Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Folgen und Reihen » Potenzreihe mit rationalen Koeffizienten
Autor
Universität/Hochschule J Potenzreihe mit rationalen Koeffizienten
kleinerriemann
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.03.2014
Mitteilungen: 134
Wohnort: Leipzig, Deutschland
  Themenstart: 2022-05-22

Hallo Leute, existiert eine reelle Potenzreihe P(x) mit rationalen Koeffizienten der Form: \ P(x)=sum(a_k (x-b)^k,k=0,\inf) , a_k\el\ \IQ , b\el\IN_0 und x\el\ \IR, wobei die Eulerzahl x=e eine Nullstelle dieser Potenzreihe ist? Wegen der Transzendenz von e (und um die triviale 'Potenzreihe' P=0 auszuschließen) sollen unendlich viele Koeffizienten verschieden von 0 sein. Für andere transzendente Zahlen wie \pi oder \ln(2) ist dies möglich, da die Taylorentwicklung von \sin(x) bzw. \exp(x)-2 eine solche Potenzreihe darstellt. Für \1-ln(x) sind zwar die Koeffizienten der Taylorentwicklung um b=1 rational, aber sie konvergiert nicht für x=e. Kann man zeigen, dass keine solche Potenzreihe für e existiert? Grüße kleinerriemann


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6372
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-22

Ja, $P = 0$ ist ein Beispiel.


   Profil
kleinerriemann
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.03.2014
Mitteilungen: 134
Wohnort: Leipzig, Deutschland
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-22

\quoteon(2022-05-22 17:01 - Triceratops in Beitrag No. 1) Ja, $P = 0$ ist ein Beispiel. \quoteoff Um Kinski zu zitieren: Nirgends spricht man mit Genies, aber ich meine gut...die hatten ja wenigstens Humor.


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6372
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-22

Deine Antwort verstehe ich nicht. Ich nehme einmal an, dass du $P \neq 0$ als Voraussetzung ergänzen möchtest. Wenn das so ist, wäre es gut (auch für die anderen Mitlesenden) das im Startbeitrag entsprechend zu schreiben. Vielleicht fehlen aber noch andere Voraussetzungen, die du machen möchtest. Du hast zum Beispiel geschrieben, dass dir der Konvergenzradius von $1 - \ln(x)$ zu klein ist. Was soll das bedeuten? Soll deine gesuchte Potenzreihe auch Eigenschaften bezüglich des Konvergenzradius besitzen? Wenn ja, welche? Bitte ergänze sie im Startbeitrag.


   Profil
kleinerriemann
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.03.2014
Mitteilungen: 134
Wohnort: Leipzig, Deutschland
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-25

\quoteon(2022-05-22 19:53 - Triceratops in Beitrag No. 3) Deine Antwort verstehe ich nicht. Ich nehme einmal an, dass du $P \neq 0$ als Voraussetzung ergänzen möchtest. Wenn das so ist, wäre es gut (auch für die anderen Mitlesenden) das im Startbeitrag entsprechend zu schreiben. Vielleicht fehlen aber noch andere Voraussetzungen, die du machen möchtest. Du hast zum Beispiel geschrieben, dass dir der Konvergenzradius von $1 - \ln(x)$ zu klein ist. Was soll das bedeuten? Soll deine gesuchte Potenzreihe auch Eigenschaften bezüglich des Konvergenzradius besitzen? Wenn ja, welche? Bitte ergänze sie im Startbeitrag. \quoteoff Hallo Triceratops, ich habe noch (hoffe ich) sinnvolle Voraussetzung im Startbeitrag ergänzt. Ich dachte erst, du wolltest mir mit P=0 auf merkwürdige Art zu verstehen geben, dass du die Frage naiv findest. Nix für ungut! Die etwas allgemeinere Frage, die mich zu dem Beitrag bewegte, ist, ob für jede reelle Zahl y eine Potenzreihe \( P !=0 ) P(x)=sum(a_k (x-b)^k,k=0,\N) , a_k\el\IQ , b\el\IN_0 und x\el\IR und ein \N\el\ \IN\union\ {\inf} existiert, für die P(y)=0 ist. Gruß kleinerriemann


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6372
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-25

Für $e^{-1}$ geht es schon einmal (hier benutze man $|e^{-1} - 1| < 1$): $\displaystyle -1 = \ln(e^{-1})=\ln(1+(e^{-1}-1))= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} (e^{-1}-1)^k.$


   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3578
  Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Man kann rekursiv solche Reihen finden: Sei $y\not=0$ (für $y=0$ könnte man z.B. $\sin(x)$ nehmen). Definiere $a_0:=1$ und wähle für $n\geq 1$ dann $a_n\in \IQ\setminus\{0\}$, sodass $|\sum_{k=0}^n a_ky^k| < \frac 1n$. Das ist immer möglich, da $\IQ$ dicht in $\IR$ ist und man daher $a_n$ nahe genug bei $-\frac 1{y^n}\sum_{k=0}^{n-1}a_ky^k$ wählen kann. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]\(\endgroup\)


   Profil
kleinerriemann
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.03.2014
Mitteilungen: 134
Wohnort: Leipzig, Deutschland
  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-25

\quoteon(2022-05-25 14:43 - Triceratops in Beitrag No. 5) Für $e^{-1}$ geht es schon einmal (hier benutze man $|e^{-1} - 1| < 1$): $\displaystyle -1 = \ln(e^{-1})=\ln(1+(e^{-1}-1))= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} (e^{-1}-1)^k.$ \quoteoff Ok, es scheint tatsächlich einige transzendente Zahlen zu geben, wo dies tatsächlich möglich ist: \ { k*\pi \forall\ k\el \IZ ; ln(n) \forall\ n\el \IN ; e^(-n) \forall\ n\el\IN_0 } Gruß kleinerriemann


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6372
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-25

Nuramon hat oben gezeigt, dass es für jede reelle Zahl möglich ist.


   Profil
kleinerriemann
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.03.2014
Mitteilungen: 134
Wohnort: Leipzig, Deutschland
  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27

\quoteon(2022-05-25 18:24 - Triceratops in Beitrag No. 8) Nuramon hat oben gezeigt, dass es für jede reelle Zahl möglich ist. \quoteoff Hallo Nuramon, ich hatte auch über diese Möglichkeit nachgedacht. Ich war mir allerdings nicht sicher, ob für jeden neuen Summanden der Potenzreihe eine rationale Zahl existiert, so dass die Reihe gegen 0 konvergiert. Da jede reelle Zahl ein Häufungspunkt in \IQ ist, klappt das, wie du gezeigt hast. Die Taylorkoeffizienten \ c_k=1/k! ergeben eine Zahlenfolge, die durch eine stetige Funktion (hier: 1/\Gamma(k+1) ) auf den Bereich der reellen Zahlen ausgedehnt werden kann. Ist dies bei der rekursiven Methode ebenfalls möglich? Gruß kleinerriemann


   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3578
  Beitrag No.10, eingetragen 2022-05-27

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) \quoteon(2022-05-27 19:17 - kleinerriemann in Beitrag No. 9) Die Taylorkoeffizienten \ c_k=1/k! ergeben eine Zahlenfolge, die durch eine stetige Funktion(hier: 1/\Gamma(k+1) ) auf den Bereich der reellen Zahlen ausgedehnt werden kann. Ist dies bei der rekursiven Methode ebenfalls möglich? Gruß kleinerriemann \quoteoff Ich verstehe die Frage nicht. Was hat die Folge $c_k$ mit der Fragestellung aus dem Themenstart bzw. mit No.6 zu tun?\(\endgroup\)


   Profil
kleinerriemann
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.03.2014
Mitteilungen: 134
Wohnort: Leipzig, Deutschland
  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-31

Ist nicht so wichtig. Ich danke dir für deine Hilfe! Danke auch an Triceratops. 👍 Grüße kleinerriemann


   Profil
kleinerriemann hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
kleinerriemann hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]