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Zweidimensionale unitäre Räume

Zweidimensionale unitäre Räume

Genau wie bei Sp(V) stellen wir fest, dass SU(V) in sehr kleinen Dimensionen zu einer speziellen linearen Gruppe isomorph ist:
Lemma 4: SU und SL
Sei H=K^2 mit der hermiteschen Form, die durch die Matrix matrix(0,1;1,0) gegeben ist \(d.h. H ist eine hyperbolische Ebene\). Dann gilt: (a) Es gibt einen K\-linearen Ringautomorphismus \Phi von K^(2\times\ 2), sodass $ $gilt: $ $(i) $ \det(\Phi(A)) = \det(A), tr(\Phi(A))=tr(A), rg(\Phi(A))=rg(A) $ $(ii) $\Phi(SU(H)) = SL_2(E) $ $(iii) \gamma Transvektion <=> \Phi(\gamma) Transvektion (b) Die Operation von SU(H) auf \Gamma(H) und die von SL_2(E) auf \IP(E^2) $ $sind äquivalent.
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Wir werden damit erstmal eine genau Charakterisierung von SU(H) herleiten: matrix(a,b;c,d)\in\ SU(H) <=> matrix(a,b;c,d)^T*matrix(0,1;1,0)*matrix(a^-,b^-;c^-,d^-)=matrix(0,1;1,0) und ad-bc=1 <=> I. $ a\.c^-+c\.a^-=0 II. $a\.d^-+c\.b^-=1 III. b\.c^-+d\.a^-=1 IV. $b\.d^-+d\.b^-=0 V. $ ad-bc=1 Es gilt: c*1 array(\small\ III.;\normal\=;\small\ $\normal) cb\.c^-+cd\.a^- array(\small\ I.;\normal\=;\small\ $\normal) cb\.c^--da\.c^- = (cb-ad)\.c^- array(\small\ V.;\normal\=;\small\ $\normal) -c^- Analog zeigt man b=-b^- sowie a=a^- und d=d^-. Man erhält also insgesamt a^-=a, b^-=-b, c^-=-c, d^-=d, ad-bc=1 Umgekehrt erfüllt jedes solche Tupel (a,b,c,d) die fünf Gleichungen, wie man durch eine direkte Rechnung zeigt. => SU(H)=menge(matrix(a,b;c,d)|a^-=a, b^-=-b, c^-=-c, d^-=d, ad-bc=1) Dann sind a,d\in\ E sowie c,b\in\ ker(Tr||array(\small\ K;E\normal)). Um jetzt den Isomorphismus \phi zu konstruieren, wählen wir ein festes \mu\in\ ker(Tr)\\{0}, d.h. \mu^-=-\mu. Die Abbildung c\mapsto\mu*c ist nun eine Bijektion ker(Tr)\to\ E, wie man leicht einsieht. Wir behaupten nun, dass \Phi: matrix(a,b;c,d)\mapsto\ matrix(a,\mu\.b;\mu^(-1)\.c,d) der in (a) gesuchte Isomorphismus ist. Man sieht sofort, dass \Phi K\-linear und bijektiv ist. Wegen matrix(a,\mu\.b;\mu^(-1)\.c,d)*matrix(a',\mu\.b';\mu^(-1)\.c',d')=matrix(aa'+bc',\mu\.ab'+\mu\.bd';\mu^(-1)\.ca'+\mu^(-1)\.dc',cb'+dd') ist \phi auch multiplikativ. Also ist \phi ein Isomorphismus wie behauptet. Man sieht ebenfalls sofort, dass \phi die Determinante und die Spur erhält. Da \phi bijektiv ist und die Determinante erhält, wird auch der Rang erhalten, denn rg(M)=0 <=> M=0 und rg(M)=2 <=> \det(M)!=0. Dass \phi(SU(H))=SL_2(E) ist, folgt aus der Vorüberlegung. Dass Transvektionen erhalten werden, folgt aus der Definition, dass \gamma eine Transvektion ist, falls rg(\gamma-1)=1 und (\gamma-1)^2=1 gilt. Diese Bedingungen werden von \phi erhalten. \blue\checked Es bleibt, die Äquivalenz der Operationen zu beweisen. Noch einmal zur Erinnerung: Operieren G_1 und G_2 auf \Omega_1 bzw. \Omega_2, so heißen sie nach unserer Definition äquivalent, wenn es einen Gruppenisomorphismus \phi:G_1\to\ G_2 und eine Bijektion \beta:\Omega_1\to\Omega_2 gibt, sodass: \forall\ g\in\ G_1, \omega\in\Omega_1: \beta(\void^g\.\omega)=\void^\phi(g)\.\beta(\omega) gilt. Unser \phi=\Phi_array(\|SU(H)) haben wir schon, suchen wir also \beta. Wir benutzen projektive Koordinaten, d.h. wir schreiben für h=(h_1, h_2)\in\ K^2 den Punkt Kh\in\IP(K^2) als (h_1\.:h_2). Weil Kv=Kv' <=> v=\lambda\.v' für ein \lambda\in\ K^x gilt, gilt in dieser Schreibweise (a:b)=(a':b') <=> a=\lambda\.a', b=\lambda\.b' für ein \lambda\in\ K^x. Jeder projektive Punkt ist daher entweder gleich (a:1) für genau ein a\in\ K oder gleich (0:1). Die Elemente von \Gamma(H) sind dann genau diejenigen mit a+a^-=0 und das Element (0:1), da blf(ae_1+e_2,ae_1+e_2)=a+a^- gilt. Wir definieren \beta:\Gamma(H)\to\IP(E^2) durch \beta((a:1)):=(\mu\.a:1) \beta((0:1):=(0:1) Da ker(Tr)\to\ E, a\mapsto\mu\.a bijektiv ist, ist \beta bijektiv. Wir können die Abbildung auch geschlossen als (u:v)\mapsto(\mu\.u:v)\cut\ E^2 schreiben. Es bleibt noch nachzurechnen, dass dies wirklich eine Äquivalenz ist. Sei also A=matrix(a,b;c,d)\in\ SU(H) beliebig, B:=\Phi(A)=matrix(a,\mu\.b;\mu^(-1)\.c,d) und (u:v)\in\Gamma(H) beliebig. Dann gilt: A*(u:v)=(au+bv:cu+dv) => \beta(A(u:v))=(\mu(au+bv):cu+dv)\cut\ E^2 und \phi(A)*\beta((u:v))=B*((\mue\.u:v)\cut\ E^2)=B*(\mue\.u:v)\cut\ E^2=(\mu\.au+\mu\.bv:cu+dv)\cut\ E^2 Also ist das Paar(\Phi,\beta) eine Äquivalenz der Operationen von SU(H) auf \Gamma(H) und SL_2(E) auf \IP(E^2). \blue\ q.e.d.
Da über endlichen K jeder zweidimensionaler, unitärer Raum eine hyperbolische Ebene ist, haben wir damit insbesondere auch gezeigt, dass SU_2(q^2)~=SL_2(q) ist. Weil die Skalarmatrizen von \phi unverändert gelassen werden, ist auch PSU_2(q^2)~=PSL_2(q). Neue einfache Gruppen erhalten wir in Dimension zwei also noch nicht. Aber als Induktionsanfang ist dieser Satz trotzdem wichtig. Wir werden vor allem brauchen, dass SU(H) von Transvektionen erzeugt wird und transitiv auf \Gamma(H) operiert.
 
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