Bearbeiten von: Abschnitt [Änderungshistorie]
  Zeilenumbrüche automatisch mache ich selbst mit HTML    

Ich möchte eine Mail an , nachdem mein Vorschlag bearbeitet ist.
  Nachricht zur Änderung:

Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
[Link zurück zum Artikelabschnitt]

Vorschau:
Neuer Abschnitt in Konstruktion von Matrixgruppen mit (mo

Charaktertafel der $S_5$ (in Charakteristik 0)

Von hier an wird sich alles um die symmetrische Gruppe \( S_5 \) und ihre Darstellungen drehen. Erinnerung: Ist \( D \colon G \to \mathrm{GL}(n,\mathbb{K}) \) eine Darstellung, so ist der Charakter von D definiert als die zugehörige Abbildung \( \chi \colon G \to \mathbb{K}, g \mapsto \mathrm{Tr}(D(g)). \) Über einem Körper \( \mathbb{K} \) der Charakteristik 0 ist jede Darstellung von G bis auf Isomorphie eindeutig durch ihren Charakter bestimmt. In der Charaktertheorie werden die Charaktere einer Gruppe oft losgelöst von ihren Darstellungen untersucht. Zerfällungskörper: In der herkömmlichen Charaktertheorie (d.h. über Körpern der Charakteristik 0) wählt man üblicherweise den Körper \( \mathbb{K} = \mathbb{C} \) der komplexen Zahlen. Das hat zwar gewisse Vorteile, aber für die allermeisten Zwecke kommt es lediglich darauf an, dass es sich bei \( \mathbb{K} \) um einen Zerfällungskörper für G handelt (das heißt, für jede Körpererweiterung \( \mathbb{E} / \mathbb{K} \) und jede irreduzible Darstellung \( D \colon G \to \mathrm{GL}(n,\mathbb{E}) \) gibt es bereits eine zu D isomorphe Darstellung \( G \to \mathrm{GL}(n,\mathbb{K}) \)). Zum Beispiel erhalten wir für jeden Zerfällungskörper von G die gleichen irreduziblen Charaktere, und damit die gleiche Charaktertafel. Ein wichtiger Satz von Brauer besagt, dass \( \mathbb{K} \) bereits dann ein Zerfällungskörper für G ist, wenn er eine primitive m-te Einheitswurzel enthält, wobei m der Exponent von G ist. Zerfällungskörper können also wesentlich kleiner sein, als der Körper der komplexen Zahlen. Wir werden sehen, dass im Falle der \( S_5 \) bereits \( \mathbb{Q} \) ein Zerfällungskörper ist. Los gehts! Die irreduziblen Charaktere der \( S_5 \) in Charakteristik 0 sind durch folgende Tabelle gegeben: \( \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} S_5 & () & (12) & (12)(34) & (1234) & (12345) & (123) & (123)(45)\\ \small{\#} & \small{1} & \small{10} & \small{15} & \small{30} & \small{24} & \small{20} & \small{20}\\ \hline \chi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi_2 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1\\ \chi_3 & 4 & 2 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1\\ \chi_4 & 4 & -2 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1\\ \chi_5 & 5 & -1 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1\\ \chi_6 & 5 & 1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 1\\ \chi_7 & 6 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \end{array} \) Tatsächlich sind die irreduziblen Charaktere aller symmetrischen Gruppen \( S_n \) bekannt und können durch gewisse Formeln berechnet werden. Die Gruppe \( S_5 \) ist aber klein genug, dass wir ihre irreduziblen Charaktere allein durch ein paar Standardtricks bestimmen können. Diese seien hier kurz genannt: Lineare Charaktere: Die Charaktere der linearen Darstellungen \( G \to \mathrm{GL}(1,\mathbb{K}) \) sind lediglich die Homomorphismen \( G/G' \to \mathbb{K}^\times \). Die Kommutatorgruppe der \( S_5 \) ist die alternierende Gruppe \( A_5 \). Es gibt genau zwei Homomorphismen \( C_2 \cong S_5 / A_5 \to \mathbb{K}^\times \) - nämlich \( \chi_1 \) und \( \chi_2 \). Das sind also alle linearen Charaktere. Permutationscharaktere: Sei G eine Permutationsgruppe auf einer endlichen Menge \( \Omega \). Sei außerdem \( V = \mathbb{K}^{(\Omega)} \) ein \( \mathbb{K} \)-Vektorraum, von dem wir eine Basis mit \( \Omega \) identifizieren. Indem wir die Permutationen von G auf \( \Omega \) dann zu linearen Abbildungen auf V fortsetzen, erhalten wir eine Darstellung \( G \to \mathrm{GL}(V) \). Der zugehörige Charakter \( \chi \) zählt lediglich die Fixpunkte der jeweiligen Permutationen. Dieser Charakter ist fast nie irreduzibel: In jedem Fall enthält er den trivialen Charakter \( 1_G \) als Bestandteil. Der Charakter \( \chi - 1_G \) hingegen ist genau dann irreduzibel (in Charakteristik 0!), wenn G zweifach transitiv auf \( \Omega \) operiert. In unserem Beispiel ist \( \chi_3 + 1_G \) gerade der Permutationscharakter der \( S_5 \) auf \( \Omega = \{1,2,3,4,5 \} \). Da die \( S_5 \) zweifach (sogar fünffach) transitiv auf \( \Omega \) operiert, ist \( \chi_3 \) irreduzibel. Wir erhalten unmittelbar auch den irreduziblen Charakter \( \chi_4 = \chi_2 \cdot \chi_3 \). Äußere Potenzen: Sei \( \chi \) der Charakter einer Darstellung \( G \to \mathrm{GL}(V) \). Dann gibt es eine davon induzierte Darstellung \( G \to \mathrm{GL}(\Lambda^2(V)) \) mit Charakter \( \Lambda^2(\chi) \). Dieser Charakter ist gegeben durch die Formel \( \Lambda^2(\chi)(g) = \frac{1}{2} \left( \chi(g)^2 - \chi(g^2) \right) \) für alle \( g \in G \). Im konkreten Beispiel gilt \( \chi_7 = \Lambda^2(\chi_3) \). Die Irreduzibilität von \( \chi_7 \) überprüft man mit Hilfe des üblichen Skalarprodukts auf den Klassenfunktionen von G. Tatsächlich ist \(\langle \chi_7, \chi_7 \rangle = 1 \). Mit der selben Konstruktion erhalten wir auch die letzten beiden irreduziblen Charaktere: Wir bilden den Charakter \( \Lambda^2(\chi_7) \) und berechnen die Skalarprodukte \( \langle \Lambda^2(\chi_7), \chi_4 \rangle = 1 \) und \( \langle \Lambda^2(\chi_7), \chi_7 \rangle = 1 \). Aus diesen Gründen ist \( \chi_5 = \Lambda^2(\chi_7) - \chi_4 - \chi_7 \) ebenfalls ein Charakter. Wegen \( \langle \chi_5 , \chi_5 \rangle = 1 \) ist dieser irreduzibel. Schlussendlich erhalten wir auch \( \chi_6 = \chi_2 \cdot \chi_5 \). Da wir nun 7 irreduzible Charaktere gefunden haben und die \( S_5 \) genau 7 Konjugationsklassen besitzt, sind wir an dieser Stelle fertig. \(S_5\) als Matrixgruppe: Anhand der obigen Konstruktionen ist ist unmittelbar klar, dass die Charaktere \( \chi_1, \chi_2 \) und \( \chi_3 \) zugehörige Darstellungen über dem Körper \( \mathbb{Q} \) der rationalen Zahlen besitzen. Alle anderen irreduziblen Charaktere entstanden wiederum aus diesen dreien durch Konstruktionen, welche unabhängig vom zugrundeliegenden Körper funktionieren. Daraus können wir schließen, dass alle Darstellungen der \( S_5 \) über Körpern der Charakteristik 0 bereits über den rationalen Zahlen realisierbar sind. Anders gesagt: Jeder Körper der Charakteristik 0 ist ein Zerfällungskörper für die \( S_5 \)! Damit lässt sich unser eingehendes Anliegen (in Charakteristik 0) nun leicht anhand der Charaktertafel beantworten: Wir sehen, dass jeder Charakter der \( S_5 \) vom Grad \( \leq 3 \) eine Summe der beiden linearen Charaktere ist, und als solcher einen nicht-trivialen Kern besitzt. Die kleinsten treuen Charaktere der \( S_5 \) sind \( \chi_3 \) und \( \chi_4 \). Somit besitzt die allgemeine lineare Gruppe \( \mathrm{GL}(n,\mathbb{K}) \) über Körpern der Charakteristik 0 genau dann eine zur \( S_5 \) isomorphe Untergruppe, wenn \( n \geq 4 \) ist.
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]