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rthogonale Darstellung von SU(2) (Gockel/Gockel)

Anzeige eines Eintrags - aus dem Notizbuch von Gockel Angelegt: 2006-01-27 20:42 von Gockel Zuletzt geändert: 2007-09-20 14:30 von Gockel

rthogonale Darstellung von SU(2) Schwierigkeit: Beschreibung: Es gibt einen surjektiven Homomorphismus SU2->SO3 mit Kern {+-1}. Konsequenz daraus ist u.A. PSU2 ~= SO3 ~= Aut(IH) \(\begingroup\) \darkred\ SU(2)\/{+-1}~=SO(3) \blue\ Beweis: Wir identifizieren den \IR^3 mit \\subseteq\IH=\IR^(1+3) und fassen SU(2) als Gruppe der Einheitsquaternionen auf. SU(2) operiert durch \void^q\.x=qxq^(-1)=qx\.q^- auf \IH. Dabei ist x\mapsto\ qxq^(-1) offenbar ein Ringautomorphismus, der \IR punktweise festlässt und daher \IR\-linear ist. Die Lösungen von x^2=-1 sind genau die Quaternionen der Form \a\.i+\b\.j+\g\.k mit \a^2+\b^2+\g^2=1. Daraus folgt, dass die Operation \IR^3=\ auf sich selbst abbildet, d.h. die Operation induziert einen Homomorphismus SU(2)->GL(3,\IR). Betrachten wir nun u,v\el\, das Kreuz\- und das Standardskalarprodukt von ihnen, welche u.A. bei der Multiplikation der Quaternionen auftreten: u*v=(-\,u\cross\ v) Da die Operation \IR punktweise festlassen und \ auf sich abbilden, folgt: (-\, quq^(-1)\cross\ qvq^(-1))=(quq^(-1))*(qvq^(-1)) =q(uv)q^(-1) =(-\, q(u\cross\ v)q^(-1)) Die Operation erhält also das Skalar\- und das Kreuzprodukt auf dem \IR^3: \=\ (quq^(-1))\cross(qvq^(-1))=q(u\cross\ v)q^(-1) Das Bild von q ist also in O(3). Da auch die Orientierung erhalten wird, liegt das Bild sogar in SO(3). Jetzt bleibt noch die Surjektivität unserer Homomorphismus' zu zeigen. Betrachten wir dazu eine Drehung in SO(3). Diese ist eindeutig durch einen beiden Fixpunkte f auf der Einheitssphäre \(-f ist der andere\) und den Drehwinkel \a festgelegt. Sei nun \t:=(cos(\a/2),sin(\a/2)*f). Man rechnet leicht nach, dass \t(+-f)\t^(-1)=+-f ist. +-f sind also auch die Fixpunkte des Bilds von \t. Nun ergänzen wir f um zwei Vektoren g,h\el\ S^2 zu einer Orthonormalbasis des \IR^3. Wir können dabei durch Umsortieren und Vorzeichenwechsel ein Rechtssystem analog zu (i,j,k) erzwingen, in dem f\cross\ g=h, g\cross\ h=f und h\cross\ f=g gilt. Weitere Rechnungen zeigen, dass dann \t\.g\t^(-1)=cos(\a)g+sin(\a)h und \t\.h\t^(-1)=-sin(\a)g+cos(\a)h ist. \t ist also ein Urbild der Drehung um die Achse f und den Winkel \a und die betrachtete Abbildung ist also surjektiv. Es fehlt uns noch der Kern. Der entspricht offensichtlich SU(2)\cut\ Z(\IH)={+-1}. Also ist SU(2)\/{+-1}~=SO(3) \blue\ q.e.d. Es ist ja bekanntermaßen O(3)={+-1}\times\ SO(3). Die Abbildung -id ist auf \ ganz offenbar mit der Konjugation identisch. Da \IR=Z(\IH) ist, induziert jeder Ring\-Automorphismus von \IH einen Automorphismus von \IR. \IR besitzt nur die Identität als Automorphismus, d.h. jeder__ Automorphismus von \IH hält \IR punktweise fest. Indem man die Argumentation von oben überträgt, folgt daraus, dass jeder Automorphismus auf \ wie ein Element von SO(3) wirkt. Daraus folgt, dass die hier beschriebenen Automorphismen x\mapsto\ qxq^(-1) bereits die einzigen Automorphismen von \IH sind. \(\endgroup\)