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Transvektionen II

Unitäre Transvektionen II

Ziel dieses Abschnittes ist es, zu zeigen, dass SU(V) von Transvektionen erzeugt wird (außer in einem Ausnahmefall). Dazu verwenden wir ein Transitivitätsargument, das dieselbe Grundidee hat wie der analoge Beweis für Sp(V). Wir zeigen, dass die von den Transvektionen erzeugte Untergruppe transitiv auf einer bestimmten Klasse von Vektoren operiert. Bei Sp(V) war das die Aussage, dass auf den hyperbolischen Paaren transitiv operiert wird. Hier werden wir zeigen, dass auf den anisotropen Vektoren transitiv operiert wird:
Satz 6: Transitivität
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) makro(trv,\sigma_array(array(%1)\,array(%2))) define(dot,opimg(*)) Sei (V, blf(\dot,\dot)) ein n\-dimensionaler, unitärer K\-Vektorraum mit Witt\-Index r>0. Wenn (K,n)!=(\IF_4, 3) und K endlich ist, ist \calT(V) transitiv auf \frakM_a:=menge(v | blf(v,v)=a) für alle a\in\ E^x.
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) makro(trv,\sigma_array(array(%1)\,array(%2))) define(dot,opimg(*)) array(Schritt 1: dim(V)=2)____ V ist dann eine hyperbolische Ebene und wir wissen, dass SU(V)~=SL(E^2) in diesem Fall mit \calT(V) übereinstimmt. Nach dem Satz von Witt operiert U(V) transitiv auf der gegebenen Menge. Wir zeigen, dass die Determinante "korrigiert" werden kann. Wenn man v,w\in\frakM_a hat, dann kann man die beiden um v' bzw. w' zu einer Orthogonalbasis ergänzen. Eine Abbildung f\el\ U(V) mit f(v)=w, muss dann v' auf ein Vielfaches von w' abbilden, oBdA ist das w' selbst. Sei \lambda:=\det(\gamma). Aus der Beschreibung U(K^2) = menge(A\in\ GL_n(K) | A^T*A^-=1) folgt \lambda*\lambda^-=1, also können wir die Abbildung g mit g(w):=w, g(w'):=w'/\lambda betrachten. Dies ist immer noch eine Isometrie, da blf(w',w')=blf(w'/\lambda,w'/\lambda) ist. g\circ\ f ist dann eine Isometrie, bildet v auf w ab und hat Determinante Eins. \blue\checked makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) makro(trv,\sigma_array(array(%1)\,array(%2))) define(dot,opimg(*)) array(Schritt 2: K endlich und n>=3)____ Da wir bei endlichen Körpern N(K)=E wissen, können wir alle anisotropen Vektoren normieren und umgekehrt aus jedem normierten Vektor einen mit blf(v,v)=a machen. Wir nehmen also oBdA a=1 an. Seien nun v,w\in\frakM_1 beliebig. Wir betrachten den Raum H:=Kv+Kw. array(Fall 1)__: H ist eindimensional. Dann nehmen wir uns eine hyperbolische Ebene H'\subseteq\ H^\perp. Jede hyperbolische Ebene enthält auch anisotrope Vektoren, also finden wir ein anisotropes u mit u\perp\ v, u\perp\ w. Nach dem eben Gezeigten, können wir v mit Transvektionen zunächst auf u und dann auf w abbilden. array(Fall 2)__: H ist zweidimensional und nichtentartet. Da K endlich ist, muss dieser Unterraum also eine hyperbolische Ebene sein. Wieder mit dem Argument von eben, gibt es ein Produkt von Transvektionen aus SU(H), das v auf w abbildet. Indem wir solche Transvektionen \t durch \t\|H^\senkrechtauf:=\id auf ganz V fortsetzen, erhalten wir ein Produkt von Transvektionen \(Die Fortsetzungen sind nämlich selbst Transvektionen\) in SU(V), das v auf w abbildet. array(Fall 3)__: H ist zweidimensional, aber entartet. Sei H\cap\ H^\perp=Kx. Wir wählen oBdA x derart, dass v=x+aw mit a!=0 ist. array(Fall 3.1)__: n>3 Dann ist H^\perp (n-2)\-dimensional. Wegen rad(H^\perp)=H^\perp\perp\cap\ H^\perp=H\cap\ H^\perp=Kx und n-2>1 ist H^\perp!=Kx, also nicht total isotrop. Also enthält H^\perp einen anisotropen Vektor u. Weil K endlich ist, können wir oBdA außerdem blf(u,u)=1 annehmen. Es ist u\perp\ v und u\perp\ w, also sind Kv+Ku und Kw+Ku jeweils zweidimensional und nichtentartet. Zweimalige Anwendung von Fall 1 erledigt das also. array(Fall 3.2)__: n=3 Wir wählen ein y\in\ w^\perp, sodass (x,y) ein hyperbolisches Paar ist. Das geht, da x\in\ w^\perp isotrop ist und w^\perp nichtentartet ist. Wir rechnen nun nach, dass w-y\in\ v^\perp ist: blf(w-y,v)=blf(w-y,x+w)=blf(w,x)-blf(y,x)+blf(w,w)-blf(y,w)=0-1+1-0=0 Außerdem ist natürlich x\in\ v^\perp nach Definition von x. Außerdem sind x,y,w linear unabhängig. Daher spannen x und w-y einen zweidimensionalen Unterraum von v^\perp auf. Weil n=3 ist, ist v^\perp aber insgesamt nur zweidimensional. Wir zeigen nun, dass man ein anisotropes u\in\ v^\perp wählen kann, sodass Ku+Kv und Ku+Kw zweidimensional und nichtentartet sind. Damit reduzieren wir das Ganze wieder auf Fall 1. Wir setzen mit u=bx+(w-y) an. Da u anisotrop gewählt werden soll, ist unsere erste Forderung: 0!=blf(u,u) $=b\.b^-*blf(x,x)+b*blf(x,w-y)+b^-*blf(w-y,x)+blf(w-y,w-y) $=b\.b*0+b*blf(x,w)-b*blf(x,y)+b^-*blf(w,x)-b^-*blf(y,x)+blf(w,w)-blf(y,w)-blf(w,y)+blf(y,y) $=0+0-b*1+0-b^-*1+1-0+0+0 $=-Tr(b)+1 Wir müssen also b so wählen, dass Tr(b)!=1. Da v und u senkrecht und anisotrop sind, ist Ku+Kv auf jeden Fall nichtentartet. Wir fragen uns also, was gelten muss, damit auch Kw+Ku nichtentartet ist. Zunächst stellen wir fest, dass u-w=bx-y\in\ w^\perp und somit Kw+Ku = Kw$\perp$K(u-w) ist. Der Vektor w ist bereits anisotrop. Damit dieser Raum also ebenfalls nichtentartet ist, muss u-w anisotrop sein. Unsere zweite Forderung an u ist also: 0!=blf(u-w,u-w) $=blf(bx-y,bx-y) $=b\.b^-*blf(x,x)-b*blf(x,y)-b^-*blf(y,x)+blf(y,y) $=-b*1-b^-*1 $=Tr(b) Unser u erfüllt unsere Wünsche also genau dann, wenn Tr(b)\notin\ menge(0,1). Da wir K!=\IF_4, also E!=\IF_2 voraussetzen und Tr(K)=E wissen, können wir das durch ein geeignetes b immer erreichen. \blue\ q.e.d.
Anmerkungen: (\*) Man kann sich schnell davon überzeugen, dass SU(V) sogar regulär auf \frakM_a operiert, wenn n=2 ist, d.h. dass alle Stabilisatoren trivial sind. (\*) (n,K)=(3,\IF_4) ist tatsächlich die einzige Ausnahme. Man kann die Aussage auch für unendliche Körper zeigen, aber das ist ein längerer, technischer Beweis, der insgesamt einfach nur unschön ist. Wer ihn unbedingt sehen will, wird ihn im übernächsten Artikel finden, wo ich einige Ergänzungen zu unitären und orthogonalen Gruppen über unendlichen Körpern schreibe. Mit diesem Satz werden wir nun induktiv beweisen, dass SU(V) bis auf den Ausnahmefall (K)=(\IF_4, 3) von den Transvektionen erzeugt wird. Es stellt sich heraus, dass SU_3(2^2) tatsächlich ein Ausnahmefall ist. Das liegt nicht an der verwendeten Beweismethode. Aufgrund dieses Ausnahmefalls müssen wir den Induktionsanfang im Hauptbeweis für K=\IF_4 abändern. Dazu beweisen wir nun dieses Lemma:
Lemma 7: Ein Spezialfall
SU(\IF_4^4)=\calT(V)
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) makro(trv,\sigma_array(array(%1)\,array(%2))) define(dot,opimg(*)) Wir benutzen das "Standardskalarprodukt" auf V=\IF_4^4, d.h. bzgl. der Standardbasis e_1, ..., e_4 setzen wir: blf(v,w) := sum(v_i*(w_i)^-,i=1,4) Außerdem stellen wir \IF_4 als \IF_2\.[\omega] dar mit \omega^2+\omega+1=0. Dann ist der Automorphismus durch \omega^-=\omega^2=\omega+1 gegeben. Wir setzen H:=SU(V)_Ke_1 = menge(f\in\ SU(V) | \exists\lambda\in\IF_4^x: f(e_1)=\lambda\.e_1) array(Beobachtung 1:)__ Wir halten zunächst fest, dass jeder anisotrope Vektor automatisch normiert ist, wenn der einzige Wert von blf(v,v) ungleich 0 ist 1. Außerdem sind die einzigen Lösungen von a+a^-=0 die Werte a=0 und a=1. Alle Transvektionen haben also die Form trv(1,u) für ein isotropes u. array(Beobachtung 2:)__ Weil N(\IF_4)=\IF_2 ist, ist blf(\lambda*e_k,\lambda*e_k)=\lambda*\lambda^-=1 für alle \lambda\in\IF_4^x. Das heißt, dass genau diejenigen Vektoren (v_1, v_2, v_3, v_4)\in\IF_4^4 isotrop sind, von den Koordinaten genau 0,2 oder 4 verschwinden. Wir untersuchen nun die Operation von \calT(V) auf \frakM_1 genauer. Dazu werden wir zunächst Vertauschungs\- und Skalierungsoperationen durch Transvektionen darstellen: array(Schritt 1:)__ Sind v,v'\in\frakM_1 orthogonal, so gibt es eine Transvektion \sigma mit \sigma(v)=v', \sigma(v')=v und \sigma(w)=w für alle w\in\ menge(v,v')^\perp. Sind v und v' anisotrop und orthogonal zueinander, so ist u:=v+v' isotrop: blf(v+v',v+v')=blf(v,v)+blf(v',v')=1+1=0. Für die Transvektion \sigma:=trv(1,u) gilt daher: trv(1,u)(v')=v'+blf(v',u)*u | | =v'+blf(v',v+v')*(v+v') | | =v'+blf(v',v')*(v+v') | | =v'+1*(v+v') | | =v Aus Symmetriegründen folgt auch \sigma(v)=v'. array(Schritt 2:)__ Sind v,v'\in\frakM_1 orthogonal und \lambda\in\IF_4 \\ \{0\}, so gibt es ein f\in\calT(V) mit f(v)=\lambda\.v, f(v')=\lambda^-\.v' und f(w)=w für alle w\in\ menge(v,v')^\perp. Wähle v'\in\ v^\perp orthogonal. Dann kann man zweimal Schritt 1 anwenden und v mit v' vertauschen und dann v' mit \lambda*v. Dadurch erhält man ein f\in\calT(V) mit f(v)=\lambda\.v, f(v')=1/\lambda\.v'=\lambda^-\.v' und f(w)=w für alle w\in\ menge(v,v')^\perp. array(Schritt 3:)__ H\cap\calT(V) operiert transitiv auf \Omega:=\frakM_1\cap\ e_1^\perp = menge(v\in\ e_1^\perp | blf(v,v)=1) Diese Menge zerfällt wegen Beobachtung 2 in zwei Teilstücke: A:=menge((0;a;0;0), (0;0;b;0), (0;0;0;c) | a,b,c\in\IF_4^x) B:=menge((0;a;b;c) | a,b,c\in\IF_4^x) Wegen Schritt 1 sind alle Permutationsmatrizen in \calT(V), weil alle Transpositonen in \calT(V) sind. Wegen Schritt 2 sind auch die Matrizen der Form D_a:=matrix(a^-;,a,,;,,1,;,,,1), E_b:=matrix(b^-;,1,,;,,b,;,,,1), F_c:=matrix(c^;,1,,;,,1,;,,,c) in H\cap\calT(V). Daher operiert H\cap\calT(V) transitiv auf A und auf B. Wir zeigen, dass es ein weiteres f\in\ H\cap\calT(V) gibt, das A mit B vertauscht. Dazu lassen wir uns von Schritt 1 inspirieren: (\*,0,0,0) können wir festhalten, indem wir erst (\*,0,0,0) mit (0,\*,\*,\*) vertauschen, dann (0,\*,\*,\*) festhalten und anschließend wieder (0,\*,\*,\*) mit (\*,0,0,0) vertauschen. Setze u:=e_1+ae_2+be_3+ce_4 für a,b,c\in\IF_4^x. Die Transvektion trv(1,u) hat dann die Matrix matrix(1;,1;,,1;,,,1) + matrix(1;a;b;c)*matrix(1,a^-,b^-,c^-) = matrix(0,a^-,b^-,c^-;a,0,a\.b^-,a\.c^-;b,b\.a^-,0,b\.c^-;c,c\.a^-,c\.b^-,0) Wählen wir a=b=c=1, so wird e_1 auf e_2+e_3+e_4 geschickt. Das können wir mit D_\omega auf \omega\.e_2+e_3+e_4 schicken. Wenn wir jetzt die Transvektion mit a=\omega, b=c=1 anwenden, wird das Ergebnis wieder e_1 sein. Wir rechnen nach, was mit den anderen Vektoren passiert: matrix(\ 0,\omega^2,1,1;\ \omega,0,\omega,\omega;\ 1,\omega^2,0,1;\ 1,\omega^2,1,0\ )*matrix(\omega^2;,\omega;,,1;,,,1)*matrix(\ 0,1,1,1;\ 1,0,1,1;\ 1,1,0,1;\ 1,1,1,0\ )=matrix(\ 1,0,0,0;\ 0,1,\omega^2,\omega^2;\ 0,\omega,\omega^2,\omega;\ 0,\omega,\omega,\omega^2\ ) Damit haben wir ein Element f\in\ K\cap\calT(V) gefunden, dass A mit B vertauscht. array(Schritt 4:)__ SU(V)=\calT(V) Sei dafür f\in\ SU(V) beliebig. Wir wissen aus dem vorherigen Satz, dass es ein \tau_1\in\calT(V) mit \tau_1(f(e_1))=e_1 gibt, d.h. \tau_1\.f\in\ H. Nach Schritt 3 gibt es ein \tau_2\in\ H\cap\calT(V) mit \tau_2(\tau_1\.f(e_2))=e_2. Es gilt somit \tau_2\.\tau_1\.f(e_1)=\lambda\.e_1 und \tau_2\.\tau_1\.f(e_2)=e_2. Indem wir noch mit \tau_3:=E_\lambda\in\ H\cap\calT(V) multiplizieren, erhalten wir g:=\tau_3\.\tau_2\.\tau_1\.f(e_i)=e_i für i=1 und i=2 Daher mit g die hyperbolische Ebene L:=menge((0,0,x,y)^T | x,y\in\IF_4) in sich selbst abbilden. Weil SU(L)=\calT(L)<=\calT(V) ist, können wir ein \gamma\in\calT(V) finden mit \gamma\.g=id=> g\in\calT(V) => f\in\calT(V) Da f beliebig war, zeigt das die Behauptung. \blue\ q.e.d.
Nun zu der Aussage, die wir eigentlich zeigen wollen:
Satz 8: SU(V) wird von Transvektionen erzeugt
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) makro(trv,\sigma_array(array(%1)\,array(%2))) define(dot,opimg(*)) Ist (V, blf(\dot,\dot)) ein n\-dimensionaler, unitärer Raum mit Witt\-Index r>=1, so ist tritt einer der folgenden Fälle ein: (a) (K,n)=(\IF_4, 3). (b) SU(V)=\calT(V).
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) makro(trv,\sigma_array(array(%1)\,array(%2))) define(dot,opimg(*)) Wir nehmen (K,n)!=(\IF_4, n) an und zeigen SU(V)=\calT(V) durch vollständige Induktion nach n. Wir brauchen zunächst einen Induktionsanfang. Die zweidimensionalen unitären Räume sind von Transvektionen erzeugt, wenn sie Witt\-Index 1 haben, das wissen wir bereits. Für K!=\IF_4 reicht uns das als Induktionsanfang. Für K=\IF_4 ist der Fall n=2 ebenfalls mit der Betrachtung der hyperbolischen Ebenen bereits abgehandelt und wir verwenden n=4 als Induktionsanfang. Der Induktionsschritt ist einfach und folgt wie zuvor mit dem Frattini\-Lemma. Wir nehmen n>=3 für K!=\IF_4 bzw. n>=5 für K=\IF_4 an. SU(V) und \calT(V) operieren transitiv auf \frakM_\alpha für alle \alpha\in\ E^x. Wenn wir jetzt V als H\oplus\ H^\perp zerlegen, dann können wir ein anisotropes v\in\ H^\perp wählen. Wir setzen \alpha:=blf(v,v) und erhalten aus dem Frattini\-Lemma: SU(V) = \calT(V)*SU(V)_v Nun ist aber SU(V)_v = SU(v^\perp) und H <= v^\perp. Also ist v^\perp ein unitärer Raum mit Dimension n-1 und Witt\-Index >=1. Nach Induktionsannahme ist daher SU(V)_v=\calT(v^\perp)<=\calT(V) und wir erhalten somit \calT(V)=SU(V) wie behauptet. \blue\ q.e.d.
 
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