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Gruppenerweiterungen

 
Gruppenerweiterungen und exakte Sequenzen

Zuerst wollen wir uns den Begriffen "Gruppenerweiterung" und "exakte Sequenz" nähern. Was bedeutet es eigentlich, eine Gruppe zu erweitern? Grob gesprochen ist eine Gruppenerweiterung die allgemeinste Art, sich aus zwei kleineren Gruppen eine größere zu basteln. Um besser mit der formalen Definition einer solchen Erweiterung umgehen zu können, benötigen wir zuerst etwas Wissen über exakte Sequenzen.

 
Exakte Sequenzen

Hat man Gruppen G_1, G_2, G_3 und Homomorphismen \i:G_1->G_2 sowie \p:G_2->G_3, so nennt man die Folge (G_1, \i, G_2, \p, G_3) eine Sequenz. Eine solche Folge wird auch oft dargestellt durch ein Diagramm der Form G_1 -> G_2 -> G_3 Derartige Folgen kann es in beliebiger Länge geben, selbst solche, die nach rechts und\/oder links unendlich sind. Eine Sequenz (...->)G_1->G_2->G_3(->...) heißt \darkblue\ array(exakt an der Stelle G_2)__\black, wenn im(G_1->G_2)=ker(G_2->G_3) ist. Eine Sequenz der Form 1->N->G->Q->1 heißt \darkblue\ array(kurze\, exakte Sequenz)__\black, wenn sie an den Stellen N, G und Q, d.h. überall außer am Rand, exakt ist. \(Eine längere derartige Sequenz heißt analog lange, exakte Sequenz.\) Zunächst einmal ist eine (exakte) Sequenz nichts Neues, alles Nötige ließe sich auch durch Homomorphismen, Kerne und Bilder sagen. Das Arbeiten mit Sequenzen hat aber zunächst den kleinen Vorteil, durch die graphische Darstellung übersichtlicher zu sein. Der große Vorteil wird in diesem Artikel allerdings gar nicht offensichtlich werden, denn Sequenzen aller Art sind nicht nur für Gruppen interessant; man kann Sequenzen in jeder Kategorie definieren, exakte überall dort, wo es Kerne und Bilder gibt. Entsprechend allgemeine Resultate kann die Kategorientheorie dann zeigen. Wer daran Interesse hat, dem seien die Artikel über Kategorientheorie hier auf dem MP empfohlen. \big\ Beispiele für exakte Sequenzen: Direkt aus der Definition folgt, dass 1->G->H genau dann exakt ist, wenn ker(G->H)=im(1->G)={1} ist, wenn der Homomorphismus G->H also injektiv ist. Analog ist G->H->1 genau dann exakt, wenn H=ker(H->1)=im(G->H), wenn also G->H surjektiv ist. Hat man einen Homomorphismus f:G->H gegeben und ist H abelsch, so ist die Sequenz 1->ker(f)->G->H->coker(f)->1 exakt, wobei coker(f) hier für die Faktorgruppe H\/im(f) steht. Dies gilt allgemeiner immer dann, wenn im(f) ein Normalteiler in H ist. Also zum Beispiel auch, wenn man für G eine beliebige Gruppe G, H:=Aut(G) und f:G->Aut(G) als den Homomorphismus wählt, der g aus h\mapsto\ ghg^(-1) abbildet. Als Sequenz geschrieben heißt das, dass 1->Z(G)->G->Aut(G)->Out(G)->1 exakt ist. Hierbei meint Out(G):=coker(f)=Aut(G)\/Inn(G) die Gruppe der so genannten äußeren Automorphismen.

 
Gruppenerweiterungen

Formal gesprochen, ist eine \darkblue\ array(Gruppenerweiterung von Q mit N)__\black eine kurze, exakte Sequenz 1->N->G->Q->1 für eine Gruppe G. Anders formuliert heißt das nichts anderes, als dass es eine Gruppe G gibt, die einen zu N isomorphen Normalteiler hat, deren Faktorgruppe isomorph zu Q ist. Umgekehrt liefert natürlich jedes N<|G eine kurze, exakte Sequenz 1->N->G->G\/N->1 und somit eine Erweiterung von G\/N mit N. Was ist nun das Besondere an Gruppenerweiterungen? Es stellt sich heraus, dass durch die Beziehung zu den Faktorgruppen jede endliche Gruppe als iterierte Gruppenerweiterung von endlichen einfachen Gruppen zustande kommt. Hat man nämlich eine Kompositionsreihe (siehe Gruppenzwang VI) einer endlichen Gruppe G=G_n|>G_(n-1)|>...|>G_2|>G_1|>G_0={0} Dann ist jedes G_i eine Erweiterung der einfachen Gruppe G_i\.\/G_(i-1) mit G_(i-1). Dies rechtfertigt z.B. den Vergleich von einfachen Gruppen mit Primzahlen: So wie jede Primzahl sich nicht weiter in ein Produkt kleinerer, natürlicher Zahlen zerlegen lässt, dafür aber jede natürliche Zahl ein Produkt von Primzahlen ist, ist auch jede endliche Gruppe aus einfachen Gruppen aufgebaut, während sich die einfachen Gruppen nicht durch Gruppenerweiterungen in kleinere Gruppen zerlegen lassen (da sie ja keine nichttrivialen Normalteiler besitzen). Damit lässt sich eines der Hauptziele der Gruppentheorie - die Klassifikation aller endlichen Gruppen - in zwei Teilaufgaben zerlegen: 1.) Die Klassifikation aller endlichen, einfachen Gruppen 2.) Die Klassifikation aller Erweiterungen endlicher Gruppen Nach jahrzehntelanger, intensiver Arbeit ist der erste Teil inzwischen vollständig gelöst. Eine vollständige Lösung des zweiten Problems steht aber noch aus.
 
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