\(\begingroup\) Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern

In diesem Artikel möchte ich zeigen, wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern können. Dies habe ich in meinem einführenden Artikel über universelle Eigenschaften bereits angerissen und wird hier nun mit Leben gefüllt. Die meisten Lehrbücher der Algebra arbeiten erst dann ernsthaft mit universellen Eigenschaften (und selbst dann nicht immer konsequent), wenn die expliziten Konstruktionen zu unübersichtlich werden, um Elementbeweise zu führen (z.B. Tensorprodukte). Dabei ist es aber meiner Meinung schon bei einfacheren, konkreten Konstruktionen hilfreich, universelle Eigenschaften zu benutzen, um sich nicht immer wieder mit denselben Rechnungen vom richtigen Verständnis des Zusammenhangs abzuhalten. Das werde ich in diesem Artikel mit einigen einfachen Beispielen belegen, die auch größtenteils schon hier auf dem Matheplaneten aufgetaucht sind. Also: In Bezug auf die Grundlagen der Algebra möchte ich euch ein wenig die funktorielle Sichtweise erklären ...

A1. Tensorprodukte vertauschen mit direkten Summen. Es geht um folgendes: Ist $(M\_i)\_\{i\; \backslash in\; I\}$ eine Familie von $R$-Moduln, und $N$ ein weiterer $R$-Modul, so gibt es einen kanonischen Isomorphismus $\backslash displaystyle\; N\; \backslash otimes\; \backslash bigoplus\_\{i\; \backslash in\; I\}\; M\_i\; \backslash cong\; \backslash bigoplus\_\{i\; \backslash in\; I\}\; N\; \backslash otimes\; M\_i$. Man kann sich das als eine Kategorifizierung des Distributivgesetzes $n\; \backslash cdot\; (m\_1\; +\; m\_2\; +\; ...)\; =\; n\; \backslash cdot\; m\_1\; +\; n\; \backslash cdot\; m\_2\; +\; ...$ vorstellen und auch merken. Es gibt nun mehrere Wege, dies zu beweisen. a) Wir benutzen die explizite Konstruktion des Tensorproduktes und der direkten Summe. Das ist der umständlichste und dümmste Beweis, den man sich vorstellen kann. b) Wir benutzen die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes, um zwei zueinander inverse Homomorphismen anzugeben: Nämlich können wir eine bilineare Abbildung $N\; \backslash times\; \backslash bigoplus\_\{i\; \backslash in\; I\}\; M\_i\; \backslash to\; \backslash bigoplus\_\{i\; \backslash in\; I\}\; N\; \backslash otimes\; M\_i$ angeben, durch $(n,\; \backslash sum\_\{i\; \backslash in\; I\}\; m\_i)\; \backslash mapsto\; \backslash sum\_\{i\; \backslash in\; I\}\; n\; \backslash otimes\; m\_i$. Hierbei ist $m\_i\; =\; 0$ für fast alle $i$, also auch $n\; \backslash otimes\; m\_i\; =\; 0$ für fast alle $i$ und die Summen sind wirklich wohldefiniert. Die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes sagt uns nun, dass es genau einen Homomorphismus $N\; \backslash otimes\; \backslash bigoplus\_\{i\; \backslash in\; I\}\; M\_i\; \backslash to\; \backslash bigoplus\_\{i\; \backslash in\; I\}\; N\; \backslash otimes\; M\_i$ gibt, der $n\; \backslash otimes\; \backslash sum\_\{i\; \backslash in\; I\}\; m\_i\; \backslash mapsto\; \backslash sum\_\{i\; \backslash in\; I\}\; n\; \backslash otimes\; m\_i$ abbildet. Um den Homomorphismus in die andere Richtung anzugeben, definieren wir zunächst für alle $i\; \backslash in\; I$ einen Homomorphismus $N\; \backslash otimes\; M\_i\; \backslash to\; N\; \backslash otimes\; \backslash bigoplus\_\{i\; \backslash in\; I\}\; M\_i$ auf offensichtliche Weise, nämlich als $id\_N$ tensoriert mit der Inklusion von $M\_i$ in die direkte Summe. Diese können wir dann zu einem Homomorphismus auf der direkten Summe fortsetzen. Dass die so erhaltenden Homomorphismen zueinander invers sind, prüft man auf den Erzeugern, wo es aber klar ist. Das ist wohl der Beweis, den man am öftesten sieht. Er ist immer noch recht umständlich. Er lässt sich noch ein wenig verbessern, indem man die universelle Eigenschaft der direkten Summe ernst nimmt und gar nicht erst mit Elementen in der direkten Summe argumentiert. So kann man dann auch das Argument am Ende, dass die beiden Homomorphismen zueinander invers sind, vereinfachen: Gleichheit von Morphismen auf einem Tensorprodukt lässt sich nach der universellen Eigenschaft eben auf den reinen Tensoren testen, und Gleichheit von Morphismen auf einer direkten Summe lässt sich nach der universellen Eigenschaft eben auf den einzelnen Summanden testen. So gelangen wir also schon einmal zur verbesserten Beweisvariante b'). Die nächste und womöglich beste Beweisvariante benutzt das Yoneda-Lemma, welches wir bereits oben wiederholt haben. c) Es gibt in $R$-Moduln $T$ natürliche Bijektionen $\backslash displaystyle\; \backslash hom(N\; \backslash otimes\; \backslash bigoplus\_\{i\; \backslash in\; I\}\; M\_i,T)\; \backslash stackrel\{(1)\}\{\backslash cong\}\; \backslash text\{Bilin\}(N\; \backslash times\; \backslash bigoplus\_\{i\; \backslash in\; I\}\; M\_i,T)\; \backslash stackrel\{(2)\}\{\backslash cong\}\; \backslash hom(\backslash bigoplus\_\{i\; \backslash in\; I\}\; M\_i,\backslash hom(N,T))$ $\backslash displaystyle\; \backslash stackrel\{(3)\}\{\backslash cong\}\; \backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; \backslash hom(M\_i,\backslash hom(N,T))\; \backslash stackrel\{(4)\}\{\backslash cong\}\; \backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; \backslash hom(N\; \backslash otimes\; M\_i,T)\; \backslash stackrel\{(5)\}\{\backslash cong\}\; \backslash hom(\backslash bigoplus\_\{i\; \backslash in\; I\}\; N\; \backslash otimes\; M\_i,T)$ Aus dem Yoneda-Lemma folgt nun die Behauptung! Die einzelnen Isomorphismen entstehen wiefolgt: (1) ist die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes, sprich die Definition. (2) ist ein Spezialfall der allgemeinen Bijektion $\backslash text\{Bilin\}(N\; \backslash times\; M,T)\; \backslash cong\; \backslash hom(M,\backslash hom(N,T))$, die durch $\backslash phi\; \backslash mapsto\; (m\; \backslash mapsto\; (n\; \backslash mapsto\; \backslash phi(n,m)))$ gegeben ist. (3) ist die universelle Eigenschaft der direkten Summe, also von einem kategoriellen Standpunkt aus ebenfalls einfach die Definition. (4) und (5) sind parallel zu (1) und (2). Die Natürlichkeit in $T$ ist bei (1),(2) und damit (4),(5) trivial, und bei (3) ergibt sie sich daraus, dass die Identifikation nur "vorne" war, also kompatibel mit Abbildungen "hinten" ist. Obwohl der Beweis oben nicht so konkret wie etwa b) ist, können wir in der Tat den konstruierten Isomorphismus "angeben". Das heißt natürlich, dass man diesen kategoriellen Standpunkt, den man hier eingenommen hat, erst einmal wieder verlässt, und mit Elementen in den Moduln hier arbeitet. Jedenfalls kann man $T\; =\; \backslash bigoplus\_\{i\; \backslash in\; I\}\; N\; \backslash otimes\; M\_i$ oben einsetzen, ein Urbild von $id\_T$ unter der Bijektion wählen und so den in b) konstruierten Homomorphismus auch konkret gewinnen. Beachte auch, dass der Beweis in b) im Prinzip dasselbe wie c) ist, bloß dass man das Yoneda-Lemma im Spezialfall erneut bewiesen hat und dabei die Bijektionskette aus c) insgesamt 4 mal durchlaufen hat. Welch Redundanz. Man könnte auch noch etwas weiter gehen und sagen, dass tatsächlich eine Gleichheit (und so wird es auch sehr oft geschrieben) $N\; \backslash otimes\; \backslash bigoplus\_\{i\; \backslash in\; I\}\; M\_i\; =\; \backslash bigoplus\_\{i\; \backslash in\; I\}\; N\; \backslash otimes\; M\_i$ besteht. Die definierenden universellen Eigenschaften der hier vorkommenden Objekte legen nämlich nahe, ein Objekt $M$ mit seinem Hom-Funktor $\backslash hom(M,-)$ zu identifizieren, und unter dieser Identifikation $M\; \backslash oplus\; N$ bzw. $M\; \backslash otimes\; N$ als den Funktor $\backslash hom(M,-)\; \backslash times\; \backslash hom(N,-)$ bzw. $\backslash text\{Bilin\}(M\; \backslash times\; N,-)$ zu definieren. Dann ist die in c) natürlich der allernatürlichste Beweis, den es nur geben kann. Er vergleicht einfach die definierenden Funktoren und zeigt, dass sie identisch sind. d) Dieser Beweis ist im Prinzip von derselben Natur wie c), bloß dass er eine bei c) zentrale benutzte Eigenschaft weiter abstrahiert. Uns geht es ja darum, zu zeigen, dass der Funktor $N\; \backslash otimes\; -$ auf natürliche Weise direkte Summen respektiert. Nun gilt aber wie bereits erwähnt $\backslash hom(N\; \backslash otimes\; M,T)\; ~=\; \backslash hom(M,\backslash hom(N,T))$, natürlich in allen Variablen. Es handelt sich also um eine Adjunktion zwischen $N\; \backslash otimes\; -$ und $\backslash hom(N,-)$: Allgemeiner heißt ein Funktor $F\; :\; C\; \backslash to\; D$ linksadjungiert zu einem Funktor $G\; :\; D\; \backslash to\; C$, wenn es eine in $c,d$ natürliche Bijektion $\backslash displaystyle\; \backslash hom(F(c),d)\; \backslash cong\; \backslash hom(c,G(d))$ gibt. In einer solchen Situation erhält $F$ immer direkte Summen, allgemeiner sogar und mit demselben Beweis auch Kolimites. Der Beweis dafür ist denkbar einfach: $\backslash hom(F(\backslash oplus\_i\; c\_i),-)\; \backslash cong\; \backslash hom(\backslash oplus\_i\; c\_i,G(-))\; \backslash cong\; \backslash prod\_i\; \backslash hom(c\_i,G(-))$ $\backslash cong\; \backslash prod\_i\; \backslash hom(F(c\_i),-)\; \backslash cong\; \backslash hom(\backslash oplus\_i\; F(c\_i),-)$ Das Yoneda-Lemma liefert nun wie gewünscht $F(\backslash oplus\_i\; c\_i)\; \backslash cong\; \backslash oplus\_i\; F(c\_i)$. Das waren die vier Beweiswege. Diesem einfachen Distributivgesetz sollte man vielleicht nicht so viel Aufmerksamkeit schenken, wenn die hier gemachten Bemerkunen nicht exemplarisch für viele andere Beispiele und allgemeinere Zusammenhänge stehen würden, die gleich noch besprochen werden. Ich fasse noch einmal zusammen: a) ist der dumme, umständliche und unnatürliche Beweis. b) ist schon besser, wiederholt aber immer unnötigerweise das Yoneda-Argument und ist insofern umständlich. Algebrabücher und -vorlesungen sind voll davon. c) ist der beste und natürlichste Beweis, man vergleicht einfach die Funktoren. d) zeigt auf, dass c) manchmal wieder nur eine Instanz eines allgemeineren Zusammenhangs ist. A2. Tensorprodukte sind rechtsexakt. Damit ist gemeint, dass für eine exakte Sequenz $M\text{'}\; \backslash to\; M\; \backslash to\; M\text{'}\text{'}\; \backslash to\; 0$ von $R$-Moduln auch die induzierte Sequenz $N\; \backslash otimes\; M\text{'}\; \backslash to\; N\; \backslash otimes\; M\; \backslash to\; N\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'}\; \backslash to\; 0$ exakt ist. Wieder gibt es die vier genannten Beweiswege: a) Man benutze die explizite Konstruktion des Tensorproduktes. Das ist nun wahrlich außerordentlich dumm, aber weil ich es noch nirgendwo gesehen habe und damit auch der Kontrast zu den besseren Beweisen schärfer wird, hier der Beweis: Also wir benutzen die Definition $N\; \backslash otimes\; M\; =$ freier Modul auf der Menge $M\; \backslash times\; N$, modulo dem Untermodul, der von den bilinearen Relationen erzeugt wird. Also kurz $N\; \backslash otimes\; M\; =\; F(N\; \backslash times\; M)\; /\; \backslash langle\; \backslash text\{bilineare\; Relationen\}\backslash rangle$. Wir bezeichnen die Homomorphismen der exakten Sequenz mit $i\; :\; M\text{'}\; \backslash to\; M$ und $p\; :\; M\; \backslash to\; M\text{'}\text{'}$. Die bilinearen Relationen auf $F(N\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'})$ enthalten $N\; \backslash times\; \backslash \{0\backslash \}$, sodass $(N\; \backslash otimes\; p)(N\; \backslash otimes\; i)=0$ leicht aus $pi=0$ folgt. Die Surjektivität von $N\; \backslash otimes\; p$ folgt leicht aus der von $p$. Wir müssen also nur $\backslash ker(N\; \backslash otimes\; p)\; \backslash subseteq\; \backslash text\{im\}(N\; \backslash otimes\; i)$ nachprüfen. Dazu sei $x\; \backslash in\; ker(N\; \backslash otimes\; p)$, repräsentiert durch eine endliche Summe $\backslash displaystyle\; x\text{'}=\backslash sum\_\{(n,m)\; \backslash in\; N\; \backslash times\; M\}\; r\_\{n,m\}\; \backslash cdot\; (n,m)\; \backslash in\; F(N\; \backslash times\; M).$ Dann wird also $\backslash displaystyle\; \backslash sum\_\{(n,m)\; \backslash in\; N\; \backslash times\; M\}\; r\_\{n,m\}\; \backslash cdot\; (n,p(m))\; \backslash in\; F(N\; \backslash times\; M\text{'}\text{'})$ von bilinearen Relationen erzeugt. Weil $p\; :\; M\; \backslash to\; M\text{'}\text{'}$ surjektiv ist, lassen sich diese zu bilinearen Relationen von $N\; \backslash times\; M$ liften. Ist $y\text{'}$ das entsprechende Element in $F(N\; \backslash times\; M)$, so liegt also $x\text{'}\; -\; y$ im Kern von $F(N\; \backslash times\; M)\; \backslash to\; F(N\; \backslash times\; M\text{'}\text{'})$ und repräsentiert ebenfalls $x$ im Tensorprodukt $N\; \backslash otimes\; M$. Wir können daher annehmen, dass $x$ selbst im Kern liegt. In $F(M\; \backslash times\; M\text{'}\text{'})$ folgt $\backslash displaystyle\; 0\; =\; \backslash sum\_\{(n,m)\; \backslash in\; N\; \backslash times\; M\}\; r\_\{n,m\}\; \backslash cdot\; (n,p(m))\; =\; \backslash sum\_\{(n,m\text{'})\; \backslash in\; N\; \backslash times\; M\text{'}\text{'}\}\; \backslash left(\backslash sum\_\{m\; \backslash in\; p^\{-1\}(m\text{'})\}\; r\_\{n,m\}\; \backslash right)\; (n,m\text{'})$ Koeffizientenvergleich gibt nun die Gleichung $\backslash sum\_\{m\; \backslash in\; p^\{-1\}(m\text{'})\}\; r\_\{n,m\}\; =\; 0$ $(*)$ für alle $(n,m\text{'})\; \backslash in\; N\; \backslash times\; M\text{'}\text{'}$. Modulo bilinearer Relationen gilt nun $\backslash displaystyle\; x\text{'}\; \backslash equiv\; \backslash sum\_\{n\; \backslash in\; N\}\; \backslash left(n,\; \backslash sum\_\{m\; \backslash in\; M\}\; r\_\{n,m\}\; \backslash cdot\; m\backslash right)$ Wir behaupten nun, dass hierbei jeweils $\backslash sum\_\{m\; \backslash in\; M\}\; r\_\{n,m\}\; \backslash cdot\; m$ im Bild von $i$ liegt und daher $x$ im Bild von $N\; \backslash otimes\; i$ liegt. Dies folgt aus $\backslash text\{im\}(i)=\backslash ker(p)$ und der Rechnung $\backslash displaystyle\; p\backslash left(\backslash sum\_\{m\; \backslash in\; M\}\; r\_\{n,m\}\; \backslash cdot\; m\backslash right)=\backslash sum\_\{m\; \backslash in\; M\}\; r\_\{n,m\}\; \backslash cdot\; p(m)\; =\; \backslash sum\_\{m\text{'}\backslash in\; M\text{'}\text{'}\}\; \backslash left(\backslash sum\_\{m\; \backslash in\; p^\{-1\}(m\text{'})\}\; r\_\{n,m\}\; \backslash right)\; m\text{'}\; \backslash stackrel\{(*)\}\{=\}\; 0.$ b) Wir konstruieren wieder zwei inverse Abbildungen ... aber wozwischen? Nun weil $(N\; \backslash otimes\; p)(N\; \backslash otimes\; i)=N\; \backslash otimes\; pi=N\; \backslash otimes\; 0\; =\; 0$ ohnehin klar ist, setzt sich $N\; \backslash otimes\; p\; :\; N\; \backslash otimes\; M\; \backslash to\; N\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'}$ nach dem Homomorphiesatz zu einem Homomorphismus $\backslash alpha\; :\; \backslash text\{coker\}(N\; \backslash otimes\; i)=(N\; \backslash otimes\; M)/\; \backslash text\{im\}(N\; \backslash otimes\; i)\; \backslash to\; N\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'}$ fort, nämlich $[n\; \backslash otimes\; m]\; \backslash mapsto\; n\; \backslash otimes\; p(m)$, der genau dann ein Isomorphismus ist, wenn die tensorierte Sequenz exakt ist. Konstruiere dazu einen inversen Homomorphismus $\backslash beta\; :\; N\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'}\; \backslash to\; \backslash text\{coker\}(N\; \backslash otimes\; i)$ wiefolgt: Betrachte die Abbildung $N\; \backslash times\; M\text{'}\text{'}\; \backslash to\; \backslash text\{coker\}(N\; \backslash otimes\; i),\; (n,m\text{'})\; \backslash mapsto\; [n\; \backslash otimes\; m]$, wobei $m\; \backslash in\; M$ mit $p(m)=m\text{'}\text{'}$ gewählt ist. Diese ist wohldefiniert: Ist nämlich $\backslash tilde\{m\}$ ein weiteres Urbild, so ist $m\; -\; \backslash tilde\{m\}\; \backslash in\; \backslash ker(p)=\backslash text\{im\}(i)$ und damit $[n\; \backslash otimes\; m]=[n\; \backslash otimes\; \backslash tilde\{m\}]$, weil die Differenz $n\; \backslash otimes\; (m\; -\; \backslash tilde\{m\})$ im Bild von $N\; \backslash otimes\; i$ liegt, also im Kokern verschwindet. Jetzt rechne man nach, dass die Abbildung tatsächlich bilinear ist, also zu einem Homomorphismus $\backslash beta$ Anlass gibt. Schließlich rechne man nach, dass $\backslash alpha$ und $\backslash beta$ zueinander invers sind, indem man dies auf Erzeugern testet. Ist das nicht umständlich? Und würde man jemals im Leben ohne weiteren Hintergrund auf diesen Beweis kommen? Und selbst wenn man ihn verstanden hat, kann man ihn sich merken? Ist das hier ein spezieller Trick? Also für mich war dieser Beweis immer nur ein großes Rätsel ... Das Yoneda-Lemma bringt zum Glück die Klarheit zurück: c) Die Exaktheit der gegebenen Sequenz bedeutet nach dem Homomorphiesatz und dem Yoneda-Lemma gerade, dass sich $\backslash hom(M\text{'}\text{'},T)$ mit dem Kern von $\backslash hom(i,T)\; :\; \backslash hom(M,T)\; \backslash to\; \backslash hom(M\text{'},T)$ identifiziert. Benutzt man nun die (triviale) Linksexaktheit von $\backslash hom(N,-)$, so folgt $\backslash hom(N\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'},T)\; =\; \backslash hom(N,\backslash hom(M\text{'}\text{'},T))=\; \backslash hom(N,\backslash ker(\backslash hom(i,T)))$ $=\; \backslash ker(\backslash hom(N,\backslash hom(i,T)))\; =\; \backslash ker(\backslash hom(N\; \backslash otimes\; i,T))$ und damit die Exaktheit der tensorierten Sequenz. d) Wir haben bereits in 1d erwähnt, dass $N\; \backslash otimes\; -$ linksadjungiert ist und folglich Kolimites erhält. Spezialfälle davon sind Kokerne. Das ist gerade die Rechtsexaktheit. A3. Tensorprodukte sind assoziativ. Gemeint ist ein kanonischer Isomorphismus $M\; \backslash otimes\; (M\text{'}\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'})\; \backslash cong\; (M\; \backslash otimes\; M\text{'})\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'}$ für $R$-Moduln $M,M\text{'},M\text{'}\text{'}$. a) Auch hier kann man sich ggf. mit Elementen totrechnen. b) Um zunächst einen Homomorphismus $M\; \backslash otimes\; (M\text{'}\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'})\; \backslash to\; (M\; \backslash otimes\; M\text{'})\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'}$ zu konstruieren, müssen wir eine bilineare Abbildung $b$ auf $M\; \backslash times\; (M\text{'}\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'})$ angeben. Dazu fixiere zunächst $m\; \backslash in\; M$ und gebe eine lineare Abbildung $b\_m\; :\; M\text{'}\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'}\; \backslash to\; (M\; \backslash otimes\; M\text{'})\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'}$ an. Dies geschieht wiederum durch eine bilineare Abbildung auf $M\text{'}\; \backslash times\; M\text{'}\text{'}$, nämlich $(m\text{'},m\text{'}\text{'})\; \backslash mapsto\; (m\; \backslash otimes\; m\text{'})\; \backslash otimes\; m\text{'}\text{'}$. Man muss natürlich nachrechnen, dass dies tatsächlich bilinear ist. Ebenso muss man nun nachrechnen, dass die Abbildung $b\; :\; (m,t)\; \backslash mapsto\; b\_m(t)$ tatsächlich bilinear ist. Dabei muss man $t$ als Summe von reinen Tensoren $m\text{'}\_i\; \backslash otimes\; m\text{'}\text{'}\_i$ darstellen, und so weiter. Es ist dann $\backslash alpha$ charakterisiert durch $m\; \backslash otimes\; (m\text{'}\; \backslash otimes\; m\text{'}\text{'})\; \backslash mapsto\; (m\; \backslash otimes\; m\text{'})\; \backslash otimes\; m\text{'}\text{'}$. Den zu $\backslash alpha$ inversen Homomorphismus konstruiert man genauso. Dass sie tatsächlich invers sind, testet man auf den Erzeugern. Dieser Beweis hat also wieder so einen Trick in sich, auf den man vielleicht erst gar nicht kommen würde. c) Wir benutzen das Yoneda-Lemma und $\backslash hom(M\; \backslash otimes\; (M\text{'}\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'}),-)\; \backslash cong\; \backslash hom(M,\backslash hom(M\text{'}\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'},-))$ $\backslash cong\; \backslash hom(M,\backslash hom(M\text{'},\backslash hom(M\text{'}\text{'},-)))\; \backslash cong\; \backslash hom(M\; \backslash otimes\; M\text{'},\backslash hom(M\text{'}\text{'},-))$ $\backslash cong\; \backslash hom((M\; \backslash otimes\; M\text{'})\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'},-).$ Der aufmerksame Leser wird bemerkt haben, dass wir hier wie zuvor in der Notation zwischen den Hom-Mengen, die man in jeder Kategorie hat, und den internen Hom-Moduln, die man hier hat, nicht unterschieden haben, und dass die Bijektion $\backslash hom(M\; \backslash otimes\; N,T)\; \backslash cong\; \backslash hom(M,\backslash hom(N,T))$ auch als Isomorphismus von Moduln gelesen werden kann. Wieder kann man ohne Probleme auch die Bijektionskette nutzen, um einen "konkreten" Isomorphismus mit Elementen hinzuschreiben. d) Das Konzept der bilinearen Abbildung, das dem Tensorprodukt zugrunde liegt, lässt sich auch direkt auf beliebige Faktoren verallgemeinern. Ist $(M\_i)\_\{i\; \backslash in\; I\}$ eine Familie von $R$-Moduln und $N$ ein weiterer $R$-Modul, so heißt eine Abbildung $b\; :\; \backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; M\_i\; \backslash to\; N$ multilinear, wenn sie in jeder Komponente linear ist, d.h. für alle $i\_0\; \backslash in\; I$ und alle $m\; \backslash in\; \backslash prod\_\{i\; \backslash neq\; i\_0\}\; M\_i$ ist die von $b$ und $m$ induzierte Abbildung $M\_\{i\_0\}\; \backslash to\; N$ linear. Genau wie im Falle $I\; =\; \backslash \{1,2\backslash \}$ kann man zeigen, dass der Funktor der multilinearen Abbildungen auf $\backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; M\_i$ durch ein Objekt, dem Tensorprodukt $\backslash otimes\_\{i\; \backslash in\; I\}\; M\_i$ darstellbar ist. Der Leser überlege sich mit der funktoriellen Methode allgemein für disjunkte Indexmengen $I\_1,\; I\_2$ $\backslash displaystyle\; \backslash bigotimes\_\{i\; \backslash in\; I\_1\}\; M\_i\; \backslash otimes\; \backslash bigotimes\_\{i\; \backslash in\; I\_2\}\; M\_i\; =\; \backslash bigotimes\_\{i\; \backslash in\; I\_1\; \backslash cup\; I\_2\}\; M\_i$ und folgere daraus insbesondere $M\; \backslash otimes\; (M\text{'}\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'})\; \backslash cong\; M\; \backslash otimes\; M\text{'}\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'}\; \backslash cong\; (M\; \backslash otimes\; M\text{'})\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'}.$ Anschaulich gesagt können wir also Ausmultiplizieren, weil wir einfach eine natürliche Variante des Tensorproduktes für mehrere Faktoren haben. Sowohl $M\; \backslash otimes\; (M\text{'}\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'})$ als auch $(M\; \backslash otimes\; M\text{'})\; \backslash otimes\; M\text{'}\text{'}$ stellen den Funktor der trilinearen Abbildungen auf $M\; \backslash times\; M\text{'}\; \backslash times\; M\text{'}\text{'}$ dar, sind also gleich. Man beachte, dass auch hier wieder die Beweiswege von a) bis d) bezüglich der Rechenlastigkeit abnehmen (bis man irgendwann nichts mehr rechnen muss!), wogegen die konzeptionellen Ideen zunehmen. Noch eine Aufgabe für den Leser: Für ganze Zahlen $a,b,c$ zeige man möglichst elegant $\backslash text\{ggT\}(a,\backslash text\{ggT\}(b,c))=\backslash text\{ggT\}(\backslash text\{ggT\}(a,b),c)$.

B1. $R[X\_1,....,X\_n]/(X\_1-a\_1,\backslash dotsc,X\_n-a\_n)\; \backslash cong\; R$. Hierbei ist $R$ ein kommutativer Ring und $a\; \backslash in\; R^n$ ist ein Tupel von Elementen aus $R$. Beachte als Spezialfall $R[X]/(X)=R$. a) Betrachte die Abbildung $\backslash alpha\; :\; R[X\_1,\backslash dotsc,X\_n]\; \backslash to\; R,~\; \backslash sum\_\{\backslash mu\}\; r\_\{\backslash mu\}\; X\_1^\{\backslash mu\_1\}\; \backslash cdots\; X\_n^\{\backslash mu\_n\}\; \backslash mapsto\; \backslash sum\_\{\backslash mu\}\; r\_\{\backslash mu\}\; a\_1^\{\backslash mu\_1\}\; \backslash cdots\; a\_n^\{\backslash mu\_n\}.$ Man rechnet nach, dass dies ein surjektiver Ringhomomorphismus ist. Nach dem Homomorphiesatz muss also nur noch gezeigt werden, dass der Kern genau $(X\_1-a\_1,\backslash dotsc,X\_n-a\_n)$ ist. Haben wir aber ein Polynom $f\; \backslash in\; R[X\_1,\backslash dotsc,X\_n]$, so hat dieses eine endliche Taylorentwicklung im Punkte $(a\_1,\backslash dotsc,a\_n)$, insbesondere kann man $f\; =\; p\_1\; (X\_1\; -\; a\_1)\; +\; \backslash dotsc\; +\; p\_n\; (X\_n\; -\; a\_n)\; +\; r$ schreiben, wobei $r\; \backslash in\; R$ und $p\_1,\backslash dotsc,p\_n$ Polynome sind. Das Bild unter $\backslash alpha$ ist gerade $r$. Daraus folgt die Behauptung. b) In der einen Richtung haben wir den kanonischen Ringhomomorphismus $R\; \backslash to\; R[X\_1,\backslash dotsc,X\_n]/(X\_1-a\_1,\backslash dotsc,X\_n-a\_n)$, und in der anderen Richtung betrachten wir zunächst die $n$ Elemente $a\_1,\backslash dotsc,a\_n\; \backslash in\; R$: Nach der universellen Eigenschaft des Polynomringes gibt es genau einen Homomorphismus von $R$-Algebren $R[X\_1,\backslash dotsc,X\_n]\; \backslash to\; R$, der $X\_i\; \backslash mapsto\; a\_i$ abbildet. Insbesondere schickt er $X\_i\; -\; a\_i\; \backslash mapsto\; 0$. Das Ideal $(X\_1-a\_1,\backslash dotsc,X\_n-a\_n)$ liegt also im Kern. Nach dem Homomorphiesatz erhalten wir also einen Homomorphismus von $R$-Algebren $R[X\_1,\backslash dotsc,X\_n]/(X\_1-a\_1,\backslash dotsc,X\_n-a\_n)\; \backslash to\; R$, der die Restklasse $[X\_i]$ auf $a\_i$ abbildet. Überlegen wir uns, dass die so konstruierten Homomorphismen zueinander invers sind: In der einen Richtung kommt offensichtlich die Identität von $R$ heraus. In der anderen Richtung müssen wir zeigen, dass die Komposition $R[X\_1,\backslash dotsc,X\_n]/(...)\; \backslash to\; R\; \backslash to\; R[X\_1,\backslash dotsc,X\_n]/(...)$ die Identität ist. Weil die linke Seite als $R$-Algebra von den Restklassen $[X\_i]$ erzeugt wird, reicht es, dies auf diesen Erzeugern nachzuprüfen. Aber $[X\_i]$ geht nach $[a\_i]=[X\_i]$. c) Wir benutzen das Yoneda-Lemma in der Kategorie der $R$-Algebren: Für alle $A$ gilt $\backslash hom(R[X\_1,\backslash dotsc,X\_n]/(X\_1-a\_1,\backslash dotsc,X\_n-a\_n),A)$ $\backslash cong\; \backslash \{\backslash phi\; \backslash in\; \backslash hom(R[X\_1,\backslash dotsc,X\_n],A)\; :\; \backslash forall\; i\; :\; \backslash phi(X\_i-a\_i)=0\backslash \}$ $\backslash cong\; \backslash \{b\; \backslash in\; A^n\; :\; \backslash forall\; i\; :\; b\_i\; -\; a\_i\; =\; 0\backslash \}\; =\; \backslash \{a\backslash \}\; \backslash cong\; \backslash hom(R,A)$ Benutzt wurde dabei also die universelle Eigenschaft des Quotienten (d.h. der Homomorphiesatz) und die universelle Eigenschaft der Polynomalgebra. Die Isomorphie ist nun glasklar: Wenn man zu $R$ zwar ein neues Element hinzufügt, aber danach wiederum als Relation herausteilt, dass es mit einem Element aus $R$ übereinstimmen soll, dann ist natürlich nichts passiert und man erhält $R$ zurück. B2. Iteration: $R[X,Y]\; \backslash cong\; R[X][Y]$ a) Man rechne nach, dass $R[X,Y]\; \backslash to\; R[X][Y],~\; \backslash sum\_\{i,j\}\; r\_\{i,j\}\; X^i\; Y^j\; \backslash mapsto\; \backslash sum\_j\; (\backslash sum\_i\; r\_\{i,j\}\; X^i)\; Y^j$ ein bijektiver Ringhomomorphismus ist. b) Das Element $X\; \backslash in\; R[X,Y]$ liefert nach der universellen Eigenschaft der Polynomalgebra einen Homomorphismus von $R$-Algebren $R[X]\; \backslash to\; R[X,Y]$. Das Element $Y\; \backslash in\; R[X,Y]$ liefert nun eine Fortsetzung zu $R[X][Y]\; \backslash to\; R[X,Y]$. Umgekehrt liefern die Elemente $X,Y\; \backslash in\; R[X][Y]$ einen Homomorphismus $R[X,Y]\; \backslash to\; R[X][Y]$. Man rechnet nun nach, dass die zwei so konstruierten Homomorphismen zueinander invers sind; am besten b') indem man dies unter erneuter Anwendung der universellen Eigenschaften auf die Testelemente $X,Y$ jeweils reduziert. c) Beide $R$-Algebren stellen denselben Funktor dar: $\backslash hom(R[X][Y],A)\; \backslash cong\; \backslash hom(R[X],A)\; \backslash times\; |A|\; \backslash cong\; |A|\; \backslash times\; |A|\; \backslash cong\; \backslash hom(R[X,Y],A)$ Wenn wir die Aussage also wieder geschickt formulieren, ist das nichts anderes als ein Beweis: Anstatt zwei Elemente aufeinmal zu adjungieren, kann man das natürlich auch nacheinander tun. d) Mit demselben Beweis gilt auch $R[X\_1,\backslash dotsc,X\_n][Y\_1,\backslash dotsc,Y\_m]\; \backslash cong\; R[X\_1,\backslash dotsc,X\_n,Y\_1,\backslash dotsc,Y\_m].$ Eine weitreichende Verallgemeinerung lautet wiefolgt: Es sei $C$ eine Kategorie mit einem Objekt $R$. Ferner sei ein Funktor $U\; :\; C\; \backslash to\; D$ gegeben, sodass die Komposition $R/C\; \backslash to\; C\; \backslash to\; D$ einen linksadjungierten Funktor $X\; \backslash mapsto\; R[X]$ besitzt. Dann besteht für alle $X,Y\; \backslash in\; D$, deren Koprodukt $X+Y$ existiert, eine kanonische Isomorphie $R[X][Y]\; \backslash cong\; R[X+Y]$. Im obigen Beispiel ist $U$ der Vergissfunktor von der Kategorie der Ringe in die Kategorie der Mengen. B3. Verträglichkeit mit Skalarerweiterung: $R[X]/I\; \backslash otimes\_R\; S\; \backslash cong\; S[X]/(I)$ Hierbei ist $S$ eine $R$-Algebra, $I$ ein Ideal von Polynomen über $R$, das also auch ein Ideal von Polynomen über $S$ erzeugt. a) Man rechne nach, dass die beiden Abbildungen $R[X]/I\; \backslash otimes\_R\; S\; \backslash to\; S[X]/(I),\; [\backslash sum\_i\; r\_i\; X^i]\; \backslash otimes\; s\; \backslash mapsto\; [\backslash sum\_i\; r\_i\; s\; X^i]$ $S[X]/(I)\; \backslash to\; R[X]/I\; \backslash otimes\_R\; S,\; [\backslash sum\_i\; s\_i\; X^i]\; \backslash mapsto\; \backslash sum\_i\; [X^i]\; \backslash otimes\; s\_i$ wohldefinierte Ringhomomorphismen sind, die zueinander invers sind. b) Der Homomorphismus $R\; \backslash to\; S$ induziert einen Homomorphismus $R[X]\; \backslash to\; S[X]$. Die Komposition $R[X]\; \backslash to\; S[X]\; \backslash to\; S[X]/(I)$ schickt $I$ auf $0$, setzt sich also nach dem Homomorphiesatz zu einem Homomorphismus von $R$-Algebren $R[X]/I\; \backslash to\; S[X]/(I)$ fort. Die universelle Eigenschaft der Skalarerweiterung zeigt, dass dies zu einem Homomorphismen von $S$-Algebren $R[X]/I\; \backslash otimes\_R\; S\; \backslash to\; S[X]/(I)$ korrespondiert. In der umgekehren Richtung haben wir das Element $[X]\; \backslash otimes\; 1$ in der $S$-Algebra $R[X]/I\; \backslash otimes\_R\; S$. Nach der universellen Eigenschaft der Polynomalgebra gibt es dann einen Homomorphismus von $S$-Algebren $S[X]\; \backslash to\; R[X]/I\; \backslash otimes\_R\; S$, der $X\; \backslash mapsto\; [X]\; \backslash otimes\; 1$ abbildet. Die Polynome aus $I$ liegen im Kern: Ist etwa $f\; =\; \backslash sum\_i\; r\_i\; X^i\; \backslash in\; I$, so geht es auf $\backslash sum\_i\; r\_i\; ([X]\; \backslash otimes\; 1)^i\; =\; \backslash sum\_i\; [X^i]\; \backslash otimes\; r\_i\; =\; [\backslash sum\_i\; r\_i\; X^i]\; \backslash otimes\; 1\; =\; 0\; \backslash otimes\; 1\; =\; 0.$ Der Homomorphiesatz liefert uns also eine Fortsetzung zu $S[X]/(I)\; \backslash to\; R[X]/I\; \backslash otimes\_R\; S$. Schließlich muss man zeigen, dass die beiden so konstruierten Homomorphismen zueinander invers sind, indem man dies auf Elementen testet oder b') oder erneuter Anwendung der universellen Eigenschaft (Eindeutigkeit) dies auf das Element $X$ reduziert, wo es nach Konstruktion gegeben ist. c) Wir benutzen das Yoneda-Lemma in der Kategorie der $S$-Algebren: Ist $A$ eine solche und bezeichnet $A|\_R$ die unterliegende $R$-Algebra (Restriktion der Skalare), so gibt es kanonische Bijektionen: $\backslash hom\_S(R[X]/I\; \backslash otimes\_R\; S,A)\; \backslash cong\; \backslash hom\_R(R[X]/I,A|\_R)$ $\backslash cong\; \backslash \{f\; \backslash in\; \backslash hom\_R(R[X],A|\_R)\; :\; f(I)\; =\; 0\backslash \}$ $\backslash cong\; \backslash \{a\; \backslash in\; A\; :\; \backslash forall\; f\; \backslash in\; I\; :\; f(a)=0\backslash \}$ $\backslash cong\; \backslash hom(S[X]/(I),A).$ Benutzt wurden die universelle Eigenschaft der Skalarerweiterung (nämlich dass sie linksadjungiert zur Restriktion der Skalare ist), die universelle Eigenschaft der Polynomalgebra sowie die universelle Eigenschaft der Quotientenalgebra (=Homomorphiesatz). Ob man erst ein Element zu $R$ hinzufügt und dann die Skalare ausdehnt, oder erst die Skalare ausdehnt und dann ein Element zu $S$ hinzufügt, ist eben egal: $R[X]\; \backslash otimes\_R\; S\; \backslash cong\; S[X]$. Dasselbe gilt auch, wenn das Element noch Relationen über $R$ erfüllen soll.

C1. Lokalisierungen vertauschen mit Lokalisierungen Damit ist folgendes gemeint: Sei $R$ ein Ring und $S\; \backslash subseteq\; T\; \backslash subseteq\; R$ multiplikative Teilmengen. Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus $T^\{-1\}(S^\{-1\}\; R)\; =\; T^\{-1\}\; R.$ Hierbei ist $S^\{-1\}\; R\; =\; \backslash \{\backslash frac\{r\}\{s\}\; :\; r\; \backslash in\; R,\; s\; \backslash in\; T\backslash \}$ die Lokalisierung von $R$ nach $S$ mit der universellen Eigenschaft $\backslash hom(S^\{-1\}\; R,A)\; \backslash cong\; \backslash \{\backslash phi\; \backslash in\; \backslash hom(R,A)\; :\; \backslash phi(S)\; \backslash subseteq\; A^*\backslash \}.$ Man kann also $\backslash hom(S^\{-1\}\; R,-)$ als Unterfunktor von $\backslash hom(R,-)$ sehen. Insbesondere gibt es also für $S,T\; \backslash subseteq\; R$ beliebig einen Isomorphismus $T^\{-1\}(S^\{-1\}\; R)\; \backslash cong\; (T\; \backslash cup\; S)^\{-1\}\; R\; =\; (S\; \backslash cup\; T)^\{-1\}\; R\; \backslash cong\; S^\{-1\}(T^\{-1\}\; R).$ Fazit: Die Reihenfolge, in der man lokalisiert, ist egal. Das wird in der kommutativen Algebra ständig benutzt. a) Lust auf eine Schlacht mit Doppelbrüchen? Wir definieren eine Abbildung $\backslash alpha\; :\; T^\{-1\}\; R\; \backslash to\; T^\{-1\}\; (S^\{-1\}\; R)\; \backslash to\; T^\{-1\}(S^\{-1\}\; R)$ durch $\backslash frac\{r\}\{t\}\; \backslash mapsto\; \backslash dfrac\{\backslash frac\{r\}\{1\}\}\{t\}$ und umgekehrt eine Abbildung $\backslash beta\; :\; T^\{-1\}(S^\{-1\}\; R)\; \backslash to\; T^\{-1\}\; R$ durch $\backslash dfrac\{\backslash frac\{r\}\{s\}\}\{t\}\; \backslash mapsto\; \backslash frac\{r\}\{st\}$. Hierbei muss natürlich jeweils die Wohldefiniertheit gezeigt werden: Für $\backslash alpha$ gelte $\backslash frac\{r\}\{t\}=\backslash frac\{r\text{'}\}\{t\text{'}\}$ in $T^\{-1\}\; R$, so gibt es ein $t\text{'}\text{'}\; \backslash in\; T$ mit $t\text{'}\text{'}t\text{'}r=t\text{'}\text{'}tr\text{'}$ in $R$. Dann gilt auch $t\text{'}\text{'}\; t\text{'}\; \backslash frac\{r\}\{1\}\; =\; t\text{'}\text{'}\; t\; \backslash frac\{r\text{'}\}\{1\}$ in $S^\{-1\}\; R$ und damit $\backslash dfrac\{\backslash frac\{r\}\{1\}\}\{t\}=\backslash dfrac\{\backslash frac\{r\text{'}\}\{1\}\}\{t\text{'}\}$ in $T^\{-1\}(S^\{-1\}\; R)$. Für $\backslash beta$ muss man erst einmal die Unabhängigkeit von $r,s$ zeigen. Sei also $\backslash frac\{r\}\{s\}=\backslash frac\{r\text{'}\}\{s\text{'}\}$, d.h. es gibt ein $s\text{'}\text{'}\; \backslash in\; S$ mit $s\text{'}\text{'}s\text{'}r=s\text{'}\text{'}sr\text{'}$. Multiplikation mit $t$ liefert $s\text{'}\text{'}s\text{'}tr=s\text{'}\text{'}str\text{'}$ und damit $\backslash frac\{r\}\{st\}=\backslash frac\{r\text{'}\}\{s\text{'}t\text{'}\}$ in $T^\{-1\}\; R$. Aber es muss natürlich auch die Unabhängigkeit von $t$ getestet werden, was ich jetzt nicht vorrechne, ebenso wenig wie dass $\backslash alpha$ und $\backslash beta$ zueinander invers sind. Schrecklich ... b) Wir benutzen die universelle Eigenschaft der Lokalisierung $R\; \backslash to\; S^\{-1\}\; R$, um zwei inverse Homomorphismen anzugeben. Der Homomorphismus $R\; \backslash to\; S^\{-1\}\; R\; \backslash to\; T^\{-1\}\; (S^\{-1\}\; R)$ schickt die Elemente von $T$ auf Einheiten, weil das im zweiten Schritt passiert, also setzt er sich eindeutig zu einem Homomorphismus $\backslash alpha\; :\; T^\{-1\}\; R\; \backslash to\; T^\{-1\}\; (S^\{-1\}\; R)$ fort. Umgekehrt: Wegen $S\; \backslash subseteq\; T$ setzt sich $R\; \backslash to\; T^\{-1\}\; R$ zu einem Homomorphismus $S^\{-1\}\; R\; \backslash to\; T^\{-1\}\; R$ fort. Dieser bildet $T$ natürlich auf Einheiten ab, setzt sich also zu einem Homomorphismus $\backslash beta\; :\; T^\{-1\}\; (S^\{-1\}\; R)\; \backslash to\; T^\{-1\}\; R$ fort. Auf den Elementen prüft man nun nach, dass $\backslash alpha$ und $\backslash beta$ zueinder invers sind. Oder besser b'\) man zeigt, dass $\backslash beta\; \backslash circ\; \backslash alpha\; =\; id$ aufgrund der universellen Eigenschaft von $T^\{-1\}\; R$ nur auf $R$ getestet werden muss, wo es nach Konstruktion so ist, und ebenso reduziert man $\backslash alpha\; \backslash circ\; \backslash beta\; =\; id$ durch zweimalige Anwendung der universelle Eigenschaft auf $R$, wo es ebenfalls klar ist. c) Wenn $T$ irgendwo invertierbar gemacht wird, dann erst Recht $S\; \backslash subseteq\; T$. Das ist eigentlich schon der gesamte Beweis, obwohl es fast nur eine syntaktische Umformulierung der Behauptung ist! Nämlich gilt: $\backslash hom(T^\{-1\}(S^\{-1\}\; R),A)\; \backslash cong\; \backslash \{\backslash phi\; \backslash in\; \backslash hom(S^\{-1\}\; R,A)\; :\; \backslash phi(T)\; \backslash subseteq\; A^*\backslash \}$ $\backslash cong\; \backslash \{\backslash psi\; \backslash in\; \backslash hom(R,A)\; :\; \backslash psi(S)\; \backslash subseteq\; A^*,\; \backslash psi(T)\; \backslash subseteq\; A^*\backslash \}$ $=\; \backslash \{\backslash psi\; \backslash in\; \backslash hom(R,A)\; :\; \backslash psi(T)\; \backslash subseteq\; A^*\backslash \}$ $\backslash cong\; \backslash hom(T^\{-1\}\; R,A)$ Mit dem Yoneda-Lemma folgt also die Behauptung. C2. Lokalisierung vertauscht mit direkten Summen. Wir betrachten hier also eine multiplikative Teilmenge $S\; \backslash subseteq\; R$ und eine Familie von $R$-Moduln $M\_i$. Dann ist die Aussage, dass es einen kanonischen Isomorphismus $\backslash displaystyle\; S^\{-1\}\; \backslash bigoplus\_i\; M\_i\; \backslash cong\; \backslash bigoplus\_i\; S^\{-1\}\; M\_i$ gibt. Hierbei steht links die direkte Summe von $R$-Moduln, und rechts die direkte Summe von $S^\{-1\}\; R$-Moduln. a) Man rechne mit Ausdrücken der Form $\backslash dfrac\{m\_1+m\_2+\backslash cdots\}\{s\}=\backslash dfrac\{m\_1\}\{s\}+\backslash dfrac\{m\_2\}\{s\}+\backslash cdots$ herum. b) Man konstruiere mit universellen Eigenschaften zwei inverse Homomorphismen: Die $M\_i\; \backslash to\; S^\{-1\}\; M\_i$ induzieren $\backslash oplus\_i\; M\_i\; \backslash to\; \backslash oplus\_i\; S^\{-1\}\; M\_i$. Der $R$-Modul rechts ist sogar ein $S^\{-1\}\; R$-Modul, sodass sich der Homomorphismus auf $S^\{-1\}\; \backslash oplus\_i\; M\_i$ fortsetzt. Umgekehrt induzieren die Inklusionen $M\_i\; \backslash to\; \backslash oplus\_i\; M\_i$ jeweils $S^\{-1\}\; M\_i\; \backslash to\; S^\{-1\}\; \backslash oplus\_i\; M\_i$, zusammen also $\backslash oplus\_i\; S^\{-1\}\; M\_i\; \backslash to\; S^\{-1\}\; \backslash oplus\_i\; M\_i$. Man rechne nun mit Elementen nach, dass die so konstruierten \homomorphismen zueinander invers sind, oder b') argumentiere wieder mit universellen Eigenschaften, dass man dies auf die $M\_i$ reduzieren kann, wo es trivial nach Konstruktion ist. c) Für einen $S^\{-1\}\; R$-Modul $N$ bezeichne $N|\_R$ den unterliegenden $R$-Modul. Dann ist $\backslash hom(S^\{-1\}\; \backslash oplus\_i\; M\_i,N)\; \backslash cong\; \backslash hom(\backslash oplus\_i\; M\_i,N|\_R)\; \backslash cong\; \backslash prod\_i\; \backslash hom(M\_i,N|\_R)$ $\backslash cong\; \backslash prod\_i\; \backslash hom(S^\{-1\}\; M\_i,N)\; \backslash cong\; \backslash hom(\backslash oplus\_i\; S^\{-1\}\; M\_i,N)$ und mit dem Yoneda-Lemma sind wir fertig. d) Der Funktor $\backslash text\{Mod\}(R)\; \backslash to\; \backslash text\{Mod\}(S^\{-1\}\; R),~\; M\; \backslash mapsto\; S^\{-1\}\; M$ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor und erhält daher direkte Summen, allgemeiner sogar Kolimites (vgl. A1d). C3. Für ein Primideal $\backslash mathfrak\{p\}\; \backslash subseteq\; A$ ist $\backslash text\{Quot\}(A/\backslash mathfrak\{p\})\; \backslash cong\; A\_\backslash mathfrak\{p\}\; /\; \backslash mathfrak\{p\}\; A\_\backslash mathfrak\{p\}$. Hierbei ist $A$ ein (wie immer kommutativer) Ring und $A\_\backslash mathfrak\{p\}$ bezeichnet die Lokalisierung von $A$ bei $\backslash mathfrak\{p\}$, d.h. nach der multiplikativen Teilmenge $A\; \backslash setminus\; \backslash mathfrak\{p\}$. Die Bedeutung dieses Isomorphismus kommt aus der algebraischen Geometrie: Die rechte Seite ist der Restklassenkörper des affinen Schemas $\backslash text\{Spec\}(A)$ im Punkte $\backslash mathfrak\{p\}$; das nur als Randbemerkung. a) Man rechne nach, dass $\backslash alpha\; :\; A\_\backslash mathfrak\{p\}\; /\; \backslash mathfrak\{p\}\; A\_\backslash mathfrak\{p\}\; \backslash to\; \backslash text\{Quot\}(A/\backslash mathfrak\{p\}),~\; [\; \backslash frac\{a\}\{s\}\; ]\; \backslash mapsto\; \backslash frac\{[a]\}\{[s]\}$ ein wohldefinierter, injektiver und surjektiver Homomorphismus ist. Das ist wieder einmal recht aufwändig. b) Der Homomorphismus $A\; \backslash to\; A/\backslash mathfrak\{p\}\; \backslash to\; \backslash text\{Quot\}(A/\backslash mathfrak\{p\})$ schickt $A\; \backslash setminus\; \backslash mathfrak\{p\}$ offenbar auf Einheiten (weil diese Elemente in $A/\backslash mathfrak\{p\}$ nicht Null sind, also in $\backslash text\{Quot\}(A/\backslash mathfrak\{p\})$ invertiert werden), wogegen die Elemente von $\backslash mathfrak\{p\}$ auf 0 geschickt werden. Nach der universellen Eigenschaft der Lokalisierung erhalten wir also einen Homomorphismus $A\_\backslash mathfrak\{p\}\; \backslash to\; \backslash text\{Quot\}(A/\backslash mathfrak\{p\})$, der $\backslash mathfrak\{p\}\; A\_\backslash mathfrak\{p\}$ auf $0$ schickt. Nach dem Homomorphiesatz setzt sich dieser fort zu einem Homomorphismus $\backslash alpha\; :\; A\_\backslash mathfrak\{p\}\; /\; \backslash mathfrak\{p\}\; A\_\backslash mathfrak\{p\}\; \backslash to\; \backslash text\{Quot\}(A/\backslash mathfrak\{p\})$. In der umgekehrten Richtung konstruiere $\backslash beta$ wiefolgt: Die Komposition $A\; \backslash to\; A\_\backslash mathfrak\{p\}\; \backslash to\; A\_\backslash mathfrak\{p\}\; /\; \backslash mathfrak\{p\}\; A\_\backslash mathfrak\{p\}$ schickt $\backslash mathfrak\{p\}$ offenbar auf $0$ und die Elemente von $A\; \backslash setminus\; \backslash mathfrak\{p\}$ auf Einheiten, liefert also nach dem Homomorphiesatz einen Homomorphismus $A\; \backslash setminus\; \backslash mathfrak\{p\}\; \backslash to\; A\_\backslash mathfrak\{p\}\; /\; \backslash mathfrak\{p\}\; A\_\backslash mathfrak\{p\}$, welcher alle Elemente $\backslash neq\; 0$ auf Einheiten schickt. Die universelle Eigenschaft des Quotientenkörpers (=Lokalisierung nach allen Elementen $\backslash neq\; 0$) liefert uns nun $\backslash beta\; :\; \backslash text\{Quot\}(A/\backslash mathfrak\{p\})\; \backslash to\; A\_\backslash mathfrak\{p\}\; /\; \backslash mathfrak\{p\}\; A\_\backslash mathfrak\{p\}$. Zeige nun, dass $\backslash alpha$ und $\backslash beta$ invers sind, entweder durch direktes Nachrechnen mit Elementen, oder b') durch erneute Anwendung der universellen Eigenschaften durch Reduktion auf $A$, wo $\backslash alpha,\backslash beta$ offensichtlich nach Konstruktion zueinander invers sind. c) Wir vergleichen die Hom-Funktoren: $\backslash hom(\backslash text\{Quot\}(A/\backslash mathfrak\{p\}),-)\; \backslash cong\; \backslash \{\backslash phi\; \backslash in\; \backslash hom(A/\backslash mathfrak\{p\},-)\; :\; \backslash phi\; \backslash text\{\; schickt\; alles\; \}\backslash neq\; 0\; \backslash text\{\; auf\; Einheiten\}\backslash \}$ $\backslash cong\; \backslash \{\backslash phi\; \backslash in\; \backslash hom(A,-)\; :\; \backslash mathfrak\{p\}\; \backslash subseteq\; \backslash ker(\backslash phi),\; \backslash phi\; \backslash text\{\; schickt\; alles\; in\; \}\; A\; \backslash setminus\; \backslash mathfrak\{p\}\; \backslash text\{\; auf\; Einheiten\}\backslash \}$ $\backslash cong\; \backslash \{\backslash phi\; \backslash in\; \backslash hom(A\_\backslash mathfrak\{p\},-)\; :\; \backslash mathfrak\{p\}\; A\_\backslash mathfrak\{p\}\; \backslash subseteq\; \backslash ker(\backslash phi)\backslash \}\; =\; \backslash hom(A\_\backslash mathfrak\{p\}\; /\; \backslash mathfrak\{p\}\; A\_\backslash mathfrak\{p\},-).$ d) Der allgemeinere Zusammenhang ist $(S^\{-1\}\; A)\; /\; I\; \backslash cdot\; (S^\{-1\}\; A)\; \backslash cong\; S^\{-1\}\; (A/I)$ für eine multiplikative Teilmenge $S\; \backslash subseteq\; A$ und einem Ideal $I\; \backslash subseteq\; A$. Das ist so glasklar: Ob man erst auf universelle Weise $S$ invertiert und dann $I$ annulliert, oder erst $I$ annuliert und dann $S$ invertiert, ist natürlich egal. Der funktorielle Beweis, der sich wie bei c) führen lässt, besteht genau aus diesem Argument. C4. Die Sichtweise $A\_f\; \backslash cong\; A[X]/(1-Xf)$. Hier ist $A$ ein (wie immer kommutativer) Ring und $f$ ein Element, nach dem lokalisiert wird. a) Definiere $\backslash alpha\; :\; A\_f\; \backslash to\; A[X]/(1-Xf),\; ~\; \backslash frac\{a\}\{f^k\}\; \backslash mapsto\; [a\; \backslash cdot\; X^k]$, und rechne nach, dass $\backslash alpha$ ein wohldefinierter bijektiver Homomorphismus ist. Ausnahmsweise führen wir die Bijektivität einmal aus: Die Surjektivität ist klar, weil $[X]$ im Bild liegt und der Quotient als $A$-Algebra davon erzeugt wird. Nun sei $\backslash frac\{a\}\{f^k\}$ im Kern. Dann liegt auch $a$ im Kern (weil es sich nur bis auf eine Einheit unterscheidet) d.h. $a\; =\; p\; \backslash cdot\; (1-Xf)$ für ein Polynom $p\; \backslash in\; A[X]$. Schreibt man nun $p\; =\; p\_0\; +\; p\_1\; X\; +\; \backslash cdot\; +\; p\_n\; X^n$ und macht einen Koeffizientenvergleich, so folgt $a\; =\; p\_0,\; p\_1\; =\; p\_0\; f,\; \backslash cdots\; ,\; p\_n\; =\; p\_\{n-1\}\; f,\; p\_n\; =\; 0$. Induktiv folgt $p\_i\; =\; a\; f^i$ und damit $a\; f^n\; =\; 0$, also $\backslash frac\{a\}\{f^k\}\; =\; 0$ in $A\_f$. b) In $A[X]/(1-Xf)$ ist offenbar $[f]$ eine Einheit mit Inversem $[X]$. Nach der universellen Eigenschaft der Lokalisierung setzt sich also $A\; \backslash to\; A[X]\; \backslash to\; A[X]/(1-Xf)$ fort zu einem \homomorphismus $A\_f\; \backslash to\; A[X]/(1-Xf)$. Umgekehrt definiert a \mapsto a, X \mapsto f^{-1} nach der universellen Eigenschaft des Polynomsrings einen Homomorphismus von $A$-Algebren $A[X]\; \backslash to\; A\_f$ mit $X\; \backslash mapsto\; f^\{-1\}$. Insbesondere geht $1-Xf$ auf $1-f^\{-1\}\; f\; =\; 0$ und damit auch das gesamte Ideal $(1-Xf)$. Der Homomorphiesatz liefert uns eine Fortsetzung $A[X]/(1-Xf)\; \backslash to\; A\_f$. Nun kann man wieder auf den Erzeugern nachrechnen, dass die so konstruierten Homomorphismen zueinander invers sind. c) Der funktorielle Beweis ist an Klarheit wieder nicht zu überbieten. Er benutzt die universellen Eigenschaften von Lokalisierung, Quotient und Polynomring: $\backslash hom(A[X]/(1-Xf),R)\; \backslash cong\; \backslash \{\backslash phi\; \backslash in\; \backslash hom(A[X],R)\; :\; (1-Xf)\; \backslash subseteq\; ker(\backslash phi)\backslash \}$ $\backslash cong\; \backslash \{\backslash phi\; \backslash in\; \backslash hom(A[X],R)\; :\; 1=\backslash phi(X)f\backslash \}$ $\backslash cong\; \backslash \{(\backslash psi,a)\; :\; \backslash psi\; \backslash in\; \backslash hom(A,R)\; :\; a\; \backslash in\; R,\; 1=af\backslash \}$ $\backslash cong\; \backslash \{\backslash psi\; \backslash in\; \backslash hom(A,R)\; :\; \backslash psi(f)\; \backslash in\; R^*\backslash \}\; \backslash cong\; \backslash hom(A\_f,R)$ Die Idee ist also einfach wiefolgt: Die Lokalisierung $A\_f$ entsteht aus $A$, indem man $f$ invertierbar macht, also ein inverses Element hinzufügt. Nun, das Hinzufügen eines Elementes $X$ wird durch $A[X]$ realisiert, und die gewünschte Relation $1=Xf$ wird durch den entsprechenden Quotienten herbeigeführt. Der Isomorphismus $A\_f\; \backslash cong\; A[X]/(1-Xf)$ erklärt sich also einfach von selbst: Beiden Seiten steckt dieselbe Idee inne. Rechnen ist hier überflüssig! d) Genauso lässt sich allgemein für eine Teilmenge $S\; \backslash subseteq\; A$ zeigen, dass $S^\{-1\}\; A\; \backslash cong\; A[\; \backslash \{X\_s\backslash \}\_\{s\; \backslash in\; S\}\; ]/(1-X\_s\; s)\_\{s\; \backslash in\; S\}$ und entsprechend interpretieren. Eigentlich liefert das sogar einen alternativen und viel schöneren Existenzbeweis der Lokalisierung $S^\{-1\}\; A$: Man muss keine Brüche mit irgendwelchen komischen Äquivalenzrelationen betrachten!

In diesem Abschnitt werde ich keine der vorher zur Abschreckung dargestellten umständlichen Beweise mehr angeben. Jetzt geht es nur noch um die knackigen Beweise. D1. Verträglichkeit zwischen Hom und Lokalisierung. Seien $M,N$ zwei $R$-Moduln und $S\; \backslash subseteq\; R$ eine multiplikative Teilmenge von $R$. Dann gibt es einen kanonischen Homomorphismus $\backslash sigma\; :\; S^\{-1\}\; \backslash hom\_R(M,N)\; \backslash to\; \backslash hom\_\{S^\{-1\}\; R\}(S^\{-1\}\; M,\; S^\{-1\}\; N)$ von $S^\{-1\}\; R$-Moduln: Die Funktorialität der Lokalisierung liefert nämlich einen Homomorphismus auf $\backslash hom\_R(M,N)$, und weil die Rechte Seite sogar ein $S^\{-1\}\; R$-Modul ist, bekommen wir eine Fortsetzung auf $S^\{-1\}\; \backslash hom\_R(M,N)$; dies ist die universelle Eigenschaft der Lokalisierung für Moduln (vgl. C2d). Es stellt sich nun heraus, dass $\backslash sigma$ nicht immer ein Isomorphismus ist; ein Gegenbeispiel hat owk hier angegeben; dort findet ihr auch den in der Literatur üblichen Beweis mit dem Schlangenlemma, dass $\backslash sigma$ ein Isomorphismus ist, wenn $M$ endlich-präsentiert ist. Eleganter ist folgendes Argument: Fixiere $N$ und lasse $M$ laufen. Dann ist $\backslash sigma$ eine natürliche Transformation von Funktoren $\backslash text\{Mod\}(R)\; \backslash to\; \backslash text\{Mod\}(S^\{-1\}\; R)^\{op\}$, nämlich von $S^\{-1\}\; \backslash hom\_R(-,N)$ nach $\backslash hom\_\{S^\{-1\}\; R\}(S^\{-1\}\; -,S^\{-1\}\; N)$. Beide Funktoren sind endlich kostetig, d.h. sie erhalten endliche Kolimites: Diese setzen sich aus endlichen direkten Summen sowie Kokernen zusammen. Endliche direkte Summen werden von kontravarianten Hom-Funktoren in endliche Produkte umgewandelt, die bei Modulkategorien mit endlichen direkten Summen übereinstimmen. Nun benutze man C2d. Nun überlegt man sich ganz leicht, dass der Ort, wo eine natürliche Transformation $\backslash sigma$ zwischen endlich kostetigen Funktoren ein Isomorphismus ist, unter endlichen Kolimites abgeschlossen ist. Ferner rechnet man leicht nach, dass unser $\backslash sigma$ für $M=R$ ein Isomorphismus ist; beide Seiten identifizieren sich hier mit der unterliegenden Menge von $N$. Folglich ist $\backslash sigma$ bereits für alle $M$ ein Isomorphismus, die sich aus endlichen Kolimites aus $R$ gewinnen lassen, d.h. die endlich-präsentierten $R$-Moduln. D2. Zerlegung in zyklische Moduln Jeder Quotient von $\backslash mathbb\{Z\}^k$ ist ein endlich-erzeugter $\backslash mathbb\{Z\}$-Modul, kann also nach dem Struktursatz als direkte Summe von zyklischen Moduln geschrieben werden. Die sich aus der Elementarteilertheorie ergebene Smith-Normalform liefert einen konkreten Algorithmus, wie man diese zyklische Moduln bestimmen kann. Doch bei einfachen Beispielen lohnt es sich, einfach den Hom-Funktor zu vereinfachen: Betrachte zum Beispiel $M\; :=\; \backslash mathbb\{Z\}^2\; /\; N$, wobei $N\; =\; \backslash \{(a,b)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}^2\; :\; 6\; |\; 4a\; -\; b\backslash \}$. An der Umformung $6k=4a-b\; \backslash Leftrightarrow\; (a,b)\; =\; a(1,4)\; +\; (-k)\; (0,6)$ erkennt man $N\; =\; \backslash langle\; (1,4),(0,6)\; \backslash rangle$ und aus dem Homomorphiesatz, der universellen Eigenschaft von direkten Summen sowie $\backslash hom(\backslash mathbb\{Z\},T)\; \backslash cong\; T$ erhalten wir $\backslash hom(M,T)\; \backslash cong\; \backslash \{(x,y)\; \backslash in\; T^2\; :\; x\; +\; 4y\; =\; 0,\; 6y\; =\; 0\backslash \}.$ Das $x$ ist via $x=-4y$ schon völlig durch $y$ festgelegt, kann also einfach weggelassen werden, und es bleibt $\backslash \{y\; \backslash in\; T\; :\; 6y\; =\; 0\backslash \}\; \backslash cong\; \backslash hom(\backslash mathbb\{Z\}/6,T).$ Das Yoneda-Lemma liefert also $M\; \backslash cong\; \backslash mathbb\{Z\}/6$. D3. Gerichtete Kolimites von flachen Moduln. Ein gerichteter Kolimes von flachen Moduln ist wieder flach. Wenn man dies ohne Elemente im Tensorprodukt nachrechnen will, geht das so: Fixiere einen Monomorphismus $N\; \backslash to\; N\text{'}$. Es reicht zu zeigen, dass die Moduln $M$, für die $M\; \backslash otimes\; N\; \backslash to\; M\; \backslash otimes\; N\text{'}$ ein Monomorphismus bleibt, unter gerichteten Kolimites abgeschlossen ist. Aber Tensorprodukte vertauschen mit Kolimites (A1d) und gerichtete Kolimites von Monomorphismen sind Monomorphismen, jeweils in der Kategorie der Moduln: Das ist keine kategorielle Trivialität, kann aber auf die Kategorie der Mengen reduziert werden und muss dort anhand der konkreten Konstruktion von gerichteten Vereinigungen nachgewiesen werden. Es ist übrigens nicht so, dass jeder Kolimes von flachen Moduln wieder flach ist. Ganz im Gegenteil, denn jeder Modul kann als Kolimes von freien Moduln geschrieben werden. D4. Moduln der Differentiale Sei $B$ eine $A$-Algebra. Der zugehörige $B$-Modul der Differentiale $\backslash Omega^1\_\{B/A\}$ spielt bei infinitesemalen algebraischen Untersuchungen eine zentrale Rolle. Per Definition stellt er den Funktor der $A$-Derivationen auf $B$ dar: $\backslash hom(\backslash Omega^1\_\{B/A\},M)\; \backslash cong\; \backslash text\{Der\}\_A(B,M)$ Ist nun $C$ eine $B$-Algebra, so gibt es die folgende wichtige exakte Sequenz, die die auftretenden Moduln der Differentiale miteinander verbindet: $\backslash Omega^1\_\{B/A\}\; \backslash otimes\_B\; C\; \backslash to\; \backslash Omega^1\_\{C/A\}\; \backslash to\; \backslash Omega^1\_\{C/B\}\; \backslash to\; 0$ In der Literatur ist die Konstruktion der Morphismen in dieser Sequenz sowie die Exaktheit üblicherweise getrennt und recht umständlich. Die funktorielle Sichtweise macht es viel transparenter: Sei $M$ ein $C$-Modul. Fasse ihn wahlweise auch als $A$- oder auch als $B$-Modul auf. Dann hat man eine exakte Sequenz: $0\; \backslash to\; \backslash text\{Der\}\_B(C,M)\; \backslash to\; \backslash text\{Der\}\_A(C,M)\; \backslash to\; \backslash text\{Der\}\_A(B,M)$ Die Abbildung links ist eine Inklusion und die Abbildung rechts entsteht durch Vorschalten des Homomorphismus von $A$-Algebren $B\; \backslash to\; C$. Die Wohldefiniertheit ist offensichtlich, ebenso die Exaktheit: Eine $A$-Derivation ist genau dann dann eine $B$-Derivation, wenn sie auf $B$ verschwindet. Alles ist natürlich in $M$. Das Yoneda-Lemma liefert daher Homomorphismen wie in der Sequenz oben, und die Exaktheit folgt ebenso nach Definition eines Kokernes. Als Übung mache sich der Leser mit der funktoriellen Methode die elementaren Zusammenhänge $\backslash Omega^1\_\{B\; \backslash otimes\_A\; B\text{'}\; /\; A\}\; \backslash cong\; \backslash Omega^1\_\{B/A\}\; \backslash otimes\_A\; \backslash Omega^1\_\{B\text{'}/A\}$ $S^\{-1\}\; \backslash Omega^1\_\{B/A\}\; \backslash cong\; \backslash Omega^1\_\{S^\{-1\}\; B\; /\; A\}$ klar; hierbei sind $B,B\text{'}$ zwei $A$-Algebren und $S\; \backslash subseteq\; B$. Bei dem zweiten Isomorphismus kann man an sich an die Quotientenregel für Ableitungen zurückbesinnen.

E1. Stelle $\backslash mathbb\{Q\}^*$ als direkte Summe von zyklischen Gruppen dar. Beschreibe damit $\backslash hom(\backslash mathbb\{Q\}^*,\backslash mathbb\{Z\})$. E2. Sei $B$ eine $A$-Algebra und $M,N$ zwei $B$-Moduln. Leite eine exakte Sequenz der Form $M|\_A\; \backslash otimes\_A\; N|\_A\; \backslash otimes\_A\; B\; \backslash to\; M|\_A\; \backslash otimes\_A\; N|\_A\; \backslash to\; M\; \backslash otimes\_B\; N\; \backslash to\; 0$ her. Was ergibt sich speziell für $N=B$? Für eine Anwendung siehe hier. E3. Sei $X$ eine Menge. Zeige, dass die Abelisierung der freien Gruppe auf $X$ die freie abelsche Gruppe auf $X$ ist. Welcher allgemeinere Zusammenhang steckt dahinter? Welche Beispiele hat dieser Zusammenhang noch und welcher Aussage aus der linearen Algebra ähnelt das ganze? E4. Sei $L/K$ eine einfache algebraische Körpererweiterung. Wie lassen sich die Primideale des Tensorproduktes $L\; \backslash otimes\_K\; L$ beschreiben? Tipp: B3. Übrigens könnt ihr euch in diesem steinalten Thread über meine Versuche amüsieren ;). E5. Für $R$-Moduln $M,N$ zeige man $\backslash wedge(M)\; \backslash otimes\; \backslash wedge(N)\; \backslash cong\; \backslash wedge(M\; \backslash oplus\; N)$ als graduiert-kommutative Algebren. Hierbei ist $\backslash wedge$ die äußere Algebra. Folgere daraus $\backslash wedge^n(M\; \backslash oplus\; N)\; \backslash cong\; \backslash oplus\_\{p+q=n\}\; \backslash wedge^p(M)\; \backslash otimes\; \backslash wedge^q(N)$. E6. Seien $A\; \backslash subseteq\; B\; \backslash subseteq\; C$ abelsche Gruppen. Zeige die Kürzungsregel $(C/A)/(B/A)\; \backslash cong\; C/B$. Was ist der allgemeine Zusammenhang? Nenne ein Beispiel in der Kategorie der topologischen Räume.

Hinter vielen Isomorphismen in der Algebra (aber auch anderen Gebieten, die hier nicht erwähnt wurden) stecken in Wahrheit glasklare Gleichungen von Funktoren, die durch die auftretenden Objekte dargestellt werden. Es lohnt sich in jedem Fall, ein Objekt (das einer universellen Eigenschaft genügt) mit dem zugehörigen Hom-Funktor zu identifizieren. In dem Funktor steckt die eigentlich relevante Information, nicht etwa in den Elementen des Objektes in Bezug eines Vergissfunktors. Es ist zwar gut zu wissen, dass ein gewisses Klassifikationsproblem (z.B. bilineare Abbildung) eine universelle Lösung hat (z.B. Tensorprodukt), aber man sollte dabei nicht den gesamten Lösungsraum vergessen, der typischerweise durch ein Funktor gegeben ist. Diese Sichtweise kommt vor allem in der algebraischen Geometrie im Kontext von Modulräumen zum Tragen. Aber ich wollte in diesem Artikel erläutern, warum die funktorielle Sichtweise schon bei grundlegenden Beispielen aus der Algebra nützlich ist und letzlich unentbehrlich ist für ein Verständnis der Zusammenhänge ist, welches über Beispielrechnungen hinausgeht. Die meisten der hier genannten Beispiele kann man in jeder einführenden Vorlesung zur (linearen) Algebra behandeln, ohne auch nur einmal über Kategorien oder Funktoren zu reden. Ich habe aufgezeigt, wie die üblichen Beweise dann aussehen und wie umständlich sie sind. Die Studenten bekommen dann den Eindruck, dass gewisse Dinge schwierig und isoliert sind, wo eben genau das Gegenteil der Fall ist. Ich würde es mir wünschen, dass Dozenten mehr über den Abstraktionsgrad ihrer Vorlesung reflektieren; dasselbe betrifft natürlich Lehrbuchautoren. Kategorientheorie ist ja nicht nur abstrakter Unsinn, wie man so schön sagt, sondern schon so eine einfache Feststellung wie das Yoneda-Lemma macht seitenlange Rechnungen überflüssig! Vor allem sind es immer wieder dieselben Rechnungen. Natürlich lassen sich nicht alle Isomorphismen mit der funktoriellen Methode sofort und einfach einsehen. Man sollte aber vielleicht lernen, zu sehen, wann es sich um eine solche Trivialität handelt. Eine recht allgemein gültige Merkregel ist wohl, dass zwei universelle Konstruktionen miteinander vertauschen, sobald die Pfeile in der richtigen Richtung laufen. Zum Beispiel vertauschen Lokalisierungen mit direkten Summen, aber nicht notwendigerweise mit direkten Produkten. Interessante Mathematik fängt bereits dann an, wenn eine Vertauschung auch mit unterschiedlichen Pfeilrichtungen vorliegt. Zum Beispiel kann man sich fragen, wann der Funktor $\backslash hom(M,-)$ mit gerichteten Kolimites kommutiert: Bei algebraischen Strukturen ist dies genau dann der Fall, wenn $M$ endlich-präsentiert ist. Oder man kann sich fragen, wann der Funktor $Y\; \backslash times\; -\; :\; \backslash text\{Top\}\; \backslash to\; \backslash text\{Top\}$ Quotientenabbildungen erhält; dies ist zumindest der Fall, wenn $Y$ lokalkompakt ist. Oder man kann sich fragen, wann Garbenkohomologie mit direkten Summen vertauscht; auf noetherschen Schemata ist das der Fall. Diese Beispiele belegen ein wenig, dass nichttriviale Zusammenhänge mit einem kategoriellen Geschmack eng mit Endlichkeitsbedingungen aus verschiedensten Gebieten zusammenhängen, und dass hier die interessante Mathematik erst so richtig anfangen kann. Vielleicht werden eines Tages die Vorlesungen und Bücher nicht mehr 2 Meter Abstand vom Funktor halten müssen ...