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Mathematik » Strukturen und Algebra » Abstrakte Definition von Diskriminante einer elliptischen Kurve
Autor
Universität/Hochschule J Abstrakte Definition von Diskriminante einer elliptischen Kurve
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2022-05-25

Hallo, ich interessiere mich, ob es eine abstrakte Definition für die Diskriminante einer elliptischen Kurve (zunächst über einem Körper) gibt. Mit "abstrakt" meine ich, dass die Definition keine Koeffienten des definierenden Polynoms der ell. Kurve verwendet (wir erinnern uns, dass ell. Kurve eine 1-dim. abelsche Varietät ist, die Gleichung bekommen wir mittels Riemann-Roch). Insbesondere sollten die Diskriminanten zweier isomorphen ell. Kurven identisch sein.

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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-25

Hier steht, dass die Diskriminante von der Wahl der Gleichung abhängt. Bei Zahlkörpern gibt es das Konzept einer minimalen Diskriminante (Silverman, VIII.8). Für lokale Körper ebenfalls (Silverman, VII.1).

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kurtg
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-27

Hi, schau mal in Liu (2nd ed.), Exercise 9.4.14.

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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27

Danke für euren Hinweis! Ich habe auch einen Dozenten gefragt; er verweist das Thema auf ein Paper von T. Saito, s. die Definition auf Seite 155. Aber ob und wie diese Definition mit der naiveren, koeffizienten-abhängigen Diskriminante zusammenhängt, kann ich an der Stelle noch nichts sagen.

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kurtg
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-29

Ich habe keinen Zugriff auf den Artikel von Saito. Du willst aber nur elliptische Kurven, und dann steht die Formel (= Formel von Ogg, Zusammenhang zwischen Führer, Diskriminante und Anzahl der irreduziblen Komponenten der speziellen Faser vom minimalen eigentlichen regulären Modell) im Fall $p \neq 2$ (oder $p = 2$ und nicht additive Reduktion) schon im zweiten Band von Silverman elementarer.

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