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Gewöhnliche DGL » Nichtlineare DGL 2. Ordnung » Lösen der DGL y‘‘ = a * cos(y)
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Kein bestimmter Bereich Lösen der DGL y‘‘ = a * cos(y)
Peter0075
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  Themenstart: 2020-08-18

Hallo zusammen, Stehe grade ein wenig auf dem Schlauch. Habe folgende lineare und homogene Dgl: y‘‘ = a*cos(y) a ist dabei eine Konstante. Um den eulerschen Lösungsansatz zu wählen, stellt sich für mich die Frage wie ich das y aus dem cosinus bekomme? Vielleicht hat einer eine Idee oder Denkanstoß! Vielen Dank :)


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-18

Hallo, hm, das sollte hier doch via Trennung der Variablen und zweimaligem Integrieren klappen... Ok, sorry, das war ein Denkfehler bzw. Blödsinn. Nimm den Tipp aus dem folgenden Beitrag. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'Nichtlineare DGL 2. Ordnung' von Diophant]


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-18

Hallo zusammen, Trennung der Variablen und zweimalige Integration funktioniert nicht. Der Standardansatz für diesen Typ Gleichung ist, beide Seiten mit $y'$ zu multiplizieren und dann einmal zu integrieren. Danach muss man nach $y'$ auflösen und noch einmal integrieren, und landet in diesem konkreten Fall bei einem elliptischen Integral. Ciao, Thomas


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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-18

Hallo, Die Multiplikation von y'' mit y' und Integration nennt man Energiemethode. Leider wird das nicht in jedem Lehrbuch zu GDGLn als solche beschrieben. Gruß von BigR2020


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Peter0075
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-18

Vielen Dank ! D.h: y‘‘ * y‘ = a cos(y) *y‘ Integriert dann: 1/2 * y‘^2 = sin(y) + C Falls das stimmt verstehe ich den letzten Schritt nicht ganz: Nach y‘ Umstellen also: y‘=(2*(sin(y) + C))^0.5 Danke!


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-18

Hallo Peter, soweit, so (fast) gut. Du hast das $a$ vergessen. D.h. $$y'=\sqrt2\cdot\sqrt{C+a\sin(y)}$$Jetzt kommt die Trennung der Variablen, und Du erhältst $x$ als Funktion von $y$, wobei $x(y)$ ein elliptisches Integral sein wird. $y(x)$ ist dann die Umkehrfunktion eines elliptischen Integrals. Ciao, Thomas


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Peter0075
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-18

Stimmt das a hab ich vergessen! Das elliptische Integral sagt mir nichts, ich hab es mal so weiter versucht : Seperation: 1/(sin(y)+C1)^0.5 dy = (a)^0.5 dx Integrieren: ln((sin(y)+C1)^0.5) = (a)^0.5 x + C2 Umstellen nach y: y = arcsin((e^( (a)^0.5 x + C2))^2- C1) Stimmt das dann so ? :D Danke!!!


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-18

Hallo Peter, nein, das stimmt nicht. (Könntest Du Dir vielleicht angewöhnen, die Formeln in lesbar abzubilden? Nicht nur ich finde das in dieser Schreibweise sehr mühselig). Du könntest ja mal Deine zweite Zeile ableiten und dann mit der ersten vergleichen. Innere Ableitung nicht vergessen. Ciao, Thomas


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Peter0075
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-18

Hallo MontyPythagoras, Sorry wenn ich hier so kryptisch schreibe, ich bin leider unterwegs und habe keine andere Funktion am Handy:/ Ich werde aber in Zukunft es lieber mit Stift und Papier versuchen und ein Foto davon reinstellen. Leider tue ich mir sehr schwer mit dem unvollständigen elliptischen Integral 1.art. Ist es überhaupt möglich das integral der rechten Seite sinnvoll händisch zu lösen ? Danke schon mal! Viele Grüße Jonas


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.9, eingetragen 2020-08-18

Hallo Peter, noch schöner als Foto von handschriftlichem Kram wäre der Fed-Editor oder LaTex. Von Deinen Formeln ausgehend braucht es dahin nicht mehr viel. "Händisch lösen", nun ja, natürlich kann man das - ist aber schon ein bisschen aufwendig. Aber dafür gibt es ja WolframAlpha (was sich nur manchmal ein bisschen doof anstellt, da muss man dann händisch nacharbeiten). Wie sind denn die Integrationsgrenzen? (Kann es sein, dass Du ein mathematisches Pendel berechnest?) Ciao, Thomas


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Peter0075
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-18

Danke für den Tipp! :) Ich werde es die Tage mal in MATLAB versuchen. Es geht eigentlich um die Bewegungsgleichungen für einen Stab,welcher am einen Ende drehbar gelagert ist und am anderen Ende mit einer Feder mit Steifigkeit k verbunden ist und vertikal angeregt wird. VG Jonas


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.11, eingetragen 2020-08-18

Hallo Jonas-Peter, kleine Auslenkungen? Dann vergiss die elliptischen Integrale und benutze eine sinnvolle Taylor-Reihe. Vielleicht schreibst Du die Aufgabenstellung oder das Problem mal etwas genauer auf. Was sind x und y (x die Zeit, y die Auslenkung)? Wo bewegen sich diese Werte (y immer nahe $0$ oder nahe $\frac\pi2$)? Wenn Du es dagegen wirklich genau brauchst, dann brauchst Du eine Software, die die elliptischen Integrale und deren Umkehrfunktionen kennt. Ciao, Thomas


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