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Über injektive, surjektive und bijektive Abbildungen von Triceratops
       am Di. 08. November 2022 15:16:45 - 429 mal gelesen - 11 Kommentare
Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen sind wichtige Klassen von Abbildungen. Sie werden in diesem Artikel mit der Lösbarkeit von Gleichungen einfach erklärt und mit Hilfe von Bild und Kern charakterisiert. Zum besseren Verständnis werden außerdem sehr viele Beispiele vorgestellt (30 Stück). Anschließend geben wir auch einige Charakterisierungen an, die mit Kürzungs- und Liftun ...
Die Lokalisierung eines geringten Raumes von Triceratops
       am Fr. 24. Juni 2022 17:40:56 - 394 mal gelesen - 1 Kommentare
Jedem kommutativen Ring $R$ kann man einen lokalgeringten Raum $\mathrm{Spec}(R)$ zuordnen, das Spektrum von $R$. Die Punkte dieses Raumes sind die Primideale $\mathfrak{p} \subseteq R$, die Strukturgarbe erfüllt $ \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(R),\mathfrak{p}} = R_{\mathfrak{p}}$. In diesem Artikel werden wir diese Konstruktion auf geringte Räume verallgemeinern. Es handelt sich um eine "topol ...
Ist das Mathe-Abi wirklich so "schwer"? von easymathematics
       am Fr. 27. Mai 2022 18:46:26 - 1481 mal gelesen - 28 Kommentare
Das Mathe-Abi Jedes Jahr das Gleiche in vielerlei Hinsicht Vor einigen Wochen stand das Mathe-Abi vor der Tür. Für die Meisten eine reine Qual, vielleicht auch für Dich. Ich möchte dieses Thema auch auf dem Mathe-Planeten ansprechen. Um was geht es? Jedes Jahr ist auch in den Medien zu hören, dass Mathe-Abi sei dieses Jahr schwer gewesen. Dabei gibt es auch noch Abstufungen, die ...
Eifallzahlen von Nuramon
       am So. 17. April 2022 20:18:43 - 367 mal gelesen - 1 Kommentare
Erst vor wenigen Tagen hat der Postillon über die bizarren Brauchtümer des "offenbar schwer gestörten Ehepaars" Sabrina und Dennis M. aus Kaiserslautern berichtet. Und jetzt sind die beiden Eifallspinsel schon wieder mit einem neuen Ritual aufgefallen: Sie suchen sich ein Hochhaus vor dem Dennis wartet, während Sabrina sich mit einem Korb voll Eier Zugang zum Balkon eines von ihr gew ...
Teilbarkeit von Binomialkoeffizienten durch Primzahlen und Primzahlpotenzen von Nuramon
       am Mi. 23. Februar 2022 18:00:03 - 596 mal gelesen - 4 Kommentare
Die Aussage, dass für eine Primzahl $p$ der Binomialkoeffizient $\binom pk$ für $1\leq k \leq p-1$ durch $p$ teilbar ist, ist für die meisten auf dem Matheplaneten wohl nicht neu. Weniger bekannt dürfte sein, wie man für einen beliebigen Binomialkoeffizienten $\binom nk$ effizient herausfinden kann, mit welchem Rest er durch $p$ teilbar ist, oder wie man die größte Potenz von $p$ findet, ...
Die trigonometrische Form der Fibonacci-Zahlen von easymathematics
       am Fr. 04. Februar 2022 20:49:17 - 459 mal gelesen - 4 Kommentare
In diesem kleinen, kurzen Artikel möchte ich eine besondere Form der Fibonacci-Zahlen vorstellen. \[ F_n = \frac{(-i)^{n+1} 2 \sqrt{5}}{5} \sin\bigl(in \ln(i \phi)\bigr), \] wobei \[ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \] (goldener Schnitt), \[ i^2 = -1 \] (imaginäre Einheit). Voraussetzungen: – Grundkenntnisse Fibonacci-Zahlen (Binet's Form) – Komplexe Zahlen – Bez ...
Hamilton's Traum - dreidimensionale komplexe Zahlen von easymathematics
       am Di. 28. Dezember 2021 08:10:14 - 580 mal gelesen - 3 Kommentare
Hamilton's Traum - dreidimensionale komplexe Zahlen Wir definieren "trikomplexe" Zahlen \(t\) der Form \(t = a + ib + jc\) mit reellen \(a,b,c\) und hyperkomplexen Einheiten \(i\) und \(j\) mit gewissen Eigenschaften. Wir diskutieren grundlegende Operationen (Addition/Subtraktion, Multiplikation/Division), Eigenschaften, etwa Kommutativität und Assoziativität. Ferner definieren wir exp( ...
Von Schlangen und Hunden in Penrose-Parkettierungen von Slash
       am Fr. 29. Oktober 2021 17:54:00 - 551 mal gelesen - 4 Kommentare
In diesem Artikel werden aperiodische Kachelsätze aus je zwei Kacheln vorgestellt, die auf der bekannten Penrose-Rauten-Parkettierung basieren und bisher nicht veröffentlicht oder im Internet erwähnt wurden. Es wird auch eine Näherungslösung für eine sogenannte aperiodische Monokachel vorgestellt, deren Parkett fünf Arten von Lücken besitzt. Sätze von Protokacheln, welche d ...
Polynomdivision - Direkte Berechnung beliebiger Koeffizienten von easymathematics
       am Mo. 16. August 2021 18:59:39 - 442 mal gelesen - 2 Kommentare
In diesem Artikel möchte ich ein Verfahren vorstellen, welches mathematisch gesehen gewisse Ästhetik hat. Gegeben seien zwei Polynome \( a(x)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_i x^i \) und \( b(x)=b_1 x + b_0\). Dann gibt es bekanntlich zwei eindeutige Polynome \( q(x)=\sum \limits_{i=0}^{n-1} q_i x^i \) und \(r(x) = r\), s. d. \[a(x) = q(x)b(x) + r(x)\] gilt. Die Koeffizienten \(q_i\) kö ...
Stern Typische Beweismotive von Triceratops
       am So. 20. Juni 2021 16:23:34 - 1245 mal gelesen - 5 Kommentare
Typische Beweismotive Dies ist die Fortsetzung des Artikels Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann . Dort ging es um einfache Beweise, die sich schon alleine durch eine gute "Buchführung" der Definitionen, Voraussetzungen und Behauptungen hinschreiben lassen. In diesem Teil soll es nun um Beweise gehen, wo mehr Kreativität benötigt wird. Dazu stelle ich einige Beweismotive vor und ...
Matrizen sind Homomorphismen zwischen direkten Summen von Triceratops
       am Do. 20. Mai 2021 12:49:04 - 855 mal gelesen - 1 Kommentare
Matrizen lernt man in Vorlesungen zur linearen Algebra üblicherweise als "rechteckige Zahlenschemata" kennen. In diesem Artikel werden Matrizen hingegen ausgehend von der Bestimmung der linearen Abbildungen zwischen direkten Summen von Vektorräumen hergeleitet. Die Matrixmultiplikation entsteht in diesem Kontext aus der Komposition von linearen Abbildungen. Damit bekommt man ein gutes Vers ...
Hüllenoperatoren von Triceratops
       am Mi. 21. April 2021 13:00:05 - 570 mal gelesen - 1 Kommentare
Mit Hüllenoperatoren lassen sich verschiedene Begriffe von Erzeugendensystemen (erzeugte Untergruppe, erzeugte $\sigma$-Algebra, konvexe Hülle, erzeugte Topologie, uvm.) und entsprechender abgeschlossener Mengen vereinheitlichen. Wir schauen uns auch die Rekursion an, welche die erzeugte Struktur schrittweise erzeugt. Bei Verknüpfungen unendlicher Stelligkeit wie zum Beispiel $\sigma$-Alg ...
Auf der Suche nach einer guten Strategie für das Spiel Isola auf dem 6x8 Brett von Delastelle
       am So. 18. April 2021 21:29:31 - 241 mal gelesen - 2 Kommentare
Die nachfolgenden Ideen sind nicht gänzlich neu ich möchte sie aber einmal in einem Artikel zusammenfassen. Ich habe 3 Rot-Isola-Strategien jeweils 10000 mal gegen 3 Blau-Isola-Strategien spielen lassen. Ich sehe Fortschritte in den Strategien, bin aber vom Ziel: "Wer gewinnt Isola Rot oder Blau?" noch einiges entfernt.> ...
Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Archimedes von easymathematics
       am Mo. 05. April 2021 20:51:12 - 580 mal gelesen - 2 Kommentare
In diesem Artikel soll es - anlässlich des Pi-Tags - um einen historischen Meilenstein in der Mathemtatik gehen. Aber "Fehler" und "Archimedes" in einer Überschrift? Wenn jemand 250 v. C. nur mit Stift und Papier die ein oder andere Nachkommastelle von Pi berechnet, können wir dann von "Fehler" reden? Ja! Aber in einem anderen Sinne. Es soll darum gehen ein Gefühl dafür zu bekomme ...
Limes-Skizzen und ihre Modell-Kategorien von Triceratops
       am Sa. 20. März 2021 11:04:58 - 296 mal gelesen - 0 Kommentare
Üblicherweise studiert man universelle Eigenschaften von Objekten innerhalb einer festen Kategorie. Weil aber unter geeigneten Größenannahmen auch Kategorien eine Kategorie bilden (genauer gesagt, eine $2$-Kategorie), kann man auch universelle Eigenschaften von Kategorien selbst untersuchen. Wir beschäftigen uns hier ausschließlich mit kovollständigen Kategorien. Konkret fragen wir uns a ...
Über die Adjunktion von Wurzeln von Triceratops
       am Sa. 20. Februar 2021 08:27:16 - 398 mal gelesen - 0 Kommentare
Eine beliebte Aufgabe aus der Algebra ist es, den Grad und die Galoisgruppe von Erweiterungen der Form $\IQ(\sqrt{p},\sqrt{q},\dotsc)$ für konkrete Beispiele von Primzahlen $p,q,\dotsc$ zu bestimmen, zum Beispiel von $\IQ(\sqrt{2},\sqrt{3})$. Außerdem soll oftmals ein primitives Element und dessen Minimalpolynom gefunden werden. In diesem Artikel behandeln wir allgemeiner Erweiterungen der F ...
Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz von easymathematics
       am Fr. 29. Januar 2021 08:31:10 - 1173 mal gelesen - 19 Kommentare
Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz Hallo, in diesem Artikel soll es um folgende Fragestellung(en) gehen. (1) Lässt sich der Sinussatz mit Hilfe des Kosinussatzes beweisen? (2) Lässt sich der Kosinussatz mit Hilfe des Sinussatzes beweisen? (3) Sind beide Sätze sogar äquivalent? Die Antwort: Beide Sätze sind äquivalent. Anmerkung: Wir reden ...
Über Berührungen und Ableitungen von Triceratops
       am Di. 19. Januar 2021 06:36:43 - 441 mal gelesen - 1 Kommentare
In dem Buch 'Grundzüge der modernen Analysis' von Dieudonné wird der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion zwischen normierten Räumen sehr anschaulich und geometrisch mithilfe einer Berührungsrelation eingeführt. Die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt wird dadurch definiert, dass sie dort von einer affin-linearen Funktion berührt wird. Leider taucht diese Relati ...
Optimale Steuerung bzw. Neuronales Netz mit variablen Gewichten - ein Beispiel von Delastelle
       am Mi. 06. Januar 2021 19:41:41 - 311 mal gelesen - 1 Kommentare
Im Artikel berechne ich die Lösung eines Problems der Optimalen Steuerung. Die Steuerungen u kann man auch als Gewichte w eines Neuronalen Netzes mit variablen Gewichten sehen. Gelöst wird das Achtproblem - hier mit 4 gewöhnlichen Differentialgleichungen. Zur Lösung werden Fortran und Matlab/Octave eingesetzt.> ...
Berechnung des ggT´s mit dem Satz von Pick von easymathematics
       am Mo. 04. Januar 2021 20:20:17 - 1070 mal gelesen - 4 Kommentare
In diesem Artikel soll es darum gehen den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen \(a,~b~> ~0\) mit dem Satz von Pick zu berechnen. Nachfolgendes Theorem verzichtet dabei auf herkömmliche Methoden: a) euklidischer Algorithmus b) Primfaktorzerlegung c) Beziehung zum kgV 1.1 Theorem: Für zwei natürliche Zahlen \(a,~b~> ~0\) gilt: \[ \mathrm{ggT}(a,b) = {a-b-ab+2 \ ...

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  Gefunden in Kommentaren zu Artikeln:
Re: Über Berührungen und Ableitungen
      von Triceratops am Di. 29. November 2022 00:17:55
Wie ich heute erfahren habe, befindet sich die in diesem Artikel entwickelte Theorie bereits (mehr oder weniger) in dem Artikel Elements for a metric tangential calculus von Burroni-Penon (2009). Der wesentliche Unterschied ist, dass dort die gesamte Theorie für metrische Räume weiterverfolgt wird (siehe insb. Definition 1.3.1, wo eine Art Ableitungsbegriff für Funktionen zwischen metrischen ...
Re: Wie Differentialformen alles schöner und einfacher machen
      von nzimme10 am So. 27. November 2022 22:10:17
@Kezer: Ja, ich habe das vor ein paar Monaten herausgefunden und war völlig aus dem Häuschen. Das Buch hat mich kein bisschen enttäuscht und sogar jede Erwartung übertroffen. Definitiv sehr lesenswerte knapp über 500 Seiten! :) Vielen Dank auch für deine netten Worte. LG Nico> ...
Re: Wie Differentialformen alles schöner und einfacher machen
      von Kezer am So. 27. November 2022 21:49:13
Wow, ich wusste gar nicht, dass Needham ein neues Buch veröffentlicht hat! Großen Dank schon mal dafür (... auch wenn ich nicht weiß, wo ich die Zeit finden soll, dieses Buch zu lesen)! Ich hoffe auch, dass ich bald mal Zeit finde, deine letzten Artikeln auf dem MP zu lesen - sie sehen auf jeden Fall großartig aus.> ...
Re: Über injektive, surjektive und bijektive Abbildungen
      von Delastelle am Mi. 16. November 2022 21:32:39
Hallo Triceratops! (Zu den Dreiecken und ihrem Schwerpunkt.) Ich war am überlegen ob betragsmässig große x oder y für den Schwerpunkt möglich sind. Aber bei Dreiecken mit immer größeren Eckpunktenkoordinaten können auch die Schwerpunktkoordinaten einen größeren Wert erreichen. Viele Grüße Ronald> ...
Re: Über injektive, surjektive und bijektive Abbildungen
      von Triceratops am Mi. 16. November 2022 20:30:47
@Ronald: Wenn du ein Dreieck kennst, dessen Schwerpunkt der Ursprung $(0,0)$ ist, dann kennst du automatisch auch ein Dreieck, dessen Schwerpunkt ein Punkt $(x,y)$ ist (Beweismethode "Reduktion auf einen Spezialfall" https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1939). Einfach Verschieben.> ...
Re: Über injektive, surjektive und bijektive Abbildungen
      von Delastelle am Mi. 16. November 2022 13:01:30
Hallo Triceratops! Ich muss bei Funktionen immer an das Beispiel mit den Taschenschränken in einer Bibliothek denken: Man hat z.B. 1000 Studentinnen und Studenten, aber nur 50 Taschenschränke in einer Bibliothek. Jeder benutzt (vereinfacht) einen Schrank mit seiner Lieblingsnummer, in die Nr. belegt, nimmt man z.B. das Fach rechts daneben. Es ist das Prinzip von Hash-Funktionen. Eine Do ...
Re: Über injektive, surjektive und bijektive Abbildungen
      von Triceratops am Di. 15. November 2022 20:31:44
Vielen Dank! Habe ich umgesetzt. Weitere Änderungsvorschläge gerne direkt einreichen (Klick auf Bearbeiten ) oder per PM an mich. > ...
Re: Über injektive, surjektive und bijektive Abbildungen
      von Wario am Di. 15. November 2022 15:47:03
Die Kurve \begin{tikzpicture}[xscale=0.3] \draw[-> ] (-10, 0) -- (10, 0) node[right] {$x$}; \draw[-> ] (0, -1) -- (0, 1) node[above] {$y$}; \draw[domain=-10:10, smooth, variable=\x, blue] plot ({\x}, {\x/(1 + abs(\x)}); \end{tikzpicture} wird übrigens schön glatt, wenn man die samples-Zahl hochsetzt, z.B. samples=222 \begin{tikzpicture}[xscale=0.3] \draw[-> ] (-10, 0) -- ...
Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
      von Triceratops am Mo. 14. November 2022 20:31:09
Die Rückfragen bei dieser MPC-Aufgabe passen sehr gut zum Thema hier. (Die Definition impliziert die Anfangswerte.) Auch spannend: gestern ist mir ein Skript zur Galoistheorie in die Hände gefallen, das Nullstellen, Separabilität und Zerfällungskörper nur für Polynome $\neq 0$ definiert hat ... Wikipedia definiert die Äquivalenz von Metriken nur für nichtleere Räume ...> ...
Re: Über injektive, surjektive und bijektive Abbildungen
      von vertang am Mo. 14. November 2022 07:29:21
Schöner Artikel.> ...
Re: Tensoren und Tensorfelder in der Differentialgeometrie
      von nzimme10 am Sa. 12. November 2022 20:03:37
Liebe AK, vielen Dank :) Es freut mich natürlich sehr, dass der Artikel Dir gefallen hat! o/ LG Nico> ...
Re: Tensoren und Tensorfelder in der Differentialgeometrie
      von AnnaKath am Sa. 12. November 2022 04:22:06
Lieber Nico, wie Du weisst, bin ich sehr für Pragmatismus zu haben. Dem widerspricht aber nicht, dass es mir gefällt, Dinge richtig zu lesen. Ein reizender Artikel! Dein erster Satz brachte mich zum schmunzeln. Ich bin sicher, dass Dir dies auch beim nächten Artikel gelingt! Vielen Dank für Deine Mühe. Du kannst sehr zufrieden mit Dir sein. Begeistert, Deine AK.> ...
Re: Tensoren und Tensorfelder in der Differentialgeometrie
      von nzimme10 am Fr. 11. November 2022 12:40:27
Danke PhysikRabe für dein Feedback und die Korrektur :)> ...
Re: Tensoren und Tensorfelder in der Differentialgeometrie
      von PhysikRabe am Fr. 11. November 2022 11:45:04
Ein sehr schöner Überblick! Ich bin schon auf die weiteren Artikel deiner Serie gespannt. Falls ich noch Tippfehler finden sollte, erlaube ich mir, diese gleich zu korrigieren. 😁> ...
Re: Über injektive, surjektive und bijektive Abbildungen
      von Slash am Do. 10. November 2022 14:41:02
@PhysikRabe: Der Autor bekommt zunächst eine Nachricht über die Bearbeitung und kann dann entscheiden, ob er sie freigibt oder nicht. Gruß, Slash> ...
Re: Über injektive, surjektive und bijektive Abbildungen
      von PhysikRabe am Mi. 09. November 2022 21:33:12
@Triceratops: Ich weiß, aber ich wollte nicht ungefragt in anderer Leute Artikel herumpfuschen ;-)> ...
Re: Über injektive, surjektive und bijektive Abbildungen
      von Triceratops am Mi. 09. November 2022 20:47:07
Danke Nico und PhysikRabe für das Feedback! Den Tippfehler habe ich korrigiert. Es gibt übrigens eine Änderungsfunktion für Artikel, mit der sich diese am besten gleich umsetzen lassen. Das hat auch den Vorteil, dass Kommentare über – bereits behobene – Fehler keine Leser verunsichern.> ...
Re: Über injektive, surjektive und bijektive Abbildungen
      von PhysikRabe am Mi. 09. November 2022 10:07:57
Ein wirklich schöner Artikel, vielen Dank! Besonders über den Abschnitt mit den kategoriellen Charakterisierungen freue ich mich, weil das eine allgemeine Sichtweise auf diese Begriffe darstellt, die leider viel zu selten gelehrt wird. Einen Tippfehler gibt es im Beweis von Lemma 3, $1\Rightarrow 2$; hier ist der Strich falsch platziert. Es sollte lauten: Dann gilt $f(g(z))=f(g'(z))$ und ...
Re: Über injektive, surjektive und bijektive Abbildungen
      von nzimme10 am Di. 08. November 2022 22:54:38
Hey Triceratops! Ein sehr schöner Artikel, der sicherlich nicht nur für Studienanfänger nützlich sein kann. Die vielen Beispiele sind für viele bestimmt sehr hilfreich und die verschiedenen Möglichkeiten, die Begriffe zu charakterisieren, ebenfalls sehr aufschlussreich. LG Nico> ...
Re: Ist die Hesse-Matrix die zweite Ableitung?
      von Buraian am Di. 08. November 2022 10:43:47
Ich habe deine Artikel toll gefunden. Gut gemacht. Ich hoffe, dass ich spater mehr von dir lesen kann.> ...
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