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Die Ausnahmen

Die Ausnahmen

Was noch bleibt, ist die Ausnahmegruppen zu untersuchen, ob sie auch wirklich Ausnahmen sind, wie bereits angedeutet. Für PSU(\IF||array(\small\ 2;4\normal)) und PSU(\IF||array(\small\ 2;9\normal)) können wir das sofort sagen, denn die Untersuchung zweidimensionaler Räume sagt uns, dass dies die Gruppen PSL(\IF||array(\small\ 2;2\normal)) ~= Sym(3) bzw. PSL(\IF||array(\small\ 2;3\normal)) ~= Alt(4) sind. Die beiden Gruppen sind auflösbar, also nicht einfach. Interessant ist für uns SU(\IF||array(\small\ 3;4\normal)). Wir schauen uns diese Gruppe genauer an
Satz 11: PSU(3,4)
Sei V der 3\-dimensionale, unitäre \IF_4\.\-Vektorraum. Dann gilt: (a) PSU(V) ist zweifach scharf transitiv auf \Gamma(V). (b) Je zwei 2\-Sylows von PSU(V) schneiden nichttrivial. Sie sind $ $zu Q_8 isomorph. (c) Die 3\-Sylow von PSU(V) ist normal. Jedes Element von PSU(V) $ $ist ein 2\- oder 3\-Element. (d) U(V), SU(V) und PSU(V) sind auflösbar.
Aus den Ordnungsformeln erhalten wir abs(PSU_3(4)) = 1/ggT(2+1,3)*2^3*(2^2-1)*(2^3+1) = 8*9 = 72 Wir wissen außerdem aus der Diskussion der dreidimensionalen Geometrien, dass PSU_3(4) zweifach transitiv auf \Gamma(\IF_4^3) ist. Auch aus dem Artikel über Kombinatorik endlicher Geometrien entnehmen wir: abs(\Gamma(\IF_4^3)) = ((4^1-1)(4^1\/2*4^(1-0)+1))/(4-1) = 9 Aus der Bahnformel ergibt sich für die Einpunkt\- und Zweipunkt\-Stabilisatoren: abs(PSU_3(4)_x) = abs(PSU_3(4))/9 = 8 abs(PSU_3(4)_(x,y)) = abs(PSU_3(4))/(9*(9-1)) = 1 d.h. PSU_3(4) operiert zweifach scharf transitiv \(womit a. erledigt ist\), die Einpunkt\-Stabilisatoren sind 2\-Sylowgruppen und je zwei davon schneiden sich trivial \(Weil G_x\cap\ G_y=G_(x,y)\.\) Weil die Einpunktstabilisatoren alle zueinander konjugiert sind, sind dies bereits alle 2\-Sylowgruppen. Damit gibt es genau neun 2\-Sylowgruppen. Darin sind 9*(8-1) = 72-9 Elemente enthalten. Es bleiben also genau neun weitere Elemente übrig. Diese reichen gerade aus für eine einzige 3\-Sylowgruppe. Also ist die 3\-Sylow normal und jedes Element hat eine Zweier\- oder Dreierpotenz als Ordnung. Wir betrachtet nun einen der Einpunktstabilisatoren SU(V)_Kv genauer. Aus der Diskussion dreidimensionaler Geometrien wissen wir, dass dies bei geeigneter Basiswahl die genau Matrizen der Form H(\lambda,\kappa)*Q(\alpha,\beta) sind, wobei H(\lambda,\kappa) = matrix(\kappa;,\lambda,;,,\kappa^-^(-1)) Q(\alpha,\beta) = matrix(1,-\alpha^-,\beta;,1,\alpha;,,1) mit \lambda\.\lambda^-=1 und \kappa\in\ K^x sowie \beta+\beta^-+\alpha\.\alpha^-=0 sind. Die Determinante \det(H(\lambda,\kappa))=\kappa*\kappa^-^(-1)*\lambda=\kappa^2*\lambda ist genau dann gleich 1, wenn \kappa=\lambda \(man beachte: Wir sind in \IF_4, wo x^-=x^2=x^(-1) für alle x!=0 gilt\), d.h. wenn es sich um eine Skalarmatrix handelt. Wenn wir in PSU_3(4) arbeiten, dann ist also H(\lambda,\kappa)==1. Wir müssen uns daher nur um die Q(\alpha,\beta) kümmern. Wieder weil wir mit \IF_4=\IF_2\.[\omega] arbeiten, erhalten wir 0=\beta+\beta^-+\alpha\.\alpha^-=cases(\beta+\beta^2+1,\alpha!=0;\beta+\beta^2,\alpha=0). Und das wird genau von \beta\in\ cases(menge(\omega,\omega^2),\alpha!=0;menge(0,1),\alpha=0) gelöst. Das macht die insgesamt acht Lösungen (\alpha,\beta). Man überzeugt sich leicht davon, dass matrix(1,-\alpha^-,\beta;,1,\alpha;,,1)^2 = matrix(1,,1;,1,;,,1) und matrix(1,,1;,1,;,,1)^2 = matrix(1,,;,1,;,,1) ist für alle \alpha!=0 und \beta\in\ menge(\omega,\omega^2). Das liefert sechs Elemente der Ordnung 4 in PSU(V)_Kv. Die einzige Gruppe der Ordnung 8 mit sechs Elementen der Ordnung 4 ist Q_8. Damit sind alle Aussagen sind a. bis c. bewiesen. \blue\checked d. folgt nun aus c.: Ist Q die 3\-Sylow, so ist Q als 3\-Gruppe auflösbar und PSU_3(4) \/ Q als 2\-Gruppe auch. Also ist PSU_3(4) auflösbar. Also ist SU_3(4) = 3.PSU_3(4) und U_3(4) = SU_3(4).3 als Erweiterung je zweier auflösbarer Gruppen selbst auflösbar. \blue\ q.e.d.
Man kann die Struktur von PSU_3(4) noch genauer beschreiben. Die 3\-Sylowgruppe ist in der Tat elementarabelsch, also zu \IF_3^2 isomorph. Man kann in der Tat eine Operation von PSU_3(4) als affine Gruppe definieren, sodass man eine Einbettung PSU_3(4) \hookrightarrow AGL_2(3) bekommt. Das Bild enthält die Untergruppe \IF_3^2 der Translationen als 3\-Sylowgruppe. Die Einbettung funktioniert wie folgt: Man definiert ein auf der Geometrie des Raums sogenanntes 2-(9,3,1)-Block\-Design: Die neun "Punkte" dieses Designs sind die isotropen Punkte in \IP(\IF_4^3). Die neun "Geraden" dieses Designs sind die hyperbolischen Ebenen. Ein "Punkt" Kv liegt auf der "Geraden" L genau dann, wenn v\in\ L. Man kann sich jetzt davon überzeugen, dass es bis auf Isomorphie genau ein Blockdesign mit diesen Kenngrößen gibt und das ist die affine Ebene \IF_3^2. Ihre Automorphismengruppe ist genau die affine Gruppe AGL_2(3). Die Gruppen PU und PSU erhalten nun die "Punkte", "Geraden" und Inzidenz zwischen ihnen, sind also Untergruppen der Automorphismengruppe des Blockdesigns. Somit erhält man Identifizierungen PU_3(4) ~= \IF_3^2 \rtimes SL_2(3) PSU_3(4) ~= \IF_3^2 \rtimes Q_8 \small\(Da SL_2(3) Index 2 in GL_2(3) hat, fehlt uns noch ein Automorphismus des Blockdesigns, den wir mit PU_3(4) nicht beschreiben können. Man kann zeigen, dass der fehlende Automorphismus vom Körperautomorphismus herkommt: Er ist in homogenen Koordinaten durch (a:b:c) \mapsto (a^-:\.b^-:\.c^-) gegeben.\) Es bleibt noch die Frage offen, ob die Transvektionenuntergruppe \calT(V)<=SU(V) wirklich eine echte Untergruppe ist für V=\IF_4^3. Das ist in der Tat der Fall.
Satz 12: Transvektionen in SU(3,4)
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) makro(trv,\sigma_array(array(%1)\,array(%2))) define(dot,opimg(*)) Ist V=\IF_4^3, dann gilt für die Transvektionenuntergruppe \calT(V)=braket(trv(1,u),u\in\ V isotrop)<=SU(V)=U(V): (a) \calT(V) hat vier Bahnen auf \frakM_1 = menge(v\in\ V | blf(v,v)=1) (b) abs(\calT(V))=2*3^3. Insbesondere ist \calT(V) eine echte Untergruppe von SU(V).
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) makro(trv,\sigma_array(array(%1)\,array(%2))) define(dot,opimg(*)) Wir lassen uns von den Überlegungen im Fall \IF_4^4 inspirieren und betrachten die Operation auf den anisotropen Vektoren. Bzgl. des Standardskalarprodukt haben wir drei Klassen von anisotropen Vektoren: A:=menge((a;0;0), (0;b;0), (0;0;c) | a,b,c\in\IF_4^x) B_1:=menge((a;b;c) | abc=1) B_\omega:=menge((a;b;c) | abc=\omega) B_(\omega^2):=menge((a;b;c) | abc=\omega^2) Die isotropen Vektoren ungleich Null sind genau diejenigen, die genau zwei von Null verschiedene Koordinaten hat. Wir haben bereits nachgerechnet, dass dabei die Transvektionen in den Vektoren (1;1;0), (1;0;1), (0;1;1) die Permutationsmatrizen realisieren, die durch Transpositionen gegeben sind. Diese Matrizen bilden A, B_1, B_\omega und B_(\omega^2) in sich selbst ab. Ist allgemeiner u=e_1+xe_2, u=e_1+xe_3 bzw. u=e_2+xe_3 mit x\in\IF_4^3 so hat trv(1,u) die Darstellungsmatrix matrix(0,x^2,;x,0,;,,1), matrix(0,,x^2;,1,;x,,0) bzw. matrix(1,,;,0,x^2;,x,0) \lr(*) Also bildet \calT(V) stets A, B_1, B_\omega und B_(\omega^2) in sich ab. Ist umgekehrt f\in\ SU(V) mit f(A)=A, f(B_1)=B_1, f(B_\omega)=B_\omega, f(B_(\omega^2))=B_(\omega^2), so ist wegen f(A)=A die Darstellungsmatrix von f derart, dass in jeder Zeile und jeder Spalte genau ein von Null verschiedener Eintrag steht. Indem wir mit den Matrizen der Form \ref(*) geeignet multiplizieren, sehen wir, dass f\in\calT(V) ist. Somit haben wir gezeigt, dass \calT(V) als Matrizen genau durch \calT_V ~= menge(A\in\ SU_3(4) | \forall\ i\exists!j: a_ij!=0) $ $= menge(DP | D diagonal mit \det(D)=1, P Permutationsmatrix) gegeben ist. Daher erhalten wir abs(\calT(V)) = 3^3/3*3! = 2*3^3. \blue\ q.e.d.
 
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