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Modulare Charaktertheorie

Bevor wie uns den modularen Charaktertafeln der \( S_5 \) zuwenden, möchte ich kurz die Idee der modularen Charaktertheorie umreißen. Genau wie in Charakteristik 0 können wir auch in positiver Charakteristik jeder Darstellung \( G \to \mathrm{GL}(n,\mathbb{k}) \) einen Charakter \( G \to \mathbb{k} \) auf übliche Weise zuordnen. Allerdings gibt es hierbei zwei Besonderheiten. Fehlende Eindeutigkeit: Über einem Körper \( \mathbb{k} \) der Charakteristik \( p > 0 \) beschreiben Charaktere den Isomorphietyp ihrer Darstellungen nicht mehr eindeutig. Schlimmer noch: Ist \( \chi \colon G \to \mathbb{k} \) ein beliebiger Charakter, so ist \( p \cdot \chi \) die Nullabbildung. Immerhin werden die irreduziblen Darstellungen von G noch eindeutig durch ihren Charakter beschrieben. Fehlende Einheitswurzeln: Ist \( \mathbb{k} \) ein Körper der Charakteristik \( p > 0 \), so gibt es bis auf die 1 keine weiteren Einheitswurzeln mit p-Potenz-Ordnung in \( \mathbb{k} \). Das hat ganz konkrete Konsequenzen für die Charaktertheorie: Sei \( \chi \colon G \to \mathbb{k} \) ein beliebiger Charakter sowie \( g \in G \). Dann ist \( \chi(g) \) eine Summe von m-ten Einheitswurzeln, wobei m die Ordnung von g ist. Ist also g ein p-Element (also ein Element mit p-Potenz-Ordnung), so folgt \( \chi(g) = \chi(1) \). Bei etwas genauerem Hinschauen kann man sogar noch mehr zeigen. Jedes Element \( g \in G \) lässt sich eindeutig in ein Produkt \( g = ab \) aus einem p-Element a und einem \(p'\)-Element b (also ein Element, dessen Ordnung nicht von p geteilt wird) zerlegen, sodass a und b miteinander kommutieren. In dieser Situation gilt stets \( \chi(g) = \chi(ab) = \chi(b) \). Wir sehen also, dass in Charakteristik \( p > 0 \) jeder Charakter von G bereits eindeutig durch seine Werte auf den \( p' \)-Konjugationsklassen bestimmt ist. Insbesondere ist die Anzahl der irreduziblen Charaktere von G höchstens so groß wie die Anzahl der \( p' \)-Konjugationsklassen von G. Über Zerfällungskörpern gilt sogar Gleichheit. p-modulare Systeme: Um das Problem der fehlenden Eindeutigkeit zumindest teilweise zu beheben, hatte Richard Brauer eine geniale Idee. Anstatt einer Darstellung \( D \colon G \to \mathrm{Gl}(n,\mathbb{k}) \) ihren herkömmlichen Charakter zuzuordnen, betrachtete er eine ähnliche Abbildung, die heute Brauercharakter genannt wird. Üblicherweise bilden wir die Spuren der Matrizen \( D(g) \), also die Summe der Eigenwerte von \( D(g) \) über \( \mathbb{k} \). Der Brauercharakter von D bildet g ebenfalls auf die Summe der Eigenwerte von \( D(g) \) ab, allerdings werden diese zuvor in einen anderen Körper \( \mathbb{K} \) der Charakteristik 0 geliftet! Um dies auf sinnvolle Weise tun zu können, benötigen wir ein sogenanntes p-modulares System \( (\mathbb{k},R,\mathbb{K}) \). Dieses besteht aus einem Körper \( \mathbb{K} \) der Charakteristik 0, einem Hauptidealring \( R \subset \mathbb{K} \) mit Quotientenkörper \( \mathbb{K} \) sowie einem Körper \( \mathbb{k} = R / \mathfrak{m} \) der Charakteristik p, der aus R durch Herausteilen eines maximalen Ideals hervorgeht. Nach Konstruktion liegt dann jede Einheitswurzel \( \zeta \in \mathbb{K} \) bereits in R und lässt sich somit zu einer Einheitswurzel \( \overline{\zeta} \in \mathbb{k} \) reduzieren. Ein ganz einfaches Beispiel für ein 5-modulares System wäre etwa \( (\mathbb{Z}/(5),\mathbb{Z},\mathbb{Q}) \). Dieses ist allerdings für unsere Zwecke noch nicht gut genug, denn wir können zum Beispiel die beiden primitiven vierten Einheitswurzeln \( 2,3 \in \mathbb{Z}/(5) \) nicht zu entsprechenden Einheitswurzeln nach \( \mathbb{Q} \) liften. Tatsächlich muss man ein wenig Aufwand betreiben um p-modulare Systeme zu konstruieren, die für die modulare Darstellungstheorie gut geeignet sind (p-adische Körper eignen sich bestens hierfür). Brauercharaktere: Für unsere Zwecke wird es völlig ausreichen zu wissen, dass es für jede endliche Gruppe G und für jede Primzahl p ein p-modulares System \( (\mathbb{k},R,\mathbb{K}) \) gibt, sodass \( \mathbb{K} \) und \( \mathbb{k} \) Zerfällungskörper von G sind, die hinreichend viele Einheitswurzeln besitzen und dass die Reduktion \( R \to \mathbb{k} \) eine Bijektion zwischen den Einheitswurzeln von \( \mathbb{k} \) und den \( p' \)-Einheitswurzeln von \( \mathbb{K} \) liefert. Der Brauercharakter einer \( \mathbb{k} \)-Darstellung D ist dann definiert als die Abbildung \( \beta \colon G_{p'} \to \mathbb{K} \), die jedem \(p'\)-Element \( g \in G_{p'} \) die Summe der Einheitswurzeln in \(\mathbb{K}\) zuweist, die auf eindeutige Weise den Eigenwerten von \( D(g) \) in \( \mathbb{k} \) entsprechen (Vielfachheiten werden dabei berücksichtigt). Die Brauercharaktere der irreduziblen \( \mathbb{k} \)-Darstellungen von G sind linear unabhängig über \( \mathbb{K} \) und jeder Brauercharakter von G zerfällt eindeutig in eine Summe von irreduziblen Brauercharakteren (d.h. von Brauercharakteren irreduzibler \( \mathbb{k} \)-Darstellungen). Die Betrachtung von Brauercharakteren löst das Problem der fehlenden Eindeutigkeit zumindest teilweise: Eine \( \mathbb{k} \)-Darstellung D ist durch ihren Brauercharakter \( \beta \) zwar immer noch nicht bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, aber immerhin sind die Kompositionsfaktoren von D (also ihre "irreduziblen Bestandteile") nun eindeutig durch \( \beta \) bestimmt. Zudem lässt sich der herkömmliche Charakter von D jederzeit aus \( \beta \) rekonstruieren, indem wir die Reduktion \( R \to \mathbb{k} \) anwenden. Brauercharaktere tragen also mehr Informationen in sich als herkömmliche Charaktere. Brauercharaktere treuer Darstellungen: In der herkömmlichen Charaktertheorie (in Charakteristik 0) lässt sich der Kern jeder Darstellung einer Gruppe G an ihrem Charakter \( \chi \) ablesen. Konkret ist dieser gegeben durch \( \mathrm{Ker}(\chi) = \{ g \in G : \chi(g) = \chi(1) \} \). Im Falle von Brauercharaktern ist dies nicht mehr so einfach möglich, da solche uns lediglich einen Blick auf die \( p' \)-Elemente von G ermöglichen. Tatsächlich ist es so, dass verschiedene Darstellungen von G mit dem selben Brauercharakter verschiedene Kerne haben können. Im konkreten Beispiel \( G = S_5 \) sind wir aber in der glücklichen Situation, dass diese Gruppe keine Normalteiler mit p-Potenz-Ordnung für irgendeine Primzahl p besitzt (das kann man übrigens leicht anhand der obigen Charaktertafel ablesen). Ist nun \( \beta \colon G \to \mathbb{K} \) ein beliebiger Brauercharakter mit \( \beta(g) \neq \beta(1) \) für alle \( 1 \neq g \in G_{p'} \), so muss der Kern einer beliebigen \( \mathbb{k} \)-Darstellung mit Brauercharakter \( \beta \) eine p-Gruppe (und somit trivial) sein. Fazit: Im Falle der \( S_5 \) können wir anhand des Brauercharakters erkennen, ob eine \( \mathbb{k} \)-Darstellung treu ist oder nicht. Die Reduktionsmethode: Das Geniale an Brauers Theorie ist, dass sie eine Brücke zwischen den \( \mathbb{k} \)-Darstellungen einer Gruppe G und den \( \mathbb{K} \)-Darstellungen von G schafft, sofern \( (\mathbb{k},R,\mathbb{K}) \) ein "vernünftiges" p-modulares System ist. Eine der wichtigsten Konstruktionen in diesem Zusammenhang ist die Reduktionsmethode. Sei \( D \colon G \to \mathrm{GL}(n,\mathbb{K}) \) eine \( \mathbb{K} \)-Darstellung mit Charakter \( \chi \colon G \to \mathbb{K} \). Weil R ein Hauptidealring ist, finden wir dann immer eine zu D isomorphe Darstellung \( D' \colon G \to \mathrm{GL}(n,R) \) mit Matrixeinträgen in R. Durch Anwendung der Reduktion \( R \to \mathbb{k} \) erhalten wir schließlich eine \(\mathbb{k}\)-Darstellung \( \overline{D'} \colon G \to \mathrm{GL}(n,\mathbb{k}) \). Das Tolle daran: Der Brauercharakter \( \beta \) von \( \overline{D'} \) stimmt auf den \( p' \)-Elementen von G mit \( \chi \) überein! Wir können also aus jedem \(\mathbb{K}\)-Charakter \( \chi \) unmittelbar einen Brauercharakter herstellen, indem wir \( \chi \) auf die \( p' \)-Elemente von G einschränken. Mehr noch: Tatsächlich tritt jeder irreduzible Brauercharakter von G als Summand eines reduzierten irreduziblen \(\mathbb{K}\)-Charakters auf. Auf diese Weise lassen sich in vielen Fällen alle irreduziblen Brauercharaktere von G aus der Charaktertafel von G ableiten, ohne überhaupt Darstellungen zu betrachten. Ein Satz über Irreduzibilität: Ein wichtiges Resultat, um das wir nicht herum kommen werden, ist folgendes hinreichende Kriterium für Irreduzibilität von Brauercharakteren: Sei \( \chi \) ein irreduzibler \(\mathbb{K}\)-Charakter, sodass (die ganze Zahl) \( |G| / \chi(1) \) nicht durch p teilbar ist. Dann ist der durch \( \chi \) gegebene Brauercharakter automatisch irreduzibel. Ein besonders wichtiger Spezialfall dieses Satzes ist der, in dem die Ordnung von G nicht durch p teilbar ist. In diesem Fall sind alle irreduziblen \(\mathbb{K}\)-Charaktere auch irreduzible Brauercharaktere, und die modulare Charaktertafel von G in Charakteristik p stimmt mit der herkömmlichen Charaktertafel von G überein. Tatsächlich sind dann alle \(\mathbb{K}\)-Charaktere identisch mit den Brauercharakteren, und die Charaktertheorie von G über \(\mathbb{k}\) ist im Wesentlichen identisch mit der über \(\mathbb{K}\). Insbesondere kann das herkömmliche Skalarprodukt auf den Klassenfunktionen von G verwendet werden, und es gelten die üblichen Orthogonalitätsrelationen. Interessant sind also vor Allem die Primzahlen, die die Gruppenordnung \( |G| \) teilen. Zerfällungskörper: In Charakteristik 0 lässt sich anhand der Charaktertafel einer Gruppe G nicht ohne Weiteres ablesen, ob ein gegebener Körper \( \mathbb{K} \) ein Zerfällungskörper für G ist. Das liegt nicht zuletzt daran, dass minimale Zerfällungskörper nicht eindeutig sind. (Zum Beispiel ist \( \mathbb{K} \) genau dann ein Zerfällungskörper der Quaternionengruppe \( Q_8 \), wenn sich \( -1 \) in \( \mathbb{K} \) als Summe zweier Quadrate schreiben lässt. Dementsprechend sind \( \mathbb{Q}(i) \) und \( \mathbb{Q}(\sqrt{-2}) \) zwei verschiedene minimale Zerfällungskörper der \( Q_8 \).) In positiver Charakteristik p ist genau das Gegenteil der Fall. Hier gibt es einen eindeutig bestimmten minimalen Zerfällungskörper \( \mathbb{k} \) für G. Dieser wird über \( \mathbb{F}_p \) von den Werten aller irreduziblen Charaktere von G (über einem beliebigen Zerfällungskörper) erzeugt, und ist daher leicht anhand der modularen Charaktertafel abzulesen. Diese überraschende Tatsache folgt im Wesentlichen aus dem Satz von Wedderburn, dass jeder endliche Schiefkörper ein Körper ist.
 
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