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Beispiele
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Beispiele

Wir wollen jetzt noch einige Taylorentwicklungen mit unseren neugewonnenen Kenntnissen untersuchen, und ein wenig rechnen.

Taylorentwicklung eindimensionaler Funktionen

Hier werden wir sehen, dass die allgemeine Form der Taylorformel sich im eindimensionalen Fall wieder auf die spezielle Formel aus dem ersten Abschnitt reduziert. In der allgemeinen Variante der Taylorformel tauchen Multilineare Abbildungen $(\R^n)^k\to\R^m$ auf. Wie sehen die aus, wenn $n=m=1$? So: \[M_k(x_1,\dots,x_k)=m_kx_1\dots x_k\] mit $m_k\in\R$. Es werden einfach alle Argumente miteinander multipliziert, und mit einem Faktor $m_k$ skaliert. Die multilineare Abbildung wird durch diesen Faktor $m_k$ vollständig charakterisiert. Setzt man jetzt immer das gleiche Argument ein, beispielsweise $x-x_0$, so erhält man \[M_k(x-x_0)^k=m_k(x-x_0)^k\] Betrachten wir nun eine $n$-mal differenzierbare Abbildung $f:I\to\R$ mit einem offenen Intervall $I\subseteq\R$, dann gilt die Taylorformel: \[f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\D^kf(x_0)(x-x_0)^k~+~R_{n,x_0}(x).\] Die multilineare Abbildung $\D^kf(x_0)$ charakterisieren wir durch den Faktor $a_k\in\R$ und erhalten \[f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{a_k}{k!}(x-x_0)^k~+~R_{n,x_0}(x).\] Wir sehen sofort, dass nach der eindimensionalen Taylorformel $a_k=f^{(k)}(x_0)$ sein muss. Wir können die multilineare Abbildung $\D^k f(x_0)$ demnach als Multiplikation mit der Zahl $f^{(k)}(x_0)$ sehen, und erkennen, dass sich die mehrdimensionale Taylorformel auf die eindimensionale reduziert: \[f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\D^kf(x_0)(x-x_0)^k~+~R_{n,x_0}(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k~+~R_{n,x_0}(x).\]

Taylorentwicklung zweiter Ordnung für skalare Funktionen

Ein besonders hübsches Beispiel ergibt sich, wenn man $f:U\to\R$ mit $U\subset\R^n$ offen betrachtet, und die Taylorentwicklung bis zur zweiten Ordnung durchführt. Da der Bildbereich jetzt einfach nur $\R$ ist, reduzieren sich die multilinearen Abbildungen zu Multilinearformen (also multilineare Abbildungen in den zugrundeliegenden Körper). Bis zur zweiten Ordnung erhalten wir dann eine Linearform für die erste Ableitung und eine Bilinearform für die zweite Ableitung. Da Linear- und Biliniearformen eine Matrixdarstellung besitzen, lässt sich die Entwicklung bis zur Ordnung 2 sehr übersichtlich aufschreiben: \[f(x)=f(x_0)+\nabla f(x_0)\cdot(x-x_0)+\frac{1}{2}(x-x_0)^T\mathrm Hf(x_0)(x-x_0)+R_{2,x_0}(x).\] Bei $\nabla f(x_0)$ handelt es sich um den Gradienten von $f$ in $x_0$, und bei $\mathrm H f(x_0)$ um die Hessematrix in $x_0$. Sie ist die darstellende Matrix von $\D^2 f(x_0)$, sowohl als lineare Abbildung $\R^n\to\operatorname{Hom}(\R^n,\R)$, als auch als Bilinearform $\R^n\times\R^n\to\R$. Da die Einträge der Hessematrix gerade die zweiten partiellen Ableitungen von $f$ sind, und nach dem Satz von Schwarz partielle Ableitungen vertauschen, wenn sie in einer offenen Menge stetig sind, ist die Hessematrix für zweimal stetig differenzierbare Funktionen symmetrisch. Das erleichtert einem die Rechnung. Wir wollen sie mal für die Funktion \[f:\R^2\to\R,~f(x,y)=\exp(-(x^2+y^2))\] durchführen. Wir wählen als Entwicklungspunkt $(x_0,y_0)=(0,0)$. Wir erhalten $f(0,0)=1$ und $\nabla f(x,y)=-2\exp(-(x^2+y^2))\vector{x\\y}$, also $\nabla f(0,0)=(0,0)$. Fehlt noch die Hessematrix. Deren Einträge sind wie gesagt die zweiten partiellen Ableitungen: \[\begin{align*} \partial_x^2 f(x,y)&=(4x^2-2)\exp(-(x^2+y^2))\\ \partial_y^2 f(x,y)&=(4y^2-2)\exp(-(x^2+y^2))\\ \partial_y\partial_x f(x,y)&=4xy\exp(-(x^2+y^2)) \end{align*}\] Die partielle Ableitung $\partial_x\partial_y f$ brauchen wir nicht zu berechnen, denn sie ist mit $\partial_y\partial_x f$ identisch, da $f$ glatt, also insbesondere beliebig oft stetig differenzierbar ist. Einsetzen von $(0,0)$ ergibt die Hessematrix \[\mathrm Hf(0,0)=\matrix{-2&0\\0&-2}.\] Setzen wir alles zusammen, so erhalten wir die Taylorentwicklung zweiter Ordnung: \[\exp(-(x^2+y^2))\approx 1+\frac{1}{2}\vector{x&y}\matrix{-2&0\\0&-2}\vector{x\\y}=1-(x^2+y^2).\] Dazu ein Bildchen:
Die blaue Fläche stellt den Graphen von $f$ dar, das violette Paraboloid den Graphen des Taylorpolynoms $1-(x^2+y^2)$. Man sieht, wie sich das Paraboloid in der Umgebung des Entwicklungspunktes $(0,0)$ an den Graphen von $f$ anschmiegt. Ein visuell komplizierterer, von der Rechnung her fast identischer Fall ist die Funktion $f(x,y)=\exp(y^2-x^2)$. Die Hessematrix an der Stelle $(0,0)$ ist $\matrix{-2&0\\0&2}$ und die Taylorentwicklung ergibt $f(x,y)\approx 1+y^2-x^2$, und sieht so aus:
Die Farbwahl ist dieselbe: blau für $f$, violett für die Taylorentwicklung. Der Graph von $f$ wird diesmal durch ein hyperbolisches Paraboloid genähert, das sich in der Nähe des Entwicklungspunktes auch wieder an den Graphen von $f$ anschmiegt.
 
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