_n(y), \IR^n) =norm(f)_1 norm(g)_1 < \infty \frameoff

Die Fouriertransformation

...aus signaltheoretischer Perspektive

Vor der mathematisch exakteren Darlegung der Fouriertransformation möchte ich mich ihr von signaltheoretischer Seite her nähern. Das hat den Vorteil, dass man vor dem tieferen Eindringen ein Grundverständnis von dem bekommt, was man eigentlich macht. Wer sich damit intensiver auseinandersetzen will, dem sei [Lyon] empfohlen, welchem die Hauptbetrachtungen hieraus entnommen sind.
Der nichtdiskrete Ursprung dieser ist die Transformation \grey\blue X(f):=int(x(t)e^(-i\omega||t), t, -\infty, \infty)=int(x(t)e^(-2\pi||ift), t, -\infty, \infty), mit \omega=2\pi f Kreisfrequenz zu gegebener Frequenz f . Die Variablen sind bewusst gewählt: Wir denken uns x(t) als eine stetiges Signal im Zeitbereich und die Transformation 'analysiert' x(t) insofern, als dass sie diese Zeitbereich-Darstellung in eine frequenzabhängige Darstellung zerlegt. Wir betrachten einmal ein konkretes Beispiel in einem diskreten Rahmen. Die analoge Definition lautet hier \grey\blue X(k):=sum(x(n)e^(-i\omega||nk\/N), n=0, N-1)=sum(x(n)e^(-2\pi||ink\/N), n=0, N-1) Dabei ist N die Anzahl der Samples, die z.B. durch Sampling eines kontinuierlichen Signales entstehen, n der Index des jeweils betrachteten Input-Samples (was genau das heißen soll, wird noch klar werden) und m der Index der Diskreten Fourier Transformation im Frequenzbereich. Beide Letztgenannteren nehmen Werte von 0 bis N-1 an und betrachten wir einmal den Term e^(-2\pi||ink\/N) , so wird klar, dass es sich hierbei um eine primitive N-te Einheitswurzel handelt. Wir wollen die e-Funktion in ihren cosinus- und sinus-Anteil aufsplitten und uns das ganze einmal detailliert vor Augen führen. Dazu sei N=16 gewählt. Wir erhalten dann als DFT (Diskrete Fourier Transformation): X(k)=sum(x(n)[cos(2\pi||nk/16)-i*sin(2\pi||nk/16)] Also beispielweise: X(0) = x(0)cos(2\pi*0*0/16)-i*x(0)sin(2\pi*0*0/16)\frame + x(1)cos(2\pi*1*0/16)-i*x(1)sin(2\pi*1*0/16) + \vdots + x(15)cos(2\pi*15*0/16)-i*x(15)sin(2\pi*15*0/16) und X(1) = x(0)cos(2\pi*0*1/16)-i*x(0)sin(2\pi*0*1/16) + x(1)cos(2\pi*1*1/16)-i*x(1)sin(2\pi*1*1/16) + \vdots + x(15)cos(2\pi*15*1/16)-i*x(15)sin(2\pi*15*1/16) und so weiter bis X(15)\frameoff Die exakten Analysefrequenzen hängen dabei ab von der Sampling-Rate f_s des Urprungssignals und natürlich von N. Ist beispielweise N=16 und f_s=500 samples\/s , dann berechnet sich die (sogenannte) Fundamentalfrequenz zu \grey\blue f_m=:f_s/N=500/16=31.25 Hz und es ergibt sich sofort X(0)=0*31.25 Hz=0 Hz\frame X(1)=1*31.25 Hz=31.25 Hz \vdots X(15)=15*31.25 Hz=468.75 Hz\frameoff Dies sind die Analysefrequenzen! Betrachten wir das Eingangssignal x_in(t)=sin(2\pi*1000*t)+1/2*sin(2\pi*2000*t+3/4 \pi) und wählen f_s=8000 samples\/s, N=8 Als Fundmantalfrequenz erhalten wir damit 1000Hz und als Samplewerte x(0)=0.3535, x(1)=0.3535, x(2)=0.6464, x(3)=1.0607,\frame x(4)=0.3535, x(5)=-1.1607, x(6)=-1.3535, x(7)=-0.3535\frameoff Für X(0) bis X(7) errechnen wir: X(0)=0.0-0.0i=0 \sphericalangle 0°\frame X(1)=0.0-4.0i=4 \sphericalangle -90°, X(2)=1.414+1.414i=2 \sphericalangle 45°, X(3)=0.0-0.0i=0 \sphericalangle 0°, X(4)=0.0-0.0i=0 \sphericalangle 0°, X(5)=0.0-0.0i=0 \sphericalangle 0°, X(6)=1.414-1.414i=2 \sphericalangle -45°, X(7)=0.0+4.0i=4 \sphericalangle 90°\frameoff Wie zu erwarten, sind bei 1 KHz und 2 KHz die Amplituden ungleich Null; man kann die DFT - das heißt jedes einzelne X(k) - daher als Maß für die Korrelation eines Einganssignals mit einer Cosinus- und Sinus-Welle, deren Frequenz gerade k komplette Zyklen über die gesamten N Samples hinweg durchläuft, ansehen; unabhängig von N und der Sampling-Rate! Dass bei 6 KHz und 7 KHz ebenfalls Ausschläge zu verzeichnen sind, liegt an einer Eigenschaft der Fouriertransformation (für reelle Signale): Symmetrie.
Eine letzte Bemerkung soll diesen eher praktischen Teil abschließen: In unserem Beispiel lag ein Idealfall vor insofern, dass das Eingansgsignal allein aus Vielfachen der Fundamentalfrequenz der Analyse zusammengesetzt war. Das ist in der Praxis fast nie der Fall; hier treten dann sogenannte Aliasing-Effekte auf, d.h. Frequenzinformation finden sich in allen Analyefrequenzen wieder. Näheres dazu -- und wie man dem entgegenwirken kann (Stichwort Shannon) -- kann in unten, respektive oben angegebener Literatur nachgelesen werden.


...etwas mathematischer

Vom analytischen Standpunkt wird sich die Fouriertransformation im L2 als unitärer Operator erweisen; sie überführt dort, wie wir bald sehen werden, beispielweise die oben definierte Faltung zweier Funktionen in eine Multiplikation und verwandelt die Differentation in eine algebraische Operation. Ihre mathematisch korrekte Einführung bedarf einiger Erläuterung, da eine Existenz des auftretenden Integrales ggf. fraglich sein kann. Ich werde mich [hier ein Dank an cow_gone_mad für diesen Vorschlag] dabei bis auf einführende Gedanken auf die Beschreibung der FT in sogennanten Schwartzschen Räumen beschränken. Im weiteren Verlauf verwende ich folgende abkürzende Schreibweisen: \grey\blue x\xi := x^T \xi = = \sum(x_i \xi_i, i=1, n), \, abs(x)=(sum(x_i^2, i=1, n))^(1/2) . Mit oben eingeführtem Maß unproblematisch und wohldefiniert erweist sich die Definition für f \el L^1(\IR^n) : \grey\blue\Tf(\xi):=int(e^(-ix\xi) f(x), \mu_n(x)) \forall \xi\el\IR^n . Ich lege von jetzt an speziell den Fall des wie folgt normierten Lebesguemaßes: \grey\blue\mu_n:=(2\pi)^(-n\/2) \beta^n zugrunde (wobei \beta^n das reguläre Lebesguemaß ist), schreibe dementsprechend künftig: Tf(\xi)=(2\pi)^(-n\/2) int(e^(-ix\xi) f(x), x, \IR^n) \forall\xi\el\IR^n und nenne den Operator T Fourier-Transformation. Das Ergebnis ist eine beschränkte, im unendlichen verschwindende Funktion und der Operator selbst ist - was wir ohne Beweis hinnehmen wollen - messbar, stetig und linear mit norm(Tf)_\infty <= (2\pi)^(-n\/2) .

Der Weg in den L2

Wir wollen die Fouriertransformation ein wenig genauer inspizieren und uns kontinuierlich einer möglichen Beschreibung selbiger im L2 nähern. Ich werde den Weg jedoch nur grob skizzieren und verweise ansonsten auf die unten angegebene Literatur.
Um die Notation im wieteren Verlauf übersichtlich zu halten, führe ich eine Multiindex-Schreibweise ein: \grey\blue\alpha:=(\alpha_1, ..., \alpha_n), a:=sum(\alpha_i, i=1, n), \alpha_i \el \IN_(>=0) Ebenfalls setze ich \grey\blue x^\alpha := prod(x_i^\alpha_i, i=1, n) sowie den Ableitungsoperator \grey\blue D^\alpha f:= D_1^\alpha_1 \circ ... \circ D_n^\alpha_n f Als erstes wird der Schwartzraum oder Schwartzsche Raum eingeführt, der aus genügend glatten, d.h. schnell fallenden Funktionen besteht. Mit der just eingeführten Multiindexschreibweise ist dieser genauer \grey\blue S(\IR^n):={f\el C^\infty (\IR^n) : D^\alpha f ist schnell fallend \forall \alpha \el \IN_0^n } und eine Funktion f:\IR^n->\IC nennt man schnell fallend falls gilt: \grey\blue lim(abs(x)->\infty, x^\alpha f(x)=0 \forall \alpha \el \IN_0^n Anschaulich besagt die Definition, dass Funktionen aus dem Schwartzraum im Unendlichen schneller gegen Null gehen als das Reziproke jeden Polynoms, was uns zeigt, dass gilt: \forall p>=1: S(\IR^n) \subset L^p(\IR^n) , genauer für p endlich sogar dicht in diesen liegt.

Ist eine schwartzsche Funktion f gegeben, dann gelten zwei Eigenschaften, die ich ohne Beweis angeben möchte: \frame\ 1) f \el S(\IR^n) => Tf \el S(\IR^n) 2) für f \el S(\IR^n) und x \el \IR^n gilt: (TTf)(x) = f(-x)\frameoff Die zweite Gleichung beschert uns die Bijektivität von T: T^4=Id_(S(\IR^n)) => T^(-1)=T^3 und damit ergibt sich (T^(-1) f)(x)=(T^2(Tf))(x)=(Tf)(-x). Wir haben somit einen inversen Operator zur Fouriertransformation gefunden, gegeben durch \grey\blue (T^(-1) f)(x)=(2\pi)^(-n\/2) int(f(\xi)e^(ix\xi), \xi, \IR^n). Dieses Ergebnis war auch zu erhoffen, denn wenn wir den Weg in den L2 gefunden haben, wird dieser Operator als Isometrie auf selbigem Raum durch sein adjungiertes invertiert, sprich T^(-1)=T^\* . Die Prämisse des Längenerhaltens lässt sich mit Hilfe des Satzes von Fubini zeigen: die Fouriertransformation schwartzscher Funktionen bezüglich der L2-Norm ist winkelerhaltend und damit natürlich insbesondere eine Isometrie: \frame\_(L^2) = \_(L^2) und norm(Tf)_(L^2) = norm(f)_(L^2) \forall f, g \el S(\IR^n)\frameoff \ All dies zusammen ermöglicht, T zu einem isometrischen Operator auf dem L2 fortzusetzen. Diese Fortsetzung heißt Fourier-Plancherel-Transformation; Sie ist ebenfalls ein isometrischer Isomorphismus mit \frame\ \dsT: L^2(\IR^n)->L^2(\IR^n) <\dsT\ f, \dsT\ g\>_(L^2)=_(L^2) \forall f,g \el L^2(\IR^n)\frameoff Wir können die FT hier jedoch nicht einfach wie bisher definieren, da die Existenz des Integrals i.A. nicht garantiert ist. Desweiteren stellvertritt \dsT\ f eine Äquivalenzklasse. Mann kann nun zeigen, dass einerseits auf L1 \cap L2 das Integral mit \dsT\ f bis auf eine Nullmenge übereinstimmt und dass die Fourier-Plancherel-Transformation andererseits für Funktionen f aus dem L2 im L2-Sinne (also im quadratischen Mittel, nicht punktweise!) gegen dieses konvergiert, genauer: Für B(r):={x\el\IR^n : abs(x) <= r} und f\el\ L^2(\IR^n) gilt \dsT\ f=lim(r->\infty, [(2\pi)^(-n\/2) int(f(x)e^(-ix\xi), x, B(r))]) Ich werde daher zukünftig beide Operatoren als gleich ansehen und beschränke mich auf die Notation 'Tf'. Und mit diesem Resultat sollen endlich einige Eigenschaften der FT erwähnt werden.

Eigenschaften der Fouriertransformation

Bietet die Fouriertransformation besondere Gesetzmäßigkeiten oder sind ihr Eigenschaften immanent, die Rechnungen und Operationen 'vereinfachen' können? Zu einer a-fach stetig differenzierbare Funktion f: f \el C^a (\IR^n) sei die Fouriertransformation wie im obigen Fall für Funktionen f \el S(\IR^n) definiert. Es ist klar, dass dann auch x^\alpha f, D^\alpha f, Tf, D^\alpha TF und T(D^\alpha f) \el S(\IR^n) sind. Eine formal etwas ungenaue Berechnung (eigentlich müssten wir beim ersten Beweis den Differenzquotienten bilden, beim zweiten partiell Integrieren und könnten in beiden Fällen f majorisieren, um dann mit Grenzwert- und Konvergenzsätzen zum Ergebnis zu gelangen) ergibt: \frame D^\alpha (Tf)(\xi)=\pd^\alpha/\pd\xi^\alpha (2\pi)^(-n\/2) int(f(x)e^(-ix\xi), x, \IR^n) =(2\pi)^(-n\/2) int(f(x)\pd^\alpha/\pd\xi^\alpha e^(-ix\xi), x, \IR^n) =(2\pi)^(-n\/2)(-i)^a int(f(x)x^\alpha e^(-ix\xi), x, \IR^n) =(-i)^a T(x^\alpha f)(\xi) sowie T(D^\alpha f)(\xi)=(2\pi)^(-n\/2) int((D^\alpha f)(x)e^(-ix\xi), x, \IR^n) =(-1)^a/(2\pi)^n\/2 int(f(x)\pd^\alpha/(\pd x^\alpha) e^(-ix\xi), x, \IR^n) =(-1)^a (-i)^a \xi^\alpha (Tf)(\xi) =i^a \xi^\alpha Tf\frameoff Man nennt dies die Ableitungsregeln der Fouriertransformation.

!

Hier sollte wir einen Moment innehalten und uns einmal (signaltheoretisch) überlegen, was diese beiden Gleichungen eigentlich besagen: Bei der ersten Gleichung wird zuerst transformiert, dann differenziert; wir haben es hier gleichsam mit einer Differentiationsregel für den Frequenzbereich zu tun. Genau anders herum verhält es sich bei der zweiten Gleichung, die uns dementsprechend eine Regel für Differentiation um Zeitbereich liefert!

!

\frame T(f\*g)(x)=(2\pi)^(-n\/2) int((f\*g)(x)e^(-ix\xi), \xi, \IR^n) =(2\pi)^(-n\/2) int(f(y) int(g(x-y)e^(-ix\xi), x, \IR^n), y, \IR^n) =(2\pi)^(-n\/2) int(f(y)e^(-iy\xi), y, \IR^n) int(g(z)e^(-iz\xi), z, \IR^n) =(2\pi)^(n\/2) Tf Tg\frameoff schließlich beweist die anfangs verfasste Behauptung, dass die Fouriertransformation die Faltung zweier Funktionen in eine Multiplikation überführt. Diese Tatsache ist allgemein bekannt als Faltungssatz.

Im Folgenden ist für eine Funktion f der Translationsoperator wie folgt definiert: \grey\blue\ \calT^b f(x):=f(x-b) . Folgende weitere Eigenschaften lassen sich allesamt durch einfaches Nachrechnen unter Anwedung bekannter Rechenregeln für Integrale und mit Hilfe von Konvergenzsätzen beweisen lassen. \frame\ 1) \_(L^2)=\_(L^2)=\_(L^2) => int(f(x) g(x)^-,x,\IR^n)=int(Tf(\xi) Tg(\xi)^-,x,\IR^n) 2) \_(L^2)=\_(L^2)=>int(Tf(\xi) g(\xi)^-, x, \IR^n)=int(f(x) T[ g^-(x) ],x,\IR^n) 3) T\calT^b f = e^(-i\xi\ b) Tf \red(Translation um b, engl.: Time Shifting) 4) T[e^(-i\omega\ x) f]=Tf(x+\omega) \red(Modulation von f um \omega, engl.: Frequency Shifting) 5) l\el\IK: Tf(x/l)=abs(l)*Tf(lx) \red(Skalierung oder Dilatation, engl.: Time Scaling)\frameoff Wer den genauen und exakten Pfad nachschreiten will, sei auf unten angegebene Literatur verwiesen. Grundsätzlich beschreiben (fast) alle Bücher oder Skripte üder Funktionalanalysis ihn in genügender Genauigkeit.

Quid fiat?

Damit ist auch schon das Ende des zweiten Teiles der Wavelet-Reihe erreicht. Wie bereits erwähnt wird uns die Fouriertransformation -- vor allem deren gefensterte Variante -- im dritten Teil noch weiter beschäftigen, bevor wir schließich einen Blick in das Wohnheim der Wavelets werfen können. Bis dahin wünsche ich auf jeden Fall allen ein schönes Weihnachten 2006 und einen glanzvollen Start ins 2007te Jahr.
Danken möchte ich vorher aber noch cow_gone_mad für Verbesserungsvorschläge, respektive Korrekturen!

> Gilgamash <

Literatur: * Elstrodt, Jürgen: Maß- und Integrationstheorie, Springer-Verlag * Werner, Dirk: Funktionalanalysis, Springer-Verlag * Lyons, Richard G.: Understanding Digital Signal Processing, Prentice Hall * Girod, Rabenstein, Stenger: Signals and Systems, Wiley * Kammeyer, Kroschel: Digitale Signalverarbeitung, Teubner
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: Wavelets :: Fouriertransformation :
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"Mathematik: Wavelets II - Des Herrn Fouriers Falten" | 1 Comment
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Re: Wavelets II - Des Herrn Fouriers Falten
von: FlorianM am: Fr. 15. Oktober 2010 13:27:26
\(\begingroup\)Hi Andreas, es hat noch niemand kommentiert. Aber sehr schöner Artikel :) Viele Grüße Florian\(\endgroup\)
 

 
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