makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) makro(trv,\sigma_array(array(%1)\,array(%2))) define(dot,opimg(*)) array(Schritt 1: dim(V)=2)____ V ist dann eine hyperbolische Ebene und wir wissen, dass SU(V)~=SL(E^2) in diesem Fall mit \calT(V) übereinstimmt. Nach dem Satz von Witt operiert U(V) transitiv auf der gegebenen Menge. Wir zeigen, dass die Determinante "korrigiert" werden kann. Wenn man v,w\in\frakM_a hat, dann kann man die beiden um v' bzw. w' zu einer Orthogonalbasis ergänzen. Eine Abbildung f\el\ U(V) mit f(v)=w, muss dann v' auf ein Vielfaches von w' abbilden, oBdA ist das w' selbst. Sei \lambda:=\det(\gamma). Aus der Beschreibung U(K^2) = menge(A\in\ GL_n(K) | A^T*A^-=1) folgt \lambda*\lambda^-=1, also können wir die Abbildung g mit g(w):=w, g(w'):=w'/\lambda betrachten. Dies ist immer noch eine Isometrie, da blf(w',w')=blf(w'/\lambda,w'/\lambda) ist. g\circ\ f ist dann eine Isometrie, bildet v auf w ab und hat Determinante Eins. \blue\checked makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) makro(trv,\sigma_array(array(%1)\,array(%2))) define(dot,opimg(*)) array(Schritt 2: K endlich und n>=3)____ Da wir bei endlichen Körpern N(K)=E wissen, können wir alle anisotropen Vektoren normieren und umgekehrt aus jedem normierten Vektor einen mit blf(v,v)=a machen. Wir nehmen also oBdA a=1 an. Seien nun v,w\in\frakM_1 beliebig. Wir betrachten den Raum H:=Kv+Kw. array(Fall 1)__: H ist eindimensional. Dann nehmen wir uns eine hyperbolische Ebene H'\subseteq\ H^\perp. Jede hyperbolische Ebene enthält auch anisotrope Vektoren, also finden wir ein anisotropes u mit u\perp\ v, u\perp\ w. Nach dem eben Gezeigten, können wir v mit Transvektionen zunächst auf u und dann auf w abbilden. array(Fall 2)__: H ist zweidimensional und nichtentartet. Da K endlich ist, muss dieser Unterraum also eine hyperbolische Ebene sein. Wieder mit dem Argument von eben, gibt es ein Produkt von Transvektionen aus SU(H), das v auf w abbildet. Indem wir solche Transvektionen \t durch \t\|H^\senkrechtauf:=\id auf ganz V fortsetzen, erhalten wir ein Produkt von Transvektionen \(Die Fortsetzungen sind nämlich selbst Transvektionen\) in SU(V), das v auf w abbildet. array(Fall 3)__: H ist zweidimensional, aber entartet. Sei H\cap\ H^\perp=Kx. Wir wählen oBdA x derart, dass v=x+aw mit a!=0 ist. array(Fall 3.1)__: n>3 Dann ist H^\perp (n-2)\-dimensional. Wegen rad(H^\perp)=H^\perp\perp\cap\ H^\perp=H\cap\ H^\perp=Kx und n-2>1 ist H^\perp!=Kx, also nicht total isotrop. Also enthält H^\perp einen anisotropen Vektor u. Weil K endlich ist, können wir oBdA außerdem blf(u,u)=1 annehmen. Es ist u\perp\ v und u\perp\ w, also sind Kv+Ku und Kw+Ku jeweils zweidimensional und nichtentartet. Zweimalige Anwendung von Fall 1 erledigt das also. array(Fall 3.2)__: n=3 Wir wählen ein y\in\ w^\perp, sodass (x,y) ein hyperbolisches Paar ist. Das geht, da x\in\ w^\perp isotrop ist und w^\perp nichtentartet ist. Wir rechnen nun nach, dass w-y\in\ v^\perp ist: blf(w-y,v)=blf(w-y,x+w)=blf(w,x)-blf(y,x)+blf(w,w)-blf(y,w)=0-1+1-0=0 Außerdem ist natürlich x\in\ v^\perp nach Definition von x. Außerdem sind x,y,w linear unabhängig. Daher spannen x und w-y einen zweidimensionalen Unterraum von v^\perp auf. Weil n=3 ist, ist v^\perp aber insgesamt nur zweidimensional. Wir zeigen nun, dass man ein anisotropes u\in\ v^\perp wählen kann, sodass Ku+Kv und Ku+Kw zweidimensional und nichtentartet sind. Damit reduzieren wir das Ganze wieder auf Fall 1. Wir setzen mit u=bx+(w-y) an. Da u anisotrop gewählt werden soll, ist unsere erste Forderung: 0!=blf(u,u) $=b\.b^-*blf(x,x)+b*blf(x,w-y)+b^-*blf(w-y,x)+blf(w-y,w-y) $=b\.b*0+b*blf(x,w)-b*blf(x,y)+b^-*blf(w,x)-b^-*blf(y,x)+blf(w,w)-blf(y,w)-blf(w,y)+blf(y,y) $=0+0-b*1+0-b^-*1+1-0+0+0 $=-Tr(b)+1 Wir müssen also b so wählen, dass Tr(b)!=1. Da v und u senkrecht und anisotrop sind, ist Ku+Kv auf jeden Fall nichtentartet. Wir fragen uns also, was gelten muss, damit auch Kw+Ku nichtentartet ist. Zunächst stellen wir fest, dass u-w=bx-y\in\ w^\perp und somit Kw+Ku = Kw$\perp$K(u-w) ist. Der Vektor w ist bereits anisotrop. Damit dieser Raum also ebenfalls nichtentartet ist, muss u-w anisotrop sein. Unsere zweite Forderung an u ist also: 0!=blf(u-w,u-w) $=blf(bx-y,bx-y) $=b\.b^-*blf(x,x)-b*blf(x,y)-b^-*blf(y,x)+blf(y,y) $=-b*1-b^-*1 $=Tr(b) Unser u erfüllt unsere Wünsche also genau dann, wenn Tr(b)\notin\ menge(0,1). Da wir K!=\IF_4, also E!=\IF_2 voraussetzen und Tr(K)=E wissen, können wir das durch ein geeignetes b immer erreichen. \blue\ q.e.d.

makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) makro(trv,\sigma_array(array(%1)\,array(%2))) define(dot,opimg(*)) Wir benutzen das "Standardskalarprodukt" auf V=\IF_4^4, d.h. bzgl. der Standardbasis e_1, ..., e_4 setzen wir: blf(v,w) := sum(v_i*(w_i)^-,i=1,4) Außerdem stellen wir \IF_4 als \IF_2\.[\omega] dar mit \omega^2+\omega+1=0. Dann ist der Automorphismus durch \omega^-=\omega^2=\omega+1 gegeben. Wir setzen H:=SU(V)_Ke_1 = menge(f\in\ SU(V) | \exists\lambda\in\IF_4^x: f(e_1)=\lambda\.e_1) array(Beobachtung 1:)__ Wir halten zunächst fest, dass jeder anisotrope Vektor automatisch normiert ist, wenn der einzige Wert von blf(v,v) ungleich 0 ist 1. Außerdem sind die einzigen Lösungen von a+a^-=0 die Werte a=0 und a=1. Alle Transvektionen haben also die Form trv(1,u) für ein isotropes u. array(Beobachtung 2:)__ Weil N(\IF_4)=\IF_2 ist, ist blf(\lambda*e_k,\lambda*e_k)=\lambda*\lambda^-=1 für alle \lambda\in\IF_4^x. Das heißt, dass genau diejenigen Vektoren (v_1, v_2, v_3, v_4)\in\IF_4^4 isotrop sind, von den Koordinaten genau 0,2 oder 4 verschwinden. Wir untersuchen nun die Operation von \calT(V) auf \frakM_1 genauer. Dazu werden wir zunächst Vertauschungs\- und Skalierungsoperationen durch Transvektionen darstellen: array(Schritt 1:)__ Sind v,v'\in\frakM_1 orthogonal, so gibt es eine Transvektion \sigma mit \sigma(v)=v', \sigma(v')=v und \sigma(w)=w für alle w\in\ menge(v,v')^\perp. Sind v und v' anisotrop und orthogonal zueinander, so ist u:=v+v' isotrop: blf(v+v',v+v')=blf(v,v)+blf(v',v')=1+1=0. Für die Transvektion \sigma:=trv(1,u) gilt daher: trv(1,u)(v')=v'+blf(v',u)*u | | =v'+blf(v',v+v')*(v+v') | | =v'+blf(v',v')*(v+v') | | =v'+1*(v+v') | | =v Aus Symmetriegründen folgt auch \sigma(v)=v'. array(Schritt 2:)__ Sind v,v'\in\frakM_1 orthogonal und \lambda\in\IF_4 \\ \{0\}, so gibt es ein f\in\calT(V) mit f(v)=\lambda\.v, f(v')=\lambda^-\.v' und f(w)=w für alle w\in\ menge(v,v')^\perp. Wähle v'\in\ v^\perp orthogonal. Dann kann man zweimal Schritt 1 anwenden und v mit v' vertauschen und dann v' mit \lambda*v. Dadurch erhält man ein f\in\calT(V) mit f(v)=\lambda\.v, f(v')=1/\lambda\.v'=\lambda^-\.v' und f(w)=w für alle w\in\ menge(v,v')^\perp. array(Schritt 3:)__ H\cap\calT(V) operiert transitiv auf \Omega:=\frakM_1\cap\ e_1^\perp = menge(v\in\ e_1^\perp | blf(v,v)=1) Diese Menge zerfällt wegen Beobachtung 2 in zwei Teilstücke: A:=menge((0;a;0;0), (0;0;b;0), (0;0;0;c) | a,b,c\in\IF_4^x) B:=menge((0;a;b;c) | a,b,c\in\IF_4^x) Wegen Schritt 1 sind alle Permutationsmatrizen in \calT(V), weil alle Transpositonen in \calT(V) sind. Wegen Schritt 2 sind auch die Matrizen der Form D_a:=matrix(a^-;,a,,;,,1,;,,,1), E_b:=matrix(b^-;,1,,;,,b,;,,,1), F_c:=matrix(c^;,1,,;,,1,;,,,c) in H\cap\calT(V). Daher operiert H\cap\calT(V) transitiv auf A und auf B. Wir zeigen, dass es ein weiteres f\in\ H\cap\calT(V) gibt, das A mit B vertauscht. Dazu lassen wir uns von Schritt 1 inspirieren: (\*,0,0,0) können wir festhalten, indem wir erst (\*,0,0,0) mit (0,\*,\*,\*) vertauschen, dann (0,\*,\*,\*) festhalten und anschließend wieder (0,\*,\*,\*) mit (\*,0,0,0) vertauschen. Setze u:=e_1+ae_2+be_3+ce_4 für a,b,c\in\IF_4^x. Die Transvektion trv(1,u) hat dann die Matrix matrix(1;,1;,,1;,,,1) + matrix(1;a;b;c)*matrix(1,a^-,b^-,c^-) = matrix(0,a^-,b^-,c^-;a,0,a\.b^-,a\.c^-;b,b\.a^-,0,b\.c^-;c,c\.a^-,c\.b^-,0) Wählen wir a=b=c=1, so wird e_1 auf e_2+e_3+e_4 geschickt. Das können wir mit D_\omega auf \omega\.e_2+e_3+e_4 schicken. Wenn wir jetzt die Transvektion mit a=\omega, b=c=1 anwenden, wird das Ergebnis wieder e_1 sein. Wir rechnen nach, was mit den anderen Vektoren passiert: matrix(\ 0,\omega^2,1,1;\ \omega,0,\omega,\omega;\ 1,\omega^2,0,1;\ 1,\omega^2,1,0\ )*matrix(\omega^2;,\omega;,,1;,,,1)*matrix(\ 0,1,1,1;\ 1,0,1,1;\ 1,1,0,1;\ 1,1,1,0\ )=matrix(\ 1,0,0,0;\ 0,1,\omega^2,\omega^2;\ 0,\omega,\omega^2,\omega;\ 0,\omega,\omega,\omega^2\ ) Damit haben wir ein Element f\in\ K\cap\calT(V) gefunden, dass A mit B vertauscht. array(Schritt 4:)__ SU(V)=\calT(V) Sei dafür f\in\ SU(V) beliebig. Wir wissen aus dem vorherigen Satz, dass es ein \tau_1\in\calT(V) mit \tau_1(f(e_1))=e_1 gibt, d.h. \tau_1\.f\in\ H. Nach Schritt 3 gibt es ein \tau_2\in\ H\cap\calT(V) mit \tau_2(\tau_1\.f(e_2))=e_2. Es gilt somit \tau_2\.\tau_1\.f(e_1)=\lambda\.e_1 und \tau_2\.\tau_1\.f(e_2)=e_2. Indem wir noch mit \tau_3:=E_\lambda\in\ H\cap\calT(V) multiplizieren, erhalten wir g:=\tau_3\.\tau_2\.\tau_1\.f(e_i)=e_i für i=1 und i=2 Daher mit g die hyperbolische Ebene L:=menge((0,0,x,y)^T | x,y\in\IF_4) in sich selbst abbilden. Weil SU(L)=\calT(L)<=\calT(V) ist, können wir ein \gamma\in\calT(V) finden mit \gamma\.g=id=> g\in\calT(V) => f\in\calT(V) Da f beliebig war, zeigt das die Behauptung. \blue\ q.e.d.

makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) makro(trv,\sigma_array(array(%1)\,array(%2))) define(dot,opimg(*)) Wir nehmen (K,n)!=(\IF_4, n) an und zeigen SU(V)=\calT(V) durch vollständige Induktion nach n. Wir brauchen zunächst einen Induktionsanfang. Die zweidimensionalen unitären Räume sind von Transvektionen erzeugt, wenn sie Witt\-Index 1 haben, das wissen wir bereits. Für K!=\IF_4 reicht uns das als Induktionsanfang. Für K=\IF_4 ist der Fall n=2 ebenfalls mit der Betrachtung der hyperbolischen Ebenen bereits abgehandelt und wir verwenden n=4 als Induktionsanfang. Der Induktionsschritt ist einfach und folgt wie zuvor mit dem Frattini\-Lemma. Wir nehmen n>=3 für K!=\IF_4 bzw. n>=5 für K=\IF_4 an. SU(V) und \calT(V) operieren transitiv auf \frakM_\alpha für alle \alpha\in\ E^x. Wenn wir jetzt V als H\oplus\ H^\perp zerlegen, dann können wir ein anisotropes v\in\ H^\perp wählen. Wir setzen \alpha:=blf(v,v) und erhalten aus dem Frattini\-Lemma: SU(V) = \calT(V)*SU(V)_v Nun ist aber SU(V)_v = SU(v^\perp) und H <= v^\perp. Also ist v^\perp ein unitärer Raum mit Dimension n-1 und Witt\-Index >=1. Nach Induktionsannahme ist daher SU(V)_v=\calT(v^\perp)<=\calT(V) und wir erhalten somit \calT(V)=SU(V) wie behauptet. \blue\ q.e.d.