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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Ein Matrixexponentialproblem
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Beruf Ein Matrixexponentialproblem
sulky
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  Themenstart: 2021-10-29

Hallo Zusammen, Aus der Statistik wissen wir, dass $P=e^Q$ dann und nur dann eine Statistische Matrix ist, wenn Q eine Ratenmatrix ist. In meinem Statistikbuch wird ein vereinfachter Beweis durchgeführt, weil im Kontext des Kapitels klar ist, dass die Chapman Kolmogorov Gleichung gilt. Es steht aber eine Bemerkung, dass man Beweisen könne, dass in jedem Falle (ich vermute dass damit gemeint ist auf ganz $\mathbb{C}_{n\times n}$) die Beziehung gilt. Kennt jemand von euch diesen Beweis?


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-30

Hallo sulky, kennen nicht aber kennen wollen. Für \(Q = \begin{pmatrix}-a&a\\b&-b\end{pmatrix}\) erhalte ich \(P = e^Q = \begin{pmatrix}\dfrac{a*e^{-a - b}+b}{a + b}&\dfrac{a-a*e^{-a - b}}{a + b}\\\dfrac{-b*e^{-a - b}+b}{a + b}&\dfrac{a+b*e^{-a - b}}{a + b}\end{pmatrix}\), gerechnet mit WolframAlpha MatrixExp[{{-a,a},{b,-b}}] oder auch wolframscript -cloud -code "MatrixExp[{{-a,a},{b,-b}}]" Bei zusätzlichen Bedingungen \(a>0\) und \(b>0\) enthält dann \(P\) nur Matrixeinträge zwischen \(0\) und \(1\). Als Definitionen habe ich verwendet, dass in der Ratenmatrix die Zeilensummen alle \(0\) sind und alle Matrixeinträge außerhalb der Hauptdiagonale nichtnegativ, bei der Statistischen Matrix liegen alle Matrixelemente zwischen \(0\) und \(1\) und alle Zeilensummen sind \(1\). Viele Grüße, Stefan


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sulky
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-30

Hallo Stefan, Ja, an diesem Beispiel kann man den einseitigen Fall für $n=2$ erkennen. Ich habe aber mit dem Program ausprobiert, es funktioniert wirklich immer. Aber wie beweisen? Da schreibt doch tatsächlich einer in ein Buch, dass man diese Beweisen könne, aber keine Angabe wie das geht oder wo man den Beweis nachlesen kann.


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StefanVogel
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-30

Kann als Übungsaufgabe gedacht sein. Tipp: Was gilt für \(Q^2\)?


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zippy
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-30

\quoteon(2021-10-30 21:00 - sulky in Beitrag No. 2) Aber wie beweisen? \quoteoff Die Richtung "$Q=(q_{ij})$ ist Übergangsratenmatrix $\implies$ $P=(p_{ij})=\exp(Q)$ ist stochastische Matrix" ist einfach: 1. Wegen $P=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1nQ\right)^n$ folgt aus $q_{ij}\ge0$ für $i\ne j$, dass $p_{ij}\ge0$ für alle $i,j$. 2. Indem man $P$ als Lösung $P(1)$ des AWP $P(0)=1$, $\dot P(t)=P(t)\,Q$ schreibt, erkennt man, dass $P$ zeilenstochastisch ist:$$ \sum_i p_{ki}(0) = 1 \;,\quad {\mathrm d\over\mathrm dt}\sum_i p_{ki}(t) = \sum_i\dot p_{ki}(t) = \sum_{i,j} p_{kj}(t)\,q_{ji} = 0$$--zippy


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sulky
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-30

Hallo Zippy, Stark! Aber dass du dies als einfach bezeichnest....hmmm... Jedenfalls steht da schon mal die erste Richtung. Vielleicht finde ich ja noch die andere....


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sulky
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-31

Hallo Zusammen, Ich habe nochals eine solche Frage: Lemma 2: If $P$ is reversible, then $P$ is diagonializable and the eigenvalues of $P$ are all real numbers. Vermutlich habe ich dieses Lemma aus dem Kontext gerissen. Es scheint mir unüblich, gewisse Eigenschaften eines Elementes $P$ aus dem Kapitelkontex zu verwenden, ohne im Lemma zu schreiben. Vermutlich ist $P$ eine stochasische Matrix. Bedeutet reversible und invertierbar dasselbe? Im Beweis taucht der Begriff "reversible distribution of P" auf. Der Begriff einer Reversiblen Verteilung einer Matrix konnte ich mit google nicht finden. Beweis: Let $M=diag(\sqrt{\mu_1},\sqrt{\mu_2}...\sqrt{\mu_n} )$ Since $\mu$ is a reversible distribution of $P$, it is easy to see that $S=MPM^{-1}$ is a symmetric Matrix. Thus $S$ must be diagonizable and the eigenvalues of $S$ are all real numbres. This shows that $P=M^{-1}SM$ is also diagonizable and the eigenvalues of P are all real numbres


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-31

\quoteon(2021-10-31 08:29 - sulky in Beitrag No. 6) Bedeutet reversible und invertierbar dasselbe? \quoteoff Nein. Du kannst einfach nach "reversible markov process" googlen, um deine Frage zu beantworten: Reversible Markov Chains. Diese Suche findet auch sofort einen Beweis, dass die Eigenwerte der Übergangsmatrix eines solchen Prozesses reell sind.


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sulky
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-31

Ach so. Ich war gedanklich bei einer reversiblen Matrix anstatt bei einem reversiblen Markovprozess. Folgt dann aus der Reversiblität, dass $\sqrt{\mu_i}$ strikt grösser $0$ ist und im Beweis kann deswegen legitim die Invertierbarkeit von $M=diag(\sqrt{\mu_1},\sqrt{\mu_2}...\sqrt{\mu_n} )$ vorausgesetzt werden? Stimmt das so?


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sulky
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-31

Hallo Zusammen, Ich habe hier nochmals eine Frage zu Reversibilität. Ich habe zwei Definitionen aus Unterschiedlichen Quellen, welche andere Angaben machen. Könnte aber auch sein, dass ich über meine beschränkten Englischkenntnisse stolpere. Definition eines reveriblen Markovprozesses: Wenn ich mir einen Prozess mit einer kleinen Zustandsmenge auf ein Papier aufzeichne, dann merke ich sofort, dass wenn $X_n=2$, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Prozess zuvor bei $X_{n-1}=1$ war bei $\mu_1 p_{12}$. Weil aber der Prozess lediglich mit einer Wahrscheinlichkeit von $\mu_2$ zum Zeitpunkt $n$ bei $2$ verweilt, ist der Prozess dann reversible, wenn eine stationäre Verteilung $\mu$ existiert, sd. $\mu_ip_{ij}=\mu_j p_{ji}$. Den Ausdruck $\mu_ip_{ij}=\mu_j p_{ji}$ fand ich nicht auf Wikipedia, aber sonst an vielfach im internet. In unserem Lehrmittel steht aber: $P$ is called reverible if the detailed balance condition $\pi_i q_{ij}=\pi_j q_{ji}$ holds for any $1,2,...n$. In this case $\pi$ is called reversible distribution of $Q$. In einem Falle wird die Balance Bedingung also auf die Übergangsmatrtix $P$ angewendet, im anderen Falle auf die Ratenmatrix $Q$. Wiederspricht sich dies nicht?


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zippy
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-01-31

\quoteon(2022-01-31 10:54 - sulky in Beitrag No. 9) Wiederspricht sich dies nicht? \quoteoff Nein. Man sieht ja beispielsweise sofort, dass die Bedingung für $P$ gilt, wenn sie für $Q$ gilt: Mit $D:=\operatorname{diag}(\pi_1,\ldots,\pi_n)$ können wir die beiden Bedingungen als $DQ=Q^TD$ und $DP=P^TD$ schreiben. Aus $DQ=Q^TD$ folgt $De^Q=e^{Q^T}D=\left(e^Q\right)^TD$ und damit $DP=P^TD$.


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sulky
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-01

Hallo Zippy, Ja, so einfach geht das. Hätte ich auch selbst drauf kommen sollen. Ich habe noch eine Frage zu deinem Beweis in Beitrag 4: Diesen Beweis habe ich in den mir zur Verfügung gestellten Unterlagen nicht gefunden. Diesen Beweis habe ich bereits in meine Projektarbeit einbauen und muss eine Quellenangabe machen. Soll mich ja nicht mit fremden Lorbeeren schmücken. Meiner Meinung nach spricht nichts dagegen, in die Arbeit zu schreiben, dass ein Matehamtiker, welchen ich persönlich nicht kenne über ein Mathematikforum mir diesen Beweis zur Verfügung gestellt hat. Was soll ich für eine Quellenangabe machen?


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zippy
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-02-01

\quoteon(2022-02-01 10:25 - sulky in Beitrag No. 11) Was soll ich für eine Quellenangabe machen? \quoteoff Wie das auszusehen hätte, kann ich dir leider nicht sagen. \quoteon(2022-02-01 10:25 - sulky in Beitrag No. 11) Diesen Beweis habe ich in den mir zur Verfügung gestellten Unterlagen nicht gefunden. \quoteoff Dass es ein Buch oder Skript gibt, das sich mit stochastischen Matrizen und ihren Generatoren (also mit Übergangsratenmatrizen) beschäftigt, aber diesen Zusammenhang nicht erwähnt, kann ich mir immer noch nur schwer vorstellen.


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sulky
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-21

Hallo Zusammen, Ich habe nochmals eine Frage zur eindeutigen Umkehrbarkeit der Matrixexponentialfunktion. Wie oben erklärt, impliziert $\pi_i q_{ij} = \pi_j q_{ji} $ direkt dass $\pi_i p_{ij} = \pi_j p_{ji}$. Aber bei der Umkehrung bin ich unsicher welches $\Rightarrow$ auch wirklich ein $\Leftrightarrow $ ist. $(\pi_i q_{ij} = \pi_j q_{ji}) $ $\Leftrightarrow (diag(\pi)Q=Q^T diag(\pi))$ $\Leftrightarrow\; ?\;\Rightarrow (e^Q=e^{diag^{-1}(\pi) Q^T diag(\pi)})$ $\Leftrightarrow (e^Q=diag^{-1}(\pi) (e^Q)^T diag(\pi))$ Verwendung dass $e^{Q^T}=(e^Q)^T$ $\Leftrightarrow diag(\pi)P=P^T diag(\pi)$ Beim zweiten Implikationspfeil bin ich unsicher. Die Exponentialfunktion ist von $\mathbb{R}$ nach $(0,\infty)$ umkehrbar. Aber ob deswegen auch die Matrixexponentialfunktion auf der Menge der Stochastischen Matrizen eindeutig umkehrbar ist, da bin ich nicht sicher


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