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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Cauchykriterium für gleichmäßige Konvergenz
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Universität/Hochschule Cauchykriterium für gleichmäßige Konvergenz
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  Themenstart: 2011-08-31

\ Cauchykriterium für gleichmäßige Konvergenz: f_n : D\subsetequal\ \IK ->\IK (f_n )_n ist gleichmäßig konvergent auf D <=> abs(f_n (x) -f_m (x) ) < \epsilon \forall n,m>= n_0 (\epsilon) (\*) Beweis: Mir bereitet die <== Richtungs Schwierigkeiten: Laut Literatur: Aus (\*) folgt, dass \forall x\in D (f_n )_n eine Cauchyfolge und somit konvergent ist. Somit ex. f(x) =lim(n->\inf, f_n (x)) auf D. f(x) ist damit der \red punktweise\black Grenzwert der Funktionenfolge f_n . Der Übergang zum Limes m->\inf in (\*) liefert: abs(f_n (x) -f(x))<\epsilon \forall n>=n_0 , also lim(n->\inf, f_n(x))=f(x) gleichmäßig auf D. Ich verstehe den Beweis nicht ganz. Nach Voraussetzung weiß ich, dass abs(f_n (x) -f_m (x) ) < \epsilon \forall n,m>= n_0 \red(\epsilon)\black . Mein n_0 hängt also gar nicht von x ab. Warum kann ich f_n dann nicht einfach so behandeln, als ob es eine Folge wäre, die gar nicht erst von x abhängt und dann einfach auf das bekannte Cauchykriterium für Folgen verweisen? Scheinbar liefert mir (\*) doch erst mal nur punktweise Konvergenz. Vielen Dank! [ Nachricht wurde editiert von VsEpR am 31.08.2011 13:10:09 ]


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Redfrettchen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2011-08-31

Hallo, \ ich vermute mal, das Cauchy\-Kriterium für Folgen habt ihr nur für Folgen reeller Zahlen bewiesen. Die f_n sind aber Funktionen, die keineswegs konstant sein müssen. Grüße, Thomas


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-31

\ ja, wir haben das Cauchykriterium für Folgen nur für \IK=\IR bewiesen. Mhm...mir ist das immer noch nicht so ganz klar. Klar, abs(f_n (x)-f_m (x)) hängt erst mal von x ab, aber die Aussage des gleichmäßigen Cauchykriteriums ist doch gerade, dass abs(f_n (x)-f_m (x))< \epsilon \forall n>= n_0 (\epsilon). Egal was für ein x ich also in abs((f_n -f_m )(x)) einsetze, gilt die Ungleichung immernoch \forall n>=n_0 (\epsilon). Dann könnte ich doch einfach x als beliebig aber fest ansehen und das Cauchykriterium für Folgen anwenden und erhalte daraus meine gleichmäßige Konvergenz. Irgendwo muss ich aber einen Fehler bei meiner Argumentation machen, da sämtliche Lehrbücher aus obiger Aussage ((\*), Themenstart) nur punktweise Konvergenz fordern. Punktweise Konvergenz hätte ich hingegen gefolgert, wenn für f_n nur das puntkweise Cauchykriterium gelten würde. Schon mal vielen Dank! [ Nachricht wurde editiert von VsEpR am 31.08.2011 14:30:13 ]


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Redfrettchen
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  Beitrag No.3, eingetragen 2011-08-31

Wie willst du denn gleichmäßige Konvergenz direkt aus dem Cauchy-Kriterium für Folgen folgern? Das liefert dir doch nur erstmal, dass fn(x) für jedes beliebige, aber feste x konvergiert. Und genau das ist punktweise Konvergenz.


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-31

Okay, ich werde versuchen, mir das nochmal klar zu machen. ... Ich glaube, ich weiß jetzt wo es gehakt hat. Vielen Dank, Thomas!


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Farbspiel
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-06

Hallo, diese Frage interessiert mich gerade auch, deswegen hoffe ich, dass jemand sich diesem Thema nochmal widmet. Ich habe den Beweis nochmal leicht umgeschrieben und in den Teilen, welche durch eckige Kalmmmern[] gekennzeichnet sind, meine Gedanken oder Fragen eingebaut: Cauchykriterium für gleichmäßige Konvergenz ( bei mir mit Supremumsnorm ): $f_n :\text{D} \rightarrow \mathbb{R}$ $(f_n )_n$ ist gleichmäßig konvergent auf $D$ $\Leftrightarrow ||(f_n (x) -f_m (x)|| < \epsilon \quad\forall n,m\geq N (\epsilon>0) (*)$ $||.||$ ist die Supremumsnorm Beweis: Mir bereitet die $\Leftarrow$ Richtungs Schwierigkeiten: Von mir angepasster Beweis: Aus $(*)$ folgt, dass für alle $x\in D $ und beliebige $\epsilon >0$, ein $N$ existiert, s.d. für alle $n\geq N$ gilt: $\epsilon>||(f_n (x) -f_m (x)|| \geq |(f_n (x) -f_m (x)|$. Für ein festes $x\in D$, ist $f_n (x)$ eine Cauchyfolge und somit konvergent. [wobei $\epsilon$ nicht von $x$ abhängig sein muss, da dies in der Voraussetzung $(*)$ nicht gefordert wurde] [Wir müssen hier erstmal $x$ fixieren, da es sich sonst bei dem Grenzwert von $f_n(x)$ um keine reelle Zahl, sondern eine Funktion handelt, s.d. das Cauchy-Kriterium für die Folgen-Konvergenz nicht anwendbar wäre. Wir können jetzt erstmal annehmen, dass $\lim\limits_{n\to\infty} f_n (x)$ gegen den FUNKTIONSWERT $f(x)$ konvergiert. ] $f(x)$ ist damit der punktweise Grenzwert der Funktionenfolge $f_n$. [Jetzt muss gezeigt werden, dass für nicht fixierte $x\in D$ $||f_m (x) -f(x)||$ eine Nullfolge ist bzw. dass ein $N$ existiert für beliebige $\epsilon >0$, s.d. für alle $m\geq N$ gilt $|(f_m (x) -f(x)|< \epsilon$ ] Sei $\epsilon >0$ beliebig und $N$ wie in (*) gewählt, dann folgt für $m\geq N$: $|f_m (x) -f(x)|\color{red}{=}\lim\limits_{n\to\infty}|(f_m (x) - f_n(x)|<\lim\limits_{n\to\infty} ||(f_n (x) -f_m (x)|| < \lim\limits_{n\to\infty}\epsilon = \epsilon $ $f_n(x)$ ist somit gleichmäßig konvergent. [Insbesondere folgt: $||(f_m (x) -f(x)||\leq \epsilon$. Somit ist $||(f_m (x) -f(x)||$ eine Nullfolge.] ------------------- Ich verstehe nicht, wieso, beim rot markierten Gleichheitszeichen die punktweise Konvergenz von $f_n(x)$ verwendet werden kann. Diese Gleichheit $|(f_m (x) -f(x)|\color{red}{=}\lim\limits_{n\to\infty}|(f_m (x) - f_n(x)|$ gilt dann doch nur für dieses feste $x$. Kann mir das jemand erklären?


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nzimme10
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-09-06

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo Farbspiel, Edit: Ich bin verwirrt. Du sprichst davon, dass dir die $\implies$ Richtung Schwierigkeiten bereitet, oder nicht? Für die umgekehrte Richtung (also die $\Longleftarrow$ Richtung) musst du ein bisschen besser auf das $x$ achten, damit keine Verwirrung entsteht. Die Voraussetzung ist dort ja, dass es zu jedem $\varepsilon >0$ ein $N\in \mathbb N$ gibt, so dass $\lVert f_n-f_m\rVert<\varepsilon$ für alle $n,m\geq N$ gilt. Für jedes feste $x\in D$ gilt nun $$ |f_n(x)-f_m(x)|\leq \sup_{t\in D} |f_n(t)-f_m(t)|=\lVert f_n-f_m\rVert<\varepsilon $$ für alle $n,m\geq N$. Für jedes (feste) $x\in D$ ist daher $(f_n(x))_{n\in \mathbb N}$ eine Cauchy-Folge in $\mathbb R$, die folglich einen Grenzwert $f(x)$ besitzt. Nun gilt für jedes $x\in D$ $$ |f_m(x)-f(x)|=\lim_{n\to\infty} |f_m(x)-f_n(x)|\leq \varepsilon $$ für alle $m\geq N$ und somit auch $$ \lVert f_m-f\rVert=\sup_{x\in D}|f_m(x)-f(x)|\leq \varepsilon $$ für alle $m\geq N$. LG Nico\(\endgroup\)


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Farbspiel
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-09-06

\quoteon(2022-09-06 21:05 - nzimme10 in Beitrag No. 6) die Betragsfunktion ist stetig. Da $f_n(x)$ für jedes $x\in D$ für $n\to\infty$ gegen $f(x)$ konvergiert gilt also $$ \lim_{n\to\infty} |f_m(x)-f_n(x)|=|f_m(x)-f(x)| $$ für alle $x\in D$. \quoteoff Danke :) Es geht mir allerdings nicht um das "Hereinziehen" des Limes in die Betragsfunktion, sondern darum, dass nur gezeigt wurde, dass $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$ für feste $x\in D$ gilt. Ich sehe einfach nicht, warum $$|f_m(x)-f(x)|= |f_m(x)-\lim_{n\to\infty}f_n(x)|$$ für ein nicht festes $x$ gelten sollte? Ich vermute, das ist so ein Fall, bei dem ich die richtige Formulierung der Frage finden muss, hatte gehofft, die Formulierung kommt, wenn ich den Beweis nochmal sehr ausführlich selbst aufschreibe. \quoteon(2022-09-06 21:05 - nzimme10 in Beitrag No. 6) Edit: Ich bin verwirrt. Du sprichst davon, dass dir die $\implies$ Richtung Schwierigkeiten bereitet, oder nicht? \quoteoff Sry, habe es geändert, hatte mich vertippt :(


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nzimme10
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-09-06

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Ich habe meinen anderen Beitrag nochmal bearbeitet. Ich war von deiner Angabe der Richtung verwirrt. Nun, wie ich im anderen Beitrag nun hinzugefügt habe, machst du dieses Argument für jedes $x\in D$. Du kannst dir also in Gedanken vorstellen, dass du dir ein konkretes $x\in D$ nimmst und dann das Argument mit dem Limes machst. Es funktioniert für jedes feste $x\in D$. Nicht mehr und nicht weniger wird hier behauptet / verwendet. Edit: Wenn dir das hilft, dann wähle ganz am Anfang des Beweises ein $x\in D$ aus, das sich nicht mehr ändert und mache dann die gesamte Argumentation. Du stellst fest, dass du die gleiche Argumentation auch für jedes andere $y\in D$ machen kannst. Insgesamt gilt die behauptete Aussage also für jedes $x\in D$. LG Nico\(\endgroup\)


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