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Das große Finale

Das große Finale

Mit den Sätzen 5 und 6 haben wir nun alles, was wir brauchen, um die Eindeutigkeit der vier reellen, normierten Divisionalgebren zu zeigen. \big\ array(\red\ Ha\black||uptsatz)____\darkred\double\frameon Jede reelle, normierte Divisionsalgebra A ist zu \IR,\IC,\IH oder \IO isomorph. \frameoff \blue\ Beweis: Aus \ref(Satz 5) folgt nun, dass A isomorph zu \IR,\IC,\IH oder \IO ist, wenn dim(A)<=8 ist. Unsere Annahme ist also dim(A)>8. A enthält \IR und damit nach \ref(Satz 5) auch die Unteralgebren \IC, \IH, \IO und \IS:=\IO|opimg(\oplus)_CD|\IO und sie alle sind normierte Divisionsalgebren. Nun lassen wir \ref(Satz 6) los: \IR erfüllt D+N+A+K+T => \IC erfüllt D+N+A+K, aber nicht T, denn die Konjugation ist nach der Konstruktion von \IR|opimg(\oplus)_CD|\IR nichttrivial. => \IH erfüllt D+N+A, aber weder K, noch T. => \IO erfüllt D+N, aber weder A, noch K, noch T. => \IS kann D+N nicht mehr erfüllen, denn dann wäre \IO assoziativ, was es aber eben nicht ist. Wir erhalten einen Widerspruch. Die Annahme dim(A)>8 ist falsch. \blue\ q.e.d. Genauer können wir sagen, dass \IS nichtmal N erfüllen kann, denn das Skalarprodukt auf \IS ist nicht\-ausgeartet und wie oben demonstriert würde dann schon aus der Normiertheit von \IS die Assoziativität für \IO folgen. Es ist sogar so, dass \IS auch keine Divisionsalgebra ist, da \IS Nullteiler besitzt \(obwohl jedes Element invertierbar ist!\), auch wenn ich das jetzt nicht beweisen werde. Man kann das hier bewiese Resultat noch geringfügig verschärfen, indem man genau untersucht, wozu wirklich welche Voraussetzung benutzt wurde. Für die Lemmata 3 und 4, Satz 5 sowie den Schluss von N auf N+A haben wir von der Divisionsalgebra im Wesentlichen die Nicht-Ausgeartetheit der von N induzierten Bilinearform benutzt. Für N+A=>N+A+K mussten wir einmal kürzen. Wenn man also "normierte Divisionalgebra" durch "normierte, nullteilerfreie Algebra mit nicht-ausgearteter Norm" ersetzt, kann man die Beweise übernehmen.
 
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