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Re: Über das Auswahlaxiom
Hi. Nein, wie kommst du darauf? Das ist ganz offensichtlich nicht der Fall. Sie sind weder gleich noch gleichmächtig: A\cross\ A ist definiert als menge((a,a') | a,a'\el\ A), als Menge von Paaren__ von Elementen von A eben. \calP(A) ist hingegen die Menge der Teilmengen__ von A: \calP(A):=menge(B | B\subseteq\ A) Die Grundaussage des ACs hast du richtig verstanden: Egal wieviele und welche Mengen man hat, sobald sie alle nichtleer ist, kann ich aus allen je ein Element auswählen. Wie die Beweise genau ausschauen, ist unterschiedlich. Eine Möglichkeit wäre z.B., dass man zeigt, dass das AC den Wohlordnungssatz (jede Menge kann wohlgeordnet werden) impliziert. Dann hat man nämlich zu jeder Menge auch mindestens eine isomorphe Ordinalzahl (Jede Wohlordnung ist auch ohne AC zu genau einer Ordinalzahl isomorph). Und von all den Ordinalzahlen, zu denen eine feste Menge X gleichmächtig ist, kann man demzufolge auch eine Kleinste auswählen (Die Ordinalzahlen sind selbst wohlgeordnet). Diese ist dann eine Kardinalzahl. Die Vergleichbarkeit folgt bereits daraus, denn die Ordinalzahlen (und speziell die Kardinalzahlen) sind auch ohne AC immer miteinander vergleichbar. Ein alternativer Beweis nutzt das Zorn'sche Lemma aus (was sehr oft vorkommt bei solchen Beweisen, die das AC involvieren). Ich kann das ja mal kurz von der Idee her demonstrieren: Man hat zwei Mengen A und B und betrachtet dann die Menge M:=menge((T,f,S) | T\subseteq\ A, S\subseteq\ B und f: T->S bijektiv) Auf M definiert man sich eine partielle Ordnung "||opimg(<=)" wie folgt: (T,f,S)<=(T',f',S') :<=> T\subseteq\ T', S\subseteq\ S' und f'_\|T = f Das heißt also, dass man diese Ordnung im Sinne der Fortsetzbarkeit der Abbildungen betrachtet. Zwei solcher Tripel sind vergleichbar, wenn sich die Abbildungen mit einander vertragen und die eine die Fortsetzung der anderen ist. Mit Hilfe des Zorn'schen Lemmas zeigt man nun, dass es ein maximales Element in M gibt. Wir könnten es z.B. (T^~, f^~, S^~) nennen. Dann gibt es mehrere Fälle: array(Fall 1)__: T^~=A Dann ist f^~ eine bijektive Abbildung A->S^~\subseteq\ B, also gibt es eine injektive Abbildung A->B und genau das ist die Definition abs(A)<=abs(B). array(Fall 2)__: S^~=B Dann ist f^~^(-1) eine bijektive Abbildung B->T^~\subseteq\ A, also folgt hier wieder abs(A)>=abs(B) array(Fall 3)__: T^~\subsetnoteq\ A und S^~\subsetnoteq\ B Dann gibt es ein Element t_0\el\ A\\||T^~ und ein Element s_0\el\ B\\||S^~. Dann können wir f^~ fortsetzen zu einer Abbildung f^\*, die wir durch f^\*(t)=cases(f^~(t), falls t\el\ T^~;s_0, falls t=t_0) definieren. Dies ist dann eine Bijektion T^~\union\ menge(t_0) -> S^~\union\ menge(s_0), was der Maximalität von (T^~, f^~, S^~) widerspricht. Also gilt in jedem Fall entweder abs(A)<=abs(B) oder abs(A)>=abs(B). mfg Gockel.
 
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