Introduction to Smooth Manifolds

Lee, John M.

BuchcoverDie Theorie der Mannigfaltigkeiten ist mannigfaltig und unabdingbar in der Ausbildung eines Mathematikers. Lee hat zu diesem Thema eine kristallklare Einführung geschrieben und behandelt alles, was ein Mathematiker zum weiteren Studium benötigt. 1. Smooth Manifolds 2. Smooth Maps 3. Tangent Vectors 4. Submersions, Immersions, and Embeddings 5. Submanifolds 6. Sard's Theorem 7. Lie Groups 8. Vector Fields 9. Integral Curves and Flows 10. Vector Bundles 11. The Cotangent Bundle 12. Tensors 13. Riemannian Metrics 14. Differential Forms 15. Orientations 16. Integration on Manifolds 17. De Rham Cohomology 18. The de Rham Theorem 19. Distributions and Foliations 20. The Exponential Map 21. Quotient Manifolds 22. Symplectic Manifolds Appendix A. Review of Topology Appendix B. Review of Linear Algebra Appendix C. Review of Calculus Appendix D. Review of Differential Equations Das fast 700-seitige Buch beinhaltet alles, was man in einer Einführung in die Theorie der Mannigfaltigkeiten wissen will und kann ich jedem ans Herz legen. Der Autor legt besonders viel Wert darauf, seine Beweise detailliert auszuformulieren: Seine Philosophie ist es, dass der Student nicht beim Lesen der Beweise stolpern sollte um stattdessen mehr Zeit für die Übungsaufgaben aufwenden zu können. Man muss bei diesem Buch beachten, dass es zwei Auflagen gibt, wobei es bei der zweiten Auflage wesentliche Änderungen gibt. Nicht nur wurde die Formatierung verbessert und einige Textstellen geändert, der Aufbau des gesamten Buches wurde auch umgestellt. Ich bin allerdings noch nicht komplett überzeugt der neuen Kapitelanordnung. Lee beginnt in seinem Buch die grundlegenden Bausteine zu festigen: glatte Mannigfaltigkeiten, glatte Abbildungen, Tangentialvektoren. Mir gefällt, dass er zu den Tangentialvektoren viele äquivalente Definitionen erwähnt und ihre Nützlichkeit vergleicht. Auch finde ich es klasse, dass er bereits so früh im Buch Kategorien und Funktoren einführt, was in einem einführenden Geometriebuch nicht selbstverständlich ist, aber den Leser definitiv helfen wird, seine Gedanken zu ordnen. Danach behandelt Lee die Theorie zu Submersionen, Immersionen, Einbettungen und Untermannigfaltigkeiten. Diese Kapiteln sind meiner Meinung nach schwieriger als die nachfolgenden Kapiteln, woran man vielleicht bereits die Umordnung der früheren Gliederung merkt. Dazwischen wird ein Kapitel zu einigen Sätzen aus der Differentialtopologie eingeschoben. Es geht um Sards Satz, die Sätze von Whitney und um Transversalität. Diese Resultate werden insbesondere später noch im Rahmen der de Rham Kohomologie wichtig, fand ich zu diesem Zeitpunkt aber recht öde, da die Beweise doch ziemlich technisch sind und man heißer auf die folgenden Kapiteln ist. Auch hier merkt man, dass die Kapiteln umgestellt sind und ich persönlich hatte dieses Kapitel zunächst überflogen/übersprungen. Nach einem netten Kapitel zu Liegruppen mit vielen Beispielen, geht es um Vektorfelder, integrale Kurven und Flows. Das Kapitel zu den Flows gehört für mich zu den anspruchsvollsten Kapiteln im Buch (erneut das Resultat der Umordnung!), allerdings finde ich es angebracht, es nach dem Kapitel zu Vektorfeldern einzuschieben. Schließlich soll es um allerlei Bündeln gehen: Vektorbündeln, Kotangentialbündeln, Tensor(-bündeln). Diese Kapiteln sind sehr klar geschrieben und es gibt auch eine Einführung in die lineare Algebra der Dualräume und der multilinearen Algebra, sodass man hier kein Vorwissen mitbringen muss. Tensoren werden schließlich sofort für Riemann'sche Metriken und Differentialformen eingesetzt, was zugleich auch ein erster Einblick in die Differentialgeometrie ist. Lee zeigt also, dass man nicht so viel Theorie benötigt, um zusätzlich zur topologischen Eigenschaft der Mannigfaltigkeiten auch eine Geometrie auf ihr einzuführen: eine Riemann'sche Metrik ist bloß ein glattes symmetrisches positiv definites $2$-Tensorfeld. Differentialformen stehen aber im Mittelpunkt in diesem Teil des Buches. Orientierungen von Mannigfaltigkeiten, die Integration auf Mannigfaltigkeiten und die de Rham Kohomologie beruhen allesamt auf die Theorie der Differentialformen. Ein kleines Highlight ist der Satz von Stokes in ihrer allgemeinen Fassung, sogar mit Mannigfaltigkeiten mit Ecken. Für Leserinnen, welche bereits Erfahrung mit algebraische Topologie haben, ist das Kapitel zur de Rham Kohomologie wie ein Spaziergang im Park und viele (alle?) Resultate werden bekannt vorkommen. Dass das kein Zufall ist, zeigt Lee mit dem Satz von de Rham. In den letzten Kapiteln entfernen wir uns wieder von Differentialformen und behandeln Objekte, mit denen wir Resultate aus der Lietheorie beweisen können. Besonders nett ist das Kapitel zu Quotientenmannigfaltigkeiten, wo viele Argumente zu Quotienten von Räumen durch Gruppen explizit ausgeschrieben werden, was man selten in der Literatur so findet. Dieses Buch ist einfach schön. Alle Beweise sind durch die vielen Details verständlich. Manchmal schreckt man zunächst durch die Länge der Beweise zurück, doch jedes Mal merkt man, dass diese Beweise bloß so lang sind, weil sie sehr detailliert ist und man doch relativ schnell mit dem Lesen durchkommt. Lee legt viel Wert auf Intuition und zeichnet einige Bilder. Er gibt auch einige Ausblicke wie zum Beispiel über exotische $\mathbb{R}^4$'s. In dem Text sind überall kleine Übungen eingestreut, wo man meistens nur die Definition ausschreiben muss und sich so ein wenig mit der Materie vertraut machen kann. Die Probleme am Ende des Kapitels sind auch nett ausgewählt. Auch der Anhang ist lesenswert: Es ist super strukturiert und beinhaltet einige nützliche Resultate, wie etwa über Quotientenabbildungen oder eigentliche Abbildungen. Mit diesem Buch habe ich nun das Konzept der Vektorbündel viel besser verstanden als zuvor und wenn ich jetzt z.B. auf meinem Studium der algebraischen Geometrie zurückblicke, erscheinen viele Sachverhalte deutlich intuitiver als zuvor. Ich kann dieses Buch jedem nur empfehlen.

Hinzugefügt am: 2022-03-14
Kritiker: Kezer
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