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Neuer Abschnitt in Konstruktion von Matrixgruppen mit (mo

Modulare Charaktertafeln der \( S_5 \)

Wir werden nun die modularen Charaktertafeln der symmetrischen Gruppe \( S_5 \) bestimmen. Unser Ziel ist nach wie vor herauszufinden, für welche natürlichen Zahlen n und für welche Körper \( \mathbb{k} \) positiver Charakteristik \( p > 0 \) die allgemeine lineare Gruppe \( \mathrm{GL}(n,\mathbb{k}) \) eine zu \( S_5 \) isomorphe Untergruppe besitzt. Wie im letzten Abschnitt erwähnt, brauchen wir dabei nur jene Primzahlen p zu betrachten, die die Gruppenordnung \( |S_5| = 120 \) teilen, also \( p \in \{ 2,3,5 \} \). Für alle anderen Charakteristiken ist die Antwort identisch mit der in Charakteristik 0! Alle folgenden Betrachtungen finden über einem „hinreichend guten” p-modularen System \( (\mathbb{k},R,\mathbb{K}) \) der jeweiligen Charakteristik p statt. Charakteristik 2: Indem wir uns auf die \( 2' \)-Elemente der \( S_5 \) beschränken, erhalten wir mit Hilfe der Reduktionsmethode aus der herkömmlichen Charaktertafel unmittelbar die folgenden Brauercharaktere (linke Seite). \( \begin{array}{c|c|c|c} S_5 & () & (12345) & (123) \\ \hline \beta_1 & 1 & 1 & 1\\ \beta_2 & 1 & 1 & 1\\ \beta_3 & 4 & -1 & 1\\ \beta_4 & 4 & -1 & 1 \\ \beta_5 & 5 & 0 & -1\\ \beta_6 & 5 & 0 & -1 \\ \beta_7 & 6 & 1 & 0\\ \end{array} \Longrightarrow \begin{array}{c|c|c|c} S_5 & () & (12345) & (123) \\ \hline \beta_1 & 1 & 1 & 1\\ \beta_3 & 4 & -1 & 1 \\ \beta_5 & 5 & 0 & -1 \\ \end{array} \Longrightarrow \begin{array}{c|c|c|c} S_5 & () & (12345) & (123) \\ \hline \beta_1 & 1 & 1 & 1\\ \beta_3 & 4 & -1 & 1 \\ \beta_5' & 4 & -1 & -2 \\ \end{array} \) Wir sehen leicht, dass sich \( \beta_7 = \beta_1 + \beta_5 \) aus zwei anderen Brauercharakteren zusammensetzt. Nach Streichen der überflüssigen Zeilen, erhalten wir die mittlere Tabelle, die schon einmal die richtige Größe einer modularen Charaktertafel der \( S_5 \) besitzt. Natürlich ist \( \beta_1 \) als linearer Brauercharakter irreduzibel, und da in Charakteristik 2 keine nicht-trivialen Homomorphismen \( C_2 \cong S_5 / A_5 \to \mathbb{k}^\times \) existieren, gibt es auch keine weiteren linearen Brauercharaktere. Wir zeigen als nächstes, dass \( \beta_3 \) irreduzibel ist und dass der dritte irreduzible Brauercharakter entweder durch \( \beta_5 \) oder \( \beta_5 - \beta_1 \) gegeben ist. Wir betrachten dazu die zyklische Untergruppe \( U = \langle (1,2,3,4,5) \rangle \leq S_5 \). Da die Ordnung von U nicht durch 2 teilbar ist, sind Einschränkungen von Brauercharakteren auf U gewöhnliche Charaktere. Insbesondere können wir das herkömmliche Skalarprodukt verwenden. Wir berechnen \( \langle (\beta_3)_U, (\beta_1)_U \rangle = 0 \) und \( \langle (\beta_5)_U, (\beta_1)_U \rangle = 1 \). Dies zeigt, dass \( \beta_3 \) keinen linearen Bestandteil besitzt, während \( \beta_5 \) höchstens einmal \( \beta_1 \) als Bestandteil enthält. Für einen Widerspruchsbeweis nehmen wir an, dass \( \beta_3 \) reduzibel ist. Dann können wir diesen als Summe \( \beta_3 = \gamma + \delta \) aus zwei irreduziblen Brauercharakteren vom Grad 2 schreiben. Da Brauercharaktere per Definition nur ganz-algebraische Werte annehmen (und daher \( \frac{1}{2} \cdot \beta_3 \) kein Brauercharakter sein kann), sind \( \gamma \) und \( \delta \) notwendigerweise verschieden. Also sind die drei irreduziblen Brauercharaktere der \( S_5 \) gegeben durch \( \beta_1, \gamma \) und \( \delta \). Den gesuchten Widerspruch erhalten wir nun durch Betrachtung aller möglichen Zerlegungen von \( \beta_5 \) in die irreduziblen Brauercharaktere \( \{ \beta_1, \gamma, \delta \} \): Natürlich ist \( \beta_5 \neq \beta_1 + \beta_3 = \beta_1 + \gamma + \delta \). Die einzig übrigen Möglichkeiten sind aber nur \( \beta_5 = \beta_1 + 2 \cdot \gamma \) oder \( \beta_5 = \beta_1 + 2 \cdot \delta \). In beiden Fällen erhalten wir aber den Widerspruch, dass ein Brauercharakter (\( \gamma \) oder \( \delta \)) Werte annimmt, die nicht ganz-algebraisch sind. Dieser Widerspruch zeigt, dass \( \beta_3 \) irreduzibel ist. Da \( \beta_5 \) höchstens einmal den irreduziblen Bestandteil \( \beta_1 \) besitzt und \( \beta_5 - \beta_3 \) kein Brauercharakter ist, bleiben nur zwei Möglichkeiten: Entweder ist \( \beta_5 \) der dritte irreduzible Brauercharakter der \( S_5 \), oder es ist \( \beta_5 - \beta_1 \). Die modulare Charaktertafel in Charakteristik 2 ist also entweder durch die mittlere Tabelle oder durch die rechte Tabelle gegeben. Es ist leider nicht ganz einfach zu zeigen, dass \( \beta_5 - \beta_1 \) tatsächlich ein Brauercharakter ist, und somit die rechte Tabelle die Richtige ist. Für unsere Zwecke ist dies aber egal. In beiden Fällen können wir anhand der modularen Charaktertafel schlussfolgern, dass jeder Körper \( \mathbb{k} \) der Charakteristik 2 ein Zerfällungskörper für die \( S_5 \) ist, und dass die \( S_5 \) als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(4,\mathbb{k}) \) auftritt. Auf der anderen Seite sehen wir, dass es keine treuen \( \mathbb{k} \)-Darstellungen der \( S_5 \) in Dimension \( n \leq 3 \) gibt, und die \( S_5 \) daher nicht als Untergruppe der \( \mathrm{GL}(n,\mathbb{k}) \) für solche n auftritt. Charakteristik 3: Wir schränken die herkömmliche Charaktertafel der \( S_5 \) diesmal auf die \( 3' \)-Elemente ein und erhalten die linke Tabelle aus Brauercharakteren. \( \begin{array}{c|c|c|c|c|c} S_5 & () & (12) & (12)(34) & (1234) & (12345)\\ \hline \beta_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \beta_2 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1\\ \beta_3 & 4 & 2 & 0 & 0 & -1\\ \beta_4 & 4 & -2 & 0 & 0 & -1\\ \beta_5 & 5 & -1 & 1 & 1 & 0\\ \beta_6 & 5 & 1 & 1 & -1 & 0\\ \beta_7 & 6 & 0 & -2 & 0 & 1\\ \end{array} \implies \begin{array}{c|c|c|c|c|c} S_5 & () & (12) & (12)(34) & (1234) & (12345)\\ \hline \beta_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \beta_2 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1\\ \beta_3 & 4 & 2 & 0 & 0 & -1\\ \beta_4 & 4 & -2 & 0 & 0 & -1\\ \beta_7 & 6 & 0 & -2 & 0 & 1\\ \end{array} \) Wir erkennen sofort, dass sich \( \beta_5 = \beta_4 + \beta_1 \) und \( \beta_6 = \beta_3 + \beta_2 \) als Summe anderer Brauercharaktere schreiben lassen. Nach Streichen der überflüssigen Zeilen erhalten wir die rechte Tabelle, die tatsächlich bereits die modulare Charaktertafel der \( S_5 \) in Charakteristik 3 ist: Das übliche Argument zeigt, dass \( \beta_1 \) und \( \beta_2 \) die einzigen linearen Brauercharaktere sind. Zudem ist die Zahl \( |S_5| / \chi_7(1) = 20 \) nicht durch 3 teilbar, wodurch die Irreduzibilität von \( \beta_7 \) garantiert ist. Es bleibt also lediglich zu zeigen, dass \( \beta_3 \) und \( \beta_4 \) irreduzibel sind. Genau wie im vorherigen Fall lässt sich durch Einschränkung auf eine zyklische Untergruppe der Ordnung 5 zeigen, dass \( \beta_3 \) und \( \beta_4 \) keine linearen Anteile besitzen. Durch einen analogen Widerspruchsbeweis lässt sich ebenso zeigen, dass sich keiner von beiden in eine Summe zweier irreduzibler Brauercharaktere vom Grad 2 zerlegen lässt. Die Details seien dem Leser als Übungsaufgabe überlassen. :-) Das Fazit ist das Gleiche wie in Charakteristik 2: Wir sehen anhand der modularen Charaktertafel, dass jeder Körper \( \mathbb{k} \) der Charakteristik 3 ein Zerfällungskörper für die \( S_5 \) ist, dass diese Gruppe als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(4,\mathbb{k}) \) auftritt, und dass die \( S_5 \) nicht als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(n,\mathbb{k}) \) für \( n \leq 3 \) auftritt. Charakteristik 5: Kommen wir nun zum besonders spannenden Fall der Charakteristik 5. Wie üblich schränken wir die Charaktertafel der \( S_5 \) auf die \( 5' \)-Elemente ein und erhalten die linke Tabelle. \( \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} S_5 & () & (12) & (12)(34) & (1234) & (123) & (123)(45)\\ \hline \beta_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \beta_2 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1\\ \beta_3 & 4 & 2 & 0 & 0 & 1 & -1\\ \beta_4 & 4 & -2 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \beta_5 & 5 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ \beta_6 & 5 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\ \beta_7 & 6 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \implies \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} S_5 & () & (12) & (12)(34) & (1234) & (123) & (123)(45)\\ \hline \beta_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \beta_2 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1\\ \beta_3' & 3 & 1 & -1 & -1 & 0 & -2\\ \beta_4' & 3 & -1 & -1 & 1 & 0 & 2\\ \beta_5 & 5 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ \beta_6 & 5 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\ \end{array} \) Wie zuvor sehen wir, dass \( \beta_1 \) und \( \beta_2 \) die einzigen linearen Brauercharaktere sind. Außerdem sind die Zahlen \( |S_5|/\chi_5(1) = |S_5|/\chi_6(1) = 24 \) nicht durch 5 teilbar, womit \( \beta_5 \) und \( \beta_6 \) automatisch irreduzibel sind. Deutlich spannender ist nun allerdings die Gleichung \( \beta_3 + \beta_4 = \beta_7 + \beta_1 + \beta_2 \). Diese erzählt uns unter anderem, dass die Brauercharaktere \( \beta_3 \) und \( \beta_4 \) zusammengenommen die beiden lineare Bestandteile \( \beta_1 \) und \( \beta_2 \) enthalten. Um dem näher auf den Grund zu gehen, betrachten wir die Untergruppe \( U = \langle (12), (34) \rangle \leq S_5 \), deren Ordnung nicht durch 5 teilbar ist. Wir berechnen die Skalarprodukte \( \langle (\beta_3)_U, (\beta_2)_U \rangle = \langle (\beta_4)_U, (\beta_1)_U \rangle = 0 \) und erkennen, dass \( \beta_2 \) kein Bestandteil von \( \beta_3 \) sowie \( \beta_1 \) kein Bestandteil von \( \beta_4 \) sein kann. Folglich müssen \( \beta_3' = \beta_3 - \beta_1 \) und \( \beta_4' = \beta_4 - \beta_2 \) Brauercharaktere sein. Wie wir schon wissen, ergeben diese in der Summe \( \beta_3' + \beta_4' = \beta_7 \). Wir erhalten damit die rechte Tabelle, die sich tatsächlich als die modulare Charaktertafel der \( S_5 \) in Charakteristik 5 herausstellen wird. Es bleibt zu zeigen, dass \( \beta_3' \) und \( \beta_4' \) irreduzibel sind, wobei es dafür sogar bereits genügt zu zeigen, dass sie keine linearen Bestandteile enthalten. Wir wissen bereits, dass \( \beta_2 \) kein Bestandteil von \( \beta_3' \) sowie \( \beta_1 \) kein Bestandteil von \( \beta_4' \) sein kann. Für die übrigen Fälle betrachten wir die zyklische Untergruppe \( H = \langle (1234) \rangle \leq S_5 \) und berechnen die Skalarprodukte \( \langle (\beta_3')_H, (\beta_1)_H \rangle = \langle (\beta_4')_H, (\beta_2)_H \rangle = 0. \) Damit haben wir auch in Charakteristik 5 die modulare Charaktertafel der \( S_5 \) gefunden. Wie in den vorherigen Fällen sehen wir, dass jeder Körper \( \mathbb{k} \) der Charakteristik 5 ein Zerfällungskörper für die \( S_5 \) ist. Besonders ist aber, dass wir nun erstmals sehen, dass es (bis auf Isomorphie genau zwei) treue Darstellungen \( S_5 \to \mathrm{GL}(3,\mathbb{k}) \) gibt. Bei genauerem Hinschauen erkennt man (anhand von \( \beta_4'((12)) = -1 \)) sogar, dass \( \beta_4' \) treue Darstellungen \( S_5 \to \mathrm{SL}(3,\mathbb{k}) \) beschreibt. Daher tritt die \( S_5 \) tatsächlich als Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe \( \mathrm{GL}(3,\mathbb{F}_5) \) (sogar als Untergruppe der \( \mathrm{SL}(3,\mathbb{F}_5) \)) auf!
 
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