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  Zweite Quantisierung für zeitabhängige Potenziale |
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Skalhoef
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Mitteilungen: 242
Wohnort: Uppsala (Schweden)
 |  Themenstart: 2021-10-21
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Hej,
ich hatte gehofft, dass mir jemand mal mit einer Unklarheit auf die Sprünge helfen könnte.
Ich verstehe nicht ganz wie (ob überhaupt?) das Konzept der zweiten Quantisierung auf zeitabhängige Potenziale übertragen wird.
Hier ist, wie ich es bisher für zeitunabhängige Potenziale verstanden habe:
Ausgehend von einer fermionischen ein-Teilchen Schrödinger-Gleichung
$$
\mathrm{i} \hbar \partial_t \psi( \vec{r} , t) = \left( - \frac{ \hbar^2 }{2m} \Delta + V( \vec{r} ) \right) \psi ( \vec{r} , t )
$$
macht meinen Separationsansatz $\psi( \vec{r} , t) = \phi ( \vec{r}) \varphi(t) $ um die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
$$
E \phi ( \vec{r} ) = \left( - \frac{ \hbar^2 }{2m} \Delta + V( \vec{r} ) \right) \phi ( \vec{r} )
$$
herzuleiten. Jetzt geht man davon aus, dass man die Eigenzustände $\phi_1 , \phi_2 , \ldots$ und die Eigenenergien $E_1 , E_2 , \ldots$ dieser Gleichung kennt. Dann korrespondieren die zweitquantisierten Zustände zu Slater-Determinanten, etwa
$$
\langle \vec{x}_1 , \vec{x}_2 | c_1^{\dagger} c_2^{\dagger} | \text{vac.} \rangle = \frac{1}{ \sqrt{2}} \left( \phi_1( \vec{x}_1) \phi_2 ( \vec{x}_2 ) - \phi_1 ( \vec{x}_2 ) \phi_2 ( \vec{x}_1) \right).
$$
Zeitabhängige Zustände erhält man dann, indem man auf $\phi_i (\vec{r})$ (bzw. auf $ c_1^{\dagger} c_2^{\dagger} | \text{vac.} \rangle $) den Zeitentwicklungsoperator $U(t) = \mathrm{exp} - \frac{ \mathrm{i}}{ \hbar} H t$ (bzw. $U(t) = \mathrm{exp} - \frac{ \mathrm{i}}{ \hbar} H^{SQ} t$) anwendet. (Oder vertue ich mich jetzt bereits irgendwo?)
Wie sieht das ganze denn für zeitabhängige Potenziale aus? Da klappt dann ja der Separationsansatz nicht mehr. Hat man dann unmittelbar zeitabhängige Erzeuger- und Vernichter? Bzw. kann jemand Literatur empfehlen?
Ich würde mich über Rückmeldung bzw. Hilfe sehr freuen. :)
Många hälsningar
Skalhoef
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Skalhoef
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-07
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"Ordnung ist das Fundament aller Dinge", lautet der einleitende Satz meines Persönlichkeitstyps. Ich nutze die Gelegenheit, die ich mal wieder aktiv bin, um aufzuräumen:
\quoteon(2021-10-21 11:14 - Skalhoef im Themenstart)
Zeitabhängige Zustände erhält man dann, indem man auf $\phi_i (\vec{r})$ (bzw. auf $ c_1^{\dagger} c_2^{\dagger} | \text{vac.} \rangle $) den Zeitentwicklungsoperator $U(t) = \mathrm{exp} - \frac{ \mathrm{i}}{ \hbar} H t$ (bzw. $U(t) = \mathrm{exp} - \frac{ \mathrm{i}}{ \hbar} H^{SQ} t$) anwendet. (Oder vertue ich mich jetzt bereits irgendwo?)
\quoteoff
Das war okay so. Das kann man aus ein paar wenigen Rechnungen, die für mich noch nachvollziehbar waren, in diesem Paper schließen. (Etwa ab Gl. (2.9).)
\quoteon(2021-10-21 11:14 - Skalhoef im Themenstart)
Wie sieht das ganze denn für zeitabhängige Potenziale aus? Da klappt dann ja der Separationsansatz nicht mehr. Hat man dann unmittelbar zeitabhängige Erzeuger- und Vernichter? Bzw. kann jemand Literatur empfehlen?
\quoteoff
Nach ein wenig Recherche verstehe ich es so:
Genau wie im obigen Paper behandelt man die Zeitabhängigkeit üblicherweise so, dass sie erst ab einem gewissen Startwert nicht-vernachlässigbar ist. (Üblicherweise $t = 0$.) Man "startet" dann mit einem zeitunabhängigen System (bei " \(t = - \infty \)") dessen (Viel-Teilchen-)Zustände man kennt, und entwickelt dann einfach nach der Zeit.
Ich mache hier zu, bin aber immer offen und erfreut für Kommentare oder Ergänzungen.
Vänliga hälsningar
Sebastian
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| Skalhoef hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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