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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Funktionenfolge (Stetigkeit und Konvergenz)
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Universität/Hochschule J Funktionenfolge (Stetigkeit und Konvergenz)
Sekorita
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  Themenstart: 2022-04-13

\quoteon(ursprünglicher Beitrag) Hallo, ich hoffe zunächst, dass das treffen einer Fallunterscheidung hier richtig ist. irgendwie tue ich mich nur bei x>0 und x<1 schwer. muss ich hier den Bereich vielleicht nochmal mehr eingrenzen? Die Funktionenfolge wird dann ja stetig sein, weil sie als Komposition der einzelnen Funktionen stetig ist, also weil 0 stetig ist, n^2+2n und mein noch nicht bekanntes Ergebnis. Zu Konvergenz komme ich dann später, wenn ich weiß, wie die Folge sich für x>0 und x<1 verhält. https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_FrageAnalysis1.JPG\hideon https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_Antwort_ANA1.JPG https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_Adobe_Scan_13.04.2022_1.jpg Oder ist die letzte Fallunterscheidung richtig? \quoteoff


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mathsmaths
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-04-13

Hallo, Eine Skizze hilft hier sicherlich (wie auch in der Aufgabenstellung beschrieben). Fixiere mal ein beliebig großes $n\geq 2$ und betrachte für deinen Grenzwertkandidaten $f$ dann $|f(x)-f_n(x)|$ für ein $x\in[0,\frac{1}{n})$. Damit wirst du sehen, dass $\|f-f_n\|_{[0,1]}>0$ (Hiermit meine ich die Maximumsnorm) gilt und der linke Ausdruck nicht von $n$ abhängt... Edit: Sorry mir wurde die Vorschrift der Funktionenfolge im anderen Browser falsch angezeigt, von daher vergiss diesen Post.


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Sekorita
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-13

Hallo, ich war gerade dabei noch was zu ändern / eine neue Unterscheidung zu machen. Die sollte dem mehr entsprechen, was du geschrieben hast


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sonnenschein96
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-04-14

Hallo Sekorita, Du hast ja schon erkannt, dass \(f_n(x)=n^2x\) für \(x\in[0,\frac{1}{n}]\). Für \(x\in[\frac{1}{n},1]\) ist wie Du schon geschrieben hast \(f_n(x)=\max\{-n^2x+2n,0\}\). Dies ist allerdings nur gleich \(-n^2x+2n\) sofern \(x\in[\frac{1}{n},\frac{2}{n}]\) ist, denn nur dann ist \(-n^2x+2n\geq0\). Für \(x\in[\frac{2}{n},1]\) ist \(-n^2x+2n\leq0\) und damit \(f_n(x)=0.\) Jetzt solltest Du eigentlich schnell erkennen, wogegen \(f_n(x)\) für \(x\in[0,1]\) konvergiert. Wenn Du den Wert \(f_n(\frac{1}{n})\) betrachtest, solltest Du weiterhin erkennen, dass diese Konvergenz nicht gleichmäßig ist.


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Sekorita
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-14

Danke für die Hilfe, ich habe alles hinbekommen :)


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