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Gewöhnliche DGL » Nichtlineare DGL 2. Ordnung » Nichtlineare autonome gewöhnliche Differentialgleichung
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Universität/Hochschule Nichtlineare autonome gewöhnliche Differentialgleichung
ochen
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  Themenstart: 2019-08-22

Hallo, glaubt ihr, dass die Differentialgleichung \[a\frac{\mathrm d^4u}{\mathrm d^4t}(t)+ b\frac{\mathrm d^2u}{\mathrm d^2t}(t) +c(u(t))^3=0\] für geeignete Parameter $a,b,c\neq 0$ analytisch lösbar ist? Habt ihr eine Idee wie das geht? Viele Grüße


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-22

Hallo ochen, meiner Meinung nach nicht analytisch lösbar. Man kann noch folgende Umformung machen (ich benutze die abkürzende Schreibweise mit den Apostrophen): $$au^{(4)}+bu''+cu^3=0$$Multiplizieren mit $u'$: $$au^{(4)}u'+bu''u'+cu^3u'=0$$Partiell integrieren: $$au'''u'-a\int u'''u''\mathrm dt+\tfrac12bu'^2+\tfrac14cu^4=c$$$$au'''u'-\tfrac12au''^2+\tfrac12bu'^2+\tfrac14cu^4=c$$Damit hast Du nur noch Ableitungen bis 3 und nicht mehr bis 4, aber wirklich gewonnen hat man dadurch auch nix. Es könnte höchstens Vorteile bei numerischen Simulationen bringen. Ciao, Thomas


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ThomasRichard
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  Beitrag No.2, eingetragen 2019-08-22

\quoteon(2019-08-22 11:35 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1) $$au^{(4)}+bu''+cu^3=0$$Multiplizieren mit $u'$: $$au^{(4)}u'+bu''u'+cu^3u'=0$$Partiell integrieren: $$au'''u'-a\int u'''u''\mathrm dt+\tfrac12bu'^2+\tfrac14cu^4=c$$$$au'''u'-\tfrac12au''^2+\tfrac12bu'^2+\tfrac14cu^4=c$$Damit hast Du nur noch Ableitungen bis 3 und nicht mehr bis 4, aber wirklich gewonnen hat man dadurch auch nix. Es könnte höchstens Vorteile bei numerischen Simulationen \quoteoff Hallo Namensvetter, das $u'$ mit dem du multiplizierst, ist ein integrierender Faktor. Die neue Dgl. ist somit exakt und um eine Ordnung reduzierbar, wie du ja auch gezeigt hast. Auf diese reduzierte Gl. kann man Symmetriemethoden anwenden, womit ich mich leider kaum auskenne. Die Lösung in Maple ist sehr kompliziert und nicht in geschlossener Darstellung.


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo, ochen, man kann den "Anfang" einer Lösung durch einen Potenzreihenansatz bekommen. Mit o.B.d.A $a=1$ bekommt man anscheinend auch eine Laurentreihenentwicklung für $\D u=\frac{d_1}{t}+\frac{d_3}{t^3}+\frac{d_5}{t^5}+\cdots$, falls $b$ und $c$ verschiedene Vorzeichen haben. Sieht aber nicht so aus, als erhielte man eine geschlossene Rekursionsformel für die $d_k$. Kurzfassung der Antwort: nein. Wally\(\endgroup\)


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