Öffentliches Notizbuch von Gockel
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rthogonale Darstellung von SU(2)xSU(2) Druckerfreundliche Ansicht (Gockel/Gockel)

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Angelegt: 2007-02-23 14:37 von Gockel
Zuletzt geändert: 2007-03-13 14:50 von Gockel
rthogonale Darstellung von SU(2)xSU(2)

Schwierigkeit:
Beschreibung:Es gibt einen surjektiven Homomorphismus SU2 x SU2->SO4.


\darkred\ Es gibt einen Homomorphismus SU_2\cross\ SU_2\twoheadrightarrow\ SO_4(\IR) \blue\ Beweis: Wir betrachten die Operation \void^(u,v)\.h=uhv^(-1)=uh\.v^- von SU_2\cross\ SU_2 auf \IH=\IR^4. Dies ist offenbar eine lineare Abbildung, also definiert die Operation einen Homomorphismus SU_2\cross\ SU_2->GL_4(\IR). Es gilt norm(\void^(u,v)\.h)=norm(uhv^(-1))=norm(h), da norm(u)=norm(v)=1. Also ist das Bild des Homomorphismus' in O_4(\IR). Da SU_2\cross\ SU_2 wegzusammenhängend ist, liegt das Bild sogar in SO_4(\IR). Bleibt die Surjektivität zu zeigen. Jede orthogonale Matrix ist von Spiegelungen erzeugt. Ist die Determinante 1, so wird die Matrix von Produkten zweier Spiegelungen erzeugt. Eine Spiegelung wird durch die Matrix I-2vv^T mit norm(v)=1 beschrieben, d.h. h wird auf h-2\*v abgebildet. Über die Identifikation \IR^4=\IH können wir das Skalarprodukt 2\ schreiben als v\.h^-+h\.v^-. Damit ergibt sich: (I-2vv^T)h=w-2\*v =h-(v\.h^-+h\.v^-)*v =h-v\.h^-\.v-h*(v^-\.v) =h-v\.h^-\.v-h*norm(v) =v\.h^-\.v Die Verkettung einer Spiegelung an der Ebene v^\senkrechtauf und einer an u^\senkrechtauf bildet also h auf u*(v\.h^-\.v)^-*u = u\.v^-*h*v^-\.u=u\.v^-*h*(u\.v^-)^-=\void^(u\.v^-,u\.v^-)\.h ab. Kommen wir nun zum Kern des Homomorphismus'. Ist (u,v) aus dem Kern, so gilt \forall\ h\el\IH: uhv^(-1)=h Für h=1 ergibt sich also u=v. Damit folgt uiu^(-1)=i, uju^(-1)=j, uku^(-1)=k => u\el\ Z(\IH)=\IR Da SU_2\cut\ Z(\IH)={+-1} ist, folgt also (u,v)=+-(1,1). Umgekehrt sind diese beiden Element auch im Kern, womit also zusammenfassend gezeigt wurde: (SU_2\cross\ SU_2)\/{+-(1,1)}~=SO(\IH) \blue\ q.e.d. Eigentlich wurde sogar noch mehr gezeigt: Die orthogonale Gruppe O(\IH) wird erzeugt von der Konjugation und den Abbildungen h\mapsto\ uhv^(-1).

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