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Transvektionen I

Unitäre Transvektion I

Schon zweimal haben uns die Transvektionen gute Dienste als Erzeuger von klassischen Gruppen gedient und die Überlegungen zu zweidimensionalen unitären Räumen legen nahe, dass das auch dieses Mal klappen wird. Werfen wir also einen genaueren Blick auf die Transvektionen in U(V).
Lemma/Definition: Unitäre Transvektionene
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) makro(trv,\sigma_array(array(%1)\,array(%2))) define(dot,opimg(*)) Sei (V, blf(\dot,\dot)) ein unitärer K\-Vektorraum. Die Transvektion \gamma_array(\phi2\,u) liegt genau dann in U(V), wenn u isotrop ist und \phi2=\lambda\.blf(\dot,u) für ein \lambda\in\ K mit \lambda+\lambda^-=0 gilt. Wir definieren außerdem trv(\lambda,u):=v\mapsto\ v+\lambda*blf(v,u)u für alle u\in\ V isotrop und \lambda\in\ K mit \lambda+\lambda^-=0.
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) makro(trv,\sigma_array(array(%1)\,array(%2))) define(dot,opimg(*)) Wir gehen ganz genauso vor wie beim analogen Lemma für symplektische Transvektionen. Ist \gamma_array(\phi2\,u) eine Transvektion aus U(V), so gilt: \forall\ v,w\in\ V: blf(v,w)=blf(v+\phi2(v)u,w+\phi2(w)u) | | =blf(v,w)+\phi2(v)*blf(u,w)+\phi2(w)^-*blf(v,u)+\phi2(v)*\phi2(w)^-*blf(u,u) <=>\forall\ v,w\in\ V:\ 0=\phi2(v)*blf(u,w)+\phi2(w)^-*blf(v,u)+\phi2(v)*\phi2(w)^-*blf(u,u)\lr(*) Wählt man w\in\ ker(\phi2), so folgt: \forall\ v\in\ V: 0=\phi2(v)*blf(u,w) Wählt man nun v\notin\ ker(\phi2), so folgt w \perp u. => ker(\phi2)\subseteq\ u^\perp. Weil beide Räume Kodimension 1 haben, folgt ker(\phi2)=u^\perp=ker(blf(\dot,u)) und daher \phi2=\lambda\.blf(u,\dot) für ein geeignetes \lambda\in\ K. Da bei einer Transvektion per definitionem auch u\in\ ker(\phi2)\\{0} gilt, ist u also ein isotroper Vektor. Es bleibt also nur noch \lambda+\lambda^-=0 zu zeigen. Indem wir nochmal einsetzen, erhalten wir: \forall\ v,w\in\ V: 0=(\lambda*blf(u,v))*blf(u,w)+(\lambda*blf(w,u))^-*blf(v,u) | | =\lambda*blf(v,u)*blf(u,w)+\lambda^-*blf(u,w)*blf(v,u) | | =(\lambda+\lambda^-)*blf(v,u)*blf(u,w) Und indem wir v,w so wählen, dass blf(v,u)!=0!=blf(u,w) erhalten wir \lambda+\lambda^-=0 wie behauptet. Umgekehrt ist \gamma_array(\phi2\,u) in U(V), wenn u isotrop, \phi2=\lambda\.blf(\dot,u) und \lambda+\lambda^-=0 ist. Dann gilt nämlich: \align\ blf(v+\phi2(v)u,w+\phi2(w)u)><=blf(v,w)+\phi2(v)*blf(u,w)+\phi2(w)^-*blf(v,u)+\phi2(v)*\phi2(w)^-*blf(u,u) ><=blf(v,w)+(\lambda*blf(v,u))*blf(u,w)+(\lambda*blf(w,u))^-*blf(v,u) ><=blf(v,w)+\lambda*blf(v,u)*blf(u,w)+\lambda^-*blf(v,u)*blf(u,w) ><=blf(v,w)+(\lambda+\lambda^-)*blf(v,u)*blf(u,w) ><=blf(v,w) \blue\ q.e.d.
Dieser Satz liefert uns eine Motivation, vorauszusetzen, dass der Witt-Rang der Form mindestens Eins ist, denn sonst gäbe es keine isotropen Vektoren und damit auch keine unitären Transvektionen.
Definition
Wie schon bei Sp(V) bezeichnen mit \calT_V die von den unitären Transvektionen erzeugte Untergruppe von SU(V).
Lemma
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) makro(trv,\sigma_array(array(%1)\,array(%2))) define(dot,opimg(*)) Sei (V, blf(\dot,\dot)) ein unitärer K\-Vektorraum. Es gilt dann: (a) Für alle \lambda,\mu\in\ K mit Tr(\lambda)=Tr(\mu)=0 und alle u\in\ V isotrop: $ $ trv(\lambda,u)\circ\ trv(\mu,u) = trv(\lambda+\mu,u) $ $ trv(\lambda,\mu\.u) = trv(\lambda*N(\mu),u) (b) Für alle \lambda\in\ K mit Tr(\lambda)=0, alle u\in\ V isotrop und alle f\in\ U(V): $ $ f\circ\ trv(\lambda,u)\circ\ f^(-1) = trv(\lambda,f(u)) Insbesondere ist menge(trv(\lambda,u) | \lambda\in\ K, Tr(\lambda)=0) ein abelscher Normalteiler des Stabilisators U(V)_Ku.
Definitionsgeschubse. \blue\ q.e.d.
 
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