Mathematik: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
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Mathematik

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Gehen wir zunächst von folgender Hypothese aus: Jede natürliche Zahl n, mit n >1, liegt eingebettet zwischen zwei Primzahlen p und q, wobei der Abstand von n zu p und n zu q jeweils t, mit t \el\ \IN\union\ {0}, beträgt, und des weiteren gilt: p <= q.

z.B.: 2 \textrightarrow t = +-0 3 \textrightarrow t = +-0 4 \textrightarrow t = +-1 5 \textrightarrow t = +-2 6 \textrightarrow t = +-1 7 \textrightarrow t = +-4 8 \textrightarrow t = +-3 \textrightarrow (t = +-5) 9 \textrightarrow t = +-2 \textrightarrow (t = +-4) 10 \textrightarrow t = +-3 \textrightarrow (t = +-7) 11 \textrightarrow t = +-6 \textrightarrow (t = +-8) 12 \textrightarrow t = +-5 \textrightarrow (t = +-7) ... Ohne Zweifel beschreibt diese Hypothese die Verteilung der Primzahlen. Man kann nun schreiben: n-t = p n+t = q n-p = t q-n = t n-p = q-n 2n = p+q Dies ist die Goldbach-Vermutung, die besagt, daß jede gerade Zahl >2 als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden kann. Man sieht, die Primzahlverteilung und die Goldbach-Vermutung sind im Grund ein und das selbe. Da die Zahl 2 die einzig gerade Primzahl ist, kann man t noch folgende Ei- genschaften zuordnen: n = ungerade \or\ prim => t = gerade (0 eingeschlossen) n = gerade => t = ungerade \or\ prim
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Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung [von bindi]  
Gehen wir zunächst von folgender Hypothese aus: Jede natürliche Zahl n, mit n >1, liegt eingebettet zwischen zwei Primzahlen p und q, wobei der Abstand von n zu p und n zu q jeweils t, mit t el INunion {0}, beträgt, und des weiteren gilt: p
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"Mathematik: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung" | 36 Comments
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Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: Hardy am: Mi. 22. Juni 2005 14:30:04
\(\begingroup\)Schön, und jetzt bitte den Beweis *ggg*\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: bindi am: Mi. 22. Juni 2005 15:13:18
\(\begingroup\)Das mit dem Beweis wird schwierig, insbesondere sich das System mit dem System selbst beschreibt. Das Ganze hat aber doch einen praktischen Nutzen: Nehmen wir an, die im Moment größte bekannte Primzahl sei x. Nun berechnet man alle Abstände zu Primzahlen, die kleiner als x sind und addiert sie jeweils zu x. Eine dieser Summen ist die neue im Moment größte Primzahl. Vielleicht gelingt dies ja sogar einem Mitglied des Matheplaneten... \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: morbus am: Mi. 22. Juni 2005 15:53:42
\(\begingroup\)Oder man findet dabei ein Gegenbeispiel zur Goldbach-Vermutung...\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: scorp am: Mi. 22. Juni 2005 17:04:28
\(\begingroup\)... oder man verwendet einfach eine effizientere Methode zur Primzahlgewinnung. 😄\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: lookias am: Mi. 22. Juni 2005 19:24:52
\(\begingroup\)hallo, so konstruiert weiss ich jetzt wieso der goldbach das vernmutet hat mal ne idee dazu, die fermatzerlegung: (ist t=(n+q)*(n-q)=n^2-q^2 also t+q^2=n^2 so wird jetzt immer ein q gesucht fuer das das ergebnis eine quadratzahl ist. und dann das selbe wieder mit n+q und n-q) sucht ja auch solche symmetrischen zerlegungen. meine idee nun beweise dass jede gerade zahl ende einer solchen zerlegungsreihe sein kann, quasi das jede gerade zahl mindestens einmal solch n am ende einer solchen zerlegung ist. wobei n-q und n+q primzhalen sein muessen. \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: bindi am: Mi. 22. Juni 2005 21:23:58
\(\begingroup\)Soviel ich weiß, hat Herr Goldbach seine Vermutung so konstruiert nie zu Gesicht bekommen. Meines Wissens hat er im Jugendalter, ich glaube 1742, ein paar Dutzend gerade Zahlen untersucht und festgestellt, daß sie sich alle als Summe zweier Primzahlen darstellen lassen. Daraufhin schrieb er Leonhard Euler einen Brief, in dem er ihn bat, einen Beweis für seine Vermutung zu finden. Euler mühte sich jahrelang ab, fand aber keinen... Die Idee mit der Fermatzerlegung gefällt mir, auch wenn ich der Meinung bin, mit etwas vermeintlich weniger Schwierigem zu beginnen. Trotzdem freue ich mich über jeden konstruktiven Gedankenaustausch. Vielleicht findet sich eine Arbeitsgruppe, die das Problem ernsthaft in Angriff nimmt. Wenn das Problem auch nicht gelöst wird, gute Mathematik kommt dabei allemal heraus. bindi \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: lookias am: Mi. 22. Juni 2005 23:31:25
\(\begingroup\)zb 33 und 47 hast du das denn selbst konstruiert?\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: Mentat am: Do. 23. Juni 2005 00:18:44
\(\begingroup\)Das Gegenereignis lautet: Wenn n+t eine Primzahl ist, so ist auch n-t eine Primzahl. Wäre das nicht ein Algorithmus zur Primzahlbestimmung, wie ein sicherer noch nicht bekannt ist? \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: trunx am: Do. 23. Juni 2005 11:06:17
\(\begingroup\)@bindi: sorry, aber ich sehe nichts von "Verteilung", könntest du bitte für mich noch mal t(n) explizit angeben, s.d. aus n-t(n) - prim folgt n+t(n) - prim? bye trunx\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: bindi am: Do. 23. Juni 2005 11:51:47
\(\begingroup\)@trunx: Wenn ich das nur könnte...Ich habe hier lediglich aufgezeigt, daß Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung direkt miteinander verknüpft sind. Ohne die Primzahlverteilung zu beweisen, wird man auch die Goldbach-Vermutung nicht beweisen können. Mit "Verteilung" meine ich, daß jede natürliche Zahl zwischen 0, 2 oder einem Vielfachen von zwei Primzahlen eingebettet liegt, so etwa wie ein Atomkern, um das 2 oder 4 oder 6 Elektronen kreisen. So sieht das System aus, aber warum, kann ich dir nicht sagen. Über t ist nur Triviales bekannt, etwa das es aber n > 3 invers zu n zwischen ungerade und gerade alterniert. bindi \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: bindi am: Do. 23. Juni 2005 12:06:16
\(\begingroup\)@mentat: Der Umkehrschluß lautet nicht: Wenn n+t eine Primzahl ist, ist auch n-t eine Primzahl. Der Umkehrschluß lautet: Wenn n+t eine Primzahl ist, kann auch n-t eine Primzahl sein. Oder: Nimm eine beliebige Zahl n, bestimme alle Primzahlen, die kleiner n sind, bestimme die Differenzen, addiere diese jeweils zu n, und mindestens eine dieser Summen ist eine Primzahl! bindi \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: lookias am: Do. 23. Juni 2005 12:47:28
\(\begingroup\)ich habe mal versucht einen zusammenhang zwischen der primfaktorzerlegung und der summation mit 1 zu finden. bin dann aber auf den schluss gekommen dass n/(n+1) rational ist und es deswegen keinen zusammenhang gibt da man nicht von rational auf natuerlich schliessen kann weil in den rationalen zahlen solch teilbarkeitskriterien nicht existieren.\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 05. Juli 2005 06:33:42
\(\begingroup\)@bindi Sorry, wo bitte ist hier die Verteilung der Primzahlen tangiert? Wie bitte leitet sich aus der Eingangshypothese ein Zusammenhang zur Goldbach´schen Vermutung her? Die einleitende Hypothese ist in gleicher Weise zutreffend z.B. für die Menge der ungeraden Zahlen anstelle der Menge der Primzahlen: 1 --> t=0 2 --> t=1 3 --> t=0 4 --> t=1 , (t=3) usw. Auch jetzt gilt analog 2n = p+q. Will sagen, durch die Existenz von t wie beschrieben, wird die Menge der Primzahlen nicht charakterisiert. Viele andere Beispielmengen mit gleicher Eigenschaft sind problemlos konstruierbar. Aus der Hypothese folgt lediglich, dass die Bezugsmenge ("Primzahlen") nicht endlich sein kann (2n=p+q und p,q < irgend ein N geht offenbar nicht für beliebige große n). Das wiederum hat mit der Goldbach´schen Vermutung wenig zu tun, weil die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen spätestens von Euler bewiesen wurde. Aus der Goldbach´schen Vermutung folgt relativ wenig bezüglich der Primzahlverteilung. Letztere wird per definitionem entscheidend bestimmt durch die Teilbarkeitsbedingungen der natürlichen Zahlen. Für die Primzahlverteilung bei großen Zahlen n gilt bekanntlich der Primzahlsatz (Anz. Primzahlen <= n) p(n) ~ n/(ln n) (Gauss, Hadamard, de-la-Vallee-Poussin) Die Goldbachvermutung hat bezüglich der "Verteilung" m. E. im wesentlichen nur diese Konsequenz: zwischen n (gerade) und 2n liegt mindestens eine Primzahl. (Denn ist zwischen n und 2n keine Primzahl und p die größte Primzahl <=n, so ist 2n nicht die Summe zweier Primzahlen wegen 2n>2n-p>=n). \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: bindi am: Di. 05. Juli 2005 11:18:02
\(\begingroup\)@Anonymous Ich glaube, du verstehst nicht, was ich mit Verteilung meine. Daher schießen deine Argumentationen am Ziel vorbei. Die Goldbach-Vermutung sagt aus, wo Primzahlen sitzen müssen. Nehmen wir einmal die 5. Primzahlen kleiner 5 sind die 2 und die 3. Also muß 5+2 oder/und 5+3 eine Primzahl sein. Dies ist die Logik der Primzahlen. Dies meine ich mit Verteilung. Gruß bindi \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 06. Juli 2005 06:58:40
\(\begingroup\)@bindi Das Wittgenstein-Zitat ist ja bekannt (Was sich überhaupt sagen lässt, lässt sich klar sagen; und wovon man nicht [klar] sprechen kann, darüber muss man schweigen). Ist nicht bös´ gemeint; halte diesen Hinweis aber für nötig, da es diesem Deutungsversuch zur Goldbach´schen Vermutung m. E. an Klarheit mangelt. Du sprichst für mich weitgehend in Rätseln! Z.B. mit diesem Satz: "Nehmen wir einmal die 5. Primzahlen kleiner 5 sind die 2 und die 3" kann ich schlichtweg garnichts anfangen (weder sprachlogisch, noch mathematisch). Es gibt in der Mathematik und speziell auch in der Zahlentheorie eine ziemlich klare Vorstellung davon, was eine Verteilung ist. Den Primzahlsatz habe ich bereits zitiert. Er beschreibt die Verteilung der Primzahlen im Großen. Was Du unter "Primzahlverteilung" verstehst, bleibt indessen denkbar unscharf. Deine Aussage, die Verteilung der Primzahlen und die Goldbach´sche Vermutung seien im Prinzip ein und dasselbe, ist daher letztlich unverständlich. Aufgrund der einleitenden Hypothese (jedes n zwischen p und q etc.) und der Behauptung, damit werde "die Verteilung der Primzahlen beschrieben", wird von Dir allerdings ein innerer Zusammenhang zwischen der hypothetischen Verteilung der Elemente jener Menge P mit der betrachteten Eigenschaft (der Hypothesenaussage) und der möglichen Darstellung gerader natürlicher Zahlen als Summe von zwei Elementen aus dieser Menge P geschaffen, der die Menge P nach Deinen Worten ja charakterisieren soll. Das trifft aber gerade nicht zu, weil ja z.B. für die Menge P' der ungeraden Zahlen die Hypothese und die Summendarstellung 2n = p+q für p,q aus P' gleichermaßen gelten. Die Primzahlverteilung bestimmt sich aus den Teilbarkeitsbedingungen der natürlichen Zahlen. Ohne den Begriff der Teilbarkeit gibt es (per definitionem) keinen vernünftigen Zugang zum Primzahlverständnis oder gar zur Verteilung der Primzahlen. Punkt. Du insinuierst mit Deiner Argumentation, aus der Goldbach´schen Vermutung könne z.B. die Primzahlverteilung (z.B. der Primzahlsatz) hergeleitet werden. Da bin ich sehr gespannt! Über die bereits von mir vorgebrachte Folgerung hinaus ("zwischen n und 2n liegt mindestens ein Element von P") sehe ich da auf Anhieb indes nichts. Und dass nun für jedes n ein t existiert, so dass n+t und/oder n-t prim ist/sind, hat mit der Goldbach´schen Vermutung nichts zu tun sondern ist trivial, wenn man weiss, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Mit Deiner weiteren Behauptung: ------ Nimm eine beliebige Zahl n, bestimme alle Primzahlen, die kleiner n sind, bestimme die Differenzen, addiere diese jeweils zu n, und mindestens eine dieser Summen ist eine Primzahl! ------ lehnst Du Dich sehr weit aus dem Fenster hinaus. Diese Aussage ist offensichtlich gleichbedeutend mit der (nach wie vor unbewiesenen!) Gültigkeit eben der Goldbach´schen Vermutung, weil sie ja nichts anderes besagt, als dass für ein geeignetes p kleiner n, p prim, die Summe n+n-p wieder prim ist (ergo 2n=p+q, mit p,q prim). Grüsse P.S: Mathematik erfordert vor allem auch sprachliche Präzision und eine strikte Trennung von Annahmen, Behauptungen und bewiesenen bzw. beweisbaren Aussagen. Ich kann daher nicht ausschließen, Deine Ausführungen in Teilen fehlinterpretiert zu haben. Hinweis von Matroid: Anonymous, bitte weitere Kommentare nicht mit 'Bearbeiten' des vorigen Kommentars, sondern mit 'Kommentar schreiben'.\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: bindi am: Mi. 06. Juli 2005 10:17:25
\(\begingroup\)@Anonymous Mit einem Zitat will ich nicht beginnen, obgleich mir einiges zu deinen frühmorgentlichen Ergüssen einfallen würde. (Das Zitat von Wittgenstein ist mir natürlich bekannt, insbesondere es ein Mitglied des Matheplaneten als Signatur benutzt.) Sprachlogisch bedeutet "." Punkt. D. h., hier ist der Satz zu Ende, und es beginnt ein neuer. Auch deine Aussage "Und dass nun für jedes n ein t existiert, so dass n+t und/oder n-t prim ist/sind, hat mit der Goldbach´schen Vermutung nichts zu tun sondern ist trivial, wenn man weiss, dass es unendlich viele Primzahlen gibt" wirkt befremdlich auf mich, habe ich doch eindeutig geschrieben, dass für jedes n ein t existiert, so dass n+t und n-t prim sind, wobei diese Aussage äquivalent zur Goldbach-Vermutung ist. Die Präzision, die du forderst, hälst du in deinen Argumentationen selbst nicht ein. Und natürlich läßt die Goldbach-Vermutung Rückschlüsse auf die Primzahlverteilung, wie sie mathematisch definiert ist, zu. Einen Ansatz hast du durch das Betrandsche Postulat ja bereits gegeben. PS: Mathematik erfordert nur zwei Dinge - Phantasie und Geduld. Merk dir das! Gruß bindi \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: bindi am: Fr. 08. Juli 2005 17:50:31
\(\begingroup\) Nachtrag 1.1 Für jede natürliche Zahl n>1 existiert eine Zahl t\el\ \IN\union\ {0}, für die gilt: n+t=prim n-t=prim Diese Aussage ist äquivalent zur binären Goldbach-Vermutung. Aus 1.1 folgt: Im Intervall ]n-1;2n[ ist mindestens ein Element prim. Nach dem Betrandschen Postulat gilt: \forall\ n\el\ \IN_>1 \exists\ p\el\ \IP :n]n;2n[ bindi \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 14. Juli 2005 00:18:46
\(\begingroup\)@bindi Entschuldigung, aber nun wird´s langsam peinlich. Ich versuche hier eine ernsthafte Diskussion zum Thema, befleißige mich, bei aller Kontroverse, eines höflichen Umgangstons unter vernünftigen Menschen mit unterschiedlichen Auffassungen - und von Dir anstelle von mathematischen Beweisen zum Thema nur Nachweise einer offensichtlich wenig erfolgreichen Kinderstube und die apodiktische Präsentation von unausgegorenen Halbwahrheiten. Deine Worte: "Ich glaube, du verstehst nicht, was ich mit Verteilung meine." "... deinen frühmorgentlichen Ergüssen ... " "Sprachlogisch bedeutet "." Punkt. D. h., hier ist der Satz zu Ende, und es beginnt ein neuer." "... Mathematik erfordert nur zwei Dinge - Phantasie und Geduld. Merk dir das!" Mit Phantasie lässt sich ein Roman schreiben, mit Geduld kann man Fische fangen; für die Lösung mathematischer Probleme bedarf es vor allem intellektueller Schärfe und eben Genauigkeit. Dass dazu auch Einfallsreichtum erforderlich ist, ist keine spezifisch mathematische Eigenheit - neuartige Aufgaben zu lösen verlangt fast immer und in jedem Feld auch Phantasie. Da auf meine Kritik hin von Dir bislang keine substantiellen Antworten kamen, halte ich eine Fortführung der Diskussion für reine Zeitverschwendung. Einen Versuch will ich aber gerne noch machen: Zuerst zu meinem letzten Kommentar vom 06.07.: Meine Aussage "Und dass nun für jedes n ein t existiert, so dass n+t und/oder n-t prim ist/sind, hat mit der Goldbach´schen Vermutung nichts zu tun sondern ist trivial, wenn man weiss, dass es unendlich viele Primzahlen gibt" ist doch klar ersichtlich zutreffend, weil "und/oder" selbstredend ein Inklusiv-ODER meint (also n+t ist prim ODER n-t ist prim ODER beide sind prim) und gerade nicht für eine reine Inklusion (beide sind prim) steht, wie es für die Äquivalenz zur Goldbachvermutung nötig wäre. Und nun der Hauptkritikpunkt aus deinem Originalbeitrag. Du behauptest (Beitrag vom 22.06.05), "Man sieht, die Primzahlverteilung und die Goldbach-Vermutung sind im Grund ein und das selbe." Genau das ist, wie ich schon in meinen beiden Kommentaren vom 05.07. und 06.07. dargelegt habe, nicht zutreffend. Deine Behauptung kann nur so verstanden werden: aus dem Bestehen der Goldbach-Eigenschaft "für jedes n gibt es zwei Primzahlen p und q, so dass 2n=p+q" kann die Primzahlverteilung (oder doch zumindest etwas nicht-triviales hierzu) abgeleitet werden - so im Kern Deine Aussage. Das trifft indes nicht zu! Das einzige was aus der Goldbach-Eigenschaft folgt, ist meine bereits vorgetragene Folgerung (np2n) "zwischen n und 2n gibt es mindestens eine Primzahl, sofern die Goldbach-Vermutung zutrifft". In diesem Kontext ist daher (np2n) eine notwendige Voraussetzung für die Gültigkeit der Goldbach´schen Vermutung. Darüber hinaus folgt m.E. aus der Goldbach´schen Vermutung nichts weiteres über die Verteilung der Primzahlen. Diese Aussage lässt sich begründen: (1) Nehmen wir die Menge U der ungeraden Zahlen. Diese Menge genügt der analogen Goldbacheigenschaft ("für jedes n gibt es zwei Zahlen p und q aus U, so dass 2n=p+q", bitte nachprüfen). Ersichtlich ist U ungleich der Menge der Primzahlen P. Die Verteilung der Elemente von U genügt dem Anzahlgesetz AU(n)=[(n+1)/2]. Für die Primzahlen gilt dagegen AP(n)~n/(ln n). Das ist wegen AP(n)/AU(n)-->0 für n gegen unendlich, offensichtlich etwas ganz anderes. Obwohl also für beide Mengen die Goldbacheigenschaft gilt bzw. unterstellt wird, ergeben sich völlig verschiedene Verteilungen ihrer Elemente. (2) Nehmen wir als weiteres Beispiel die Menge M426={2,3,5,9,11,17,21,23,29,33,35,41,45,47,53,57,59,65,69,71,77,81,83,89, ...} (Das Bildungsgesetz dürfte klar sein; die Differenzen alternieren ab der 5 in der Folge 4-->2-->6). Für die Menge M426 gilt gleichfalls die Goldbach-Eigenschaft: "für jedes n gibt es zwei Zahlen p und q aus M426, so dass 2n=p+q", (bitte nachprüfen). Aber: M426 ist ersichtlich ungleich der Primzahlmenge. Das Anzahlgesetz ist auch hier proportional zu n. Obwohl also für beide Mengen die Goldbacheigenschaft gilt bzw. unterstellt wird, ergeben sich verschiedene Verteilungen. (3) Nehmen wir als Drittes eine Menge G, die die notwendige Voraussetzung "zwischen n und 2n gibt es mindestens ein p aus G" erfüllt, die aber dennoch nicht der Goldbach-Eigenschaft genügt. Sei G = {pk |k>=0, 2^k+1}={1,3,5,9,17,33,...}. Man weist leicht nach, dass nun für jedes natürliche n ein pk aus G existiert mit n<=pk<2n. Aber, nicht jedes gerade n ist als Summe zweier Elemente aus G darstellbar, z.B trifft dies auf alle n=2^k für k>3 zu (also 16, 32, 64, ...). Anzahlgesetz für n>1: 1+[ld (n-1)]. Die notwendige Bedingung "zwischen n und 2n gibt es mindestens eine Primzahl", ist also erwartungsgemäß keineswegs hinreichend für die Gültigkeit der Goldbachvermutung. Tatsächlich gibt es für große n sehr viele Primzahlen zwischen n und 2n (etwa ~n/(ln n)) - und dennoch wissen wir nichts über die allgemeine Gültigkeit der Goldbachvermutung. Insgesamt haben wir daher: Die Goldbach-Vermutung bzw. die Goldbach-Eigenschaft ist weder im positiven noch im negativen Sinne charakterisierend für die Menge der Primzahlen. Das ist die entscheidende Aussage. Und die verträgt sich nun einmal nicht mit der Behauptung, "die Primzahlverteilung und die Goldbach-Vermutung seien im Grunde ein und dasselbe". Allenfalls kann man nach (3) schließen, dass die Primzahlmenge "nicht zu dünn" sein darf, dass also nur ein p zwischen n und 2n i.a. nicht genügt. Das aber ist für sich genommen sehr wenig, weil ja über den Primzahlsatz schon sehr viel mehr und Genaueres über die Anzahl der Primzahlen zwischen n und 2n folgt. Einen schönen Tag noch. \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: bindi am: Fr. 15. Juli 2005 10:08:48
\(\begingroup\)Lieber Anonymous, wie leicht (und unhöflich) ist es doch, unter dem Deckmantel der Anonymität zu argumentieren. Eröffne doch im Mathematik-Forum ein entsprechendes Thema. Dann können wir gerne diskutieren, und du gibst auch anderen Mitgliedern eine Möglichkeit, sich zu äußern. Gruß bindi\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: matroid am: Fr. 15. Juli 2005 17:22:25
\(\begingroup\)@bindi: Das ist genau der richtige Vorschlag! Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: Sumynoreih am: Sa. 16. Juli 2005 15:58:53
\(\begingroup\)Zwar sehe ich nicht, wieso das Argumentieren "unter dem Deckmantel der Anonymität" einfacher sein soll, doch habe ich, nachdem in meinem letzten Kommentar auch einige direkt an bindi gerichtete Worte zu finden waren, durchaus Verständnis für das Verlangen nach mehr Offenheit. Sicherlich diskutiert man nicht gern mit einer "Maske". Bisher hatte ich mich leider stets "außerhalb der Geschäftszeiten" ins Forum eingelinkt. Deswegen war ich bis vorhin noch Anonymus. Ein neues Thema zur Goldbach-Vermutung zu eröffnen, erübrigt sich m. E. Wir haben hier doch bereits einen geeigneten Diskussionsaufpunkt. In diesem Sinne Grüße Sumynoreih\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 01. Februar 2006 01:08:21
\(\begingroup\)Ich finde die Diskussion interessant. Gerald\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 01. Februar 2006 01:28:35
\(\begingroup\)Auf folgendes will ich hinweisen : 1)Wenn man aus einer Menge aus N Pflastersteinen ein Rechteck pflastern kann, dann ist N nicht prim. ( Gauß war Landvermesser, und seitdem scheint die Mathematik irgendwie zweidimensional zu denken. In z.B 12 Dimensionen gibt es vielleicht ganz andere herausragende Zahlenmengen ( statt Primzahlen )). 2) Stellt man eine beliebige nat. Zahl M binär dar, und hat diese Binärzahl k Stellen, dann korelliert die Wahrscheinlichkeit, daß die m-te Stelle ( m <= k ) von M gleich 1 ist mit log(m). Gerald \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 01. Februar 2006 03:15:26
\(\begingroup\)Nochmals Tag Allerseits, da Mathematik treiben ja nicht verboten ist, und ich am liebsten Knobelaufgaben löse, möchte ich analog zu Christian Goldbach ( der ja schon den armen Emanuel Kant zur Verzweiflung trieb ) auch eine Vermutung äußern, nämlich : " Ich besitze mit achzigprozentiger Sicherheit den richtigen Lösungsansatz zum Thema ", nämlich : Für eine Primzahl P ist auch 4*P*P-1 prim. Stellt man nun größere P als Summe dar ( z.B. 11= 2*3+5 ), so erhält man aus P*P kleinere Primzahlquadrate. Somit kann man eine gerade Zahl M aus zwei ( respektive vier ) " linearen " Quadratfolgen ( z.B. 4*9+16*9+64*9+.....) aufbauen und den Satz " 2 hoch ( 2*n ) - 1 bzw. 2 hoch ( 2*n + 1 ) - 1 ist prim ) anwenden. G.\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: Sumynoreih am: Fr. 10. Februar 2006 00:14:09
\(\begingroup\)Gerald, Dein Enthusiasmus in allen Ehren! Doch, was trifft wohl ein Schuß ins Blaue? In der Regel gar nichts, so auch in diesem Falle. Zu (1): Gauß war u.a. auch Pionier der Geodäsie. Ihn deswegen als Landvermesser zu bezeichnen ist in etwa so stimmig, wie die Einordnung von Archimedes als Bademeister! Die Mathematik ist die einzige Wissenschaft, die eine stringente Begrifflichkeit von höheren Dimensionen entwickelt hat (darauf aufbauend die Theoretische Physik). Die Definition der Primzahlen hat nun aber gar nichts mit dem Raumbegriff ("Dimensionen") zu tun, auch nichts mit dem zweidimensionalen Raum. Beweis hierzu in Deiner Argumentationslogik: Eine Zahl N ist auch dann nicht prim, wenn aus N q-dimensionalen Quadern ein q-dimensionaler Quader zusammengefügt werden kann (hier kannst Du für q gerne auch 2 oder 12 einsetzen). Mit anderen Worten: gleich in welcher Dimension man die Frage stellt, prim bleibt prim (ist nicht ganz ernst gemeint, hier aber wohl nötig). Die Fragestellung nach der Teilbarkeit von Zahlen (und damit auch "Primalität") und der Begriff der Dimension: das sind durchaus unterschiedliche Kategorien. Nicht etwa wie Äpfel und Birnen, eher wie Rosinen und Bratwürste. Zu (2): Ist M eine natürliche Zahl (>0), so hat diese als Binärzahl genau k=1+[ld M] Stellen. Beispiele: 13 ==> k=1+[ld 13] =1+3=4 Stellen; 101 ==> k=1+[ld 101]=1+6=7 Stellen. Für gegebenes festes k (also 2^(k-1) <= M < 2^k) sei p(m) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die k-te Stelle (gezählt von rechts, beginnend mit 1) der Binärzahl M eine "1" ist. Dann gilt p(m) = 1/2, für 1<=m p(m) = 1, für m=k. ??? "... Korrelation mit log(m) ..." ??? Sei M(m) die m-te Stelle in der Binärdarstellung von M. Es gilt: M(m) = [M/2^(m-1)] mod 2. Beispiel: die 3. Binärstelle von 21 ist eine "1", wegen [21/2^(3-1)]=[21/4]=[5+1/4]=5 und 5 mod 2=1. die 4. Binärstelle von 21 ist eine "0", wegen [21/2^(4-1)]=[21/8]=[2+5/8]=2 und 2 mod 2=0. Wie man sieht, geht es hier um schlichten Determinismus, nicht um Wahrscheinlichkeiten. "Korrelation mit log(m)" (???) kann man das also nicht gerade nennen (was auch immer "Korrelation" in diesem Zusammenhang auch meinen mag, mathematisch ist der Begriff ist deplaziert). Deine weitere Aussage >>... möchte ich analog zu Christian Goldbach ( der... ja schon den armen Emanuel Kant zur Verzweiflung trieb ) auch eine Vermutung äußern, nämlich : " Ich besitze mit achzigprozentiger Sicherheit den richtigen Lösungsansatz zum Thema ", nämlich ...<< ist recht spaßig. Wusste garnicht, dass der Kant "Emanuel" hieß. Die Formulierung "besitze mit achzigprozentiger Sicherheit den richtigen Lösungsansatz" bringt mich zur Frage, wie groß denn wohl die Wahrscheinlichkeit ist, durch zufällige Anordnung von N Wörtern der deutschen Sprache eine wahre mathematischen Aussage zu bekommen. Z. B. : "Fünf ist größer als drei." (--> WAHR) oder "Jeder endliche Schiefkörper ist kommutativ" (--> WAHR) oder "Alle ungeraden Primzahlen sind durch zwei teilbar" (Pech gehabt --> FALSCH). Die Wahrscheinlichkeit ist wohl eher klein, sehr klein. Aber immerhin nicht null. Indessen fürchte ich, "...achzigprozentige Sicherheit...", das ist für einen mathematischen Satz wenig. Unter hundert würde ich es nicht machen. Vor allem muss es konkreter werden, viel konkreter ... Grüsse\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 02. August 2006 14:14:46
\(\begingroup\) Vielleicht läßt sich das Gegenteil beweisen. Man nehme zwei Primzahlen (ohne die 2) addiere sie und als Ergebnis erhält man entweder eine dritte Primzahl oder eine ungerade Zahl. \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: matroid am: Mi. 02. August 2006 19:22:45
\(\begingroup\)Hi Anonymus, das bringt nichts. Gegenbeispiele sind so leicht zu finden. Beispielsweise 3+3, das Ergebnis ist weder eine Primzahl ungerade. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 05. November 2006 18:00:47
\(\begingroup\)es freut mich, dass wenigstens einige leute die wichtigen dinge und probeleme im leben erkennen\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 21. Februar 2007 23:52:20
\(\begingroup\)Aus der goldbachschen Vermutung folgt direkt, dass zwischen einer beliebigen natürlichen Zahl n > 1 und 2n eine Primzahl p liegt. Beweis: (2n+2)= p1 + p2 p1, p2 prim, p1<=p2 OBdA p2 ist ungleich 2n+1, denn dann wäre p1=1 p2 ist ungeich 2n, denn dann wäre p2 ja gerade und damit nicht prim (p2 lt. Vor. nicht 2) p2 ist grösser/gleich (2n+2)/2 und damit also insgesamt: n < p2 < 2n 😉 \(\endgroup\)
 

Goldbach-Vermutung ein Beweis
von: M_B_S am: Di. 28. Juli 2009 19:22:42
\(\begingroup\)Hallo das ist der Satz von Bertrand Im Folgenden liefere ich einen Wechselbeweis zu Betrand und der Goldbachschen Vermutung Beweis der Goldbachschen Vermutung durch Widerspruch zum Satz v. Bertrand zur Primzahllücke Von Maik Becker-Sievert Gewidmet meiner Frau Andrea und meinen Söhnen David und Alexander Goldbachsche Vermutung Unter der goldbachschen Vermutung wird heute allgemein die Behauptung verstanden: Jede gerade Zahl größer als 2 kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden. ("binäre" oder "starke" goldbachsche Vermutung.) _____________________________________________ Satz von Bertrand Zwischen jeder natürlichen Zahl n und 2n liegt eine Primzahl p (n>1) n < p < 2n ************************** Beweisführung: 1. Konstruktion einer Primzahllücke in der eine Natürliche Zahl 2n liegt und die Hälfte dieser Zahl n, da diese die Goldbachsche Vermutung widerlegen würde. 2. Die Primzahllücke die der Goldbachschen Vermutung widerspricht. 3. Schluß durch Anwendung des Satzes von Bertrand BEWEIS: 1. Damit die Goldbachsche Vermutung für eine gerade Zahl n > 2 unerfüllbar ist, müssen folgende Bedingungen gegeben sein: Definition: 2n sei die gesuchte natürliche Zahl und n genau die Hälfte dieser Zahl Sei zwischen den Primzahlen (P) Pi und Pii mit Pi < Pii eine Primzahllücke in der n und 2n liegen mit 1. Pi muß kleiner als n sein 2. Pii muß größer 2n sein Es ist logisch, dass es keine Summe von nur 2 Primzahlen geben kann, die 2n ergeben, da alle Primzahlen bis auf Pii kleiner als n sind und Pii bereits größer als 2n ist. Wir haben also eine natürliche gerade Zahl 2n und n dieser Zahl definiert, die der Goldbachschen Vermutung widersprechen würde, da es keine Summe zweier Primzahlen gibt, die 2n ergeben könnte. 2. Die Primzahllücke Pi bis Pii in N Grafik: Natürliche Zahlenstrahl 0-------pi----n----2n---pii---------> <----------------> Primzahllücke 3. Beweisschluß Nach dem Satz von Bertrand folgt: Für jedes n > 1 gilt: zwischen n und 2n liegt wenigstens eine Primzahl Hieraus folgt, dass in der definierten Primzahllücke, die der Goldbachschen Vermutung widerspricht, eine Primzahl liegen muss, da n und 2n in dieser Lücke liegen. Das steht im Widerspruch zur Annahme, dass diese eine Primzahllücke sei. Hieraus folgt, dass die Goldbachsche Vermutung wahr ist und umgekehrt der Satz von Bertrand q.e.d. Maik Becker-Sievert \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: Bernhard am: So. 02. August 2009 16:50:56
\(\begingroup\)Hallo Maik! Da fehlt doch was: Ist das nicht erst die Feststellung, daß jede gerade Zahl als Summe von einer Primzahl und einer weiteren ungeraden Zahl dargestellt werden kann? Das wäre ja eigentlich banal. Fehlt denn hier nicht der Beweis, daß bei n < p < 2n auch 2n-p prim ist? Das müßte sogar zwangsläufig gelten, falls es nur eine Primzahl zwischen n und 2n gibt. Viele Grüße, Bernhard \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: M_B_S am: Di. 13. Oktober 2009 12:55:09
\(\begingroup\)Hallo Bernhard Das folgt aus der Diskussion hier www.onlinemathe.de/forum/Goldbachsche-Vermutung-ein-Beweis Also aus diesem Satz: Satz: Die Summe zweier Primzahlen >2 ist gleich der Summe der Zahlen zwischen den Primzahlen geteilt durch die Hälfte der Anzahl der Zahlen in der Lücke! Allgemein: Die Summe zweier nicht benachbarter Natürlicher Zahlen ist gleich der Summe der Zahlen zwischen diesen Zahlen geteilt durch die Hälfte der Anzahl der Zahlen im Zwischenraum. => Kosekans mathematische Übesetzung PI+PII =k+2n Setze für K den Abstand zweier Primzahlen PII-PI Dann löse nach 2n auf! Wenn PI = PII dann gilt PI+PI = 2n <=> PI=2n -PI oder PI+PII -( PII-PI )=2n Wir können also jede Gerade Zahl >2(4,6,8....2n) als Summe von nur 2 Primzahlen darstellen q.e.d. MBS \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: Tortola am: Mi. 13. Januar 2010 15:35:27
\(\begingroup\)Du hast offensichtlich bewiesen, daß 2n die Summe zweier Primzahlen ist, sofern n eine Primzahl ist. Dies ist natürlich eine äußerst wichtige Erkenntnis! Grüße Tortola\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: M-B-S am: Mo. 08. März 2010 19:38:28
\(\begingroup\)www.math.hmc.edu/~benjamin/papers/monthly481-492.pdf American mathematical monthly, ISSN 0002-9890, Vol. 112, Nº 6, 2005 , pag. 492 OK, ich war nicht der Erste! Schade... aber M-B-S \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: M-B-S am: Mi. 10. März 2010 16:21:16
\(\begingroup\)2n = 30 ; 2n = p+p ; 2n-p=p [Goldbach]! 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30 0+30 := 2n 1+29 2+28 3+27 4+26 5+25 6+24 [7+23] 8+22 9+21 10+20 [11+19] 12+18 [13+17] 14+16 15+15 := n 16+14 [17+13] 18+12 [19+11] 20+10 21+9 22+8 [23+7] 24+6 25+5 26+4 27+3 28+2 29+1 30+0 := 2n Man versteht sofort, warum für Goldbach wahr zwischen n und 2n eine Primzahl liegen muss. Und ein p1 mit p1 < n = 2n - p2 mit p > n sein muss. Aus Goldbach => Satz von Bertrand M-B-S\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlverteilung und Goldbach-Vermutung
von: M_B-S am: Di. 28. Mai 2013 10:17:02
\(\begingroup\)Zitat: "Du hast offensichtlich bewiesen, daß 2n die Summe zweier Primzahlen ist, sofern n eine Primzahl ist. Dies ist natürlich eine äußerst wichtige Erkenntnis!" Grüße Tortola *************** Zweier verschiedener Primzahlen. <=> Jede Primzahl (>2) steht in der Mitte zweier Primzahlen. M_B-S\(\endgroup\)
 

 
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