MP-Review: : (Matroids Matheplanet)

Eine Einführung zur linearen Algebra, die vielleicht nur wenigen bekannt ist, aber doch so liebevoll geschrieben ist! Das Buch ist nicht so abstrakt aufbereitet wie andere Einführungen in die lineare Algebra und doch geht nur wenig verloren. Es kann vor allem durch die Motivation und die vielen interessanten Anwendungsbeispiele punkten. Chapter One: Linear Systems I Solving Linear Systems II Linear Geometry III Reduced Echelon Form Topic: Computer Algebra Systems Topic: Input-Output Analysis Topic: Accuracy of Computations Topic: Analyzing Networks Chapter Two: Vector Spaces I Definition of Vector Space II Linear Independence III Basis and Dimension Topic: Fields Topic: Crystals Topic: Voting Paradoxes Topic: Dimensional Analysis Chapter Three: Maps Between Spaces I Isomorphisms II Homomorphisms III Computing Linear Maps IV Matrix Operations V Change of Basis VI Projection Topic: Line of Best Fit Topic: Geometry of Linear Maps Topic: Magic Squares Topic: Markov Chains Topic: Orthonormal Matrices Chapter Four: Determinants I Definition II Geometry of Determinants III Laplace's Formula Topic: Cramer's Rule Topic: Speed of Calculating Determinants Topic: Chiò's Method Topic: Projective Geometry Topic: Computer Graphics Chapter Five: Similarity I Complex Vector Spaces II Similarity III Nilpotence IV Jordan Form Topic: Method of Powers Topic: Stable Populations Topic: Page Ranking Topic: Linear Recurrences Topic: Coupled Oscillators In Kapitel 1 wird die lineare Algebra motiviert: Es sollen lineare Gleichungssysteme gelöst werden. Das ist ganz süß aufbereitet, so gibt es Beispiele aus der Chemie, wo das Ausbalancieren von Reaktionsgleichungen schnell zu linearen Gleichungssystemen führt. In Kapitel 2 werden Vektorräume eingeführt und wirklich viele Beispiele gegeben, darunter auch Funktionsräume und Lösungsmengen von Differentialgleichungen, welche ja alle immens von der Theorie der linearen Algebra profitieren. Leider werden Vektorräume nur über $\mathbb{R}$ eingeführt, doch es geht zunächst nicht allzu viel verloren. In Kapitel 3 soll es um lineare Abbildungen und der korrespondierenden Matrixrechnung gehen. Mir gefällt die Vektornotation von Hefferon, er schreibt zum Beispiel $\binom{x}{y}_B$ und meint damit diesen Vektor in Basis $B = \{b_1, b_2 \}$, i.e. $\binom{x}{y}_B = xb_1 + yb_2$ für $x,y$ aus dem zugrundelegenden Körper. So geht er früh und bewusst auf die Abhängigkeit von Basen ein. In Kapitel 4 werden Determinanten behandelt, welche zunächst durch Experimentieren motiviert werden. Er gibt die "richtige" Definition über Multilinearformen. In Kapitel 5 führt er schließlich Vektorräume über $\mathbb{C}$ ein, zeigt einige Vorteile des algebraisch abgeschlossenen Körper auf, und erklärt Themen zu Eigenwerten, Eigenvektoren, Minimalpolynomen und Jordan-Normalformen. Ich finde das Buch wirklich schön geschrieben. Es gibt sehr viele konkrete Beispiele, darunter auch viele Zahlenbeispiele, wo einfach einige Matrixrechnungen durchgeführt werden, um das entsprechende Konzept zu veranschaulichen. So ist Hefferon stets super konkret, weshalb das Buch scheinbar viel weniger Abstraktionsvermögen als andere Bücher als linearen Algebra voraussetzt. Man könnte sich fragen, ob das ein Manko des Buches ist, da man im ersten Studienjahr sich mit der Abstraktion vertraut machen muss. Da bin ich mir auch nicht ganz sicher, aber ich vermute, dass es kein großes Problem ist - denn man sollte nicht abstrahieren des Abstraktions wegens. Insbesondere bei einführenden Gebieten wie der linearen Algebra ist es doch wirklich leicht Sätze und Beweise auszuschreiben, wenn man die grundlegenden Ideen und Beispiele verstanden hat. Mir gefällt dazu wie schön Jim Hefferon alle Themen motiviert und passende Beispiele dazu gibt. Man hat nie das Gefühl einen unnötigen Konzept kennenzulernen, sondern erfährt immer wieso dieses Konzept nützlich oder cool ist. Ein großes Highlight sind auch die Topics Teile zum Abschluss jedes Kapitels. Diese kann man problemlos überspringen, aber es lohnt sich definitiv einige davon durchzulesen. Der Autor zeigt direkt nicht-triviale Anwendungen der linearen Algebra von Computeralgebrasystemen zu Kristallen oder demokratischen Wahlsystemen bis zu magischen Quadraten, Markovketten, projektiver Geometrie und dem PageRank Algorithmus. Das habe ich bisher noch in keinem linearen Algebra Buch so gesehen und finde es hier wirklich großartig. Das Einzige, was ich mir noch gewünscht hätte, wäre es beliebige Körper (anstatt nur $\mathbb{R}$ und $\mathbb{C}$ am Ende) zuzulassen und Quotientenräume hätten auch nicht geschadet. Eventuell wäre der Spektralsatz auch noch nett. Alles in allem aber wirklich ein großartiges (+ kostenloses!) Buch zur linearen Algebra, welches ich jedem ans Herz legen kann. Jeder Studienanfänger würde von diesem Buch profitieren, aber auch Profis könnten sich an den Topics Unterkapiteln amüsieren.

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