Von den reellen Zahlen zu den Oktonionen
Von: Gockel
Datum: Mo. 12. März 2007 23:16:17
Thema: Mathematik

Von den reellen Zahlen zu den Oktonionen

Hallo, Algebrafreunde. Es wurde vor längerer Zeit einmal gewünscht, Martin_Infinites Konstruktion der Zahlenmengen über \IR hinaus fortzusetzen und komplexe Zahlen, Quaternionen und Oktonionen einzuführen. Genau dies soll dieser Artikel leisten. Ich will dabei nicht sehr auf die Eigenheiten dieser Strukturen eingehen, sondern ich möchte vielmehr ihre Konstruktion nach Cayley-Dickson sowie den Beweis, dass \IR,\IC,\IH und \IO die einzigen normierten, reellen Divisionsalgebren sind, vorführen.

Inhalt



 

Algebren

Vor allem für den Eindeutigkeitsbeweis möchte ich kurz noch ein paar Begrifflichkeiten einführen: Ein \IK\-Vektorraum V heißt \darkblue\IK\-Algebra__\black||, wenn V eine \IK\-bilineare Multiplikation besitzt, d.h. wenn es eine Abbildung opimg(*) : V\cross\ V->V gibt mit \ll(LD)\forall\ a,b,c\el\ V,\l,\m\el\IK: a*(\l\.b+\m\.c)=\l(a*b)+\m(a*c) \ll(RD)\forall\ a,b,c\el\ V,\l,\m\el\IK: (\l\.a+\m\.b)*c=\l(a*c)+\m(b*c) Man sollte aber beachten, dass gravierende Unterschiede bei der Definition dieses Begriffs bestehen. Viele Autoren fordern, dass die Multiplikation assoziativ ist, V also zu einem Ring wird. Wir fordern das nicht, um auch die nicht\-assoziativen Oktonionen unterzubringen. Außerdem fordern wir zunächst kein 1\-Element für die Multiplikation. Hat V jedoch so eins, dann nennen wir V eine \darkblue\ unitäre__\black \IK\-Algebra. Ist V eine solche, dann gibt es einen zu \IK isomorphen Unterring von V, nämlich \IK*1_V=menge(k*1_V | k\el\IK). Alle in diesem Artikel wichtigen Algebren werden unitär sein und wir werden vielfach \IK mit \IK*1_V identifizieren, ohne es explizit zu erwähnen. Es sollte sich aber aus dem Kontext erschließen, wann dies der Fall ist. Als \darkblue\ Divisionsalgebra__\black bezeichnen wir eine unitäre \IK\-Algebra, in der die Gleichungen a=bx und a=xb für alle a,b\el\ A mit b!=0 eindeutig nach x lösbar sind. Auch hier sind vielfältige Abwandlungen der Definition im Umlauf. Auf naheliegende Weise definieren wir außerdem die Begriffe endlich\-dimensionale, assoziative und kommutative \IK\-Algebra.

Normierte Algebren

Es gibt eine ziemliche Vielfalt von Algebren, so ist beispielsweise jeder Matrizenring eine unitäre, assoziative Algebra. Selbstverständlich ist auch jeder Körper eine Algebra über sich selbst. Die vier Algebren, für die wir uns hier interessieren, haben aber eine Zusatzstruktur, die sie so einmalig macht: Sie sind so genannte normierte Divisionsalgebren. Sei A ein \IK\-Vektorraum. Eine Abbildung N:A->\IK mit folgenden Eigenschaften \ll(N1)\forall\l\el\IK,x\el\ A: N(\l*x)=\l^2*N(x) \ll(N2)(x,y)\mapsto\ N(x+y)-N(x)-N(y) ist eine bilineare Abbildung heißt quadratische Form auf A. Ist A eine unitäre Algebra und N!=0 eine quadratische Form auf A mit \ll(N3)\forall\ x,y\el\ A: N(xy)=N(x)*N(y) dann nennen wir A eine \darkblue\ normierte__\black Algebra. Es ist Vorsicht geboten auch bei diesem Begriff! In anderen Bereichen der Mathematik wie der Funktionalanalysis ist mit einer normierten Algebra z.B. immer ein reeller Vektorraum mit einer multiplikativen Norm gemeint. Das ist ein Unterschied zu unserer Definition! Zum einen lassen wir beliebige Körper zu, zum anderen entspricht selbst über \IR unser N eher dem Quadrat einer Norm im analytischen Sinne. Ähnliches wird auch bei späteren Definitionen der Fall sein. Man sollte unbedingt in jeder Quelle nachlesen, welche der diversen Varianten wirklich benutzt wird und wo sie ggf. von meinen abweichen. Machen wir noch einige Beispiele zu normierten Algebren: Jeder Körper ist mit der quadratischen Form N(x)=x^2 eine normierte Divisionsalgebra über sich selbst. Es stellt sich aber heraus, dass es außer den Körpern selbst nur sehr wenige weitere normierte Divisionsalgebren gibt. Wir werden für den Rest des Artikels char(\IK)!=2 voraussetzen, denn dann entsprechen Quadratischen Formen eindeutig Bilinearformen. Außerdem interessieren uns ja vor allem die Fälle für \IK=\IR. \=1/2*(N(x+y)-N(x)-N(y)) ist dann eine \(offensichtlich symmetrische\) Bilinearform, für die N(x)=\ gilt. Umgekehrt erhält man natürlich aus jeder Bilinearform (,) eine quadratische Form durch M(x):=(x,x). Wir halten kurz ein paar Fakten über normierte Divisionsalgebren fest: \darkred\ll(Lemma 1)Ist A eine normierte Divisionsalgebra, so gilt N(x)=0<=>x=0 und insbesondere ist \<,\> eine nicht\-ausgeartete Bilinearform. Ist \IK=\IR, dann ist zusätzlich \<,\> positiv definit. \blue\ Beweis: Wegen N(1)=N(1)N(1) muss entweder N(1)=1 oder N(1)=0 sein. N(1)=0 kann nicht eintreten, denn laut Definition ist N von der Nullabbildung verschieden. Also ist N(1)=1. Nach Voraussetzung ist 1=xy für alle x!=0 nach y lösbar, jedes x!=0 hat also ein Rechtsinverses für das demzufolge gilt: => 1=N(1)=N(xy)=N(x)N(y) => N(x)!=0. Wir zeigen nun, dass für \IK=\IR außerdem N(x)>0 gilt. Wäre nämlich N(x)<0, so würde das quadratische Polynom \l^2-2\<\l,x\>+N(x)=\<\l+x,\l+x\>=N(\l+x) für große \l gegen +\inf streben, für \l=0 aber negativ werden. Es müsste also ein \l geben mit N(\l+x)=0 => \l+x=0 => x=-\l. Darauf würde aber N(x)=N(-\l)=\l^2>0 folgen. \blitz \blue\ q.e.d. Für reelle, normierte, endlich-dimensionale Divisionalgebren können wir also durch Wahl einer geeigneten Basis annehmen, dass die Norm von Standardskalarprodukt erzeugt wird. \darkred\ll(Lemma 2)Ist A eine normierte Algebra, so gilt: \darkred\ll(a)\forall\ x,y,z\el\ A: \=N(z)*\=\ \darkred\ll(b)\forall\ w,x,y,z\el\ A: \=2\\-\ \blue\ Beweis: Für beliebig gewählte w,x,y,z\el\ A gilt: \align \><=1/2*(N(zx+zy)-N(zx)-N(zy)) ><=N(z)*1/2*(N(x+y)-N(x)-N(y)) ><=N(z)*\ und analog \=\*N(z). \checked \breakalign Es gilt nach \ref(a) weiterhin \><=N(x+z)*\ ><=(N(x)+2\+N(z))*\ ><=N(x)\+2\\+N(z)\ Aber auch \><=\ ><=\+\+\+\ ><=N(x)\+\+\+N(z)\ \breakalign\stopalign =>2\\=\+\ \blue\ q.e.d.
 

Die Verdopplungskonstruktion nach Cayley-Dickson

Schlüssel zum Verständnis ist die so genannte Cayley-Dickson-Konstruktion, die aus einer normierten Algebra eine weitere normierte Algebra mit doppelter Dimension macht. Voraussetzung für die Konstruktion ist eine \IK\-Algebra A, die eine Abbildung x\mapsto\ x^- besitzt, welche \IK\-linear ist, die Multiplikation umkehrt und höchstens die Ordnung 2 hat: \ll(K1)\forall\ x,y\el\ A, \l,\m\el\IK: (\l*x+\m*y)^-=\l*x^-+\m*y^- \ll(K2)\forall\ x,y\el\ A: xy^-=y^-*x^- \ll(K3)\forall\ x\el\ A: x^-^-=x Für kommutative Algebren wäre dies natürlich sogar ein Automorphismus \(von \IK\-Algebren\). Insbesondere gibt es für A=\IK genau eine solche Abbildung, nämlich die Identität. Man nennt solch eine Abbildung auch Konjugation der Algebra. Mit einem solchen Antiautomorphismus kann man nun die Cayley-Dickson-Konstruktion sehr direkt einführen: \darkred\ll(Cayley-Dickson) \darkred\ Sei A eine Algebra mit einer Konjugationsabbildung $^-. Dann gilt: \darkred\ll(a)Durch (a,b)(x,y):=(ax-y\.b^-, a^-\.y+xb) wird A\oplus\ A selbst zu einer \IK\-Algebra. \darkred\ll(b)Durch (a,b)^-:=(a^-,-b) ist eine Konjugationsabbildung auf dieser neuen Algebra A\oplus\ A gegeben. \darkred\ll(c)Ist A eine normierte Algebra, dann ist A\oplus\ A durch N(a,b):=N(a)+N(b) eine quadratische Form gegeben. \blue\ Beweis: Das ist pure Schreibarbeit, da ist nichts Spannendes bei... \blue\ q.e.d. Wir werden diese Konstruktion mit A|opimg(\oplus)_CD|A bezeichnen. Wir sehen, dass wir sie beliebig oft durchführen können, denn haben wir einmal einen der nötigen Antiautomorphismen, dann können wir ja auf A|opimg(\oplus)_CD|A auch einen solchen definieren und die Konstruktion wiederholen. Man sieht anhand der Definitionen leicht ein, dass A nun eine Unteralgebra von A|opimg(\oplus)_CD|A ist, nämlich die Unteralgebra menge((a,0) | a\el\ A). Wenn A ein 1\-Element besitzt, ist auch A|opimg(\oplus)_CD|A unitär, denn (1,0) ist dann ein Einselement, wie man leicht sieht. Wenn A normiert ist, dann ist A|opimg(\oplus)_CD|A sogar eine orthogonale Summe aus A\oplus{0} und {0}\oplus\ A. Was sich nicht ohne Weiteres übertragen lässt, sind Kommutativität, Assoziativität, Multiplikativität der Norm und die Eigenschaft, eine Divisionalgebra zu sein, wie wir noch sehen werden. Soweit, so unspektukulär. Es stellen sich aber jetzt zwei Fragen: 1.) Ist diese Konstruktion überhaupt interessant für uns, d.h. gibt es solche Antiautomorphismen überhaupt bei den Algebren, die wir betrachten wollen? 2.) Wozu macht man sowas überhaupt, welche Vorteile ergeben sich daraus, gerade diese Konstruktion zu betrachten? Zu Punkt 1: Es stellt sich heraus, dass die Algebren \IC, \IH, \IO durch diese Konstruktion aus \IR hervorgehen. Da \IR ja die Identität als Konjugationsabbildung besitzt, können wir die Konstruktion anwenden, um \IC, \IH und \IO direkt so zu definieren: \IC:=\IR|opimg(\oplus)_CD|\IR \IH:=\IC|opimg(\oplus)_CD|\IC \IO:=\IH|opimg(\oplus)_CD|\IH Wir werden später beweisen, dass dies alles normierte Divisionsalgebren sind. Die nächste Algebra \IS:=\IO|opimg(\oplus)_CD|\IO ist dies aber nicht mehr. Auch hier werden wir sehen, warum dies so ist. Aber man kann auf jeder normierten Algebra A eine solche Konjugationsabbildung definieren, indem man eine Spiegelung am Unterraum \IK*1_A als Konjugation definiert, d.h. man setzt x^-:=2\-x \(Kleine Übung für zwischendurch: Diese Definition stimmt auf \IR, \IC, \IH, \IO mit den durch Cayley\-Dickson definierten Konjugationen überein\) Wir werden mit dieser Abbildung viel herumrechnen, um unsere Resultate über allgemeine, normierte Divisionsalgebren zu erhalten. Deshalb noch ein Lemma: \darkred\ll(Lemma 3)Sei A eine normierte Algebra. x\mapsto\ x^- ist linear und erfüllt für alle a,b,c\el\ A: \darkred\ll(a)\=\=\ \darkred\ll(b)a+a^-\el\IK \darkred\ll(c)a^-^-=a \darkred\ Und wenn A eine normierte Divisionsalgebra ist zusätzlich: \darkred\ll(d)ab^-=b^-*a^- \darkred\ll(e)a*a^-=a^-*a=N(a) \blue\ Beweis: Die Linearität sieht man der Definition direkt an, da \<,\> bilinear ist. \=\ array(\small(L.2);\normal=;\small$)\normal 2\\-\=\-b)\>=\ \=\<1*c,ab\> array(\small(L.2);\normal=;\small$)\normal 2\<1,a\>\-\<1*b,ac\>=\-a)*c\>=\ \checked Schnell sieht man auch: a+a^-=a+2\-a=2*\\el\IK \checked Direkt aus der Bilinearität ergibt sich ebenfalls: a^-^-=2\<(2\-a),1\>-(2\-a)=4\\<1,1\>-2\-2\+a=a \checked Außerdem gilt für alle z: \ array(\small(a);\normal=;\small$)\normal \ array(\small(a);\normal=;\small$)\normal \ array(\small(a);\normal=;\small$)\normal \ Woraus ab^-=b^-*a^- folgt, da \<,\> bei normierten Divisionsalgebren nicht\-ausgeartet ist. \checked Nun bleibt noch x^-*x=x*x^-=N(x) zu zeigen. Sei wieder z\el\ A beliebig. \*1\>=N(x)*\ array(\small(L.2);\normal=;\small$)\normal \ array(\small(a);\normal=;\small$)\normal \ => x*x^-=\=N(x) Analog folgt \*1\>=N(x)*\ array(\small(L.2);\normal=;\small$)\normal \ array(\small(a);\normal=;\small$)\normal \ => x^-*x=N(x) \checked \blue\ q.e.d. Besonders Lemma 2 und 3 werden wir gleich noch brauchen, um ohne Assoziativ- und Kommutativgesetz gewisse Umordnungen und Umklammerungen durchzuführen.
 

Warum nur Zweierpotenzen?

Wir kommen nun zum Beweis, dass \IR,\IC,\IH und \IO die einzigen reellen, normierten Divisionsalgebren sind. Der erste Schritt für uns wird sein, zu zeigen, dass normierte, endlichdimensionale Divisionsalgebren immer eine Zweierpotenz als Dimension haben. Über \IR können wir außerdem zeigen, dass es höchstens einen Isomorphietyp pro Dimension geben kann. \darkred\ll(Lemma 4)Sei A eine normierte Algebra, B eine echte Unteralgebra und i\el\ B^\senkrechtauf. Dann gilt für beliebige a,b,c,d\el\ B: \darkred\ll(a)B^-=B \darkred\ll(b)(ib)^-=-ib und ib=b^-\.i \darkred\ Ist A sogar eine Divisionsalgebra, so gilt weiter: \darkred\ll(c)(ib)c=i(cb) \darkred\ll(d)a(id)=i(a^-\.d) \darkred\ll(e)(ib)(id)=-N(i)*d\.b^- \blue\ Beweis: B ist unter $^- abgeschlossen, denn b^-=2*\-b ist wegen \\el\IK\subseteq\ B selbst in B. \checked Es gilt dann für b\el\ B beliebig: ib^- = 2*\-ib array(\small(L.3);\normal=;\small$)\normal 2*\-ib array(\small\ b^- \senkrechtauf i;\normal=;\small$)\normal -ib Daraus folgt mit b=1 sofort i^-=-i und daraus wiederum: -ib=ib^-=b^-*i^-=b^-*(-i)=-b^-\.i => ib=b^-\.i \checked Wir nutzen nun, dass \<,\> nicht\-ausgeartet ist, um (ib)c=i(cb) und a(id)=i(a^-\.d) zu zeigen. Sei daher z\el\ A beliebig. Unter intensiver Benutzung von \ref(Lemma 2) und \ref(Lemma 3) folgt dann: \align\><=$\ # Lemma 3 ><=$ \ # (b) ><=2 \\<\.c^-, i\>-\ # Lemma 2 ><=- \ # c und i sind senkrecht ><=$ \ ><=$ \ # (b) ><=$ \ # Lemma 3 ><=$ \ \breakalign\stopalign => (ib)c=i(cb) \checked Und analog: \align\><=$ \<\.a^-\.z,id\> # Lemma 3 ><=2 \<\.a^-, i\>\-\<\.a^-\.d,iz\> # Lemma 2 ><=- \<\.a^-\.d,iz\> # a und i sind senkrecht ><=$ \<(-i)z, a^-\.d\> ><=$ \<\.i^-\.z, a^-\.d\> # (b) ><=$ \ # Lemma 3 \breakalign\stopalign => a(id)=i(a^-\.d) \checked Auch (ib)(id)=-d\.b^- läuft nach diesem Schema ab: \align\><=$ \ # Lemma 3 ><=2 \\<\.(id)^-\.,b\>-\ # Lemma 2 ><=2 \\<-id,b\>-\<\.i^-*(zb),-id\> # Lemma 3 und (b) ><=2 \\<-i,b\.d^-\.\>-\<(-i)*(zb),-id\> # Lemma 3 und (b) ><=-\*N(-i) # Lemma 2, -i ist senkrecht auf bd ><=-\*N(i) # Lemma 3, N(-i)=N(i) ><=$ \ \stopalign => (ib)(id)=-N(i)*d\.b^- \checked \blue\ q.e.d. \darkred\ll(Satz 5)Ist A eine normierte, reelle Divisionsalgebra und ist B eine echte, endlich\-dimensionale Unteralgebra von A, dann enthält A eine zu B|opimg(\oplus)_CD|B isomorphe Unteralgebra. \blue\ Beweis: Da auch B eine normierte Divisionsalgebra ist, ist \<,\> auch auf B nicht\-ausgeartet. Insbesondere enthält B Elemente a,b, sodass \!=0 ist. Dann gilt für mindestens einen der Vektor a,b,a+b: \!=0. Die Bilinearform \<,\> ist nun auch auf u^\senkrechtauf\cut\ B nicht\-ausgeartet, also können wir induktiv fortsetzen und erhalten eine Orthogonalbasis (c_1, ..., c_n) von B, da B endlich\-dimensional ist. Da B eine echte Unteralgebra ist, enthält A\\B einen Vektor w. Wir setzen nun v:=w-sum((\)/(\)*c_i,i=1,n) und erhalten somit einen Vektor 0!=v\el\ B^\senkrechtauf Durch Skalieren um 1/sqrt(N(v)) \(man beachte N(v)>0, dies ist die einzige Stelle, an der wir \IK=\IR brauchen\) erhalten wir einen Vektor i\el\ B^\senkrechtauf mit Norm 1. Wir behaupten, dass B+i*B ~= B|opimg(\oplus)_CD|B ist. Wir zeigen nun, dass \forall\ a,b,c,d\el\ B: (a+ib)(c+id)=(ac-d\.b^-)+i(a^-\.d+cb) gilt. Damit würde nämlich a+ib\mapsto\ (a,b) unser Isomorphismus. Multiplizieren wir doch einmal (a+ib)(c+id) aus: (a+ib)(c+id)=(a+ib)c+(a+ib)(id)=ac+(ib)c+a(id)+(ib)(id) Wenn wir jetzt fröhlich das eben bewiesene Lemma anwenden und ein bisschen zusammenfassen, erhalten wir, dass dies gleich (ac-d\.b^-)+i(a^-\.d+cb) ist. Also ist B+iB~=B|opimg(\oplus)_CD|B als reelle Algebra. Tatsächlich ist dieser Isomorphismus aber auch mit der restlichen Struktur verträglich: Es gilt ib^-=-ib für alle b\el\ B, also gilt insbesondere: (a+ib)^-=a^--ib=a^-+i(-b) für alle a,b\el\ B. Der Isomorphismus ist also mit der Konjugationsabbildung, wegen N(x)=x*x^- auch mit der quadratischen Form N und wegen \=1/2*(N(x+y)-N(x)-N(y)) auch mit dem Skalarprodukt verträglich. \blue\ q.e.d. Anmerkungen: Man kann den Beweis offenbar auf alle die Fälle ausdehnen, wo man einen solchen Vektor i\el\ B^\senkrechtauf mit N(i)=1 finden kann. Gibt es keinen solchen Vektor, dann kann der Beweis trotzdem fast übernommen werden und man erhält statt B|opimg(\oplus)_CD|B die Algebra B+iB mit der Multiplikation (a+ib)(c+id)=(ac-N(i)*d\.b^-)+i(a^-\.d+cb) Daraus folgt unter anderem auch für beliebige Körper \(die unserer Generalvoraussetzung char(\IK)!=2 genügen\) das Resultat, dass normierte Divisionsalgebren endlicher Dimension immer eine Potenz von 2 als Dimension haben. Wenn nun i wirklich nicht auf N(i)=1 normiert werden kann, N(i) in B also keine Quadratwurzel besitzt, haben wir hier sozusagen eine Adjunktion von wurzel(N(i)) vorliegen. In der Tat ist für B=\IK die so gefundene Algebra isomorph zum Körper B(wurzel(N(i))). Der Beweis zeigt uns vor allem, dass jede endlich-dimensionale, reelle, normierte Divisionsalgebra aus den reellen Zahlen durch iterierte Anwendung des Cayley-Dickson-Verfahren hervorgeht. Insbesondere kann es bis auf Isomorphie immer nur höchstens eine normierte, reelle Divisionsalgebra endlicher Dimension geben. Was uns noch zu zeigen bliebe, wäre, dass unsere vier Lieblinge - die reellen und komplexen Zahlen, die Quaternionen und die Oktonionen - tatsächlich die einzigen normierten Divisionsalgebren sind, die dabei herauskommen können und man den Verdopplungsprozess nicht beliebig fortsetzen kann.
 

Warum nicht alle Zweierpotenzen?

"Es geht nicht, noch eine Oktave höher zu singen als \small\IO sonst geht alles den Banach runter." - Tobi Pfanner

Auf zu Schritt zwei. Wir werden eine Reihe von Verbindungen zwischen B und B|opimg(\oplus)_CD|B herleiten, um damit zu zeigen, dass man den Verdopplungsprozess nicht beliebig oft fortsetzen kann, da bei jedem Schritt Eigenschaften verloren gehen. Insbesondere wird daraus die gewünschte Eindeutigkeit von \IR,\IC,\IH und \IO folgen.
Welche Beziehungen das konkret sind, habe ich versucht, in dieser Tabelle zu veranschaulichen:
\darkred\ll(Satz 6)

B \small\ array(\blue\IK beliebig;\red\IK=\IR) B|opimg(\oplus)_CD|B  
  N+A array(\blue=>)   N D: Divisionsalgebra
N: normiert
A: assoziativ
K: kommutativ
T: Konjugation=idB
D+N+A array(\blue<==;\red<=>) D+N
D+N
  N+A+K \blue=>   N+A
D+N+A+K array(\blue<==;\red<=>) D+N+A
D+N+A
  N+A+K+T \blue=>   N+A+K
D+N+A+K+T array(\blue<==;\red<=>) D+N+A+K
D+N+A+K

 
\blue\ Beweise von oben nach unten: Ist B eine normierte und assoziative Algebra. Wir wollen zeigen, dass B|opimg(\oplus)_CD|B eine normierte Algebra ist. Das tritt genau dann ein, wenn N multiplikativ ist. Wir haben also zu zeigen, dass wenn B assoziativ ist, wenn für alle a,b,c,d\el\ B gilt: N(a,b)*N(c,d)=N(ac-d\.b^-\.,a^-\.d+cb) <=> (N(a)+N(b))*(N(c)+N(d))=N(ac-d\.b^-)+N(a^-\.d+cb) <=> N(ac)+N(ad)+N(bc)+N(bd)=\ + \<\.a^-\.d+cb,\.a^-\.d+cb\> $ =N(ac)-2\<\.d\.b^-\.,ac\>+N(d\.b^-) + N(a^-\.d)+2\<\.a^-\.d,cd\>+N(cb) <=> 0=-2\<\.d\.b^-\.,ac\>+2\<\.a^-\.d,cb\> Die letzte Äquivalenz gilt dabei, weil für beliebiges x N(x^-)=\<\.x^-\.,\.x^-\.\>=\<\.x*x^-,1\>=x*x^-=N(x) und weil N auf B multiplikativ ist. Es ist demnach \forall\ a,b,c,d\el\ B: \<\.d\.b^-\.,ac\>=\<\.a^-\.d,cb\> zu zeigen. Wenden wir auf beide Seiten der Gleichung \ref(Lemma 3) an, so erhalten wir als Zielgleichung: \=\ Ist B assoziativ, so stimmt die Aussage also in der Tat. \blue\checked Wenn die Form nicht\-ausgeartet ist, dann lässt sich der Schluss auch in die andere Richtung vollziehen und aus der Multiplikativität der Norm die Assoziativität von B folgern. \blue\checked Der nächste Schritt: Wenn B eine reelle, normierte, assoziative Divisionsalgebra ist, dann ist B|opimg(\oplus)_CD|B eine normierte Divisionsalgebra. Wir wissen bereits, dass B|opimg(\oplus)_CD|B normiert sein muss. Wir müssen also zeigen, dass die Gleichung (a,b)(c,d)=(e,f) eindeutig nach (c,d) auflösbar ist, wenn (a,b)!=0, und eindeutig nach (a,b) auflösbar ist, wenn (c,d)!=0. Sei (a,b)!=0. Es ist also das Gleichungssystem ac-d\.b^-=e \and a^-\.d+cb=f zu lösen. Ist a=0, so reduziert sich dies auf das Gleichungssystem -d\.b^-=e \and cb=f wobei wegen b!=0 nun d und c eindeutig bestimmt sind, da B eine Divisionsalgebra ist. Sei also a!=0. => acb-d\.b^-\.b=eb \and a\.a^-\.d+acb=af => a\.a^-\.d+d\.b\.b^-=af-eb => (N(a)+N(b))*d=af-eb Da B als reelle Divisionsalgebra vorausgesetzt ist, ist N auf B positiv definit. Wegen (a,b)!=0 ist also auch N(a)+N(b)!=0 und d ist eindeutig bestimmt. Analog löst man nach c auf. Der Fall (c,d)!=0 läuft ebenfalls analog hierzu. B|opimg(\oplus)_CD|B ist also eine normierte Divisionalgebra, wenn B eine reelle, normierte, assoziative Divisionslagebra ist. \blue\checked. Weiter mit der nächsten Aussage. Wir haben zu zeigen, dass B|opimg(\oplus)_CD|B normiert und assoziativ ist, wenn B eine normierte, assoziative und kommutative Divisionsalgebra ist. Die Normierung haben wir schon. Es gilt für alle a,b,c,d,e,f\el\ B: \align((a,b)*(c,d))*(e,f)><=(ac-d\.b^-, a^-\.d+cb)*(e,f) ><=((ac-d\.b^-)*e-f*(a^-\.d+cb)^-, (ac-d\.b^-)^-*f+e*(a^-\.d+cb)) ><=(ace-d\.b^-\.e-fa\.d^--f\.b^-*c^-, c^-*a^-\.f-b\.d^-\.f+e\.a^-\.d+ecd) \breakalign\stopalign Sowie \align(a,b)*((c,d))*(e,f))><=(a,b)(ce-f\.d^-, c^-\.f+ed) ><=(a*(ce-f\.d^-)-(c^-\.f+ed)*b^-, a^-*(c^-\.f+ed)+(ce-f\.d^-)*b) ><=(ace-af\.d^--c^-\.f\.b^--ed\.b^-, a^-*c^-\.f+a^-\.ed+ceb-f\.d^-\.b) \breakalign\stopalign Diese Ausdrücke sind natürlich gleich, wenn B assoziativ und kommutativ ist. \blue\checked. Wir haben oben schon einmal bewiesen, dass in normierten Divisionsalgebren für i \senkrechtauf B und beliebige b,c\el\ B gilt: (ib)c=i(cb) Wenn B|opimg(\oplus)_CD|B also eine assoziative, normierte Divisionsalgebra ist, dann können wir i=(0,1) wählen und so muss B kommutativ sein, wie man durch kürzen von i sieht. \blue\checked Die Äquivalenzaussage für reelle Algebren folgt aus den vorangegangen Überlegungen. Wenn B reell ist und D+N+A+K erfüllt, dann muss B|opimg(\oplus)_CD|B eine normierte Divisionsalgebra sein und nach dem eben bewiesenen auch assoziativ. \blue\checked Auf zur nächsten Aussage: Erfüllt B die Bedingungen N+A+K+T, dann erfüllt B|opimg(\oplus)_CD|B die Bedingungen N+A+K. Wir haben nur die Kommutativität noch zu zeigen. Es gilt für alle a,b,c,d\el\ B: (a,b)(c,d)=(ac-d\.b^-, a^-\.d+cb) (c,d)(a,b)=(ca-b\.d^-, c^-\.b+ad) Wirkt die Konjugation trivial auf B und ist B kommutativ, so ist B|opimg(\oplus)_CD|B demnach kommutativ. \blue\checked Ist umgekehrt B|opimg(\oplus)_CD|B kommutativ, so folgt für alle a,b,c,d\el\ B: ac-d\.b^-=ca-b\.d^- => b^-\.d=b\.d^- => b^-*1=b*1 Die Konjugationsabbildung muss auf B also gleich B_id sein. Aus D+N+A+K für B|opimg(\oplus)_CD|B folgt also D+A+N+K+T für B. \blue\checked Die reelle Äquivalenz ist dann wieder nur eine Zusammensetzung der vorherigen Ergebnisse. \blue\checked+q.e.d.
 

Das große Finale

Mit den Sätzen 5 und 6 haben wir nun alles, was wir brauchen, um die Eindeutigkeit der vier reellen, normierten Divisionalgebren zu zeigen. \big\ array(\red\ Ha\black||uptsatz)____\darkred\double\frameon Jede reelle, normierte Divisionsalgebra A ist zu \IR,\IC,\IH oder \IO isomorph. \frameoff \blue\ Beweis: Aus \ref(Satz 5) folgt nun, dass A isomorph zu \IR,\IC,\IH oder \IO ist, wenn dim(A)<=8 ist. Unsere Annahme ist also dim(A)>8. A enthält \IR und damit nach \ref(Satz 5) auch die Unteralgebren \IC, \IH, \IO und \IS:=\IO|opimg(\oplus)_CD|\IO und sie alle sind normierte Divisionsalgebren. Nun lassen wir \ref(Satz 6) los: \IR erfüllt D+N+A+K+T => \IC erfüllt D+N+A+K, aber nicht T, denn die Konjugation ist nach der Konstruktion von \IR|opimg(\oplus)_CD|\IR nichttrivial. => \IH erfüllt D+N+A, aber weder K, noch T. => \IO erfüllt D+N, aber weder A, noch K, noch T. => \IS kann D+N nicht mehr erfüllen, denn dann wäre \IO assoziativ, was es aber eben nicht ist. Wir erhalten einen Widerspruch. Die Annahme dim(A)>8 ist falsch. \blue\ q.e.d. Genauer können wir sagen, dass \IS nichtmal N erfüllen kann, denn das Skalarprodukt auf \IS ist nicht\-ausgeartet und wie oben demonstriert würde dann schon aus der Normiertheit von \IS die Assoziativität für \IO folgen. Es ist sogar so, dass \IS auch keine Divisionsalgebra ist, da \IS Nullteiler besitzt \(obwohl jedes Element invertierbar ist!\), auch wenn ich das jetzt nicht beweisen werde. Man kann das hier bewiese Resultat noch geringfügig verschärfen, indem man genau untersucht, wozu wirklich welche Voraussetzung benutzt wurde. Für die Lemmata 3 und 4, Satz 5 sowie den Schluss von N auf N+A haben wir von der Divisionsalgebra im Wesentlichen die Nicht-Ausgeartetheit der von N induzierten Bilinearform benutzt. Für N+A=>N+A+K mussten wir einmal kürzen. Wenn man also "normierte Divisionalgebra" durch "normierte, nullteilerfreie Algebra mit nicht-ausgearteter Norm" ersetzt, kann man die Beweise übernehmen.
 

Abschluss

So, das soll es bis hierhin gewesen sein. Man kann natürlich noch mehr zu den hier neu gewonnen Strukturen sagen, etwa über die algebraische Abgeschlossenheit von \IC , die physikalischen und computergraphischen Anwendungen von \IH oder die geometrische Interpretation der Räume \IH und \IO . Eine Zusammenhang zwischen den drei- und vierdimensionalen Drehungsgruppe und den Quaternionen habe ich früher schon einmal in meinem Notizbuch beschrieben: Die orthogonale Darstellung von SU(2)xSU(2) Die orthogonale Darstellung von SU(2) Doch damit möchte ich es hier bewenden lassen. Ziel war ja vor allem der Beweis der Eindeutigkeit der vier reellen, normierten Divisionsalgebren und der ist erbracht. Ich hoffe, er hat euch gefallen. mfg|opimg(\oplus)_CD|Gockel
 


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