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Universität/Hochschule J Potenzial eines geladenen Stabs
__kathi__
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  Themenstart: 2022-03-27

Hey Leute :) Ich komme leider nicht richtig weiter bei folgender Aufgabe. Ich habe einen Stab (Länge $a$, Dicke vernachlässigbar klein), der entlang der z-Achse liegt, mit der Mitte im Ursprung. Die Gesamtladung $Q$ ist homogen verteilt. https://i.imgur.com/ZQD4srZm.png Jetzt soll ich das elektrische Potenzial in Abhängigkeit vom Ort $R$ berechnen. Ich tue mir etwas schwer mit dem Ansatz, meine Überlegung war, zuerst das Feld in Abhängigkeit vom Punkt zu beschreiben, aber auch da komme ich nicht so gut weiter, weil wir es in den VO immer nur in Bezug auf eine Achse gemacht haben.🙄 Hilfe🐈️🐈️ Grüße, Kathi


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PhysikRabe
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-27

Willkommen auf dem Matheplaneten, Kathi! 🙂 Ich würde sagen, du gehst am besten Schritt für Schritt vor. Da du das Potential bestimmen sollst, sind das die Fragen, die du dir stellen solltest: 1. Wie sieht die allgemeine Formel für das elektrische Potential einer Ladungsverteilung aus? 2. Wie sieht die Ladungsverteilung (Ladungsdichte) in deinem Beispiel aus? Grüße, PhysikRabe


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__kathi__
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-27

Heyy PhysikRabe, danke für deine Antwort :) \quoteon(2022-03-27 16:20 - PhysikRabe in Beitrag No. 1) 1. Wie sieht die allgemeine Formel für das elektrische Potential einer Ladungsverteilung aus? \quoteoff Meinst du $\vec E=-\vec \nabla \varphi $ ? \quoteon 2. Wie sieht die Ladungsverteilung (Ladungsdichte) in deinem Beispiel aus? \quoteoff Ich denke mal $\lambda=Q/a$. Lg Kathi


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PhysikRabe
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-27

\quoteon(2022-03-27 16:37 - __kathi__ in Beitrag No. 2) Meinst du $\vec E=-\vec \nabla \varphi $ ? \quoteoff Das ist die elektrische Feldstärke. Wir wollen $\varphi$, in Abhängigkeit von einer gegebenen Ladungsdichte und vom Abstand. Habt ihr das in der Vorlesung schon gesehen? \quoteon(2022-03-27 16:37 - __kathi__ in Beitrag No. 2) Ich denke mal $\lambda=Q/a$. \quoteoff Ja, das ist die Linienladungsdichte entlang der z-Achse, und zwar für $z\in[-a/2,a/2]$. Das alleine hilft uns aber noch nicht so ganz weiter. Also schau erst einmal, ob du den Ausdruck für $\varphi(\vec{r})=\ldots$ in deinem Skript finden kannst. 🙂 Grüße, PhysikRabe


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__kathi__
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-27

Achso... \[\varphi(\vec r) = \int_{\vec r} \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{s} =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int\mathrm{d} \vec r^\prime \frac{\rho(\vec r^\prime)}{| \vec r - \vec r ^\prime |} \] Auf welchen Achsen liegt der Punkt R eigentlich, bin mir da nicht 100% sicher? Lg Kathi


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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-27

Wunderbar! Einen wesentlichen Teil der Ladungsdichte hast du ja bereits identifiziert... Kannst du daraus eine Raumladungsdichte $\rho$ "basteln"? Beachte, dass die Ladungsverteilung ausschließlich auf der z-Achse liegt, und dass der Stab als "unendlich dünn" angenommen wurde, d.h. es gibt keine Ausdehnung in die x- oder y-Richtung. \quoteon(2022-03-27 16:54 - __kathi__ in Beitrag No. 4) Auf welchen Achsen liegt der Punkt R eigentlich, bin mir da nicht 100% sicher? \quoteoff Deiner Skizze nach zu urteilen ist der Punkt $R$ genau $r_1$ von der z-Achse entfernt, und $r_2$ "hoch" über der x-y-Ebene. Das sind im Wesentlichen die Zylinderkoordinaten von $R$, allerdings ohne Angabe eines Winkels, also handelt es sich um einen allgemeinen Punkt im oberen Halbraum des $\mathbb{R}^3$ (also oberhalb der x-y-Ebene). Aufgrund der Symmetrie des Problems würde es sich auch anbieten, die Rechnung in Zylinderkoordinaten durchzuführen. Das kannst du ja jetzt bei der Angabe der Raumladungsdichte so bestimmen. Aber eigentlich ist das Geschmackssache; du kannst auch in kartesischen Koordinaten rechnen und entsprechend die Position von $R$ in kartesischen Koordinaten ausdrücken. Macht die Aufgabenstellung diesbezüglich eine Vorgabe? Grüße, PhysikRabe


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-27

Danke, dass du dir soviel Zeit nimmst 😃 \quoteon(2022-03-27 16:59 - PhysikRabe in Beitrag No. 5) Einen wesentlichen Teil der Ladungsdichte hast du ja bereits identifiziert... Kannst du daraus eine Raumladungsdichte $\rho$ "basteln"? Beachte, dass die Ladungsverteilung ausschließlich auf der z-Achse liegt, und dass der Stab als "unendlich dünn" angenommen wurde, d.h. es gibt keine Ausdehnung in die x- oder y-Richtung. \quoteoff Da tue ich mir etwas schwer🙄 Bin gerade beim Durchsehen des Skripts auf die Idee gekommen, sich den Stab als unendliche kleine Punktladungen vorzustellen und diese dann irgendwie zu integrieren. Weil dann könnte ich die Formel für das Potenzial einer Punktladung verwenden: \[\varphi(\vec{r}) = \frac{q}{4 \, \pi \, \varepsilon_0 \, | \vec{r} | }\] Ich denke, ich mache das erstmal in kartesischen Koordinaten :)


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PhysikRabe
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-03-27

Ob in kartesischen Koordinaten oder Zylinderkoordinaten macht keinen allzu großen Unterschied in der Berechnung. Für die Ladungsdichte $\rho$: Erinnere dich, dass das Volumenintegral über $\rho$ die Gesamtladung (nennen wir sie $Q$) ergeben muss. Die Ladung ist ausschließlich entlang der z-Achse verteilt; wenn du dort zwischen $z=-a/2$ und $z=a/2$ die Linienladungsdichte aufintegrierst, musst du $Q$ erhalten. Wie du schon richtig erkannt hast ist die Linienladungsdichte offensichtlich $Q/a$. Nun hat die räumliche Ladungsverteilung aber keinerlei Ausdehnung in x- und y-Richtung, denn die Verteilung sitzt genau auf der z-Achse, also dort wo $x=y=0$. Wenn du also $\int_{\mathbb{R}^3} \rho(\vec{r}') \mathrm{d}\vec{r}' = Q$ haben willst, dann dürfen die Raumrichtungen in $x$ und $y$ in diesem Volumenintegral keinen Beitrag liefern. Es gibt da eine Art von "Funktion", die nur an einem Punkt lokalisiert ist, deren Integral über $\mathbb{R}^3$ aber $1$ ergibt... Als Tipp nenne ich nur einen griechischen Buchstaben: $\delta$ 😁 Grüße, PhysikRabe


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-27

Hallo Physikrabe, wenn nur in der Uni auch alle so gut erklären würden... \quoteon(2022-03-27 17:44 - PhysikRabe in Beitrag No. 7) Als Tipp nenne ich nur einen griechischen Buchstaben: $\delta$ 😁 \quoteoff Du meinst die Diracfunktion, aber die haben wir überhaupt noch nicht besprochen.🙄 Was sagst du dazu? \quoteon(2022-03-27 17:20 - __kathi__ in Beitrag No. 6) Bin gerade beim Durchsehen des Skripts auf die Idee gekommen, sich den Stab als unendliche kleine Punktladungen vorzustellen und diese dann irgendwie zu integrieren. Weil dann könnte ich die Formel für das Potenzial einer Punktladung verwenden: \[\varphi(\vec{r}) = \frac{q}{4 \, \pi \, \varepsilon_0 \, | \vec{r} | }\]\quoteoff Lg Kathi


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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-03-27

Da ich nicht weiß, was ihr bisher in der Vorlesung gemacht habt und in welchem Kontext die Aufgabe daher gestellt wurde, ist es etwas schwierig, zielgerichtete Hinweise zu geben. \quoteon(2022-03-27 17:50 - __kathi__ in Beitrag No. 8) Du meinst die Diracfunktion, aber die haben wir überhaupt noch nicht besprochen.🙄 \quoteoff Aber immerhin kennst du sie trotzdem. 😉 Natürlich können wir den Sachverhalt, der in Delta-"Funktionen" ausgedrückt wird, auch nur in Worten argumentieren, so wie ich das gemacht habe. Schaffst du es trotzdem, die Ladungsdichte formal mit $\delta$ hinzuschreiben? Ich mache den Anfang für dich: Für $\vec{r}=(x,y,z)$ und $z\in[-a/2,a/2]$ ist \[\rho(\vec{r})=\frac{Q}{a} \ldots\] (außerhalb von $z\in[-a/2,a/2]$ ist $\rho\equiv 0$). Die konstante Dichte $Q/a$ in z-Richtung hast du ja schon gefunden (das lag im Angabentext mit der "homogenen" Ladungsverteilung auf der z-Achse in $z\in[-a/2,a/2]$), und jetzt musst du nur noch die "$\ldots$" ausfüllen, die etwas mit $\delta$ beinhalten sollten. Lies dir nochmal meinen vorigen Beitrag durch, und erinnere dich an die Definition der Delta-"Funktion". Falls du mit all dem gar nichts anfangen kannst (weil du von $\delta$ zwar schon gehört hast, aber mehr nicht), dann sag mir Bescheid. Wie gesagt, ich kenne dein Vorwissen nicht. \quoteon(2022-03-27 17:50 - __kathi__ in Beitrag No. 8) Was sagst du dazu? \quoteon(2022-03-27 17:20 - __kathi__ in Beitrag No. 6) Bin gerade beim Durchsehen des Skripts auf die Idee gekommen, sich den Stab als unendliche kleine Punktladungen vorzustellen und diese dann irgendwie zu integrieren. Weil dann könnte ich die Formel für das Potenzial einer Punktladung verwenden: \[\varphi(\vec{r}) = \frac{q}{4 \, \pi \, \varepsilon_0 \, | \vec{r} | }\]\quoteoff \quoteoff Im Grunde wollen wir ja genau das, aber noch ein bisschen mehr. Deine Idee ist insbesondere dann sinnvoll, wenn man sich fragt, wie das Potential entlang der z-Achse (wo der Stab ja liegt) aussieht, denn dann spielt die Abhängigkeit in x- und y-Richtung keine Rolle. Da wir aber das Potential im Punkt $R$ wissen wollen, der nicht notwendigerweise auf der z-Achse liegt, müssen wir systematischer vorgehen. Grüße, PhysikRabe


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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-27

\quoteon(2022-03-27 18:06 - PhysikRabe in Beitrag No. 9) Schaffst du es trotzdem, die Ladungsdichte formal mit $\delta$ hinzuschreiben? \quoteoff Natürlich😁 Ich verstehe dank deiner Erklärung total, wofür ich sie brauche. Nur wollte ich sie halt ungern verwenden, da wir sie eben noch nicht besprochen haben und nicht dass es heißt, ich habe alles irgendwo abgeschrieben :) Für $\vec{r}=(x,y,z)$ und $z\in[-a/2,a/2]$ ist \[\rho(\vec{r})=\frac{Q}{a} \delta(x)\delta(y)\] Kathi


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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-03-27

\quoteon(2022-03-27 18:15 - __kathi__ in Beitrag No. 10) Für $\vec{r}=(x,y,z)$ und $z\in[-a/2,a/2]$ ist \[\rho(\vec{r})=\frac{Q}{a} \delta(x)\delta(y)\] \quoteoff Ganz genau! Übrigens kann man die Einschränkung $z\in[-a/2,a/2]$ auch mithilfe einer sogenannten Heaviside-Funktion $\Theta$ schreiben, nämlich $\rho(\vec{r})=\frac{Q}{a} \Theta\left(\frac{a}{2}-|z|\right) \delta(x)\delta(y)$. Für $z\in[-a/2,a/2]$ liefert das den Ausdruck von oben, und für $z\notin[-a/2,a/2]$ ergibt das $0$, so wie es sein soll. (Ist es damit klar für dich, dass $\int_{\mathbb{R}^3} \rho(\vec{r}) \mathrm{d}\vec{r} = Q$ ist? Sonst rechne es nach, oder frag nochmal nach.) Du musst die Ladungsdichte auch nicht zwingend so formal mittels $\delta$ hinschreiben, aber dann musst du physikalisch argumentieren, warum das elektrische Potential so aussieht... ja, wie eigentlich sieht denn $\varphi$ nun aus? 😁 Grüße, PhysikRabe


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\quoteon(2022-03-27 18:23 - PhysikRabe in Beitrag No. 11) Ist es damit klar für dich, dass $\int_{\mathbb{R}^3} \rho(\vec{r}) \mathrm{d}\vec{r} = Q$ ist? \quoteoff Glasklar! Für $\varphi$ integriere ich also über die z-Achse von $-a/2$ bis $a/2$? Lg Kathi


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\quoteon(2022-03-27 18:31 - __kathi__ in Beitrag No. 12) Für $\varphi$ integriere ich also über die z-Achse von $-a/2$ bis $a/2$? \quoteoff Genau. Das ergibt sich jetzt direkt aus der expliziten Form von $\rho$. Schreib einfach auf, wie $\varphi(\vec{r})$ jetzt genau aussieht. Und versuche dann, das Integral zu lösen. Ich schlage vor du gibst dir ein bisschen Zeit und versuchst das selbstständig. Melde dich dann gerne wieder hier mit deinen Fortschritten bzw. Fragen. Aber ein paar eigene Gedanken möchte ich schon gerne sehen, und dafür musst du dir Zeit nehmen. Das ist ganz normal und ist wichtig für den Lernprozess. Grüße, PhysikRabe


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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-27

Heyyy Physikrabe, ich brauch nochmal kurz deine Hilfe :) Ich will es wirklich selbstständig lösen, aber erlaube mir bitte eine kurze Zwischenfrage, an der ich echt nicht weiter komme. \[ \varphi(\vec r)=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int_{-a/2}^{a/2} \frac{Q/a}{|\vec r -\vec r' |} \mathrm{d}\vec r'= \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{a} \int_{-a/2}^{a/2}\frac{1}{|\vec r -\vec r' |}\mathrm{d}\vec r'\] Ich bin bezüglich der r's leicht verwirrt. Ich weiß, dass man $\vec r'$ schreibt, damit man es nicht verwechselt. Aber was bedeuten sie physikalisch betrachtet genau? $\vec r$ ist das Argument, also müsste ich hier doch meinen gegebenen Punkt $\vec R$ einsetzen. $\vec r'$ ist die Integrationsvariable. Mich interessiert das, da ich den Betrag gerne ausrechnen und als Wurzel hinschreiben würde. Und eigentlich brauche ich ja nur die z-Komponente oder? Sorry, das klingt jetzt wsl alles kompliziert aber ich habe gemerkt, dass ich eigentlich eh einiges verstehe aber dann nicht weiß, wie ich es konkret anschreiben soll. Liebe Grüße Kathi


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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-03-27

\quoteon(2022-03-27 19:43 - __kathi__ in Beitrag No. 14) \[ \varphi(\vec r)=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int_{-a/2}^{a/2} \frac{Q/a}{|\vec r -\vec r' |} \mathrm{d}\vec r'= \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{a} \int_{-a/2}^{a/2}\frac{1}{|\vec r -\vec r' |}\mathrm{d}\vec r'\] \quoteoff So wie du es geschrieben hast, kann das nicht stimmen. Das Integral darf nur mehr eindimensional sein (nämlich in $z$-Richtung), nicht mehr über eine räumliche Variable $\vec{r}'$. Erinnere dich, was mit der Integration in $x$- und $y$-Richtung passiert ist: Wir haben im Integranden von $\varphi(\vec r)$ den Ausdruck $\rho(\vec{r}')$, welcher $\delta(x')\delta(y')$ beinhaltet. Ich schreibe hier $\vec{r}'=(x',y',z')$ für die Integrationsvariable, in Analogie zu $\vec{r}=(x,y,z)$ für die Richtungsvariable, von der $\varphi$ abhängt. (Letztendlich ist $\vec{r}$ der Richtungsvektor für den Punkt $R$ in deiner Skizze, aber das ist vorerst egal.) Wir können also die Integration über $x'$ und $y'$ ausführen. Am besten schreibst du dazu $|\vec{r}-\vec{r}'|$ in Termen von $x,y,z,x',y',z'$ aus. Und ich empfehle, schrittweise vorzugehen: \[ \varphi(\vec r)=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec r -\vec{r}' |} \mathrm{d}\vec{r}' = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int\limits_{-a/2}^{a/2} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\frac{Q}{a} \delta(x')\delta(y')}{|\vec r -\vec{r}' |} \mathrm{d}x' \mathrm{d}y' \mathrm{d}z' = \ldots \] Grüße, PhysikRabe


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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-27

Hallo Rabe, ich hoffe mal, du bist noch wach :) Ich bin echt am verzweifeln, macht diese Vereinfachung Sinn? \[ \varphi(\vec r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{-a/2}^{a/2} \frac{1}{\sqrt{(x-x')^2+y^2+(z-z')^2}} \mathrm{d}z' \] Lg Kathi


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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-03-28

Hallo Kathi, du hast den Faktor $Q/a$ plötzlich vergessen, und schau dir nochmal den Nenner genau an... Kann das wirklich so stimmen, wenn du die Integration über $x'$ korrekt ausführst? Grüße, PhysikRabe


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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-03-28

Ich weiß nicht, was der aktuelle Stand ist, aber vielleicht als Anregung der nächste Schritt (den du offenbar schon gemacht hast, du hast dich nur ein bisschen vertan): \[ \varphi(\vec r)=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec r -\vec{r}' |} \mathrm{d}\vec{r}' = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int\limits_{-a/2}^{a/2} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\frac{Q}{a} \delta(x')\delta(y')}{|\vec r -\vec{r}' |} \mathrm{d}x' \mathrm{d}y' \mathrm{d}z' = \\ = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{a} \int\limits_{-a/2}^{a/2} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\delta(x')\delta(y')}{\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}} \mathrm{d}x' \mathrm{d}y' \mathrm{d}z' = \ldots \] Von der ersten auf die zweite Zeile ist nichts passiert; es wurde nur $|\vec{r}-\vec{r}'|$ ausgeschrieben (das scheinst du ja auch gemacht zu haben) und $Q/a$ aus dem Integral gezogen (diesen Faktor hast du vergessen). Jetzt solltest du sehen können, wie es weiter geht und warum dein Ausdruck aus Beitrag No. 16 nicht stimmen kann... Grüße, PhysikRabe


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Wario
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-03-28

\quoteon(Kathi - PM) > SOS Abgabe bald > darf ich Mathematica oder Ähnliches benutzen. \quoteoff Sofern ich das richtig abgetippt habe: \quoteon(Wario) Dann gib es doch das so ein: https://www.wolframalpha.com/input?i=+integral_%28-inf%29%5Einf+integral_%28-inf%29%5E%E2%88%9E++delta%28u%29+%CE%B4%28v%29%2Fsqrt%28%28x-u%29%5E2+%2B+%28y-v%29%5E2+%2B%28z+-+w%29%5E2%29+du+dv+ Beim Letzten weigert er sich: https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+1%2Fsqrt%28%28w+-+z%29%5E2+%2B+x%5E2+%2B+y%5E2%29+dw Aber es kommt für das unbestimmte Integral eine Areatangens hyperbolicus Funktion raus, da kann man die Grenzen -a/2, a/2 auch von Hand einsetzen. \quoteoff


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PhysikRabe
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  Beitrag No.20, eingetragen 2022-04-04

Hallo Kathi, gibt es von deiner Seite noch etwas Neues? Es ist schade, dass du dich nicht mehr gemeldet hast. Aber vielleicht hast du die Aufgabe ja mittlerweile selbst gelöst? Übrigens ist es weder notwendig noch sinnvoll, bei dieser Aufgabe Mathematica bzw. Wolfram Alpha zu bemühen. Das Integral kann man direkt berechnen (und vernünftigerweise soll man das auch). Grüße, PhysikRabe


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