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Schule J Geradenschar in Parameterdarstellung
Lux93
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  Themenstart: 2015-07-16

Hallo, es geht um folgende Geraden: \ matrix(x;y;z) =matrix(-t; 1; -2) + r matrix(-1;4;2) und \ matrix(x;y;z) = matrix(2; 6; -4) +s matrix(1; -1; -2) Die reelle Zahlt t soll zum einen so gewählt werden, dass sich g und h schneiden. Hierfür habe ich nach Gleichsetzen t = -5 erhalten. Es soll auch noch angegeben werden, für welche t die Geraden zueinander windschief verlaufen. Sind das automatisch alle reellen Zahlen t ungleich 5? Vielen Dank im Voraus.


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Ex_Senior
  Beitrag No.1, eingetragen 2015-07-16

Hallo Ich komme auf ein anderes t. mfgMrBean


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Lux93
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-07-16

Oh ja, ich hatte einen Vektor falsch abgeschrieben. Nun erhalte ich t = 5.


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Ex_Senior
  Beitrag No.3, eingetragen 2015-07-16

Hallo Ich komme auf t=-1. mfgMrBean


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Lux93
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-07-16

Ach verdammt sorry. Ich habe hier gerade etwas Chaos mit meinen ganzen Unterlagen. Genau darauf kommen ich auch. s = -3, r = 2 und t = -1.


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Ex_Senior
  Beitrag No.5, eingetragen 2015-07-16

Hallo Ja, jetzt ist es richtig. Für die anderen Werte für t sind die Geraden windschief. Parallel und identisch kann man ausschließen, weil die Richtungsvektoren unabhängig sind. mfgMrBean


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Lux93
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2015-07-16

Okay ich hätte hier noch zwei andere Scharen: \ matrix(x;y;z) = matrix(1;a;2) +r matrix(b;3;4) und matrix(x;y;z) = matrix(c;0;3) + s matrix(3;1;d) Zunächst sollte ich a, b, c und d so bestimmen, dass die Geraden identisch sind. Dafür habe ich erhalten: a=-0,75, b=9, c= 3,25 d=4/3 r=0,25 Wenn sie echt parallel sein sollen muss gelten: b=9 und d= 4/3 und a gleich einer reellen Zahl ungleich -0,75 oder c gleich einer reellen Zahl ungleich 3,25 oder r einer reellen Zahl ungleich 0,25 sein. Danach soll ich die Parameter so bestimmen, dass sie sich schneiden bzw. zueinander windschief sind. Für Ersteres muss habe ich die Gleichungen gleichgesetzt, erhalte aber ein Gleichungssystem, aus dem ich nichts folgern kann bzw. nicht verstehe wie..


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Ex_Senior
  Beitrag No.7, eingetragen 2015-07-17

Hallo Die Werte für a,b,c und d hast du für die Indentität und die Parallalität korrekt bestimmt. r hat darauf aber keinen Einfluss, ist quasi nur eine "Hilfsvariable". Hast du schon versucht das Gleichungssystem zu lösen. mfgMrBean


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Lux93
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2015-07-19

Okay, tut mir leid, dass ich jetzt erst antworte, hatte aber bisher keine Möglichkeit dazu. Also ich habe die beiden Gleichungen gleichgesetzt und erhalte dann das LGS mit 3 Gleichungen und 5 Unbekannten. Daraus sehe ich ja schon, dass es unterbestimmt ist und unendlich viele Lösungen haben wird, oder? Ich habe generell Schwierigkeiten bei LGS, bei denen die einzelnen Gleichungen z.B. Produkte der einzelnen Variablen enthalten, wie sie im Zuge der Vektor- und Matrizenrechnung häufiger vorkommen. Bei solchen LGS kann ich ja nicht einfach den Gauß-Algorithmus verwenden. Gibt es da auch grundsätzliche Vorgehensweisen wie bei ,,normalen'' LGS?


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viertel
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  Beitrag No.9, eingetragen 2015-07-19

Hi Lux93 Zunächst mal heißt LGS „Lineares Gleichungssystem“. Dh die gesuchten Variablen kommen nur in erster Potenz vor, und schon gar nicht als Produkte miteinander. Aber diesen Produkt-Fall hast du hier doch gar nicht. $r$ und $s$ sind nur die Parameter (Laufvariablen) für die Geraden (Vielfache des Richtungsvektors) und sind gar nicht gesucht. Somit hast du 3 Gleichungen mit den 4 Unbekannten $a \dots d$. Du kannst also den gewohnten Gauß drauf loslassen.


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Evlino
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  Beitrag No.10, eingetragen 2015-07-20

\ Hallo Lux93, ich empfehle Aufgaben diesen Typ's( Geraden und Ebenen mit Scharparameter) nicht mit Gauß zu lösen, weil man zuviele Parameter hat. Für Geraden empfehle ich folgende Tatsache: (A)Zwei Geraden mit linear unabhängigen Richtungsvektoren schneiden sich genau dann, wenn (r_1 x r_2)*(s_2 -s_1)=0 ist. Dabei sind r_1 und r_2 die Richtungsvektoren und s_1, s_2 die Stützvektoren. Für die zweite Aufgabe kannst du auch benutzen: (B)Der Punkt P liegt genau dann auf der geraden g, wenn (P-s) x r=0 ist. Wenn man solche Überlegungen benutzt bekommt man immer direkt eine Gleichung mit den Scharparamtern ohne die zusätzlichen nervigen Parametern ( vor den Richtungvektoren). z.B bei der ersten von dir genannten Aufgabe: Die Richtungsvektoren r_1 =(-1;4;2) und r_2 = (1;-1;2) sind offensichtlich linear unabhängig. Es ist (r_1 x r_2)*(s_2-s_1)=6*t+6. Deswegen muss t=-1 sein, damit sich beide geraden schneiden und für alle anderen t schneiden sich die Geraden nicht. Bei der 2. Aufgabe kann man die Parameter in den Richtungsvektoren leicht überlegen, da diese linear Abhängig sein müssen. Anschließend kannst du mit (B) schauen, ob der Stützvektor des einen auf den anderen Geraden liegt, um identisch bzw. echt parallel zu untersuchen. Für b!=3 oder d!=4/3 können die Geraden sich nur schneiden oder windschief sein, weil die Richtungsvektoren linear unabhängig sind. In diesem Falle kannst du wieder (A) verwenden um zu schauen, wie die anderen Scharparameter a und c aussehen. Gruß, Evlino


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Lux93
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2015-07-20

Okay, also der Weg von Evlino ist wohl eindeutig am elegantesten. Hast du eventuell noch irgendwo eine Herleitung der beiden Äquivalenzen, die wir da ausnutzen? Ich wollte aber auch nochmal auf das Gleichungssystem aus reinem Interesse zurückkommen. Mir ist klar, dass ich an den konkreten Werten der Parameter nicht weiter interessiert sein muss, um die Aufgabe zu lösen. Mir ist allerdings trotzdem unklar, wie ich dann mit diesem Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten verfahre. Wie komme ich an die konkreten Zahlenwerte genau?


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Ex_Senior
  Beitrag No.12, eingetragen 2015-07-21

Hallo Ich würde hier nur zwei Unbekannte wählen, nämlich r und s. a,b,c und d sind nur Parameter. Nimm die ersten beiden Gleichungen als Gleichungssystem mit 2 Variablen, löse es und setze die Lösung in die dritte Gleichung zur Überprüfung ein. Achte aber darauf, dass du nicht durch 0 dividieren darfst, im Notfall musste du spezielle Einzelfälle gesondert betrachten. Wenn das Gleichungssystem lösbar ist, schneiden sich die Geraden, ansonsten sind die Geraden windschief. mfgMrbean


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Lux93
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2015-07-21

\ Okay, also ich habe das Gleichungssystem jetzt nach deiner Anweisung gelöst und erhalte: r = (3a + c -1)/(b -9) und s = (12a + 4c - 4)/(bd - 9d) Bei Betrachtung der beiden Lösungen ergeben sich aus meiner Sicht jetzt die Einschränkungen b != 9 und d != 0 . D.h., dass sich die Geraden nur schneiden, wenn sie diesen beiden Einschränkungen genügen. Ich habe jetzt versucht, nochmals alle möglichen Fälle in einer Übersicht darzustellen: 1) Lineare Abhängigkeit der Richtungsvektoren b = 9, d = 4/3 2) Identität a = -0,75, b = 9, c = 3,25, d = 4/3 3) Echte Parallelität 1. Fall: a != 0,75, b = 9, c \el\ \IR , d = 4/3 2. Fall: a \el\ \IR , b = 9, c != 3,25, d = 4/3 4) Schnitt: a \el\ \IR , b != 9, c \el\ \IR,, d != 0 5) Windschiefe: 1. Fall: a \el\ \IR, b = 9, c \el\ \IR, d \el\ \IR 2. Fall: a \el\ \IR, b \el\ \IR, c \el\ \IR, d = 0 3. Fall: a \el\ \IR, b = 9, c \el\ \IR, d = 0 Habe ich so jetzt alles richtig gemacht?


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Ex_Senior
  Beitrag No.14, eingetragen 2015-07-21

Hallo Du hast doch deine Lösung garnicht mit der dritten Gleichung überprüft. Du musst die Lösung schon mit überprüfen, damit du weißt, für welche Werte a,b,c und d sich die Geraden schneiden. Welche der drei Gleichungen hast du verwendet, um die Lösung zu erhalten? Am besten ist es, du nimmst die letzten beiden Gleichung zur Lösung und überprüfst die Lösung mit der ersten. Dann kannst du ablesen für welche Werte a,b,c und d sich die Geraden schneiden. mfgMrBean


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Lux93
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2015-07-21

\ Ich denke, ich habe dich falsch verstanden. Ich erhalte ja das folgende Gleichungssystem: I br - 3s = c -1 II 3r - s = -a III 4r - ds = 1 Ich soll nur die beiden ersten Gleichungen benutzen. Also: I - 3II: br - 9r = c - 1 + <=> r(b - 9) = 3a +c -1 <=> r = (3a + c -1)/(b - 9) Einsetzen von r = (3a + c -1)/(b - 9) in II: 3 \cdot (3a + c -1)/(b-9) - s = -a <=>(9a + 3c -3)/(b - 9) -s = -a <=>s = a + (9a + 3c -3)/(b-9) Okay Moment, ich mache das jetzt nochmal. Eben hatte ich die Lösung für r aus Versehen in die dritte Gleichung eingesetzt und so das Ergebnis für s in Abhängigkeit von a, b, c und d erhalten. Einmal hängt das Ergebnis von s ja von d ab und einmal nicht. Gilt die Einschränkung d != 0 denn jetzt oder nicht? Und mir ist nicht klar, wie ich jetzt genau mit der dritten Gleichung überprüfen soll. Wenn ich die Lösungen für r und s einsetze erhalte ich einen recht langen Term, in dem a, b, c und d vorkommen, und der gleich 1 sein soll ?!


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Ex_Senior
  Beitrag No.16, eingetragen 2015-07-21

Hallo Jetzt hast du mich richtig verstanden. Es ist aber besser die letzten beiden Gleichungen zur Lösung zu benutzen und dann in die erste zur Überprüfung einzusetzen, weil man dann auf einen Sonderfall verzichten kann. Wenn du aber so weitermachen willst, geht das auch. Und vergiss die Spezailfälle nicht. Der lange Term ist quasi die Bedingung, dass sich die Geraden schneiden. Stelle diesen am besten nach c um. mfgMrBean


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Lux93
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2015-07-21

\ Ich erhalte dann: s = -(4a + 3)/(3d - 4), r = -1/3 a - (4a + 3)/(9d - 12) und c = 1 - 1/3 ab - b \cdot (4a + 3)/(9d - 12) + (12a + 9)/(3d - 4) Damit würde sich jetzt aus meiner Sicht nur die Einschränkung d != 4/3 ergeben. Allerdings genügen doch nicht beliebige reelle Zahlen a, b,c und d der letzten Gleichung, oder? Muss ich da jetzt nicht noch herausfinden, für welche genauen Werte die Gleichung erfüllt ist und die Geraden somit zum Schnitt kommen? Und noch eine Frage: Ich sehe ein, dass der Weg mit den beiden letzten Gleichungen am einfachsten ist und schnell Werte für s und r liefert. Die beiden anderen Vorgehensweisen, die ich jetzt durch hatten, beinhalteten doch jetzt aber auch keine Fehler und führten zu ganz anderen Einschränkungen ( d != 0 usw.) Wie ist das zu erklären, und woher soll man wissen, welcher Weg zu den richtigen benötigten Einschränkungen führt?


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Ex_Senior
  Beitrag No.18, eingetragen 2015-07-21

Hallo Die Geraden schneiden sich auch für d=4/3, du musst diesen Fall aber gesondert betrachten. Du musst die Fälle b=9 und d=4/3 gesondert betrachten, noch vor der Division. Du darst ja nicht durch 0 dividieren. Wenn du aber zuerst die dritte und die zweite Gleichung zur Lösung benutzt, musst du nicht b=9 gesondert betrachten. Der Wert für a,b,d kannst du (fast) beliebig festsetzen. Für c gilt dann die Formel, die du noch vereinfachen kannst. Die Sache mit d=0 ist, dass du diesen Fall gesondert betrachten musst, wenn du durch d dividieren willst, aber du darfst d=0 nicht einfach ausschließen. mfgMrBean


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Evlino
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  Beitrag No.19, eingetragen 2015-07-21

\ Hallo Lux93, zur der Herleitung für die beiden Identitäten: Zu (A): Drei Vektoren a,b und c aus \IR^3 sind genau dann linear unabhängig, wenn das von ihnen aufgespannte Spat (Parallelotop) Volumen V!=0 hat. Ich denke das sollte dir geometrisch klar sein. Aber es gilt V=abs((a x b)*c) Sind zwei Geraden g_1 und g_2 nicht parallel, dann kannst du dir geometrisch klar machen: g_1 \cut g_2 !=\0: r_1 , r_2 und s_2 -s_1 sind linear abhängig, bzw. liegen auf einer Ebene, d.h das Volumen des aufgespannten Spats ist gleich 0. g_1 \cut g_2 =\0: r_1 , r_2 und s_2 -s_1 sind linear unabhängig, bzw. liegen nicht auf einer gemeinsamen Ebene, d.h das Volumen des aufgespannten Spats ist ungleich 0. Deswegen gilt g_1 \cut g_2 =\0 <=> r_1 , r_2 und s_2 -s_1 linear abhängig <=> (r_1 x r_2)*(s_2 -s_1)=0 Zu (B): Die Abstandsformel eines Punktes P zur Gerade g ist d(p,g)=abs((p-s) x r)/abs(r) . Damit also p auf g liegt, muss abs((p-s) x r)=0 sein <=>(p-s) x r=0. z.B in deiner Aufgabe sind die beiden Geraden für b!=9 oder d!=4/3 nicht parallel. Was muss nun für a und c gelten, damit sich diese schneiden bzw. windschief sind. Es sollte dir im Vorhinein klar sein, das b und d keine unbekannten Größen mehr sind, nur beliebig mit der Bedingung b!=9 oder d!=4/3. Es ist (r_1 x r_2 )*(s_2 -s_1)=(3d-4;12-bd;b-9)*(c-1;-a;1)=(bd-12)*a+(3d-4)*c-3d+b-5. Damit sich g_1 und g_2 schneiden, muss der obige Ausdruck gleich 0 sein, also (bd-12)*a+(3d-4)*c-3d+b-5=0 <=>(bd-12)*a+(3d-4)*c=3d-b+5 1Fall: Ist d=4/3, dann gilt nach Voraussetzung b!=9 und somit ist bd-12!=0. =>a=(9-b)/(4/3 *b -12) und c beliebig. 2.Fall Ist d!=4/3, dann ist 3d-4!=0 und somit c=(3d-b+5-(bd-12)*a)/(3d-4) Für alle anderen Fälle sind g_1 und g_2 windschief. Mehr über Spat, siehe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt Gruß, Evlino


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Lux93
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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2015-07-22

Okay schonmal vielen Dank für deine Herleitung, die ich mir gleich anschauen werde, Evlino :-) Ich entschuldige mich schonmal dafür, dass das mittlerweile ein Thema mit 20 Nachrichten ist, aber ich will wirklich auf Nummer sichergehen. Ich habe jetzt für den Fall d != 4/3 genau die Lösungen raus, die auch Evlino mit seinem kürzeren Weg ermittelt hat. Wenn ich jetzt jedoch den Fall d = 4/3 betrachte, erhalte ich mit der zweiten und dritten Gleichung a = -3/4, was ja im Widerspruch zu den Lösungen von Evlino steht. Wenn ich aber zunächst mit der ersten und zweiten arbeite und anschließend in die dritte einsetze, komme ich für b != 9 auf die Beziehungen von Evlino. Der Vollständigkeit halber müsste ich dann ja auch noch nach b = 9 schauen, wobei ich auf einen Ausdruck mit 0 = 0 komme. Bedeutet das nicht, dass ein Gleichungssystem für alle Zahlen lösbar ist. Meine Frage ist jetzt eigentlich, woher man auf die richtige Vorgehensweise kommt, um möglichst schnell die benötigten Beziehungen zu ermitteln. Gibt es irgendwo Übungen zu diesen speziellen Gleichungssyteme mit Parametern und Fallunterscheidungen?


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Ex_Senior
  Beitrag No.21, eingetragen 2015-07-22

a=(9-b)/(4/3 *b -12)=-3*(b/3-3)/(4(b/3-3))=-3/4 Das stimmt also überein. Evlino hat nur nicht gekürzt, bzw nicht gesehen, dass man da was kürzen kann, weil es nicht offensichtlich ist. Warum kommst du für b=9 auf 0=0? Hier sind noch ein paar Aufgaben: 1. Zeige, dass h_a und g_a stets windschief sind;a\el\ \IQ \\ \IN! h_a=(1;a-2;0)+t*(a^2-a;1;a) g_a=(1;2a-4;0)+q*(0;1;a) 2. Gegeben sind die Geraden g=(2;4;-2)+t*(1;5a-3;a-2) und h=(2;0;1)+q*(2;6a-6;3a-4). Für welches a sind die Geraden (echt) parallel? 3. Gegeben sind die Geraden g=(-a;0;2)+t*(a;1;0), h=(-2;1+2*a;0)+q*(1;-a;1) und k=(2;1-2a;-2a^2)+r*(-1;a;a^2+1). a) Zeige, dass sich g,h und k in einem Punkt P_s schneiden! b) Zeige, dass es einen Quader geben kann, der P_s als Eckpunkt hat und dessen Seitenkanten in g,h und k enthalten sind! 4. Gegeben sind die Geraden g=(1+5a-a^2;3a;4a)+t*(4-a;3;4) und h=(2a-7;-3;-4)+r*(6-a;3;4). a) Der Schnittpunkt S von g und h und die Schnittpunkte P_1 und P_2 der x-Achse mit g und h sind Eckpunkte des Dreiecks A_a. Berechne dessen Flächeninhalt! b) Für welches a ist A_a gleichschenklig? c) Für welche Werte von a ist A_a rechtwinklig? d) Für welchen Wert von a ist der Umfang von A_a minimal? @evlino Bei Fall 1 schreibst du d!=9, aber es muss b!=9 heißen? mfgMrBean


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Evlino
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  Beitrag No.22, eingetragen 2015-07-23

\ @MrBean:Vielen Dank für den Hinweis! Ist jetzt korrigiert. Das Kürzen hatte ich wirklich übersehen - hatte keinen weiteren Gedanken damit verschwendet. Gruß, Evlino


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Evlino
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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  Beitrag No.23, eingetragen 2015-07-23

\ Hallo Lux93, Ich kann dir nur sehr empfehlen die von MrBean vorgeschlagenen Aufgaben zu bearbeiten, weil die Auswahl eine wirklich gute Übung ist. Auch bei diesen Aufgaben kann man größtenteils mit dem von mir vorgeschlagenen Weg alle Aufgaben gut lösen. Gruß, Evlino


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Lux93
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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2015-08-10

Ich war im Urlaub und kann daher leider erst jetzt antworten. Die ersten beiden Aufgaben habe ich mir bereits angeguckt. Zu 1) \ Für den Fall a!= 0 erhalte ich als Lösung des Gleichungssystems t = 0, q = 2-a und q = 0, was nur für a = 2 keinen Widerspruch darstellt. Lediglich für a = 0 sind die Richtungsvektoren der Geraden linear abhängig, womit sie für alle anderen Werte für a in der betrachteten Grundmenge windschief sind. Zu 2) Für a = 0 sind die Richtungsvektoren der Geraden linear abhängig. Da es keinen Wert für a gibt, so dass g und h unecht parallel sind, sind sie lediglich für a = 0 echt parallel.


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Ex_Senior
  Beitrag No.25, eingetragen 2015-08-10

Hallo Bei der ersten gibt es noch einen Wert für den die Richtungsvektoren parallel sind. Bei der zweiten hast du richtig argumentiert. mfgMrBean


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Lux93 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Lux93 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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