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Cayley-Dickson

Die Verdopplungskonstruktion nach Cayley-Dickson

Schlüssel zum Verständnis ist die so genannte Cayley-Dickson-Konstruktion, die aus einer normierten Algebra eine weitere normierte Algebra mit doppelter Dimension macht. Voraussetzung für die Konstruktion ist eine \IK\-Algebra A, die eine Abbildung x\mapsto\ x^- besitzt, welche \IK\-linear ist, die Multiplikation umkehrt und höchstens die Ordnung 2 hat: \ll(K1)\forall\ x,y\el\ A, \l,\m\el\IK: (\l*x+\m*y)^-=\l*x^-+\m*y^- \ll(K2)\forall\ x,y\el\ A: xy^-=y^-*x^- \ll(K3)\forall\ x\el\ A: x^-^-=x Für kommutative Algebren wäre dies natürlich sogar ein Automorphismus \(von \IK\-Algebren\). Insbesondere gibt es für A=\IK genau eine solche Abbildung, nämlich die Identität. Man nennt solch eine Abbildung auch Konjugation der Algebra. Mit einem solchen Antiautomorphismus kann man nun die Cayley-Dickson-Konstruktion sehr direkt einführen: \darkred\ll(Cayley-Dickson) \darkred\ Sei A eine Algebra mit einer Konjugationsabbildung $^-. Dann gilt: \darkred\ll(a)Durch (a,b)(x,y):=(ax-y\.b^-, a^-\.y+xb) wird A\oplus\ A selbst zu einer \IK\-Algebra. \darkred\ll(b)Durch (a,b)^-:=(a^-,-b) ist eine Konjugationsabbildung auf dieser neuen Algebra A\oplus\ A gegeben. \darkred\ll(c)Ist A eine normierte Algebra, dann ist A\oplus\ A durch N(a,b):=N(a)+N(b) eine quadratische Form gegeben. \blue\ Beweis: Das ist pure Schreibarbeit, da ist nichts Spannendes bei... \blue\ q.e.d. Wir werden diese Konstruktion mit A|opimg(\oplus)_CD|A bezeichnen. Wir sehen, dass wir sie beliebig oft durchführen können, denn haben wir einmal einen der nötigen Antiautomorphismen, dann können wir ja auf A|opimg(\oplus)_CD|A auch einen solchen definieren und die Konstruktion wiederholen. Man sieht anhand der Definitionen leicht ein, dass A nun eine Unteralgebra von A|opimg(\oplus)_CD|A ist, nämlich die Unteralgebra menge((a,0) | a\el\ A). Wenn A ein 1\-Element besitzt, ist auch A|opimg(\oplus)_CD|A unitär, denn (1,0) ist dann ein Einselement, wie man leicht sieht. Wenn A normiert ist, dann ist A|opimg(\oplus)_CD|A sogar eine orthogonale Summe aus A\oplus{0} und {0}\oplus\ A. Was sich nicht ohne Weiteres übertragen lässt, sind Kommutativität, Assoziativität, Multiplikativität der Norm und die Eigenschaft, eine Divisionalgebra zu sein, wie wir noch sehen werden. Soweit, so unspektukulär. Es stellen sich aber jetzt zwei Fragen: 1.) Ist diese Konstruktion überhaupt interessant für uns, d.h. gibt es solche Antiautomorphismen überhaupt bei den Algebren, die wir betrachten wollen? 2.) Wozu macht man sowas überhaupt, welche Vorteile ergeben sich daraus, gerade diese Konstruktion zu betrachten? Zu Punkt 1: Es stellt sich heraus, dass die Algebren \IC, \IH, \IO durch diese Konstruktion aus \IR hervorgehen. Da \IR ja die Identität als Konjugationsabbildung besitzt, können wir die Konstruktion anwenden, um \IC, \IH und \IO direkt so zu definieren: \IC:=\IR|opimg(\oplus)_CD|\IR \IH:=\IC|opimg(\oplus)_CD|\IC \IO:=\IH|opimg(\oplus)_CD|\IH Wir werden später beweisen, dass dies alles normierte Divisionsalgebren sind. Die nächste Algebra \IS:=\IO|opimg(\oplus)_CD|\IO ist dies aber nicht mehr. Auch hier werden wir sehen, warum dies so ist. Aber man kann auf jeder normierten Algebra A eine solche Konjugationsabbildung definieren, indem man eine Spiegelung am Unterraum \IK*1_A als Konjugation definiert, d.h. man setzt x^-:=2\-x \(Kleine Übung für zwischendurch: Diese Definition stimmt auf \IR, \IC, \IH, \IO mit den durch Cayley\-Dickson definierten Konjugationen überein\) Wir werden mit dieser Abbildung viel herumrechnen, um unsere Resultate über allgemeine, normierte Divisionsalgebren zu erhalten. Deshalb noch ein Lemma: \darkred\ll(Lemma 3)Sei A eine normierte Algebra. x\mapsto\ x^- ist linear und erfüllt für alle a,b,c\el\ A: \darkred\ll(a)\=\=\ \darkred\ll(b)a+a^-\el\IK \darkred\ll(c)a^-^-=a \darkred\ Und wenn A eine normierte Divisionsalgebra ist zusätzlich: \darkred\ll(d)ab^-=b^-*a^- \darkred\ll(e)a*a^-=a^-*a=N(a) \blue\ Beweis: Die Linearität sieht man der Definition direkt an, da \<,\> bilinear ist. \=\ array(\small(L.2);\normal=;\small$)\normal 2\\-\=\-b)\>=\ \=\<1*c,ab\> array(\small(L.2);\normal=;\small$)\normal 2\<1,a\>\-\<1*b,ac\>=\-a)*c\>=\ \checked Schnell sieht man auch: a+a^-=a+2\-a=2*\\el\IK \checked Direkt aus der Bilinearität ergibt sich ebenfalls: a^-^-=2\<(2\-a),1\>-(2\-a)=4\\<1,1\>-2\-2\+a=a \checked Außerdem gilt für alle z: \ array(\small(a);\normal=;\small$)\normal \ array(\small(a);\normal=;\small$)\normal \ array(\small(a);\normal=;\small$)\normal \ Woraus ab^-=b^-*a^- folgt, da \<,\> bei normierten Divisionsalgebren nicht\-ausgeartet ist. \checked Nun bleibt noch x^-*x=x*x^-=N(x) zu zeigen. Sei wieder z\el\ A beliebig. \*1\>=N(x)*\ array(\small(L.2);\normal=;\small$)\normal \ array(\small(a);\normal=;\small$)\normal \ => x*x^-=\=N(x) Analog folgt \*1\>=N(x)*\ array(\small(L.2);\normal=;\small$)\normal \ array(\small(a);\normal=;\small$)\normal \ => x^-*x=N(x) \checked \blue\ q.e.d. Besonders Lemma 2 und 3 werden wir gleich noch brauchen, um ohne Assoziativ- und Kommutativgesetz gewisse Umordnungen und Umklammerungen durchzuführen.
 
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