Mathematik: Wie Differentialformen alles schöner und einfacher machen
Released by matroid on So. 27. November 2022 13:20:12
Written by nzimme10 - (269 x read)
Analysis  \(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}} \newcommand{\rot}{\opn{rot}} \newcommand{\div}{\opn{div}}\)

Wie Differentialformen alles schöner und einfacher machen

Wir schreiben das Jahr 2022. Man findet im Internet einen alten Artikel des Mathematikers Jean Dieudonné und liest von einer "Perversion der schönsten Ideen von Graßmann". Tristan Needham spricht in seinem exzellenten Buch "Visual Differential Geometry and Forms" von einem jahrhundertlangen "Skandal" ohne Aussicht auf Besserung. Was wohl passiert sein mag? Konkret geht es sowohl Dieudonné als auch Needham um die Vektoranalysis im $\mathbb R^3$. Der "Skandal" dabei ist, dass es spätestens seit dem Jahre 1940 eine schönere, wesentlich allgemeinere und oftmals sehr viel einfachere Theorie gibt: die Differentialgeometrie mit Élie Cartan's Differentialformen. Dennoch arbeiten viele (vor allem) Physiker auch heute noch regelmäßig mit der "Perversion, die die Vektoranalysis ist". Der noch verrücktere "Skandal" ist, dass viele Physikstudenten und auch Mathematikstudenten im Laufe ihres Studiums manchmal gar keinen und oft nur sehr wenig Kontakt mit Differentialformen haben. (Zumindest ist das die Erfahrung, die ich regelmäßig mache.) Dieser Artikel möchte einen Beitrag dazu leisten, das zu ändern. Wir betrachten die schöne und einfache Theorie der Differentialformen auf dem $\mathbb R^n$ und zeigen, warum diese Theorie alles schöner und einfacher macht. Zum Abschluss demonstrieren wir diese Behauptung auch an den Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik. Dieser Artikel richtet sich in erster Linie an Physikstudenten. \(\endgroup\)
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Mathematik: Tensoren und Tensorfelder in der Differentialgeometrie
Released by matroid on Fr. 11. November 2022 09:17:20
Written by nzimme10 - (438 x read)
Analysis  \(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}} \newcommand{\rot}{\opn{rot}} \newcommand{\div}{\opn{div}}\)

Tensoren und Tensorfelder in der Differentialgeometrie

Ein Tensor ist ein Objekt, das wie ein Tensor transformiert. In etwa das ist die Definition in manchen Physikbüchern oder einführenden Vorlesungen. Diese "Definition" eignet sich zwar um Berechnungen durchführen zu können, aber wirklich verstehen kann man sie (zumindest am Anfang) nicht. Wenn man sich mit der Differentialgeometrie beschäftigt stellt man schnell fest, dass man in der Regel kein globales kanonisches Koordinatensystem mehr hat. Auf Mannigfaltigkeiten können daher nur Konzepte definiert werden, die unabhängig von den gewählten (lokalen) Koordinaten sind, die also intrinsisch definiert sind. Viele der Konzepte der Differentialgeometrie sind dafür gemacht, die Mittel der linearen und multilinearen Algebra darauf anzuwenden. Tensoren und Tensorfelder, das wird sich zeigen, sind dann genau die mathematischen Objekte, die diese koordinatenunabhängige Beschreibung verschiedener Eigenschaften möglich machen. Dieser Artikel möchte einen Beitrag zum Verständnis dieser Konzepte aus Sicht der Differentialgeometrie leisten.
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Mathematik: Über injektive, surjektive und bijektive Abbildungen
Released by matroid on Di. 08. November 2022 15:16:45
Written by Triceratops - (429 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Über injektive, surjektive und bijektive Abbildungen

Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen sind wichtige Klassen von Abbildungen. Sie werden in diesem Artikel mit der Lösbarkeit von Gleichungen einfach erklärt und mit Hilfe von Bild und Kern charakterisiert. Zum besseren Verständnis werden außerdem sehr viele Beispiele vorgestellt (30 Stück). Anschließend geben wir auch einige Charakterisierungen an, die mit Kürzungs- und Liftungseigenschaften arbeiten. Mit ihnen wird deutlich, dass Injektivität und Surjektivität zueinander "duale" Konzepte sind. Der Artikel richtet sich an Studienanfänger.
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Mathematik: Ist die Hesse-Matrix die zweite Ableitung?
Released by matroid on Do. 03. November 2022 13:01:26
Written by nzimme10 - (393 x read)
Analysis  \(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}} \newcommand{\rot}{\opn{rot}} \newcommand{\div}{\opn{div}}\)

Ist die Hesse-Matrix die zweite Ableitung?

Neulich im Schwätz hat ein Nutzer die Frage gestellt, ob man ihm helfen könne zu zeigen, dass die 2. Ableitung die Hesse-Matrix ist. Zunächst war ich von der Frage etwas verwundert, habe dann aber geglaubt zu verstehen, was das Anliegen ist und nach einigen Stunden hin und her war der Stand der Dinge, dass das, was ich vorgeschlagen hatte, zu kompliziert wäre und "mit Matrizen alles viel logischer" wäre. Persönlich kann ich nur spekulieren, dass der Wunsch alles mit Matrizen darzustellen nur von fehlendem Verständnis kommen kann. Für konkrete Rechnungen mag das schön sein, aber ich halte es für das konzeptionelle Verständnis nicht nur für unnötig, sondern vor allem für hinderlich. In diesem Artikel möchte ich daher einige Auszüge der mehrdimensionalen Differentialrechnung etwas anders darstellen, als das sonst in den gängigen Lehrbüchern und Lehrveranstaltungen für Studienanfänger getan wird. Natürlich kommen wir auf die Frage zurück, die dem Artikel seinen Namen gegeben hat.
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Mathematik: Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)
Released by matroid on So. 16. Oktober 2022 20:27:34
Written by MontyPythagoras - (553 x read)
Physik  \(\begingroup\)

Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)

SchaukelIch weiß nicht so recht, ob dieser Artikel in meine Reihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" passt, denn tatsächlich kommt die Frage nach der Lösung der Pendelgleichung regelmäßig auf, wenn man die Historie des Matheplaneten durchblättert. Üblicherweise kommt als Antwort die Kleinwinkelnäherung wie aus der Pistole geschossen: $\sin\varphi\approx\varphi$ für $\varphi\approx 0$ und zack! Lineare Differentialgleichung, deren Lösung der ambitionierte Student im Schlaf aufsagen kann. Dabei gibt es eine exakte Lösung, und die Funktionen, die man dafür braucht, sind a) nicht gerade neu und b) in jeder gutsortierten Funktionenbibliothek vieler Programmiersprachen und erst recht in CAS-Systemen vorhanden. Warum also nicht exakt lösen? Weil es leider doch einen Wermutstropfen gibt. Wie könnte es anders sein... Schauen wir uns den Wermutstropfen und die "Workarounds" etwas genauer an. \(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Berechnung der Zahl π mit einfachen Mitteln
Released by matroid on Fr. 12. Juli 2019 11:54:30
Written by trunx - (1325 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\) Die Zahl \(\pi\) ist genau genommen eine Naturkonstante. Es ist sehr beeindruckend, dass man diese Naturkonstante berechnen kann, dass also das Denken etwas mit der Realität zu tun hat und nicht gänzlich auf sich selbst gerichtet ist. Die moderne Physik stellt weitere Naturkonstanten zur Verfügung, wie z.B. die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante \(\alpha\), hier bemühen sich Mathematiker bzw. theoretische Physiker ebenfalls eine schlüssige Berechnung ohne Zuhilfenahme von Messergebnissen zu finden. Für die Zahl \(\pi\) gibt es mittlerweile eine Vielzahl von mehr oder weniger schweren Berechnungsmethoden. Hier soll eine besonders leichte vorgestellt werden. Ausgangspunkt der Berechnung ist die Idee, den Flächeninhalt des Einheitskreises (bzw. eines Viertels davon) mittels Riemannscher Summe und nachfolgender Grenzwertbildung zu ermitteln. Diesen Ansatz habe ich mit einem interessierten Schüler der Klasse 9 diskutiert, ihn auch ermutigt, die Rechnung zu Ende zu führen, wozu es leider nicht gekommen ist. Dennoch ist der Artikel so geschrieben, dass er für interessierte Schüler verständlich ist. Wer möchte, bricht an dieser Stelle mit der Lektüre ab und probiert es gern selbst. Das Ergebnis ist zunächst eine sublinear, also langsam konvergierende Reihe, die man aber umformen kann in eine linear konvergente Reihe (mittels Konvergenzbeschleunigung, die ebenfalls vorgestellt wird). \(\endgroup\)
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Werkzeuge: Octave: 2D- und 3D-Grafik - ein paar Beispiele
Released by matroid on Fr. 12. August 2022 06:47:16
Written by Delastelle - (590 x read)
Informatik  \(\begingroup\) Mit dem kostenlosen Programm Octave kann man 2D- und 3D-Grafiken erstellen. Ich habe hier einige kurze Beispiele um Grafiken zu erzeugen. Im Artikel gibt es Grafiken und den Quelltext zum Erzeugen dieser Grafiken. Man kann einen Überblick bekommen, was mit Octave möglich ist. \(\endgroup\)
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Physik: Gasblasen in Flüssigkeiten
Released by matroid on Sa. 23. Juli 2022 08:30:30
Written by Roland17 - (377 x read)
Physik  \(\begingroup\) Die z.B. in Sekt oder anderen kohlensäurehaltigen Getränken aufsteigenden Serien von Kohlendioxidbläschen weisen häufig eine schöne Regelmäßigkeit auf, welcher in diesem Artikel nachgespürt wird. \(\endgroup\)
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Mathematik: Autokarten 2 - crazy
Released by matroid on Mo. 11. Juli 2022 06:42:16
Written by Delastelle - (150 x read)
Spiele+Rätsel  \(\begingroup\) Ist mein Motorrad besser als deine Lok oder ist mein Flugzeug besser als dein Schiff? Kann man mit "Äpfeln" und "Birnen" spielen und ergibt das ein gutes "Obst"? Wenn man aus 8 verschieden Kartenspielen/Quartetten je die ersten 4 Karten entnimmt, und dann mit den 32 Karten Autokarten spielt, geht das überhaupt? Am Ende wird auch noch ein sinnvolles Kartenspiel behandelt. \(\endgroup\)
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