Bei der google-Suche nach "Logarithmenregeln" o.ä. wurde ich nicht glücklich. So waren oft ungünstige Symbole gewählt, davon einmal abgesehen, wurden die Rechengesetze sehr oft nur teilweise oder gar nicht hergeleitet bzw. bewiesen.
Bei Grundaufgaben wie Bruchrechnung, Potenzrechnung, Wurzelrechnung, scheint insbesondere der Umgang mit dem Logarithmus vielen Neuanwendern Schwierigkeiten zu bereiten.
Es handelt sich dementsprechend um eine Einführung für Schüler ca. Klasse 8ff., zu Not auch für Studenten des 1. Semesters; mit, nach Möglichkeit, eingeschränktem theoretischem Balast. Übersicht:
·Einleitung
·Definition
·Rechenregeln
·Zusammenfassung
·Besondere Logarithmen
·Anwendungsbeispiele
In der Grundarithmetik, also der elementaren Rechenpraxis, unterteilt man gelegentlich:
· Rechenoperationen 1. Stufe
Das ist Rechnen mit Summen und Differenzen.
· Rechenoperationen 2. Stufe
Das ist Rechnen mit Produkten und Quotienten.
Die Stufen 1. und 2. schließen entsprechend auch die Bruchrechnung mit ein.
· Rechenoperationen 3. Stufe
Das ist 3a. Rechnen mit Potenzen, 3b. Rechnen mit Wurzeln, 3c. Rechnen mit Logarithmen.
Inhalt der Stufe 3b. sowie geringerer Stufen werden hier -ohne Einschränkung- vorausgesetzt. Sollte dem interessierten Leser hiervon teilweise etwas unbekannt sein, braucht er er im Grunde nicht weiterlesen und weiß, was er als erstes zu tun hat.
·Was ist ein Logarithmus?
Formal definieren läßt sich der Logarithmus so:
\big log_b(a) = z :<=> b^z = a
\stress Diese Definition muß bei allen weiteren Überlegungen im Hinterkopf behalten werden! Auch werden wir diese Definition, im nächsten Abschnitt, noch genauer unter die Lupe nehmen.
·Der Logarithmus bedeutet demnach inhaltlich:Man gibt eine Zahl vor (a) und fragt nun: Mit welcher Zahl ist eine andere Zahl (b) zu potenzieren, um die vorgegebene Zahl zu erhalten. Lautet die Antwort z, darf logb(a) = z (siehe oben) geschrieben werden.Beispiel:
Gibt man die Zahl 8 = a vor und fragt: Mit welcher Zahl ist die Zahl 2 = b zu potenzieren, so lautet die Antwort 3 = z; denn bekanntlich ist: 23 = 8.
Formal kann man also aufschreiben:
\
log_2(8) = 3 <=> 2^3 = 8
Weitere Beispiele:
\
log_3(27) = 3; denn 3^3 = 27
log_(7.3)(7.3) = 1; denn 7.3^1 = 7.3
log_5(1) = 0; denn 5^0 = 1
log_4(2) = 1/2; denn 4^(1//2) = root(4) = 2
log_(2)(1/2) = -1; denn 2^(-1) = 1/2
log_(1//4)(16) = -2; denn (1/4)^(-2) = 4^2 = 16
Man erkennt:
·Der Logarithmus kann also positive und negative Werte annehmen; insb. kann sein Wert zwischen Null und Eins liegen (einschließlich).
·Wie man auch z.B. log_11.2 (4.567) ausrechnet, wissen wir an dieser Stelle noch nicht, darauf werden wir später, im Abschnitt "Anwendungsbeispiele", zurückkommen.
Wir führen den Logarithmus formal ein:
\
\big log_b(a) = z :<=> b^z = a
· Gelesen \stress " log_b(a) " "Logarithmus zur Basis b von a"
· Hierbei bezeichnet man
\
\stress a: Logarithmand (Numerus, Argument des Logarithmus)
\stress b: Basis (Logarithmenbasis)
\stress z bzw. log_b(a): (Wert des) Logarithmus
Definitionsbereich der Argumente / zulässige Basen
Welche Werte der Logarithmus annehmen kann wurde bereits im vorherigen Abschnitt angedeutet.
Es bleibt also die Frage:
Welche Werte dürfen für den Logarithmanden a bzw. die Basis b gewählt werden?
· Zunächst ist klar, daß b = 0 bzw. b = 1 als Basis auscheiden; denn 1^z = 1 bzw. 0^z = 0 (sofern z positiv ist).
· Eine Potenz mit negativer Grundzahl, etwa b^z = (-B)^z liefert im allgm. keine reelle Zahl, z.B. (-3)^0.27 \notin \IR. Damit läßt sich die Basis schonmal auf positive Werte ungleich 1 einschränken: b > 0 und b != 1 - man sagt, die Basis sei zulässig.
· Für beliebige Hochzahlen z bleibt dann die Potenz b^z positiv, man darf also, hinsichtlich b^z = a, auch den Logarithmanden a als positiv voraussetzen: a > 0
Bezüglich des zweiten Punktes genügt es sogar, die Basis auf b > 1 einzuschränken; denn: Wählt man für b einen Wert zwischen (ausschließlich) 0 und 1, etwa
b = 1/k mit k reell, k > 1, so ist
\frameon
\frameoff log_(1//k)(a) = log_k(1/a)
Beweis (aus der Definition):
\
\* log_(1//k)(a) = z <=> (1/k)^z = 1/k^z = a
\* log_k(1/a) = w <=> k^w = 1/a <=> a = 1/k^w
=> z = w => log_(1//k)(a) = log_k(1/a)
Das heißt also, Basen wie z.B. b = 1/3 oder b = 2/5 oder b = sqrt(2)/\pi oder ... lassen sich (bei Bedarf) ganz vermeiden.
Nach dem Gesagten läßt sich der Logarithmus also wie folgt definieren:
\frameon
\big\light log_b(a) = z :<=> b^z = a
|mit b > 1 und a > 0
\stress (Definition des Logarithmus)
\frameoff
Aus dieser Definition wollen wir vier Hilfsregeln mitnehmen:
\
\stress (H1) \normal b^array(log_b(a)) = a
\stress (H2a) \normal log_b(b) = 1 | \stress (H2b) \normal log_b(1) = 0
\stress (H3) \normal log_b(b^s) = s
Beweis:
\
\stress Bew. (H1): \normal
Da per Definition log_b(a) = z :<=> b^z = a gilt, ist b^array(log_b(a)) = a lediglich eine andere Schreibweise für den rechten Teil \(d.h. auch, prinzipiell hätte man keinen Platzhalter z einführen müssen, er dient aber der Übersicht\).
Diese Regel wird mitunter auch \stress "Umkehrung des Logarithmus" \normal genannt.
\stress Beispiel: Bestimme die Unbekannte x aus der Gleichung log_5(x) = 2\normal
log_5(x) = 2 => 5^\array(log_5(x)) = 5^2 => x = 25
\stress Bew. (H2a): \normal
Für den Fall a = b schreibt sich die Definition
log_b(b) = z :<=> b^z = b = b^1 => z = 1
\stress Bew. (H2b): \normal
Für den Fall a = 1 schreibt sich die Definition
log_b(1) = z :<=> b^z = 1 => z = 0; denn b^0 = 1
\stress Bew. (H3): \normal
Für den Fall a = b^s schreibt sich die Definition
log_b(b^s) = z :<=> b^z = b^s => z = s
Übersicht:
· Logarithmus eines Produkts· Logarithmus eines Quotienten· Logarithmus einer Potenz· Logarithmus einer Summe bzw. einer Differenz· Umrechnung zwischen Logarithmen verschiedener Basen
Bemerkung:
\
\stress Mit Ausnahme des Basiswechsels fußen alle folgenden Rechenregeln bzw. ihre Beweisschritte auf der, im vorherigen Abschnitt bewiesenen, Hilfsregel ((H3))____: (log_b(b^s) = s)__ \(welche ihrerseits, wie gezeigt, direkte Folge der Definition ist\).
· Logarithmus eines Produkts:
\
\stress (L1) \normal \frameon
\frameoff log_b(x * y) = log_b(x) + log_b(y)
Beweis:
\
Es sei x = b^u <=> log_b(x) = u und y = b^v <=> log_b(y) = v
=> x*y = b^u * b^v = b^(u+v)
=> log_b(x*y) = log_b(b^(u+v)) = u + v = log_b(x) + log_b(y)
· Logarithmus eines Quotienten:
\
\stress (L2) \normal \frameon
\frameoff log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)
Beweis:
\
Es sei x = b^u <=> log_b(x) = u und y = b^v <=> log_b(y) = v
=> x/y = b^u / b^v = b^(u-v)
=> log_b(x/y) = log_b(b^(u-v)) = u - v = log_b(x) - log_b(y)
· Logarithmus einer Potenz:
\
\stress (L3) \normal \frameon
\frameoff log_b(x^r) = r * log_b(x)
Beweis:
\
Es sei b^u = x <=> log_b(x) = u
Betrachte x^r = (b^u)^r = b^(u*r)
=> log_b(x^r) = log_b(b^(u*r)) = u*r
=> log_b(x^r) = r * log_b(x)
Anwendungsbeispiel:
\
\* (log_b(1/x) = -log_b(x))____ |\small (da bekanntlich x^(-1) = 1/x)
\* (log_b(x/y) = -log_b(y/x))____ |\small (da bekanntlich x/y = y^(-1)/x^(-1))
\* (log_b(\root(n,x)) = 1/n * log_b(x))____ |\small (da bekanntlich \root(n,x) = x^(1/n)
· Logarithmus einer Summe bzw. einer Differenz:Naheliegend gelten natürlich die Regeln log(x+y) = log(x) + log(y) entsprechend bei der Differenz.
Nein! Das gilt natürlich nicht! Wer glaubt, solche Eigenkreationen erfinden zu müssen, hat das Vorangehende nicht gelesen bzw. auch die ganze Beweisidee nicht verstanden.
Nun gilt aber auch in der Mathematik die Faustregel "Die Aussage 'gibt es nicht' gibt es nicht", insofern einigen wir uns hier auf Folgendes:
\frameon
Für log_b(x+y) bzw. log_b(x-y) gibt es keine____
einfachen__ Regeln.
\frameoff
· Umrechnung zwischen Logarithmen verschiedener Basen:
\
\stress (L4) \normal \frameon log_b(a) = log_c(a)/log_c(b)
\stress (Basiswechsel)
\frameoff
Beweis:
\
Erinnerung an die Definition
log_b(a) = z
<=> b^z = a
Logarithmieren mit neuer Basis c liefert
log_c(b^z) = log_c(a)
Anwenden von \stress (L3)
=> z * log_c(b) = log_c(a)
=> log_b(a) * log_c(b) = log_c(a)
<=> (log_b(a) = log_c(a)/log_c(b))____
- Zwei Folgerungen aus dem Basiswechsel:
\ \frameon
\stress \frameon(L4a) \normal log_b(a) = log_c(a)/log_c(b) = ln(a) / ln(b) = lg(a) / lg(b)
\frameoff
\stress Wobei lg(x) = log_10(x) ("Zehnerlogarithmus") bzw.
\stress ln(x) = log_\array(e)(x) ("Natürlicher Logarithmus", e = 2.71828182845... [Eulersche Zahl])
(Siehe auch im Abschnitt "Besondere Logarithmen")
Beweis: Regel \stress (L4) \normal gilt für beliebige__ zulässige Basen c, so auch für den Natürlichen Logarithmus ln (mit c = e [Eulersche Zahl]) bzw. für den Zehnerlogarithmus lg (mit c = 10); jene Funktionen, die man meist auf Taschenrechnern findet.
\ \frameon
\stress \frameon(L4b) \normal |log_c_1(a)/log_c_1(b) = log_c_2(a)/log_c_2(b)| |( = log_b(a) )
\frameoff
Beweis: siehe \stress (L4a)
- Was verspricht der Basiswechsel im engeren Sinne?
·Einerseits können wir damit Aufgaben des folgenden Typs lösen:
\
log_4(8) = (log_2(8))/(log_2(4)) = 3/2
Hätten wir auch so gewußt, daß 4^(3/2) = 8? Wer weiß...
·Zum anderen bangt uns schon die ganze Zeit die Frage, wie man das ganze auf "Taschenrechnerformat" bekommen kann, so hat man dort häufig nicht Tasten für Logarithmen beliebiger zulässiger Basen.
Diese Frage sei dem übernächsten Abschnitt übergeben.
·Interpretieren können wir die Basiswechsel-Formel dennoch auch schon hier.
\
Angenommen wir haben eine Rechenmaschine gebaut, die uns für irgendeine zulässige Basis c \(z.B. c = 3 oder c = 10 oder c = 5.6789 oder ...\) den Logarithmus log_c(x) für Argumente x ausrechnen kann. Dann können wir, die Basiswechsel-Formel betrachtend, festhalten:
\frameon
Es genügt die Berechenbarkeit für den Logarithmus irgendeiner zulässigen Basis um alle__ anderen Logarithmen, beliebiger zulässiger Basen, zu berechnen.
\frameoff
\
\big\light log_b(a) = z :<=> b^z = a
|mit b > 1 und a > 0
\stress (Definition des Logarithmus)
\stress a: Logarithmand (Numerus, Argument des Logarithmus)
\stress b: Basis (Logarithmenbasis)
\stress z bzw. log_b(a): (Wert des) Logarithmus
(1) Zehnerlogarithmus
(Dekadischer Logarithmus, Briggscher Logarithmus)
\
\frameon
\frameoff log_10(x) =: lg(x)
lg(x) = z <=> 10^z = x = 10^\array(lg(x))
lg(10) = 1
·Der 10er-Logarithmus spielte historisch für das praktische Rechnen wohl die größte Rolle ("Zehnersystem", siehe auch im nächsten Abschnitt). "lg" von "logarithmus generalis", svw. "Hauptlogarithmus". Henry Briggs (1561–1630, englischer Mathematiker) gilt als Einführer des Logarithmus.
(2) Zweierlogarithmus
(Binärer Logarithmus, Dualer Logarithmus)
\
\frameon
\frameoff log_2(x) =: lb(x) = ld(x)
\stress lb:"alt", DIN 1302-12
\stress ld: "neu"
lb(x) = z <=> 2^z = x = 2^\array(lb(x))
lb(2) = 1
·Der 2er-Logarithmus spielt in der Nachrichtentechnik bzw. der Datentechnik eine Rolle ("Binäres Zahlensystem"). Meist wird die Schreibung "lb" verwendet.
(3) Natürlicher Logarithmus
(Neperscher Logarithmus, Hyperbolischer Logarithmus)
\
\frameon
\frameoff log_e(x) =: ln(x)
mit \stress e = 2.71828182845... ("Eulersche Zahl") \normal
ln(x) = z <=> e^z = x = e^\array(ln(x))
ln(e) = 1
·Der natürliche Logarithmus dürfte den Namen seiner Basis, der Eulerschen Zahl, verdanken, welche mitunter auch "Naturkonstante" genannt wird, da sie bei vielen Vorgängen in der Natur bzw. im Universum eine Rolle spielt. Der interessierte Leser möchte zur Eulerzahl die Forensuche bemühen.
Welcher rechnerische Zusammenhang besteht zwischen diesen Logarithmen?
\
Gemäß Regel \stress (L4a), \normal der Folgerung aus dem Basiswechsel \stress (L4), \normal ist
\frameon
\stress \frameon(L4a) \normal |lg(a) / lg(b) = ln(a) / ln(b) = lb(a) / lb(b) = log_c(a)/log_c(b) = log_b(a)
\frameoff
\stress Wobei c eine beliebige zulässige Basis ist.
Allgemeine Anmerkung:
Die o.g. offiziellen Schreibweisen (nach DIN 1302-12) werden mehr oder weniger streng gehandhabt. Die Bezeichnung kann folgendes widerspiegeln:
1. Auf Taschenrechnern findet man meist eine Taste , diese steht dort für den Zehnerlogarithmus (also egtl. "lg").
2. Im angelsächsischen Sprachraum wird für den natürlichen Logarithmus praktisch immer , statt , geschrieben. Von daher kommend wird diese Sitte hier häufig kopiert.
3. In Formelwerken (z.B. Bronstein) oder ähnlichem kann auch für einen allgemeinen Logarithmus, mit zulässiger Basis, stehen, also etwa . So hätte man bei der "Zusammenfassung" im voherigen Abschnitt die Basis b auch überall weglassen können und stattdessen als Überschrift schreiben können: "Für jede zulässige Basis b gilt: ..."
4. In einer jüngsten Entwicklung erachten manche Pädagogen die gedankliche Assoziation bzw. für nicht mehr zumutbar und verwenden daher und , jene übliche Bezeichnung auf den Taschenrechnertasten.
·Der Logarithmus war früher, d.h. vor Einführung elektronischer Taschenrechner, für das praktische Rechnen von besonderer Bedeutung. So zeigt bspw. die o.g. Formel log_b(\root(n,x)) = 1/n * log_b(x),
daß sich 'logarithmisch' die Berechnung einer Wurzel auf diejenige eines Produkts reduziert (beachte die Reduzierung der Rechenoperation um eine Stufe bei allen o.g. Rechenregeln!).
Dazu wurden die Werte der Logarithmen, wie auch die ihrer Umkehrungen (siehe \stress Hilfsregel (H1) ), in Tabellenwerken zusammengetragen.
Insbesondere spielten Umrechnungsfaktoren eine Rolle, etwa
\
ln(x) = lg(x)/lg(e) = 1/lg(e) * lg(x) := M * lg(x) | \| \stress nach (L4)
Hier ist M = 1/lg(e) \approx 2.30259
Heute sind Logarithmen vornehmlich von theoretischem Interesse.
·Aufgabe
\
\stress Berechne log_11.2 (4.567)
Mit dem Basiswechsel \stress (L4):
log_11.2 (4.567) = lg(4.567)/lg(11.2) = ln(4.567)/ln(11.2) \approx 0.62869
·Aufgabe
\
\stress Für welche Basis B wird log_B(5) = 7 ?
\* \stress Nach der Definition ist
log_B(5) = 7 <=> B^7 = 5
=> B = 5^(1/7) = (root(7,5))____ |(\approx 1.2585)
\* \stress Mit dem Basiswechsel (L4) wird
log_B(5) = lg(5)/lg(B) = 7
=> lg(B) = lg(5)/7| |\stress \| mit Hilfsregel (H1):
=> B = 10^\array(lg(B)) = 10^(lg(5)/7) = (10^\array(lg(5)))^(1/7) = 5^(1/7) = (root(7,5))____
log_root(7,5)(5) = 7
·Aufgabe
\
\stress Für welchen Logarithmanden A wird ln(A) = 2.5 ?
\* \stress Mit Hilfsregel (H3) lautet der Ansatz
ln(exp(2.5)) = 2.5 => A = (exp(2.5))____
\* \stress Mit Hilfsregel (H1) lautet der Ansatz
A = exp(ln(A)) = exp(2.5) => A = (exp(2.5))____ |(\approx 12.1825 )
·Aufgabe
\
\stress Für welchen Logarithmanden A wird log_(2.5)(A) = 4 ?
\stress \* Mit Hilfe der Umkehrung des Logarithmus (H1) wird
log_(2.5)(A) = 4
=> 2.5^\array(log_(2.5)(A)) = 2.5^4
=> (A = 2.5^4 = 39.0625)____
\stress \* Mit Hilfe des Basiswechsels (L4) wird
4 = lg(A)/lg(2.5)
<=> lg(A) = 4*lg(2.5)
\stress Anwenden von (L3) und direkter Vergleich
lg(A) = lg(2.5^4)
=> (A = 2.5^4 = 39.0625)____
·Aufgabe
\stress Löse die Exponentialgleichung a^x = b
\stress und die Potenzgleichung x^n = c
\stress für geeignete Konstanten a,b,c
\big a^x = b
\stress Logarithmieren:
ln(a^x) = ln(b)
\stress Anwenden der Logarithmenregel (L3) liefert:
x * ln(a) = ln(b)
\stress Auflösen nach x:
x = (ln(b)/ln(a))____
\big x^n = c
\stress \* n irrational, c >= 0
x^n = c <=> x = c^(1/n)
\stress \* n irrational, c < 0
Keine (reelle) Lösung!
\stress \* n = p/q rational
c = x^(p/q) = (x^p)^(1/q) <=> x^p = c^q
\stress Nun wie folgende Fälle behandeln (dabei x^p wie x^n bzw. c^q wie c werten).
\stress \* n gerade, c >= 0
x^n = c <=> x_(1\/2) = +-root(n,c)
\stress \* n gerade, c < 0
Keine (reelle) Lösung!
\stress \* n ungerade, c >= 0
x^n = c <=> x = root(n,c)
\stress \* n ungerade, c < 0
x^n = c <=> x = -root(n,abs(c))
·Aufgabe
\stress Löse die Exponentialgleichung a^x = b (für geeignete Konstanten a, b)
\stress allgemein mit einem Logarithmus zu einer zulässigen Basis c;
\stress für a \in {2, e, 10, 5.71} mit geeigneten Logarithmen.
\stress \big \* a^x = b
\stress Logarithmieren:
log_c(a^x) = log_c(b) |\| \stress Anwenden von (L3)
x * log_c(a) = log_c(b) |\| \stress Auflösen nach x
(x = log_c(b)/log_c(a))____
\stress \big \* 2^x = b
<=> lb(2^x) = lb(b)
<=> x * lb(2) = lb(b) |\| \stress siehe (L3) und Hilfsregel (H2a)
(x = lb(b))____
\stress \big \* exp(x) = b
<=> ln(exp(x)) = ln(b)
<=> x * ln(e) = ln(b) |\| \stress siehe (L3) und Hilfsregel (H2a)
(x = ln(b))____
\stress \big \* 10^x = b
<=> lg(10^x) = lg(b)
<=> x * lg(10) = lg(b) |\| \stress siehe (L3) und Hilfsregel (H2a)
(x = ln(b))____
\stress \big \* 5.71^x = b
\stress \* 5.71^x = b. Lösung mit Logarithmus zur Basis 10
<=> lg(5.71^x) = lg(b)
<=> x * lg(5.71) = lg(b) |\| \stress siehe (L3)
(x = lg(b)/lg(5.71))____
\stress \* 5.71^x = b. Lösung mit Logarithmus zur Basis e
<=> ln(5.71^x) = ln(b)
<=> x * ln(5.71) = ln(b) |\| \stress siehe (L3)
(x = ln(b)/ln(5.71))____
\stress \* 5.71^x = b. Lösung mit Logarithmus zur Basis 5.71
<=> log_5.71(5.71^x) = log_5.71(b)
<=> x * log_5.71(5.71) = log_5.71(b) |\| \stress siehe (L3) und Hilfsregel (H2a)
(x = log_5.71(b) = log_c(b)/log_c(5.71) = ln(b)/ln(5.71) = lg(b)/lg(5.71))____
\stress gemäß dem Basiswechsel (L4)
·Aufgabe
\stress Löse die Exponentialgleichung exp(x)-2 exp(-x)=0
\stress \* Lösung mittels Subsitution
Substitution: exp(x) = u |(=> es ist u > 0)
=> u - 2/u = 0
<=> u^2 = 2
=> u = sqrt(2) |oder |u = -sqrt(2) (scheidet aus)
Rücksubstitution: x = ln(u)
=> x = ln(sqrt(2)) = (ln(2)/2)____
\
\stress \* Lösung mittels der Logarithmenregeln
exp(x)-2 exp(-x)=0 <=> exp(x) = 2 exp(-x)
Logarithmieren und Anwenden von \stress (L1), (L3) \normal liefert
x = ln(2) + (-x)
=> x = (ln(2)/2)____
·Aufgabe
\stress Löse die Exponentialgleichung exp(x)-2 exp(-x) + 1 = 0
Substitution: exp(x) = u |(=> es ist u > 0)
=> u - 2/u + 1 = 0
<=> u^2 + u - 2= 0
Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen
u = 1 |oder |u = -2 (scheidet aus)
Rücksubstitution: x = ln(u)
=> x = ln(1) = ( 0 )____
·Aufgabe
\
\stress Löse die Logarithmengleichung log_b(x) = a mit einer zulässigen Basis b > 1 allgemein und für b \in {2, e, 10, 5.71}; und eine (beliebig) reelle Konstante a
\stress \* Allgemein
log_b(x) = a
\stress Mit Hilfe der Umkehrung des Logarithmus (H1) wird
b^\array(log_b(x)) = b^a <=> (x = b^a)____
\stress \* b = 2
lb(x) = a <=> (x = 2^a)____
\stress \* b = e
ln(x) = a <=> (x = e^a)____
\stress \* b = 10
lg(x) = a <=> (x = 10^a)____
\stress \* b = 5.71
log_5.71(x) = a <=> (x = 5.71^a)____
·Aufgabe
\
\stress Löse die Logarithmengleichung ln(2x+5) = -1
ln(2x+5) = -1
\stress Mit der Umkehrung des Logarithmus (H1) wird
exp(ln(2x+5)) = 2x+5 = exp(-1) = 1/e
2x + 5 = 1/e
<=> x = (1/2|(1/e - 5))____| |(\approx -2.31606)
·Aufgabe
\
\stress Löse die Logarithmengleichung lg(x-1)+lg(x-2)=lg(3)-lg(4)
\stress Die Definitionsmenge bestimmt sich zu \normal \ID = ]2, \inf[
\stress Mit (L1) und (L2) wird
lg|\stammf((x-1)*(x-2)) = lg(3/4)
\stress \* Durch direkten Vergleich wird \normal (x-1)*(x-2) = 3/4
\stress \* Mit (H1) wird \normal 10^array(lg|\stammf((x-1)*(x-2))) = 10^array(lg(3/4))
<=> (x-1)*(x-2) = 3/4
\stress Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen
x_1 = 1/2| |oder |x_2 = 5/2
\stress Im Vergleich mit der Definitionsmenge ist die Lösung also
(x = 5/2)____
·Aufgabe
\stress Entwickle mit Hilfe von (L1): log_b(x*y) = log_b(x) + log_b(y) eine Formel für den Ausdruck log_b(x+y).
log_b(x+y)=log_b((x+y)/(xy)*xy)=log_b((x+y)/(xy))+log_b(x*y)
= log_b(1/y+1/x)+log_b(x) + log_b(y)
(log_b(x+y) = log_b(x) + log_b(y) + log_b(1/x+1/y))____
·Aufgabe
\
\stress Logarithmiere den Term (a^2 b root(3,c)) / (p q^5) zur Basis 10.
\stress Mit Hilfe der Regeln (L1), (L2), (L3) wird:
lg((a^2 b root(3,c)) / (p q^5)) = lg(a^2 b root(3,c)) - lg(p q^5)
= lg(a^2) + lg(b) + lg(root(3,c)) - lg(p) - lg(q^5)
= (2*lg(a) + lg(b) + 1/3 lg(c) - lg(p) - 5*lg(q))____
·Aufgabe
\
\stress Fasse zusammen ln(x) - 1/2 ln(y) + 4/9 ln(z)
\stress Mit Hilfe der Regeln (L1), (L2), (L3) wird
ln(x) - 1/2 ln(y) + 4/9 ln(z) = ln(x) - ln(y^(1/2)) + ln(z^(4/9))
= ln((x * z^(4/9))/y^(1/2)) = (ln((x * root(9,x^4))/root(y)))____
·Aufgabe
\
\stress Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion f(x) = log_7(x)
\stress Mit Hilfe der Regel (L4) läßt sich umschreiben
f(x) = log_7(x) = 1/ln(7) * ln(x)
\stress Die Werte können nun mit dem Taschenrechner berechnet werden.
·Aufgabe
\
\stress Schreibe die Zahl 8 als Potenz mit der Grundzahl 3.
\* \stress Mit dem Ansatz
8 = 3^x
\stress Logarithmieren und Anwenden von (L3)
log_b(8) = x * log_b(3)
=> x = log_b(8)/log_b(3)
=> (8 = 3^\array(log_b(8)/log_b(3)))____ \stress (für jede zulässige Basis b)
- z.B. für b = 3 wird |8 = 3^\array(log_3(8)) |\stress \|vgl. Hilfsregel (H2a)
- z.B. für b = 10 wird |8 = 3^\array(lg(8)/lg(3))
\* \stress Andererseits folgt aus Hilfsregel (H1) sofort:
8 = 3^\array(log_3(8)) |\stress (siehe oben)
·Aufgabe
\stress Löse die Potenzgleichung x^n = a*(x + b)^n
\stress und die Exponentialgleichung p^x = a*(p + b)^x
\stress für geeignete Konstanten a,b,p und ganzes n
\stress \* \normal x^n = a*(x + b)^n
\* \stress n ungerade
\stress Ziehen der n-ten Wurzel liefert
x = root(n,a) * (x + b)
<=> x = ((b*root(n,a))/(1-root(n,a)))____
\* \stress n gerade
\stress Ziehen der n-ten Plusminuswurzel liefert
x = +- root(n,a) * (x + b)
<=> x = ((+- b*root(n,a))/(1 -+ root(n,a)))____ d.h. x = ((b*root(n,a))/(1 - root(n,a)))____ oder x = ((- b*root(n,a))/(1 + root(n,a)))____
\stress \* \normal p^x = a*(p + b)^x
\stress Logarithmieren und Anwenden von (L3) und (L1) liefert
x * lg(p) = lg(a) + x * lg(p+b)
<=> x * \stammf(lg(p) - lg(p + b)) = lg(a)
<=> x = (lg(a)/(lg(p) - lg(p+b)) = lg(a)/lg(p/(p+b)))____
·Aufgabe
\
\stress Zeige \big 6^\array(lb(n)) = n^\array( ln(3)/ln(2) +1 )
\stress \* Durch direktes Umformen
\stress Mit Hilfsregel (H1) wird
6^\array(lb(n)) = n^\array( log_n(6^\array(lb(n))) )
\stress Anwenden von (L3)
6^\array(lb(n)) = n^\array( lb(n) * log_n(6) )
\stress Mit Mit dem Basiswechsel (L4) wird
6^\array(lb(n)) = n^\array( ln(n)/ln(2) * ln(6)/ln(n) ) = n^\array( ln(2*3)/ln(2) )
\stress Mit (L1) wird
6^\array(lb(n)) = n^((ln(2)+ln(3))/ln(2)) = (n^\array( ln(3)/ln(2) +1 ))____
\
\stress \* Durch Lösen einer Exponentialgleichung
\stress Es soll gelten
6^\array(lb(n)) = n^x
\stress Logarithmieren und Anwenden von (L3)
lb(n) * ln(6) = x * ln(n)
\stress Anwenden des Basiswechsels (L4)
ln(n)/ln(2) * ln(6) = x * ln(n)
\stress Auflösen nach x und Anwenden von (L1)
x = ln(6)/ln(2) = ln(2*3)/ln(2) = ln(3)/ln(2) + 1
=> 6^\array(lb(n)) = (n^\array( ln(3)/ln(2) +1 ))____
·Beispiel
\
\stress Bestimme die Anzahl der Ziffern einer natürlichen Zahl a.
Für eine natürliche Zahl a ist bekanntlich
(a = a_0 * 10^(N_a - 1))____, wobei N_a die Anzahl der Ziffern von a ist und 1 <= a_0 < 10 (bzw. 0 <= lg(a_0) < 1) gilt \(z.B. 1234 = 1.234 * 10^3 = 1.234 * 10^(4 - 1), d.h. N_(1234) = 4\).
Logarithmiert wird daraus
lg(a) = lg(a_0 * 10^(N_a - 1))
=> lg(a) = lg(a_0) + (N_a - 1)
Zur Vereinfachung wenden wir hierauf noch die Abrundungsfunktion \(Ganzteilfunktion, Gaußklammerfunktion, \floor-Funktion\) floor(x) an.
(Def.:)____ \stress floor(x) ist die größte ganze Zahl, die nicht größer als x ist.
\stress \(z.B. floor(2.3) = 2; floor(-2.3) = -3; floor(0.51) = 0; floor(0)=0\)
\stress Hilfssatz: (floor(x + k) = floor(x) + k für k ganz und x reell)____
\stress Bew.: Geht floor(x) aus der Verschiebung floor(x) = x + \e_1 hervor, dann ist \e_1 = \e_1(x). Geht floor(x+k) mit ganzem k aus der Verschiebung floor(x + k) = x + k + \e_2 hervor, dann ist \e_2 = \e_2(x) unabhängig von k, da eine zusätzliche ganzzahlige Verschiebung nichts an einer reellen Verschiebung \e_2 ändert.
\stress => floor(x + k) - floor(x) = k + \e_2 - \e_1. Einsetzen von k = 0 => \e_1 = \e_2 => floor(x + k) - floor(x) = k und damit folgt die Behauptung.
Also:
floor(lg(a)) = floor(lg(a_0) + (N_a - 1)) = floor(lg(a_0)) + N_a - 1
\stress da floor(x + k) = floor(x) + k für k ganz und x reell (siehe oben)
=> floor(lg(a)) = 0 + N_a - 1
Ergebnis__:
\frameon
N_a = floor(lg(a)) + 1
\stress \(Anzahl der Ziffern
\stress der natürlichen Zahl a\)
\frameoff
\stress Beispiele:
\* a = 1234 => N_a = floor(lg(1234)) + 1 = floor(3.091...) + 1 = 3 + 1 = 4
\* a = 7^7^7 = 7^823543 => N_a = floor(lg(7^823543)) + 1 = floor(823543*lg(7)) + 1 = 695975
7^7^7 \approx 3.76 * 10^695974
\* a = 99^99 => N_a = floor(lg(99^99)) + 1 = 198
Hier hätte man auch, mit lg(99) \approx lg(100) = 2, näherungsweise N_a \approx 200 ausrechnen können.
99^99 \approx 3.697 * 10^197
\small 99^99 = 36972963764972677265718790562880544059566876
\small 42817411024302599724235525704552775234214106
\small 50010128232727940978889548326540119429996769
\small 49435945162157019364401441807106066765930138
\small 4999779999159200499899
·Aufgabe
\
\stress Löse a + \sqrt(2) = lg(10^a + 10^b) nach a - b.
a + \sqrt(2) = lg(10^a + 10^b)
\stress Linke Seite mit Hilfsregel (H3) als Logarithmus umschreiben:
<=> lg(10^(a + \sqrt(2))) = lg(10^a + 10^b)
<=> 10^(a + \sqrt(2)) = 10^a + 10^b
<=> 10^\sqrt(2) = 1 + 10^b/10^a
<=> 10^\sqrt(2) = 1 + 10^(b-a)
<=> 10^(b-a) = 10^\sqrt(2) - 1 |\|\stress Logarithmieren und Anwenden von (L3) und (H2a)
b-a = lg(10^\sqrt(2)-1)
<=> (a - b = - lg(10^\sqrt(2)-1))____ |(\approx -1.397149)
· Aufgabe
\
\stress Löse 2^(2m-6) +5^(m+1) = 4^(m+1)-5^(m+2) nach m
\
2^(2m-6) +5^(m+1) = 4^(m+1)-5^(m+2)
\stress Gleiche Potenzen isolieren
<=> 4^(m-3) + 5^(m+1) = 4^(m+1)-5^(m+2)
<=> 4^m /4^3 + 5^m * 5 = 4^m * 4 - 5^m * 5^2
<=> 4*4^m - 4^m /4^3 = 5^2 *5^m + 5 *5^m
<=> (4^4-1)/4^3 4^m = 5*6*5^m
<=> 255/(4^3*5*6) = (5/4)^m
<=> 17/2^7 = (5/4)^m
\stress Logarithmieren und Anwenden von (L3)
m * lg(5/4) = lg(17/2^7)
\stress Nach m auflösen und Anwenden von (L2) und (L3)
m = lg(17/2^7) / lg(5/4) = ((lg(17)-7 lg(2))/(lg(5)- 2 lg(2)))____ \approx -9.0472
· Aufgabe
\
\stress Zeige log_b(a) = log_(b^s)(a^s).
\
\stress Definiton des Logarithmus:\normal log_b(a) = z
<=> b^z = a
\stress Potenzieren mit s
(b^z)^s = a^s <=> (b^s)^z = a^s
\stress Logarithmieren zur Basis b^s
log_(b^s)((b^s)^z) = log_(b^s)(a^s)
\stress Anwenden von (L3)
z * log_(b^s)(b^s) = log_(b^s)(a^s)
\stress Anwenden von Hilfsregel (H2a)
z * 1 = log_(b^s)(a^s)
=> (log_b(a) = log_(b^s)(a^s))____
· Aufgabe
\
\stress Berechne ohne Taschenrechner 3^\array(log_9(4)).
\
\stress 1. Lösung: Basiswechsel (L4), Definition des Logarithmus und Potenzrechenregeln verwenden.\normal
3^\array(log_9(4)) = 3^array(log_3(4)/log_3(9)) = 3^\array(log_3(4)/2) = (3^\array(log_3(4)))^(1/2) = 4^(1/2) = 2
\
\stress 2. Lösung: Als Gleichung betrachten.\normal
3^\array(log_9(4)) = x
\stress Zur Basis 9 Logarithmieren und (L3) anwenden
log_9(3^\array(log_9(4))) = log_9(x)
log_9(4) * log_9(3)=log_9(x)
log_9(4) * 1/2 = log_9(x)
\stress Wiederum (L3) anwenden
<=> log_9(4) = log_9(x^2)
\stress Direkter Vergleich liefert
4 = x^2
=> (x = 2 = 3^\array(log_9(4)))____ oder x = -2 \(scheidet aus, da 9^\* stets positiv\)
\
\stress 3. Lösung: Potenzrechenregeln und Hilfsregel (H1) anwenden.
3^\array(\log_9(4)) = (9^(1/2))^\array(\log_9(4)) = (9^\array(\log_9(4)))^(1/2) = 4^(1/2) = 2
\
\stress 4. Lösung: Anwenden der Formel log_b(a) = log_(b^s)(a^s) und Hilfsregel (H1)
3^\array(\log_9(4)) = 3^\array(\log_(3^2)(2^2)) = 3^\array(\log_3(2)) = 2
Bei der google-Suche nach "Logarithmenregeln" o.ä. wurde ich nicht glücklich. So waren oft ungünstige Symbole gewählt, davon einmal abgesehen, wurden die Rechengesetze sehr oft nur teilweise oder gar nicht hergeleitet bzw. bewiesen.
Bei Grundaufgaben w
\(\begingroup\)Kann man :<=> im fed irgendwie schöner bekommen¿ Ich sehe auch nicht, wie, aber die Definition im Artikel sieht dadurch unschön aus.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Bei den Anwendungen vermisse ich logarithmische Diagramme (findet man in jedem technischen Handbuch) und logarithmische Einheiten (etwa die allseits bekannten dB)
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Doch, das ist mein Ernst. Inwiefern widerspricht es einer Einführung zu erwähnen, wie man den Logarithmus einer bel. Zahl numerisch effizient berechnen kann?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)cis schreibt: "Wie man auch z.B. log_11.2 (4.567) ausrechnet wissen an dieser Stelle noch nicht, darauf werden wir später zurückkommen."
Wo wird das (später) erläutert? Habe ich das übersehen im Artikel? \(\endgroup\)
von: Hans-Juergen am: Do. 07. August 2014 14:40:49
\(\begingroup\)Zu "Logarithmus einer Summe"
Eine immer noch "einfache" Regel lautet:
log(x+y) = log x + log y + log (1/x+1/y).
Begründung:
log(x+y)=log((x+y)/(xy)*xy)=log((x+y)/(xy))+log(xy)
= log(1/y+1/x)+log x + log y.
Ergänzend möchte ich noch auf einen früheren Artikel von mir über Logarithmen hinweisen: hier.
Mit freundlichen Grüßen,
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)·"Einführung" bedeutet nicht "Hiermit ist alles gesagt, was es zum Log. hätte zu sagen gegeben". Ich hatte mir noch überlegt, auf die Frage "Aha, und wie berechnet egtl. der Taschenrechner den ln (lg)?" einzugehen. Aber das sprengt m.E. den Rahmen einer Einführung und sollte in einem eigenen Artikel stehen.
·"Ich" wurde mit der google-Suche nicht glücklich, heißt nicht, daß niemand jemals mit der google-Suche glücklich wurde.
Hier ( de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Arithmetik:_Erweiterte_Rechenarten:_Logarithmus:_Logarithmengesetze ) fehlt mir z.B. der Basiswechsel. Hier ( www.brinkmann-du.de/mathe/gostpdf/p0_logarithmen_01.pdf ) hat er alles mit einem Wasserzeichen vollgesudelt.
Insb. heißt es nicht, daß ich auch mit allen Büchern zum Thema unglücklich bin (ich weiß nicht warum das jmd. da rauslesen mußte).
·Den Artikel von Hans-Jürgen ( article.php?sid=1364 )
kenne ich, auch den von FlorianM ( article.php?sid=962 ).
Dann kenne ich auch noch den wikipedia-Artikel.
Diese Artikel sind für sich genommen alle o.k., nur steht mir da die Rechenpraxis zu wenig im Vordergrund.
Dann kenne ich auch noch die Umschreibung log(x+y) = log x + log y + log (1/x+1/y)
ne, gefällt mir, im Rahmen einer Einführung, nicht.
---> €dit: Meinung geändert / Vorschlag angenommen - bei den "Anwendungsbeispielen" aufgenommen. (Muß noch freigegeben werden....) Danke @ Hans-Jürgen.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Es wurden bei den Anwendungsbeispielen einige Ergänzungen vorgenommen, auch wurden (wenn alles geklappt hat) die Korrekturvorschläge aufgenommen. \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Bei den Definitionen von Zehner-, Zweier- und natürlichem Logarithmus sollten die Definitionsdoppelpunkte die Seite wechseln, da die Abkürzungen definiert werden.
Ich finde die Zusammenstellung recht schön, lediglich die amerikanische Dezimalschreibweise mit Punkt statt Komma gefällt mir nicht, auch wenn der Taschenrechner dies in die Schülerköpfe drückt. \(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Wauzi:
a. Änderungsvorschlag eingereicht.
b. Je mehr man mit Programmcode arbeitet, umso mehr gewöhnt man sich den Punkt an. Von Hand würde ich es wahrscheinlich nicht machen.
Viel nerviger finde ich den Umstand, den Punkt und das Komma als Tausendertrennzeichen, obwohl es doch die schweizer Universallösung gibt 1'234'567.
ABER: Gerade von Dir hätte ich hier diesen Einwand nicht erwartet, denn es bestand in der Logarithmenrechnung ein Brauch (ich weiß nicht, wie weit verbreitet), '5.321' statt '5,321' zu schreiben, um anzudeuten, daß 5.321 aus einer Logarithmentabelle stammt.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@ susi0816 (15 schien mir nicht angemessen):
\
Potenzrechenregeln. Ja so a la 8^5 - aha, also 5mal die 8 mit sich selbst. Schön, was ist egtl. mit 4^2.3 ?
Aha, das kriegt man auch noch hin.
Aber was ist dann nun mit etwa 3^\root(2) oder 2^\pi ?
Der Taschenrechner liefert das sofort.
Man müßte aber also erstmal wissen, was eine reelle Zahl egtl. ist.
Das hätte schon den Umfang eines Artikels. Du könntest ihn schreiben, mußt eben mit mindestens blöden PMs rechnen.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Man sollte sich schon einmal fragen, was hier Leute eher vom Artikelschreiben abhält: ehrliche Kritik oder cis dämliche Kommentare...\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@ZeTaX: Wenn mir einer schreibt: "... erschließt sich mir der Sinn deines Artikels nicht ...", dann ist das für mich eine blöde Mail. Das war hier zwar mechanische Arbeit, keine geistige; dennoch hat es schon ein paar Stunden gedauert, und es gibt hier Leute, die nehmen es sich unbekümmert raus, sowas mal eben zu nullifizieren. Wenn Du da geil drauf abfährst, Deine Sache, die meisten tun es vermutlich nicht. \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Er wird hoffentlich auch erläutert haben, wieso er das denkt. Es gibt hier auch Leute wie dich, die jedwege Kritik "nullifizieren" wollen...\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich habe noch die "Anzahl der Ziffern einer natürlichen Zahl" ergänzt, das durfte bei den Anwendungsbeispielen einfach nicht fehlen.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo cis,
ich glaube, Anfänger - und für die ist ja dein Artikel geschrieben - haben ein Problem mit deiner Definition in der Einleitung, weil sie die Funktion (Abbildung, Operation) nicht erkennen. Was du danach als inhaltliche Bedeutung aus der Defintion folgerst (mit welchem Grund eigentlich?), benötigt der Anfänger als Voraussetzung, um die Definition zu verstehen. Anders gesagt: Der Anfänger sieht die angegebene Definition zunächst nur als Buchstabensalat und interpretiert deine Art des Folgerns als Anmaßung.
Ich würde mit dem Problem, eine Exponentialgleichung zu lösen, beginnen und daraus die neue Funktion (Rechenoperation) Logarithmus erklären.
Gerhardus \(\endgroup\)
\(\begingroup\) @Gerhardus: · Ich gebe Dir insofern recht, daß man den Log. als Kurve so noch nicht begreifen wird. Hier lag der Fokus erstmal auf "Log. als Rechenmittel". Eine saubere Kurvendiskussion erfordert aber m.E. einen weiteren Artikel (jener von FlorianM mag diese Lücke -teilweise- füllen).
·Dann gäbe es noch die Frage nach einem Algorithmus zu ln-Berechnung, wie sie im 1. Kommentar gestellt wurde. Hier vermittelt der Artikel von Hans-Jürgen einen Eindruck, wenngleich der TR nochmal anders rechnet.
·Was mir hier, bei einer Einführung "Log. als Rechenmittel", vielmehr fehlt ist ein Eingehen darauf, daß der Wert des log im allgm. transzendent ist (und dann auch der Beweis dazu [Satz von Hermite-Lindemann]). So, wie es dahsteht, könnte der Fehleindruck entstehen: Es kommen halt mal ein paar Brüche vor.
Für alle diese Punkte müßte man aber nochmal gut ausholen - und das ist halt immer die Frage, ob das bereits alles in einer Einführung stehen sollte. Nach meiner Zählung wären das jetzt wenigstens drei weitere Artikel.
PS: So, die "Anzahl der Ziffern einer natürlichen Zahl" ist jetzt vollständig. \(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Anonym: So, was war da jetzt nochmal was :()
Jo pff, prinzipiell ist alles überflüssig bis auf die Regel (H1) oder auch einfach die Definition. ;)
PS: Viel alberner finde ich, daß z.B. das 3. Anwendungsbeispiel unter "Log. einer Potenz" in sehr vielen Formelwerken immer noch als quasi eigene Regel mit eigener Nummer usw. aufgeführt wird. Das spiegelt eben, den Log. als DAS Mittel des praktischen Rechnens wieder - das sitzt bei vielen noch tief. \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Aufgabe
\
Zeige \big 6^\array(lb(n)) = n^\array( ln(3)/ln(2) +1 )
ergänzt.
Damit scheint sich aber auch eine ÜBERBREITE reingeschmuggelt zu haben - ich sehe leider nicht wo. Kann das ein MOD beheben?
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)(Bis auf Freischaltung)
\
\stress Löse die Logarithmengleichung ln(2x+5) = -1
\stress Löse die Logaritmengleichung log_b(x) = a mit einer zulässigen Basis b > 1 allgemein und für für b \in {2, e, 10, 5.71}; und eine (beliebig) reelle Konstante a
ergänzt.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)(Bis auf Freischaltung)
\stress Löse die Potenzgleichung x^n = a*(x + b)^n
\stress und die Exponentialgleichung p^x = a*(p + b)^x
\stress für geeignete Konstanten a,b,p, n
ergänzt.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)(Bis auf Freischaltung)
\stress Löse die Exponentialgleichung a^x = b (für geeignete Konstanten a, b)
\stress allgemein mit einem Logarithmus zur Basis c;
\stress für a \in {2, e, 10, 5.71} mit geeigneten Logarithmen.
\stress Löse die Potenzgleichung x^n = c
\stress und die Exponentialgleichung a^x = b
\stress für geeignete Konstanten a,b,c
ergänzt.\(\endgroup\)
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