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3. Das multilineare Tensorprodukt
3. Das "multilineare" Tensorprodukt 3.1. Konstruktion und universelle Eigenschaft makro(prod,bigop(\Pi,%1,%2)) makro(otimes,bigop(\otimes,%1,%2)) Wie eingangs erwähnt wollen wir hier das Tensorprodukt über multilineare Abbildungen definieren, sodass die entsprechende universelle Eigenschaft im allgemeinen Fall erhalten bleibt. Dies funktioniert auch für beliebige Moduln. Die Konstruktion funktioniert exakt wie im endlichen Fall. Sei also M_i , i \in I, eine Familie von R\-Moduln, und N ein R\-Modul. Eine Abbildung prod(M_i,i \in I) \to N heiße multilinear, wenn sie in jeder Komponente linear ist, d.h. falls für jedes i_0 \in I und jedes a \in prod(M_i,i \in I \\ menge(i_0)) die kanonische Abbildung M_i_0 bigop(\textrightarrow,,,a) prod(M_i,i \in I) \to N eine R\-lineare Abbildung ist. Das Tensorprodukt soll nun multilineare Abbildungen als Homomorphismen darstellen; dafür kann man diese mit freien Moduln zunächst als Abbildungen darstellen und dann die multilinearen Relationen herausteilen. Im Einzelnen betrachten wir also den freien R\-Modul F := R^((prod(M_i,i \in I))) mit der Inklusionsabbildung array( )^- : prod(M_i,i \in I) \to F, sodass deren Bild eine Basis von F ist. Sei U der Untermodul von F, der von Elementen des folgenden Typs erzeugt wird: multihomogene Relationen: b^- - \l a^-, wobei b durch Skalierung der i. Komponente von a mit \l \in R entsteht. multiadditive Relationen : a^- - b^- - c^-, wobei die i. Komponente von a die Summe der i. Komponenten von b,c ist, und a,b,c überall sonst übereinstimmen. Wir setzen nun otimes(M_i,i \in I) := F\/U. Diese Definition stellt gerade sicher, dass die Homomorphismen otimes(M_i,i \in I) \to N zunächst den Homomorphismen F \to N, die auf den Erzeugern von U verschwinden d.h. multilinear auf der Basis sind, und dann Abbildungen prod(M_i,i \in I) \to N, die multilinear sind - alles auf natürliche Weise. Also gilt die universelle Eigenschaft \blue Hom(otimes(M_i,i \in I),N) ~= Mult(prod(M_i,i \in I),N) Ist nun opimg(\otimes) : prod(M_i,i \in I) \to otimes(M_i,i \in I) das Bild der Identität dieses Isomorphismus für N=otimes(M_i,i \in I), so liest sich die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes wiefolgt: \blue\Es gibt eine multilineare Abbildung opimg(\otimes) : prod(M_i,i \in I) \to otimes(M_i,i \in I) mit der Eigenschaft: Für jede multilineare Abbildung f : prod(M_i,i \in I) \to N existiert genau ein \blue\Homomorphismus f^~ : otimes(M_i,i \in I) \to N, sodass f^~ \circ opimg(\otimes) = f. Damit sieht man insbesondere, dass das Tensorprodukt ein Funktor R\-Mod^I \to R\-Mod ist: Sind f_i : M_i \to N_i Homomorphismen, so induziert die multilineare Abbildung prod(M_i,i \in I) \to prod(N_i,i \in I) \to otimes(M_i,i \in I) einen Homomorphismus otimes(M_i,i \in I) \to otimes(N_i,i \in I). Die Bilder opimg(\otimes)((m_i))_(i \in I) der universellen multilinearen Abbildung bezeichnen wir als reine Tensoren. Aus der expliziten Konstruktion ist ersichtlich, dass das Tensorprodukte von den reinen Tensoren erzeugt wird \(natürlich als R\-Modul. Allerdings kann man Skalare mit der Multilinearität in die reinen Tensoren reinziehen, und damit sogar die Aussage als abelsche Gruppe treffen\); da ist \otimes nämlich einfach die Abbildung prod(M_i,i \in I) \to F=R^((prod(M_i,i \in I))) \to F\/U = otimes(M_i,i \in I) 3.2. Natürliche Isomorphismen makro(otimes,bigop(\otimes,%1,%2)) makro(prod,bigop(\Pi,%1,%2)) makro(sum,bigop(\Sigma,%1,%2)) Die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes zieht nun einige natürliche Isomorphien nach sich. Zum Beispiel kann man für jede Permutation \p von I die multilinearen Abbildungen prod(M_i,i \in I) \to N mit den multilinearen Abbildungen prod(M_\p_i,i \in I) \to N identifizieren. Daher gilt \blue otimes(M_i,i \in I) ~= otimes(M_\p_i,i \in I) \black array( ), explizit via array( ) opimg(\otimes) ((m_i))_(i \in I) -> opimg(\otimes) ((m_\p_i))_(i \in I) , insbesondere also M \otimes M' ~= M' \otimes M via m \otimes m' -> m' \otimes m. Weiter lassen sich multilineare Abbildungen prod(M_i,i \in I) \to N, falls I in zwei disjunkte Teilmengen J,K zerfällt, als multilineare Abbildungen von prod(M_j,j \in J) nach dem R\-Modul der multilinearen Abbildungen prod(M_k,k \in K) \to N auffassen, sodass Mult(prod(M_i,i \in I),N) ~= Mult(prod(M_j,j \in J),Mult(prod(M_k,k \in K),N)). Man beachte den Spezialfall für einpunktige K, das heißt Mult(prod(M_i,i \in I),N) ~= Mult(prod(M_i,i \in I \\ menge(j_0)),Hom(M_j_0,N)), j_0 \in I fix, also insbesondere \blue\Hom(M \otimes M',N) ~= Mult(M \times M',N) ~= Hom(M,Hom(M',N)) Daraus folgt nun Mult(prod(M_i,i \in I),N) ~= Mult(prod(M_j,j \in J),Hom(otimes(M_k,k \in K),N)) opimg(~=) Hom(otimes(M_j, j \in J),Hom(otimes(M_k,k \in K),N)) ~= Mult(otimes(M_j, j \in J) \times otimes(M_k,k \in K),N) opimg(~=) Hom( otimes(M_j, j \in J) \otimes otimes(M_k,k \in K),N) und damit \blue otimes(M_j,j \in J) \otimes otimes(M_k,k \in K) ~= otimes(M_i,i \in J opimg(\union)^* K) Explizit wird der Isomorphismus beschrieben durch (opimg(\otimes) ((m_j))_(j \in J)) \otimes ( opimg(\otimes) ((m_k))_(k \in K)) \to opimg(\otimes) ((m_i))_(i \in I) Insbesondere ergibt sich das Assoziativgesetz M_1 \otimes (M_2 \otimes M_2) ~= M_1 \otimes M_2 \otimes M_3 ~= (M_1 \otimes M_2) \otimes M_3 via m_1 \otimes (m_2 \otimes m_3) \to m_1 \otimes m_2 \otimes m_3 \to (m_1 \otimes m_2) \otimes m_3 . Das Tensorprodukt kommutiert im folgenden Sinne mit der direkten Summe: \blue ( bigop(\oplus,M_i,i \in I) ) \otimes N ~= bigop(\oplus,(M_i \otimes N),i \in I) Dies folgt aus der Isomorphie Hom(bigop(\oplus,(M_i \otimes N),i \in I),T) opimg(~=) prod(Hom(M_i \otimes N,T),i \in I) opimg(~=) prod(Hom(M_i,Hom(N,T)),i \in I) opimg(~=) Hom(bigop(\oplus,M_i,i \in I),Hom(N,T)) opimg(~=) Hom((bigop(\oplus,M_i,i \in I)) \otimes N,T) Explizit ist der Isomorphismus durch (sum(m_i,i \in I)) \otimes n -> sum((m_i \otimes n),i \in I) gegeben. Eine offensichtliche Verallgemeinerung ist \blue bigop(\oplus,M_i,i \in I) \otimes bigop(\oplus,N_j,j \in J) ~= bigop(\oplus,M_i \otimes N_j,(i,j) \in I \times J) Der R\-Modul R wirkt beim Tensorprodukt als Einselement, denn es gilt, wie oben gesehen, Mult(R \times M,N) ~= Hom(R,Hom(M,N)) ~= Hom(M,N) und damit R \otimes M ~= M. Falls M ein freier R\-Modul vom Rang d \(eine beliebige Kardinalzahl\) ist, d.h. M ~= R^(d) := bigop(\oplus,R,d), gilt nach bereits gezeitem M \otimes N ~= bigop(\oplus,R \otimes N,d) ~= bigop(\oplus,N,d) = N^(d). Falls auch N frei vom Rang e ist, folgt M \otimes N = (R^(e))^(d) ~= R^((e \times d)). Damit haben wir gezeigt: \blue\Sind M,N freie Moduln vom Rang d bzw. e, so ist M \otimes N frei vom Rang d*e. Ist B eine Basis von M und C eine Basis von N, so ist menge(b \otimes c : b \in B, c \in C) eine Basis von M \otimes N. Das lässt sich induktiv auf endlich viele R\-Moduln übertragen. Nun stellt sich die Frage: \blue\Gilt es auch für unendlich viele?! Im kleinsten Fall sind alle Moduln R, d.h. es geht um otimes(R,i \in I). Zwar folgt induktiv aus R \otimes M ~= M, dass dieses Tensorprodukt für endliche I zu R isomorph ist; allerdings ist völlig unklar, ob dies auch für beliebige I gilt! Die vorigen Eigenschaften waren im Gegensatz dazu allesamt direkte Verallgemeinerungen des bekannten endlichen Falls und galten auch für das Tensorprodukt von R\-Algebren. Für dieses gilt natürlich coprod(R,i \in I) = R als R\-Algebren und damit auch als R\-Moduln, aber das sagt uns nichts über das hier definierte Tensorprodukt, also um "globale" multilineare Abbildungen R^I \to R aus, sondern nur übere "lokale" R^n \to R. In der Tat werden wir in 3.3. Beispiele sehen, in denen otimes(R,i \in I) viel größer als R ist. Vorher noch eine konzeptionelle Bemerkung: Für eine Familie von R\-Algebren A_i , i \in I, wird der R\-Modul otimes(A_i,i \in I) natürlich zu einer R\-Algebra, indem man die Multiplikationen A_i \otimes A_i \to A_i fortsetzt zu otimes(A_i,i \in I) \otimes otimes(A_i,i \in I) \to otimes(A_i \otimes A_i,i \in I) -> otimes(A_i,i \in I), d.h. opimg(\otimes)(x_i) opimg(\otimes)(y_i) = opimg(\otimes)(x_i y_i). 3.3 Das Beispiel \big K \otimes K \otimes ... array( ) . makro(otimes,bigop(\otimes,%1,%2)) makro(sum,bigop(\Sigma,%1,%2)) Wir betrachten im Folgenden zur Vereinfachung Vektorräume, d.h. der Grundring ist ein Körper K. Wir haben bereits gesehen, dass dim(V_1 \otimes ... \otimes V_n) = dim(V_1)* ... * dim(V_n) gilt, und die Frage nach einer Verallgemeinerung bringt uns zum Vektorraum V := otimes(K,i \in \IN) = K \otimes K \otimes ... Wie sieht dieser Vektorraum nun aus? Weil V von den x_1 \otimes x_2 \otimes ... mit x \in (K^\*)^\IN erzeugt wird, gilt dim(V) <= abs((K^\*)^\IN). Zur Abkürzung setzen wir gleich einmal X := (K^\*)^\IN. Die Frage ist nun, wann solche reinen Tensoren linear abhängig sind, bzw. überhaupt != 0. Der Schlüssel ist eine bestimmte Klasse von multilinearen Abbildungen: Für x \in X definiere f_x : K^\IN \to K , a \to fdef(prod(a_i/x_i,i=1,\inf),x_i != a_i nur endlich oft;0,sonst) Im unendlichen Produkt kommen nur endlich viele Faktoren != 1 vor, sodass es auch gebildet werden kann. Ferner ist leicht zu sehen, dass f_x eine multilineare Abbildung ist; außerdem gilt f_x(x)=1. Es gibt also eine Linearform V \to K, die wir auch f_x nennen, die x_1 \otimes x_2 \otimes ... auf 1 abbildet. Insbesondere ist x_1 \otimes x_2 \otimes ... !=0. Außerdem gilt: Für jedes y \in X mit x_i != y_i unendlich oft, gilt f_x(y_1 \otimes y_2 \otimes ...)=0. Insbesondere sehen wir: Ist x_1 \otimes ... = y_1 \otimes ..., so gilt x_i != y_i nur endlich oft, d.h. ab einem Index N stimmen die Folgen überein. Es folgt dann x_1 ... x_(N-1) (1 \otimes ... \otimes 1 \otimes x_N \otimes ...) = y_1 ... y_(N-1) (1 \otimes ... \otimes 1 \otimes x_N \otimes ...) und damit x_1 ... x_(N-1) = y_1 ... y_(N-1). Halten wir also fest: \blue\Für x,y \in X gilt x_1 \otimes x_2 \otimes ... = y_1 \otimes y_2 \otimes ... genau dann, wenn x,y ab einem Index N übereinstimmen und x_1 ... x_N = y_1 ... y_N. Das führt uns zu einer Äquivalenzrelation ~ auf X: Es sei x ~ y genau dann, wenn es einen Index gibt, ab dem x und y übereinstimmen. Als nächstes sehen wir, dass paarweise nicht\-äquivalente von X linear unabhängige Tensoren liefern. Zum Bewies nehmen wir uns also x^1 , .. , x^n \in X paarweise nicht\-äquivalent und \l_i \in K mit \l_1 (x_1^1 \otimes x_2^1 \otimes ...) + ...+ \l_n (x_1^n \otimes x_2^n \otimes ...) = 0 Wir wollen zeigen, dass die \l_i = 0 sind. Zum Beweis können wir die Summanden mit \l_i = 0 außer Betracht lassen, sei also \l_i != 0 für alle i. Dann können wir die Skalare in die reinen Tensoren reinziehen, (\l_1 x_1^1 \otimes x_2^1 \otimes ...) + ...+ (\l_n x_1^n \otimes x_2^n \otimes ...) = 0, und erhalten eine Summe von reinen Tensoren, die ebenfalls von nicht\- äquivalenten Elementen von X kommen. Wendet man nun z.B. die zum ersten Tensor zugehörige Linearform an, so folgt der Widerspruch 1=0. Damit haben wir aber schon eine Basis des Vektorraumes V! Nämlich die Tensoren x_1 \otimes x_2 \otimes ..., wobei x ein Repräsentantensystem R von ~ auf X durchläuft. Dass die Indexmenge bisher \IN war, diente nur als Vereinfachung der Notation. Man erhält dasselbe Resultat, wenn man eine beliebige unendliche Menge I nimmt, und auf X=(K^\*)^I die Relation ~ einführt, wobei x ~ y <=> x_i != y_i nur endlich oft. \blue\Sei I unendlich. Die Tensoren opimg(\otimes)((x_i)), wobei x ein Repräsentantensystem von ~ auf X=(K^\*)^I durchläuft, bilden eine Basis des Vektorraumes V=otimes(K,i \in I). Die genannten Tensoren sind, wie wir wissen, auch paarweise verschieden, sodass dim(V)=abs(R). Schließlich wollen wir damit die Dimension von V bestimmen. Dabei werden einige Sätze aus der Mengenlehre verwendet. Es gibt einen pathologischen Fall, nämlich K = \IF_2 . Hier ist (1,1,...) der einzige Repräsentant der einzigen Äquivalenzklasse, und damit dim(V)=1, was auch =abs(X) ist. Nun sei also K != \IF_2. Die (a,a,...) mit a \in K^\* sind paarweise nicht\-äquivalent, sodass abs(R)>=abs(K^\*). Wenn K endlich, gilt für die Äquivalenzklassen r^- : abs(r^-) <= abs(union((K^\*)^E,E \subseteq I endlich)) <= sum(abs(\IN),E \subseteq I endlich) <= abs(E(I)) * abs(\IN) = abs(I) Und im Falle K unendlich gilt abs(r^-) <= abs(union((K^\*)^E,E \subseteq I endlich)) <= sum(abs(K^\*),E \subseteq I endlich)<=abs(E(I))* abs(K^\*) = abs(I) * abs(K^\*) Also gilt in jedem Falle abs(2^I) <= abs(X) = sum(abs(r^-),r \in R) <= abs(R) abs(I) abs(K^\*) = abs(R) abs(I). Hieraus folgt zunächst abs(R) > abs(I) und weiter abs(R) abs(I)=abs(R), also abs(X)<=abs(R)<=abs(X)! Damit ist gezeigt, dass in jedem Fall gilt: \blue dim(V) = abs((K^\*)^I) Das multilineare Tensorprodukt ist hier also für K != \IF_2 sehr viel größer als das Tensorprodukt von Algebren. Nun ist V natürlich auch eine K\-Algebra. Für ihr Verständnis haben wir schon alles zusammen: Unsere Basis von V kann man mit X\/~, und dies wiederum mit der Quotientengruppe \blue G = (K^\*)^I \/ (K^\*)^(I) \black\identifizieren. Die Multiplikation der reinen Tensoren geschieht wie in G komponentenweise. Jetzt ist es klar: V ist einfach die \blue\Gruppenalgebra K[G]\black\! (\red\Falsch! Dies gilt nur, wenn man ein multiplikativ abgeschlossenes R findet! \black) Genauer gibt es einen Vektorraumisomorphismus V ~= K^((X\/~)) = K^(G) = K[G], der auf der Basis explizit durch \otimes (x) \to x^- gegeben ist; da die Abbildung darauf multiplikativ ist, ist sie ein K\-Algebren\-Isomorphismus. Damit sieht man z.B. sofort - im Gegensatz zum Tensorprodukt von Algebren - dass V Nullteiler != 0 haben kann: Für char(K)!=2 oder K endlich bekommt man nichttriviale Torsionselemente in K^\*, damit in G, und damit nichttriviale Nullteiler \(wenn ord(g)=m in G, so ist (g-1)(g^(m-1)+...+g+1)=0 in K[G]\). Man könnte noch andere Fragen stellen, z.B. wie die Einheitengruppe von V aussieht, oder die Gruppe der K\-Algebren\-Automorphismen: Jede Permutation von I induziert einen Automorphismus, ferner gibt es noch den "Frobenius" x_1 \otimes x_2 \otimes ... \mapsto 1 \otimes x_1 \otimes x_2 \otimes ..., wird die Automorphismengruppe von diesen schon erzeugt? Was kann man aussagen, wenn man den Körper K durch einen Ring ersetzt - da ist nicht einmal klar, ob R \otimes R \otimes ... frei ist, etc. Aber ich belasse es hier einmal damit. #;-) Martin
 
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