MP-Review: : (Matroids Matheplanet)

Diese Rezension behandelt einen Nachdruck der ersten Auflage (1997) aus dem Jahr 2000. Hartshorne macht es sich in diesem Buch zur Aufgabe, die klassische axiomatische Geometrie von einem modernen Standpunkt aus zu entwickeln und zu betrachten, fühlt sich dabei aber sehr dem Geiste Euklids verpflichtet. Die Verwendung von Zahlen (z.B. zur Messung von Streckenlängen, Winkelgrößen und Flächeninhalten) wird konsequent vermieden, und die entsprechenden Begriffe werden auf einer abstrakteren Ebene entwickelt. Zum Beispiel wird im Falle der Streckenlängen eine Addition auf der Menge der Kongruenzklassen von Strecken erklärt, ohne dass einer Strecke eine reelle Zahl als deren Länge zugeordnet werden muss. Zusätzlich geht Hartshorne gerade im ersten Abschnitt des Buches in zahlreichen Bemerkungen darauf ein, wie Euklids Geometrieverständnis ausgesehen haben könnte. Aufbauend auf einem Axiomensystem, das dem Hilbertschen sehr ähnlich ist, zeigt er auf, wie die die Geometrie behandelnden Teile von Euklids Elementen auf eine Weise wiedergewonnenen werden können, die modernen Ansprüchen an Stringenz genügt. Wiederholt macht er dabei Ausflüge in die Algebra, um aufzuzeigen, wie moderne algebraische Methoden zu tiefen Aussagen innerhalb der klassischen Geometrie beitragen können. Neben den grundlegenden Begriffen Punkt, Gerade, Strahl, Winkel geht Hartshorne ausführlich auf den Flächeninhaltsbegriff ein. Er erläutert, wie der von Euklid intuitiv verwendete Begriff axiomatisch rekonstruiert werden könnte, stellt dann aber dar, wie er nach Hilbert mit modernen Mitteln auch ohne zusätzliche Axiome gewonnen werden kann. Das Buch enthält zahlreiche Aufgaben, die nach Aussage des Autors absichtlich nicht nach Schwierigkeitsgraden klassifiert sind, obwohl er sie als sehr unterschiedlich schwierig einstuft. Ich selbst kann zu den Aufgaben nichts sagen, da ich mich praktisch nicht mit ihnen beschäftigt habe. Ich halte das Buch für sehr gelungen, die Mischung aus Elementargeometrie und Algebra unter Vermeidung von Methoden der analytischen Geometrie (sie wird nur dadurch berührt, dass gezeigt wird, wie sich ein Koordinatensystem einführen ließe) gefällt mir sehr gut. Einziger Wermutstropfen ist für mich ist die Formulierung der Schnitteigenschaften von Kreisen als Axiom. Hartshorne gibt plausible Gründe für seine Vorgehensweise an - er bleibt seiner Linie, streng im Geiste Euklids zu arbeiten, auch hier treu -, aber eine Ableitung beispielsweise aus dem Dedekindschen Axiom wäre meiner Meinung nach eine schöne Ergänzung gewesen. Die Kapitel (ohne Appendices): Chapter 1. Euclid's Geometry Chapter 2. Hilbert's Axioms Chapter 3. Geometry over Fields Chapter 4. Segment Arithmetic Chapter 5. Area Chapter 6. Construction Problems and Field Extensions Chapter 7. Non-Euclidian Geometry Chapter 8. Polyhedra

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