Bearbeiten von: Abschnitt [Änderungshistorie]
  Zeilenumbrüche automatisch mache ich selbst mit HTML    

Ich möchte eine Mail an , nachdem mein Vorschlag bearbeitet ist.
  Nachricht zur Änderung:

Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
[Link zurück zum Artikelabschnitt]

Vorschau:
Der Satz von Schur-Zassenhaus

 
Der Satz von Schur-Zassenhaus

Als Höhepunkt des Artikel möchte ich nun einen zwar vergleichsweise schweren, aber wahnsinnig nützlichen Satz vorstellen, der es einem erlaubt, bestimmte semidirekte Produkte sehr schnell als solche zu erkennen: Den Satz von Schur-Zassenhaus. Bevor wir richtig loslegen, zunächst etwas Vorgeplänkel: Ist G eine endliche Gruppe und U<=G, so nennt man U eine \darkblue\ Hall\-Untergruppe__\black von G, wenn ggT(abs(U),abs(G:U))=1 ist. Ist U sogar ein Normalteiler, so nennt man U analog einen Hall\-Normalteiler. Für den Beweis des Satzes von Schur\-Zassenhaus werden wir zwei kleine, aber ebenfalls sehr nützliche Lemmata benötigen: \darkred\ll(Frattini-Argument)Sei G eine Gruppe, die auf \Omega!=\0 operiert, und sei H<=G eine Untergruppe, die transitiv auf \Omega operiert, dann ist G=H\calS_\omega für jedes \omega\el\Omega. \blue\ Beweis: Für alle g\el\ G existiert ein h\el\ H mit$^h\.\(^g\.\omega||\)=\omega, d.h. hg\el\calS_\omega => g=h^(-1)\.hg\el\ H\calS_\omega => G=H\calS_\omega=\calS_\omega\.H \blue\ q.e.d. \darkred\ll(Lemma)Ist N<|G und C eine charakteristische Untergruppe von N, so ist C auch ein Normalteiler von G. \blue\ Beweis: Sei \phi_g der durch g\el\ G induzierte innere Automorphismus von G. Dann ist \phi_g(N)=N, da N ein Normalteiler ist. Insbesondere ist \phi_g\|N ein Automorphismus von N. Da C eine charakteristische Untergruppe von N ist, gilt also \phi_g(C)\subseteq\ C. => C<|G. \blue\ q.e.d. Weiterhin wird beim Beweis intensiv die Gleichung abs(UV)*abs(U\cut\ V)=abs(U)*abs(V) benutzt, die für alle Untergruppen U,V einer gemeinsamen Obergruppe gilt. Nun, dann können wir eigentlich direkt zum Beweis übergehen:

 
Der Beweis

\darkred\ll(Satz von Schur-Zassenhaus) \darkred\ Sei H eine endliche Gruppe und K ein Hall\-Normalteiler von H. Dann spaltet die exakte Sequenz 1->K->H->H\/K->1. \blue\ Beweis: Wir führen eine Induktion über abs(H) durch. Alle Gruppen kleinerer Ordnung erfüllen also nach Induktionssannahme die Aussage des Satzes. Wir müssen also zeigen, dass es eine Untergruppe U<=H gibt mit UK=H und U\cut\ K={1}. Da K ein Hall\-Normalteiler ist, ist es dabei schon ausreichend, wenn abs(U)=abs(H:K) ist. array(Fall 1:)__ Eine p\-Sylowgruppe P von K ist nicht normal. Da K normal ist, liegen alle p\-Sylowgruppen in K und K operiert transitiv auf ihnen. Das Frattini\-Argument liefert also H=N_H(P)K. Es ist N_H(P)\lneq\ H, da P nicht normal ist. Da abs(K) zu abs(H:K) teilerfremd ist, ist es auch abs(N_H(P)\cut\ K). Es ist weiterhin N_H(P)\cut\ K<|N_H(P) und N_H(P)\.\/N_H(P)\cut\ K~=N_H(P)K\/K=H\/K. Da N_H(P) echt kleiner als H ist, können wir die Induktionsannahme anwenden und erhalten ein Komplement zu N_H(P)\cut\ K in N_H(P), also vor allem eine Untergruppe der Ordnung abs(H:K). \checked Wir setzen also nun voraus, dass alle Sylowgruppen von K normal in H sind. array(Fall 2:)__ abs(K) hat mehr als einen Primteiler. Seien q_1, ... q_n \(mit n>1\) die verschiedenen Primteiler von abs(K) und Q_i die q_i-Sylowgruppe von K. Jedes Q_i ist normal in H. Da Q_1 und Q_2 Sylowgruppen sind, ist Q_1\.Q_2\.\/Q_2 ein Hall\-Normalteiler von H\/Q_2. abs(H\/Q_2) ist echt kleiner als abs(H), es gibt also eine Untergruppe U_1\.\/Q_2<=H\/Q_2 mit abs((H\/Q_2):(Q_1\.Q_2\.\/Q_2))=abs(H)/(abs(Q_1)*abs(Q_2)) Elementen. => abs(U_1)=abs(H)/abs(Q_1). Jetzt ist abs(Q_2) \| abs(U_1), also Q_2<|U_1\lneq\ H. Es gibt also eine Untergruppe U_2<=U_1 mit abs(U_1\.:Q_2)=abs(H)/(abs(Q_1)\.abs(Q_2)) Elementen. Indem man dies induktiv fortsetzt, erhält man eine Untergruppe U_n mit abs(H)/(abs(Q_1)*...*abs(Q_n))=abs(H:K) Elementen. \checked Ist dies auch noch falsch, so muss K gleich einer einzigen Sylowgruppe sein. array(Fall 3:)__ K ist nichtabelsch. K ist nun eine p\-Gruppe, d.h. 1!=Z(K). K ist nichtabelsch, d.h. Z(K)!=K Z(K) ist aufgrund des Lemmas außerdem normal in H, da Z(K) charakteristisch in K ist und es ist abs(H\/Z(K)) abs(U)=abs(H:K)\.abs(Z(K))K->H->H\/K spaltet: array(Letzter Fall:)__ K ist abelsch. Sei nun X ein Repräsentantensystem der Nebenklassen von K und sei x_a\el\ X der jeweilige Repräsentant von aK. =>\forall\ a,b\el\ H\/K \exists\gamma(a,b)\el\ K: x_a*x_b=x_ab*\g(a,b) \align\ =>\forall\ a,b,c\el\ H\/K: x_abc*\g(a,bc)*\g(b,c)><=x_a*x_bc*\g(b,c) ><=x_a*x_b*x_c ><=x_ab*\g(a,b)*x_c ><=x_ab*x_c*(x_c^(-1)\.\g(a,b)x_c) ><=x_abc*\g(ab,c)*(x_c^(-1)\.\g(a,b)x_c) \stopalign =>\forall\ a,b,c\el\ H\/K: \g(a,bc)*\g(b,c)=\g(ab,c)*(x_c^(-1)\.\g(a,b)x_c) Fixieren wir b und c und lassen a über ganz H\/K laufen, so ergibt sich: \forall\ b,c\el\ H\/K: produkt((\g(a,bc)*\g(b,c)),a\el\ H\/K)=produkt((\g(ab,c)*(x_c^(-1)\.\g(a,b)x_c)),a\el\ H\/K) Da K abelsch, normal und alle \g(.,.)\el\ K sind, können wir umsortieren und erhalten: \forall\ b,c\el\ H\/K: produkt(\g(a,bc),a\el\ H\/K)*produkt(\g(b,c),a\el\ H\/K)=produkt(\g(ab,c),a\el\ H\/K)*x_c^(-1)*(produkt(\g(a,b),a\el\ H\/K))*x_c =>\forall\ b,c\el\ H\/K: produkt(\g(a,bc),a\el\ H\/K)*\g(b,c)^abs(H:K)=produkt(\g(ab,c),a\el\ H\/K)*x_c^(-1)*(produkt(\g(a,b),a\el\ H\/K))*x_c Es sei nun \b(c):=produkt(\g(x,c),x\el\ H\/K), dann gilt: \forall\ b,c,\el\ H\/K: \b(bc)*\g(b,c)^abs(H:K)=\b(c)*x_c^(-1)*(\b(b))*x_c Da abs(K) und abs(H:K) teilerfremd sind, gibt es ein k mit k*abs(H:K)==1 (mod abs(K)). Wenn wir die Gleichung mit -k potenzieren und ausnutzen, dass K abelsch ist, erhalten wir: \forall\ b,c,\el\ H\/K: \g(b,c)^(-1)*\b(bc)^(-k)=x_c^(-1)*(\b(b)^(-k))*x_c*\b(c)^(-k) Jetzt setzen wir f(a):=x_a*\b(a)^(-k) und erhalten: \forall\ b,c,\el\ H\/K: \g(b,c)^(-1)*x_bc^(-1)*f(bc)=x_c^(-1)*x_b^(-1)*f(b)*x_c*x_c^(-1)*f(c). =>\forall\ b,c,\el\ H\/K: (x_bc*\g(b,c))^(-1)*f(bc)=(x_b*x_c)^(-1)*f(b)*f(c) =>\forall\ b,c,\el\ H\/K: (x_b*x_c)^(-1)*f(bc)=(x_b*x_c)^(-1)*f(b)*f(c) =>\forall\ b,c,\el\ H\/K: f(bc)=f(b)*f(c) f ist also ein Homomorphismus H\/K->H. Da offensichtlich f(a)K=x_a*\b(a)^(-k)\.K=x_a\.K=a ist, zerfällt die Sequenz wie behauptet. \checked \blue\ q.e.d. Der Beweis des letzten Falls wird sehr oft auch mit Mitteln der so genannten Gruppenkohomologie bewiesen. In der Sprache dieser Theorie wird im letzten Fall die Aussage H2(H/K,K)=1 bewiesen, wobei H2(H/K,K) die zweite Kohomologiegruppe von K ist, worauf H/K durch Konjugation operiert. Allgemein sind kohomologische Methoden ein wichtiges Mittel zur Untersuchung von Gruppenerweiterung und viele tieferliegenden Resultate wurden damit erzielt. Es gibt eine nette Ergänzung zum Satz von Schur-Zassenhaus. Man kann nämlich sogar zeigen, dass alle Komplemente von K in H zueinander konjugiert sind. Das würde aber hier zu weit führen, daher lasse ich den Beweis weg.
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]